ما معنى الحلقة التامة، الحقل؟

مثال 7.19 (العناصر الجامدة: ظواهر جديدة في حلقات جديدة)

في $\Z$، ليس للمعادلة $x^2 = x$، أي $x(x - 1) = 0$، إلا الحلان $0$ و $1$. وفي $\Z/6\Z$، بتجريب كل الصفوف: $\overline0^2 = \overline0$ و$\overline1^2 = \overline1$ و $\overline3^2 = \overline9 = \overline3$ و$\overline4^2 = \overline{16} = \overline4$ — أي أربعة عناصر جامدة. والعنصران الغريبان يأتيان من قواسم الصفر: $\overline3\,(\overline3 - \overline1) = \overline3 \times \overline2 = \overline6 = \overline0$ دون أن ينعدم أيّ من العاملين. وحسابات كهذه تعاير الحدس: فالوقائع المألوفة عن المعادلات تصمد في الحلقات التامة والحقول، لكن الحلقة العامة يمكن أن تسلك سلوكًا مختلفًا وهي تفعل — وانظر كذلك الحلقات البوليانية في التمرين 7.10، حيث يكون كل عنصر جامدًا.

مثال 7.26 (كم جذرًا تربيعيًا للعدد $1$؟)

حُلَّ $x^2 = \overline 1$ في $\Z/8\Z$ وفي $\Z/7\Z$. وبتجريب الصفوف الثمانية بترديد $8$: $1^2 = 1$ و $3^2 = 9 \equiv 1$ و$5^2 = 25 \equiv 1$ و $7^2 = 49 \equiv 1$ — أي أربعة حلول $\{\overline1, \overline3, \overline5, \overline7\}$، وإن كانت درجة كثير الحدود $X^2 - 1$ هي $2$. وعلى النقيض، في الحقل $\Z/7\Z$ تعني $x^2 = \overline1$ أن $(x - \overline1)(x + \overline1) = \overline0$، وليس في الحقل قواسم للصفر: ومنه $x = \pm\overline1$، أي حلّان لا غير. والإخفاق بترديد $8$ قابل للتعقب: $(3-1)(3+1) = 2 \times 4 = 8 \equiv 0$ دون أن ينعدم أيّ من العاملين. والعبرة: أن القاعدة المألوفة «للمعادلة من الدرجة $d$ $d$ جذرًا على الأكثر» مبرهنةٌ عن الحلقات التامة (ويبرهن عليها النتيجة 8.8 فوق الحقول)؛ وهي تخفق ضمنًا في الحلقات ذات قواسم الصفر — وهذا بالضبط سبب حاجة برهان الازدواج لمبرهنة ويلسون (التمرين 6.11) إلى $p$ الأوليّ.