Apa itu Daerah integral, lapangan?

Contoh 7.19 (Idempoten: gejala baru dalam ring baru)

Di $\Z$, persamaan $x^2 = x$, yakni $x(x - 1) = 0$, hanya mempunyai penyelesaian $0$ dan $1$. Di $\Z/6\Z$, dengan menguji semua kelasnya: $\overline0^2 = \overline0$, $\overline1^2 = \overline1$, $\overline3^2 = \overline9 = \overline3$ dan $\overline4^2 = \overline{16} = \overline4$ — jadi ada empat idempoten. Kedua yang eksotis itu datang dari pembagi nol: $\overline3\,(\overline3 - \overline1) = \overline3 \times \overline2 = \overline6 = \overline0$ tanpa satu pun faktornya nol. Perhitungan semacam itu mengalibrasi gerak hati kita: fakta yang sudah dikenal tentang persamaan bertahan di daerah integral dan lapangan, tetapi ring yang umum dapat dan memang berperilaku lain — lihat pula ring Boole pada Latihan 7.10, yang di sana setiap unsurnya idempoten.

Contoh 7.26 (Berapa banyak akar kuadrat dari $1$?)

Selesaikan $x^2 = \overline 1$ di $\Z/8\Z$ dan di $\Z/7\Z$. Dengan menguji kedelapan kelas modulo $8$: $1^2 = 1$, $3^2 = 9 \equiv 1$, $5^2 = 25 \equiv 1$, $7^2 = 49 \equiv 1$ — jadi ada empat penyelesaian $\{\overline1, \overline3, \overline5, \overline7\}$, padahal polinomial $X^2 - 1$ berderajat $2$. Sebaliknya, di lapangan $\Z/7\Z$, $x^2 = \overline1$ berarti $(x - \overline1)(x + \overline1) = \overline0$, dan lapangan tak mempunyai pembagi nol: sehingga $x = \pm\overline1$, dengan dua penyelesaian saja. Kegagalan modulo $8$ itu dapat dilacak: $(3-1)(3+1) = 2 \times 4 = 8 \equiv 0$ tanpa satu pun faktornya lenyap. Moralnya: kaidah yang sudah dikenal “persamaan berderajat $d$ mempunyai paling banyak $d$ akar” adalah teorema tentang daerah integral (Akibat 8.8 membuktikannya atas lapangan); dan di dalam ring yang mempunyai pembagi nol ia gugur diam-diam — justru itulah sebabnya bukti pemasangan pada teorema Wilson (Latihan 6.11) menuntut $p$ prima.