विश्वविद्यालय गणित — स्नातक वर्ष 1 · Bachelor Year 1

8बहुपद

बहुपद बीजगणितज्ञ के प्रिय फलन हैं — सिवाय इसके कि यहाँ उन्हें फलन नहीं माना जाता, बल्कि किसी अनिर्धार्य $X$ में औपचारिक व्यंजक, जिन्हें क्रमविनिमेय वलय के नियमों से जोड़ा और गुणा किया जाता है। यह सिद्धांत अध्याय 6 के साथ आश्चर्यजनक रूप से समांतर चलता है: एक यूक्लिडीय भाग, एक महत्तम समापवर्तक और बेज़ू संबंध, अखंडनीय अवयव और एक अद्वितीय गुणनखंडन। आगे सर्वत्र $K$ $\Q$ , $\R$ या $\C$ दर्शाता है।

8.1 वलय $K[X]$

परिभाषा 8.1 (बहुपद, घात)

$K$ में गुणांकों वाला बहुपद एक औपचारिक योग है

P = a_0 + a_1 X + a_2 X^2 + \dots + a_n X^n = \sum_{k} a_k X^k,

जहाँ किसी सूचकांक से आगे सभी $a_k \in K$ शून्य हैं। स्वाभाविक योग और गुणनफल

\Bigl(\sum_i a_i X^i\Bigr)\Bigl(\sum_j b_j X^j\Bigr) = \sum_k \Bigl(\sum_{i+j=k} a_i b_j\Bigr) X^k,

के साथ समुच्चय $K[X]$ क्रमविनिमेय वलय है। $P \neq 0$ की घात $\deg P$ वह बृहत्तम $n$ है जिसके लिए $a_n \neq 0$ ; $a_n$ अग्र गुणांक है ( $a_n = 1$ होने पर $P$ इकाई-अग्र कहलाता है), और परिपाटी से $\deg 0 = -\infty$ । प्रत्येक बहुपद प्रतिस्थापन द्वारा $K$ पर एक फलन $x \mapsto P(x)$ परिभाषित करता है।

प्रतिज्ञप्ति 8.2 (घात के नियम; पूर्णांकीय प्रांत)

$P, Q \in K[X]$ के लिए:

\deg(P + Q) \leq \max(\deg P, \deg Q), \qquad \deg(PQ) = \deg P + \deg Q .

फलस्वरूप $K[X]$ पूर्णांकीय प्रांत है, और उसकी इकाइयाँ अशून्य अचर हैं।

उपपत्ति. योग का नियम स्पष्ट है (अधिकतम से आगे के गुणांक लुप्त हो जाते हैं)। गुणनफल के लिए मान लीजिए $a_m$ और $b_n$ अग्र गुणांक हैं: $PQ$ में $X^{m+n}$ का गुणांक $a_m b_n \neq 0$ है ( $K$ क्षेत्र है, अतः पूर्णांकीय प्रांत), और उससे ऊपर के सभी गुणांक लुप्त हो जाते हैं। यदि $P, Q \neq 0$ , तो $\deg PQ = \deg P + \deg Q \geq 0$ , अतः $PQ \neq 0$ : पूर्णांकीय प्रांत। यदि $PQ = 1$ , तो $\deg P + \deg Q = 0$ $\deg P = \deg Q = 0$ पर बाध्य कर देता है: व्युत्क्रमणीय अवयव व्युत्क्रमणीय अचर हैं, अर्थात् पूरा $K^*$ । ∎

प्रमेय 8.3 (यूक्लिडीय भाग)

मान लीजिए $B \neq 0$ के साथ $A, B \in K[X]$ । बहुपदों का ठीक एक युग्म $(Q, R)$ ऐसा है कि

A = BQ + R, \qquad \deg R < \deg B .

उपपत्ति. अस्तित्व, $\deg A$ पर प्रबल आगमन से। यदि $\deg A < \deg B$ , तो $(Q, R) = (0, A)$ लीजिए। अन्यथा $m \geq n$ के साथ $A = a X^m + \dots$ , $B = b X^n + \dots$ लिखिए; बहुपद $A_1 = A - \frac ab X^{m-n} B$ की घात $< m$ है (अग्र पद कट जाते हैं), अतः आगमन से $\deg R < \deg B$ के साथ $A_1 = BQ_1 + R$ , और $A = B(Q_1 + \frac ab X^{m-n}) + R$ ।

अद्वितीयता: यदि $BQ + R = BQ' + R'$ , तो $\deg(R' - R) < \deg B$ के साथ $B(Q - Q') = R' - R$ ; घात के नियम से इससे $Q - Q' = 0$ अनिवार्य हो जाता है, और फिर $R = R'$ । ∎

उदाहरण 8.4

$A = X^4 + X^3 - 2X + 1$ को $B = X^2 + 1$ से भाग दीजिए:

X^4 + X^3 - 2X + 1 = (X^2 + 1)(X^2 + X - 1) + (-3X + 2).

(संगणना: पहले $X^2 B$ घटाइए, फिर $X B$ , फिर $-B$ ; शेषफल $-3X + 2$ की घात $1 < 2$ है।)

विधि 8.5 (हॉर्नर विधि)

$x$ पर $P = a_nX^n + \dots + a_0$ का मान निकालने के लिए, अथवा $P$ को $X - x$ से भाग देने के लिए, घातों की संगणना से बचिए: गुणांक बाएँ से दाएँ पढ़िए और $x$ से गुणा कीजिए, अगला गुणांक जोड़िए दोहराते जाइए:

b_n = a_n, \qquad b_{k} = a_{k} + x\,b_{k+1} \quad (k = n-1, \dots, 0) .

तब $b_0 = P(x)$ , और पहले वाले $b_k$ भागफल के गुणांक हैं: $P = (X - x)(b_nX^{n-1} + \dots + b_1) + b_0$ (प्रसार करके तुलना कीजिए)। उदाहरण: $x = 2$ पर $P = X^4 - 5X^3 + 6X^2 + 4X - 8$ : $b$ हैं $1, -3, 0, 4, 0$ , अतः $P(2) = 0$ और $P = (X-2)(X^3 - 3X^2 + 4)$ — अर्थात् लंबे भाग के बदले एक पंक्ति, और भोले मान-निकालने के $\approx n^2/2$ के बदले $n$ गुणा। इसी विधि को उसी बिंदु पर दोहराने से बहुलताएँ निकल आती हैं (उदाहरण 8.12 से तुलना कीजिए)।

टिप्पणी 8.6 ( $K[X]$ का अंकगणित)

यूक्लिडीय भाग हाथ में आ जाने पर अध्याय 6 का पूरा अंकगणित उन्हीं उपपत्तियों के साथ $K[X]$ पर चला जाता है, जहाँ निरपेक्ष मान की भूमिका घात निभाती है: महत्तम समापवर्तक (इकाई-अग्र होने तक मानकीकृत), विस्तारित यूक्लिडीय कलनविधि, बेज़ू सर्वसमिका, गाउस की प्रमेयिका, अखंडनीय बहुपद और अद्वितीय गुणनखंडन। हम इन स्थानांतरित परिणामों का स्वतंत्र रूप से प्रयोग करते हैं, और अभ्यास 8.6 उनमें से एक का अभ्यास कराता है।

8.2 मूल

प्रमेय 8.7 (गुणनखंड प्रमेय)

मान लीजिए $P \in K[X]$ और $a \in K$ । $X - a$ से भाग देने पर $P$ का शेषफल अचर $P(a)$ होता है। विशेष रूप से

P(a) = 0 \iff (X - a) \mid P .

और अधिक व्यापक रूप से, $P$ के भिन्न मूल $a_1, \dots, a_r$ गुणनखंडन $P = (X - a_1)\cdots(X - a_r)\, Q$ देते हैं।

उपपत्ति. भाग दीजिए: $\deg R < 1$ के साथ $P = (X - a) Q + R$ , अतः $R$ कोई अचर $c$ है; $X = a$ प्रतिस्थापित करने पर (प्रतिस्थापन योग और गुणनफल का आदर करता है) $P(a) = c$ मिलता है। तुल्यता इसी से निकलती है। कई मूलों के लिए $r$ पर आगमन कीजिए: स्थिति $r = 1$ अभी सिद्ध की गई तुल्यता ही है। कथन को $r - 1$ मूलों के लिए मान लीजिए और मान लीजिए $a_1, \dots, a_r$ $P$ के भिन्न मूल हैं। $P = (X - a_1)Q_1$ लिखिए; प्रत्येक $i \geq 2$ के लिए $a_i$ प्रतिस्थापित करने पर:

0 = P(a_i) = (a_i - a_1)\,Q_1(a_i), \qquad a_i - a_1 \neq 0 ,

और चूँकि $K$ में कोई शून्य भाजक नहीं है, $Q_1(a_i) = 0$ : अर्थात् $r - 1$ भिन्न बिंदु $a_2, \dots, a_r$ $Q_1$ के मूल हैं। आगमन परिकल्पना $Q_1 = (X - a_2)\cdots(X - a_r)\,Q$ का गुणनखंडन कर देती है, और वापस प्रतिस्थापित करने पर दावा मिल जाता है। ∎

उपप्रमेय 8.8 (घात $n$ के बहुपद के अधिक से अधिक $n$ मूल होते हैं)

घात $n$ वाले अशून्य $P \in K[X]$ के $K$ में अधिक से अधिक $n$ भिन्न मूल होते हैं। फलस्वरूप, $n + 1$ भिन्न बिंदुओं पर लुप्त होने वाला (घात $\leq n$ का) बहुपद शून्य बहुपद है, और $n+1$ बिंदुओं पर मेल खाने वाले घात $\leq n$ के दो बहुपद बराबर होते हैं।

उपपत्ति. यदि $a_1, \dots, a_r$ भिन्न मूल हैं, तो प्रमेय 8.7 $P = (X-a_1)\cdots(X-a_r) Q$ देता है, अतः $n = \deg P \geq r$ । दोनों परिणाम विरोधाभास से और अंतर लेकर निकलते हैं। ∎

उदाहरण 8.9 (सहायक-बहुपद वाली युक्ति)

मान लीजिए $P$ घात $\leq n$ का वह बहुपद है जिसके लिए

P(k) = \frac{k}{k+1} \qquad (k = 0, 1, \dots, n) ;

वह विद्यमान और अद्वितीय है, जैसा नीचे लाग्रांज अंतर्वेशन से मिलता है। $P(n+1)$ क्या है? हर हटाइए: बहुपद $Q = (X+1)P - X$ की घात $\leq n + 1$ है और वह $n + 1$ बिंदुओं $0, 1, \dots, n$ पर लुप्त होता है, अतः प्रमेय 8.7 से

Q = c\,X(X-1)(X-2)\cdots(X-n)

किसी अचर $c$ के लिए। वहाँ मान लीजिए जहाँ $Q$ स्वतंत्र रूप से ज्ञात हो: $X = -1$ पर $Q(-1) = 0 \cdot P(-1) + 1 = 1$ , जबकि गुणनफल $(-1)(-2)\cdots(-1-n) = (-1)^{n+1}(n+1)!$ के बराबर है; अतः $c = \frac{(-1)^{n+1}}{(n+1)!}$ । अब $X = n + 1$ पर मान लीजिए:

(n+2)\,P(n+1) - (n+1) = Q(n+1) = c\,(n+1)! = (-1)^{n+1} ,

अतः $P(n+1) = \dfrac{(n+1) + (-1)^{n+1}}{n+2}$ : विषम $n$ के लिए वह $1$ के बराबर है, और सम $n$ के लिए $\frac{n}{n+2}$ के — अर्थात् अंतर्वेशी बहुपद प्रतिरूप $\frac{n+1}{n+2}$ को आगे नहीं बढ़ाता। स्मरण रखने योग्य युक्ति: आँकड़ों को किसी सहायक बहुपद के मूलों के रूप में कूटित कीजिए, अज्ञात अचर की पहचान आँकड़ों से बाहर किसी बिंदु पर कीजिए, और फल काटिए।

परिभाषा 8.10 (अवकलज, बहुलता)

$P = \sum a_k X^k$ का औपचारिक अवकलज $P' = \sum_{k \geq 1} k\,a_k X^{k-1}$ है; वह सामान्य नियम $(P+Q)' = P' + Q'$ , $(PQ)' = P'Q + PQ'$ संतुष्ट करता है (एकपदों पर जाँचा गया और रैखिकता से विस्तारित)। $P$ के मूल $a$ की बहुलता $m \geq 1$ तब है जब $(X-a)^m \mid P$ हो पर $(X-a)^{m+1} \nmid P$ न हो; मूल $m = 1$ होने पर सरल और $m \geq 2$ होने पर बहु कहलाता है।

प्रतिज्ञप्ति 8.11 (अवकलजों से बहुलता)

$a$ $P$ का बहुलता $\geq m$ वाला मूल है यदि और केवल यदि

P(a) = P'(a) = \dots = P^{(m-1)}(a) = 0 .

विशेष रूप से, $a$ $P$ का बहु मूल है यदि और केवल यदि $P(a) = P'(a) = 0$ ।

उपपत्ति. $P = (X - a)^m Q + R$ लिखिए, जहाँ $R$ $(X-a)^m$ से भाग का शेषफल है, $\deg R < m$ । $k \leq m - 1$ बार अवकलन करके $a$ पर मान लेने पर: पहला पद $0$ का योगदान करता है (हर अवकलज एक गुणनखंड $(X-a)$ बनाए रखता है), अतः $P^{(k)}(a) = R^{(k)}(a)$ ।

अब घात $< m$ का बहुपद $R$ $R(a), R'(a), \dots, R^{(m-1)}(a)$ से निर्धारित हो जाता है: $R = \sum_{k < m} c_k (X - a)^k$ लिखने पर (यह संभव है: $X = (X - a) + a$ की घातों का प्रसार कीजिए) $R^{(k)}(a) = k!\, c_k$ मिलता है। अतः: $k < m$ के लिए सभी $P^{(k)}(a) = 0$ $\iff$ सभी $c_k = 0$ $\iff$ $R = 0$ $\iff$ $(X-a)^m \mid P$ । ∎

उदाहरण 8.12 (बहुलता की संगणना)

$P = X^4 - 5X^3 + 6X^2 + 4X - 8$ में मूल $2$ की बहुलता क्या है? $2$ पर क्रमिक अवकलजों का मान लीजिए:

P(2) = 16 - 40 + 24 + 8 - 8 = 0, \qquad P'(2) = 32 - 60 + 24 + 4 = 0,

P''(2) = 48 - 60 + 12 = 0, \qquad P'''(2) = 48 - 30 = 18 \neq 0

(जहाँ $P' = 4X^3 - 15X^2 + 12X + 4$ , $P'' = 12X^2 - 30X + 12$ , $P''' = 24X - 30$ )। तीन लुप्त मान और फिर एक अशून्य: अतः बहुलता ठीक $3$ । भाग देने पर $P = (X - 2)^3(X + 1)$ — जिसकी जाँच $(X-2)^3 = X^3 - 6X^2 + 12X - 8$ का प्रसार करके और $X + 1$ से गुणा करके की जा सकती है। सार: बहुलताएँ मानों से पढ़ी जाती हैं, किसी गुणनखंडन की आवश्यकता नहीं — और ठीक इसी तरह उन्हें तब पकड़ा जाता है जब गुणनखंडन पहुँच से बाहर हो।

उदाहरण 8.13 (महत्तम समापवर्तक से बहु मूल पकड़ना)

जब कोई मूल ज्ञात न हो, तब भी प्रतिज्ञप्ति 8.11 एक समग्र बहु-मूल संसूचक देता है: $a$ $P$ का बहु मूल है तभी जब वह $P$ और $P'$ का उभयनिष्ठ मूल हो, अतः $P$ का (किसी $\C$ में) बहु मूल है तभी जब $\gcd(P, P') \neq 1$ — और यह यूक्लिडीय कलनविधि से, बिना कुछ हल किए, संगणनीय है। नमूना: $P = X^3 - 3X + 2$ , $P' = 3X^2 - 3 = 3(X - 1)(X + 1)$ । $P$ के भीतर $P'$ के मूल $\pm1$ जाँचिए: $P(1) = 0$ , पर $P(-1) = 4$ , अतः

\gcd(P, P') = X - 1 :

मूल $1$ बहु है; दो बार भाग देने पर $P = (X - 1)^2(X + 2)$ । महत्तम समापवर्तक तो बहु मूलों का पूरा समुच्चय बता देता है, प्रत्येक की बहुलता एक कम करके — यही तथ्य हर संगणक-बीजगणित प्रणाली किसी भी मूल-खोज से पहले “वर्ग-मुक्त गुणनखंडन” के लिए प्रयोग करती है, और यह अभ्यास 8.9 के बहु-मूल-रहित तर्कों का बहुपदीय जुड़वाँ है।

प्रमेय 8.14 (बीजगणित की मूल प्रमेय)

$\C[X]$ के प्रत्येक अनचर बहुपद का $\C$ में कोई मूल है।

उपपत्ति. इस स्तर पर स्वीकृत। ∎

टिप्पणी 8.15

नाम के बावजूद यह प्रमेय विश्लेषण का कथन है: उसकी हर ज्ञात उपपत्ति $\R$ की पूर्णता को किसी न किसी रूप में प्रयोग करती है, और कोई भी विशुद्ध रूप से बीजीय नहीं है — ईमानदार उपपत्ति स्नातक वर्ष 3 के खंड में दी गई है, जब सम्मिश्र समाकलन या संहतता के तर्क उपलब्ध हो जाते हैं। यह अध्याय जो सचमुच सिद्ध करता है वह न्यूनीकरण है: प्रत्येक अनचर बहुपद के लिए एक मूल मान लेने पर नीचे $\C$ तथा $\R$ पर के पूरे गुणनखंडन शुद्ध बीजगणित से निकल आते हैं।

उपप्रमेय 8.16 ( $\C$ पर और $\R$ पर गुणनखंडन)

प्रत्येक अशून्य $P \in \C[X]$ इस प्रकार गुणनखंडित होता है

$P = c\, (X - a_1)^{m_1} \cdots (X - a_r)^{m_r},$

जहाँ $c$ अग्र गुणांक है, $a_i$ भिन्न सम्मिश्र मूल हैं, $\sum m_i = \deg P$ : बहुलता सहित गिनने पर घात $n$ के बहुपद के ठीक $n$ सम्मिश्र मूल होते हैं।
प्रत्येक अशून्य $P \in \R[X]$ $\R$ पर इस प्रकार गुणनखंडित होता है

$P = c \prod_i (X - a_i)^{m_i} \prod_j (X^2 + p_j X + q_j)^{n_j},$

जहाँ द्विघात गुणनखंड भिन्न हैं और $p_j^2 - 4q_j < 0$ (कोई वास्तविक मूल नहीं)।

उपपत्ति. (1) घात पर आगमन, प्रमेय 8.7 से एक-एक करके मूल अलग करते हुए; हर पद पर घातों की गणना मेल खाती है।

(2) मान लीजिए $P$ के गुणांक वास्तविक हैं। यदि $z$ बहुलता $m$ वाला सम्मिश्र मूल है, तो $\conj z$ भी है: $P(z) = 0$ का संयुग्मी लेने पर $P(\conj z) = \conj{P(z)} = 0$ मिलता है (गुणांक अपने ही संयुग्मी हैं), और यही अवकलजों पर भी लागू होता है (प्रतिज्ञप्ति 8.11)। अवास्तविक मूलों को संयुग्मी जोड़ों में समूहबद्ध कीजिए: प्रत्येक जोड़ा योगदान करता है

(X - z)(X - \conj z) = X^2 - 2\Re(z)\, X + \abs z^2 ,

जो ऋणात्मक विविक्तकर वाला वास्तविक द्विघात है। वास्तविक मूल रैखिक गुणनखंड देते हैं। ∎

उदाहरण 8.17

अभ्यास 3.5 में $X^4 + 4$ का $\R$ पर गुणनखंडन चारों सम्मिश्र मूलों $\pm 1 \pm \iu$ को युग्मित करके किया गया था: $X^4 + 4 = (X^2 - 2X + 2)(X^2 + 2X + 2)$ । कोई भी द्विघात $\R$ पर नहीं टूटता (विविक्तकर $-4$ )। ध्यान दीजिए: अखंडनीय वास्तविक बहुपद की घात $1$ या $2$ होती है — गुणनखंडन प्रमेय ठीक यही कहती है। वही संयुग्मी-युग्मन $X^4 + 1$ पर चलाइए, जिसके मूल $\eu^{\pm\iu\pi/4}$ और $\eu^{\pm3\iu\pi/4}$ हैं: प्रत्येक जोड़ा $X^2 - 2\cos\theta\,X + 1$ का योगदान करता है, अतः

X^4 + 1 = \bigl(X^2 - \sqrt2\,X + 1\bigr) \bigl(X^2 + \sqrt2\,X + 1\bigr) ,

यह ऐसी सर्वसमिका है जो $\Q$ पर भोले गुणनखंडन-प्रयासों को दिखाई नहीं देती — यही वास्तविक (यहाँ तो अपरिमेय) गुणांकों पर अड़े रहने की कीमत है, और अध्याय 15 में $\frac1{x^4 + 1}$ के समाकलन के लिए एक मानक निवेश।

∈tcc-11 पर चेबिशेव बहुपद T_5 = 16X5 - 20X3 + 5X: वह ठीक -1 और 1 के बीच दोलन करता है और छह बिंदुओं (चिह्नित) पर परिबंधों को छूता है। यही समदोलन 2-4T_5 को उस अंतराल पर लघुतम उच्चतम-मानक वाला इकाई-अग्र पंचघात बनाता है ( और सप्ताहांत समस्या)। — $\intcc{-1}1$ पर चेबिशेव बहुपद $T_5 = 16X^5 - 20X^3 + 5X$ : वह ठीक $-1$ और $1$ के बीच दोलन करता है और छह बिंदुओं (चिह्नित) पर परिबंधों को छूता है। यही *समदोलन* $2^{-4}T_5$ को उस अंतराल पर लघुतम उच्चतम-मानक वाला इकाई-अग्र पंचघात बनाता है (अभ्यास 8.10 और सप्ताहांत समस्या)।

टिप्पणी 8.18 (बहुपदों की सामान्य भूलें)

बहुपद बनाम फलन। $K = \Q, \R, \C$ पर दोनों धारणाएँ मेल खाती हैं (बराबर फलनों के गुणांक बराबर होते हैं, उपप्रमेय 8.8 और $K$ के अनंत होने से), पर वैचारिक रूप से बहुपद अपनी गुणांक-सूची ही है: अध्याय 7 के दो-अवयवी क्षेत्र $\Z/2\Z$ पर $X^2 + X$ दोनों बिंदुओं पर लुप्त होता है, फिर भी वह शून्य बहुपद नहीं है।
योग में घात। अग्र पदों के कट जाने पर $\deg(P + Q)$ $\max(\deg P, \deg Q)$ से नीचे गिर सकती है; “ $\deg(P + Q) = \max(\dots)$ ” लिखना केवल भिन्न घातों के लिए सुरक्षित है।
मूलों की सही गणना। उपप्रमेय 8.16 में “ $n$ मूल” का अर्थ है $\C$ में, बहुलता सहित: $X^2 + 1$ का कोई वास्तविक मूल नहीं है, और $(X-1)^2$ का एक भिन्न मूल है पर बहुलता सहित दो। तीनों गणनाओं को मिला देना मिथ्या उपपत्तियों का सबसे आम स्रोत है।
अखंडनीयता क्षेत्र पर निर्भर करती है। $X^2 - 2$ $\Q$ पर अखंडनीय है और $\R$ पर टूट जाता है; $X^2 + 1$ $\R$ पर अखंडनीय है और $\C$ पर टूट जाता है। जब तक गुणांक-क्षेत्र का नाम न लिया जाए, केवल “अखंडनीय” शब्द का कोई अर्थ नहीं है।

8.3 गुणांक और मूल

प्रमेय 8.19 (व्येता के सूत्र)

मान लीजिए $P = X^n + c_{n-1} X^{n-1} + \dots + c_0$ इकाई-अग्र है और उसके मूल $a_1, \dots, a_n \in \C$ हैं (बहुलता सहित)। तब

\sum_i a_i = -c_{n-1}, \qquad \sum_{i < j} a_i a_j = c_{n-2}, \qquad \dots, \qquad a_1 a_2 \cdots a_n = (-1)^n c_0 ,

जहाँ मूलों का $k$ -वाँ सममित फलन $(-1)^k c_{n-k}$ है।

उपपत्ति. उपप्रमेय 8.16 से $P = (X - a_1)\cdots(X - a_n)$ (इकाई-अग्र, सभी मूल सूचीबद्ध)। गुणनफल का वितरण नियम से प्रसार करने पर प्रत्येक गुणनखंड में $X$ या मूल-पद $-a_i$ चुनने के हर तरीके के लिए एक पद मिलता है: $i_1 < \dots < i_k$ से सूचीबद्ध गुणनखंडों में मूल और शेष $n - k$ में $X$ चुनने पर योगदान $(-a_{i_1})\cdots(-a_{i_k})\,X^{n-k}$ होता है। $X$ की घात के अनुसार समूहबद्ध करने पर:

P = \sum_{k=0}^{n} (-1)^k \Bigl(\sum_{i_1 < \dots < i_k} a_{i_1}\cdots a_{i_k}\Bigr) X^{n-k} ,

और $P = \sum_k c_{n-k}X^{n-k}$ से पहचान करने पर (गुणांक अद्वितीय हैं, परिभाषा 8.1) $c_{n-k} = (-1)^k \sigma_k$ मिलता है, अर्थात् $\sigma_k = (-1)^kc_{n-k}$ , जहाँ $\sigma_k$ ऊपर दिखाया गया $k$ -वाँ सममित फलन है। तीनों दिखाई गई स्थितियाँ $k = 1$ , $k = 2$ और $k = n$ हैं। ∎

उदाहरण 8.20

द्विघात $X^2 - sX + p$ के लिए: मूलों का योग $s$ , गुणनफल $p$ — जो पहले ही बार-बार प्रयुक्त हो चुका है (अभ्यास 3.8)। मूलों $\alpha, \beta, \gamma$ वाले इकाई-अग्र त्रिघात $X^3 + aX^2 + bX + c$ के लिए:

\alpha + \beta + \gamma = -a, \quad \alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = b, \quad \alpha\beta\gamma = -c ,

जिससे $\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = a^2 - 2b$ जैसी सममित राशियाँ बिना हल किए संगणित की जा सकती हैं।

उदाहरण 8.21 (मूलों को खोजे बिना उनका रूपांतरण)

मान लीजिए $\alpha, \beta$ $X^2 - 3X + 1$ के मूल हैं। किस इकाई-अग्र द्विघात के मूल $\alpha^2, \beta^2$ हैं? व्येता से $\alpha + \beta = 3$ और $\alpha\beta = 1$ , अतः

\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha+\beta)^2 - 2\alpha\beta = 7, \qquad \alpha^2\beta^2 = (\alpha\beta)^2 = 1 :

उत्तर है $X^2 - 7X + 1$ — और वह भी $\alpha = \frac{3 + \sqrt5}2$ संगणित किए बिना। (जाँच: $\alpha^2 = \frac{7 + 3\sqrt5}2$ , और सचमुच $\alpha^2 + \beta^2 = 7$ ।) यही रणनीति व्युत्क्रमों ( $X^2 - \frac ba X + \frac ca$ प्रकार के रूपांतरण), स्थानांतरण और किसी भी सममित आँकड़े को सँभाल लेती है: व्येता अज्ञात मूलों के प्रश्नों को ज्ञात गुणांकों पर बीजगणित में बदल देता है। जब मूल अभिलक्षणिक मान होंगे (अध्याय 22), तब यह लगातार काम आएगा।

उदाहरण 8.22 (पूर्वापर-सम समीकरण)

$X^4 + X^3 - 4X^2 + X + 1 = 0$ हल कीजिए। गुणांक दोनों दिशाओं में एक जैसे पढ़े जाते हैं, अतः $0$ मूल नहीं है और $X^2$ से भाग देने पर कोई हल नहीं खोता:

X^2 + X - 4 + \frac1X + \frac1{X^2} = 0 .

$y = X + \frac1X$ रखिए: तब $X^2 + \frac1{X^2} = y^2 - 2$ , और समीकरण सिमटकर बन जाता है

y^2 + y - 6 = 0 \iff (y + 3)(y - 2) = 0 .

प्रत्येक मान को $X^2 - yX + 1 = 0$ से खोलिए: $y = 2$ के लिए $X^2 - 2X + 1 = (X - 1)^2$ द्विक मूल $1$ देता है; $y = -3$ के लिए $X^2 + 3X + 1 = 0$ $X = \frac{-3 \pm \sqrt5}2$ देता है। चतुर्घात के लिए बहुलता सहित चार मूल, जैसा उपप्रमेय 8.16 माँगता है — और वह भी दो द्विघात हल करके। यह युक्ति हर पूर्वापर-सम बहुपद पर लागू होती है: उनके मूल व्युत्क्रम जोड़ों $\{x, 1/x\}$ में आते हैं ( $X$ के स्थान पर $1/X$ रखिए और हर हटाइए), और $y = X + \frac1X$ ठीक वही राशि है जो ऐसे जोड़ों पर अचर रहती है, जिससे घात आधी हो जाती है।

प्रमेय 8.23 (लाग्रांज अंतर्वेशन)

मान लीजिए $x_0, \dots, x_n$ $K$ के भिन्न बिंदु हैं और $y_0, \dots, y_n \in K$ । घात $\leq n$ का ठीक एक $P \in K[X]$ ऐसा है कि सभी $i$ के लिए $P(x_i) = y_i$ , अर्थात्

P = \sum_{i=0}^{n} y_i\, L_i, \qquad L_i = \prod_{j \neq i} \frac{X - x_j}{x_i - x_j} .

उपपत्ति. प्रत्येक $L_i$ की घात $n$ है और वह $L_i(x_i) = 1$ संतुष्ट करता है, तथा $j \neq i$ के लिए $L_i(x_j) = 0$ (हर गुणनखंड तदनुरूप $x_j$ पर लुप्त हो जाता है)। अतः दिखाए गए $P$ की घात $\leq n$ है और वह अंतर्वेशन करता है। अद्वितीयता: घात $\leq n$ के दो अंतर्वेशी बहुपद $n+1$ बिंदुओं $x_i$ पर मेल खाते हैं, अतः बराबर हैं (उपप्रमेय 8.8)। ∎

टिप्पणी 8.24 (मध्यांतर: बहुपद सदिश भी हैं)

दृष्टिकोण का एक ऐसा परिवर्तन जिसे अध्याय 18 औपचारिक बना देगा: घात $\leq n$ के बहुपद ऐसी समष्टि बनाते हैं जिसमें योग और अदिश गुणन ठीक निर्देशांकों की भाँति व्यवहार करते हैं — अर्थात् बहुपद अपने $n + 1$ गुणांकों की सूची ही है। इस अध्याय के तीन कथन गुप्त रूप से रैखिक बीजगणित हैं। लाग्रांज अंतर्वेशन (प्रमेय 8.23) कहता है कि मान-आँकड़े $(P(x_0), \dots, P(x_n))$ $P$ को अद्वितीय रूप से निर्धारित कर देते हैं: $n + 1$ बिंदुओं पर मान लेना एक रैखिक एकैकी आच्छादन है, और $L_i$ उसके अनुकूल आधार हैं। प्रतिज्ञप्ति 8.11 की उपपत्ति में आया प्रसार $R = \sum c_k(X - a)^k$ कहता है कि $(X - a)$ की घातें एक और निर्देशांक-निकाय बनाती हैं, जिनमें निर्देशांक $c_k = R^{(k)}(a)/k!$ हैं। और उपप्रमेय 8.8 — घात से अधिक मूल होने पर बहुपद शून्य हो जाता है — हर अद्वितीयता का इंजन है: वह अध्याय 19 में “विमा $n + 1$ की समष्टि पर एकैकी रैखिक प्रतिचित्रण” बन जाएगा। जब वे अध्याय आएँगे, तब समष्टि $K_n[X]$ उनका प्रिय उदाहरण होगी; वहाँ पहले से ही उसमें प्रवीण होकर पहुँचना लाभदायक है।

टिप्पणी 8.25 (यह अध्याय कहाँ काम आता है)

$\R$ और $\C$ पर गुणनखंडन (उपप्रमेय 8.16) अध्याय 9 में आंशिक भिन्नों का इंजन है, और इसीलिए अध्याय 15 में समाकलों के एक बड़े वर्ग का भी। बहुपद का $(X - a)$ की घातों में प्रसार, जो प्रतिज्ञप्ति 8.11 की उपपत्ति में मिला, अध्याय 16 के टेलर सूत्रों की बीजीय छाया है। अभिलक्षणिक बहुपद अवकल समीकरणों के लिए पहले ही आ चुके हैं (अध्याय 5) और अध्याय 22 में आव्यूहों के लिए लौटते हैं; लाग्रांज अंतर्वेशन संख्यात्मक विश्लेषण की पहली अस्तित्व-और-अद्वितीयता प्रमेय है, और अभ्यास 8.10 के चेबिशेव बहुपद — जिनकी इष्टतमता नीचे दी गई सप्ताहांत समस्या स्थापित करती है — उस विषय को बताते हैं कि अंतर्वेशन कहाँ करना चाहिए। अंत में, अध्याय 6 से नकल किया हुआ $K[X]$ का पूरा अंकगणित स्नातक वर्ष 2 के खंड में $K[X]$ -गुणजावली और भागफल वलयों के अध्ययन को पोषित करता है।

8.4 अभ्यास

अभ्यास 8.1 ★

यूक्लिडीय भाग कीजिए: $X^5 - 1$ को $X^2 + X + 1$ से; फिर $2X^4 + X^3 - X + 3$ को $X^2 - 2$ से।

हल

हल — अभ्यास 8.1.

$X^5 - 1 = (X^2 + X + 1)(X^3 - X^2 + 1) + (-X - 2)$ । पद: पहले $X^3 B$ घटाइए, फिर $-X^2 B$ , फिर $B$ ; शेषफल $-X - 2$ की घात $1 < 2$ है। $X = 1$ पर जाँच: $\;0 = 3 \times 1 + (-3)$ ।

$2X^4 + X^3 - X + 3 = (X^2 - 2)(2X^2 + X + 4) + (X + 11)$ । $X = 0$ पर जाँच: $\;3 = (-2)(4) + 11$ ।

अभ्यास 8.2 ★

किन $n \in \N$ के लिए $X^2 + X + 1$ $X^{2n} + X^n + 1$ को विभाजित करता है? संकेत: $X^2 + X + 1$ के मूल $j = \eu^{2\iu\pi/3}$ के साथ $j$ और $j^2$ हैं; $3$ के सापेक्ष $n$ पर विचार कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 8.2.

$j = \eu^{2\iu\pi/3}$ , $j^3 = 1$ के साथ $X^2 + X + 1 = (X - j)(X - j^2)$ । वह $Q_n = X^{2n} + X^n + 1$ को तभी विभाजित करता है जब $j$ और $j^2$ $Q_n$ के मूल हों; और चूँकि $Q_n$ के गुणांक वास्तविक हैं, $Q_n(j^2) = \conj{Q_n(j)}$ , अतः शर्त केवल $Q_n(j) = 0$ है। अब $Q_n(j) = j^{2n} + j^n + 1$ $3$ के सापेक्ष $n$ पर निर्भर करता है:

$n \equiv 0$ : $Q_n(j) = 1 + 1 + 1 = 3 \neq 0$ ;
$n \equiv 1$ : $Q_n(j) = j^2 + j + 1 = 0$ ;
$n \equiv 2$ : $Q_n(j) = j^4 + j^2 + 1 = j + j^2 + 1 = 0$ .

अतः $X^2 + X + 1 \mid X^{2n} + X^n + 1$ ठीक तब जब $3 \nmid n$ ।

अभ्यास 8.3 ★

वे वास्तविक $a, b$ निर्धारित कीजिए जिनके लिए $(X-1)^2$ $P = X^4 + aX^3 + bX^2 + 1$ को विभाजित करता है, फिर इन मानों के लिए $\R$ पर $P$ का गुणनखंडन कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 8.3.

प्रतिज्ञप्ति 8.11 से $(X-1)^2 \mid P$ तभी जब $P(1) = P'(1) = 0$ :

P(1) = 2 + a + b = 0, \qquad P'(1) = 4 + 3a + 2b = 0 .

हल करने पर: $b = -a - 2$ और $4 + 3a - 2a - 4 = a = 0$ , अतः $a = 0$ , $b = -2$ : $P = X^4 - 2X^2 + 1 = (X^2 - 1)^2 = (X-1)^2 (X+1)^2$ , जो वास्तविक गुणनखंडन है।

अभ्यास 8.4 ★

$\C$ पर और $\R$ पर गुणनखंडन कीजिए: $X^3 - 1$ ; $\;X^4 + X^2 + 1$ ; $\;X^6 - 1$ ।

हल

हल — अभ्यास 8.4.

$\C$ पर $X^3 - 1 = (X - 1)(X - j)(X - j^2)$ ( $j = \eu^{2\iu\pi/3}$ ), और $\R$ पर $(X - 1)(X^2 + X + 1)$ ।

$\R$ पर $X^4 + X^2 + 1 = (X^2 + X + 1)(X^2 - X + 1)$ (गुणा करके देखिए, अथवा $X^4 + X^2 + 1 = (X^2+1)^2 - X^2$ पर ध्यान दीजिए); $\C$ पर प्रत्येक द्विघात टूट जाता है: मूल $j, j^2$ और $-j, -j^2$ , अर्थात् $\eu^{\pm 2\iu\pi/3}, \eu^{\pm\iu\pi/3}$ ।

$\C$ पर $X^6 - 1 = \prod_{k=0}^{5} (X - \eu^{\iu k\pi/3})$ , और $\R$ पर:

X^6 - 1 = (X-1)(X+1)(X^2 + X + 1)(X^2 - X + 1),

जहाँ संयुग्मी जोड़े $\eu^{\pm 2\iu\pi/3}$ और $\eu^{\pm \iu\pi/3}$ समूहबद्ध किए गए हैं।

अभ्यास 8.5 ★★

मान लीजिए $P = X^3 - 6X^2 + 11X - 6$ ।

परिमेय मूल खोजिए (इकाई-अग्र पूर्णांक बहुपद का न्यूनतम पदों में परिमेय मूल $p/q$ ऐसा पूर्णांक होता है जो अचर पद को विभाजित करता है — इसे सिद्ध कीजिए), और $P$ का गुणनखंडन कीजिए।
बिना हल किए, व्येता के द्वारा मूलों के वर्गों का योग और उनके प्रतिलोमों का योग संगणित कीजिए, और गुणनखंडन पर जाँचिए।

हल

हल — अभ्यास 8.5.

मान लीजिए $p/q$ (न्यूनतम पदों में) इकाई-अग्र पूर्णांक बहुपद $X^3 + \dots + c_0$ का मूल है: $P(p/q) = 0$ में हर हटाने पर $p^3 = -q\,(\text{पूर्णांक})$ मिलता है, अतः $q \mid p^3$ ; सहअभाज्यता $q = \pm 1$ पर बाध्य कर देती है: अर्थात् मूल पूर्णांक $p$ है, और $p \mid c_0$ ( $c_0$ अलग कीजिए)। यहाँ उम्मीदवार $6$ को विभाजित करते हैं: जाँचने पर $P(1) = 0$ , $P(2) = 0$ , $P(3) = 0$ । अतः $P = (X-1)(X-2)(X-3)$ ।
व्येता: $s_1 = 6$ , $s_2 = 11$ , $s_3 = 6$ । वर्गों का योग: $s_1^2 - 2s_2 = 36 - 22 = 14 = 1 + 4 + 9$ , जैसा अपेक्षित था। प्रतिलोमों का योग: $\frac{s_2}{s_3} = \frac{11}{6} = 1 + \frac12 + \frac13$ , जैसा अपेक्षित था।

अभ्यास 8.6 ★★

यूक्लिडीय कलनविधि से $\gcd(X^4 - 1,\; X^3 - X^2 + X - 1)$ संगणित कीजिए, और उसे दोनों बहुपदों के संयोजन $AU + BV$ के रूप में लिखिए।

हल

हल — अभ्यास 8.6.

यूक्लिडीय कलनविधि का पहला भाग-पद:

(X + 1)(X^3 - X^2 + X - 1) = X^4 - X^3 + X^2 - X + X^3 - X^2 + X - 1 = X^4 - 1 ,

अतः $X^4 - 1$ का $X^3 - X^2 + X - 1$ से भाग यथार्थ है (भागफल $X + 1$ , शेषफल $0$ ), और कलनविधि तुरंत रुक जाती है:

\gcd(X^4 - 1,\; X^3 - X^2 + X - 1) = X^3 - X^2 + X - 1

(जो पहले से इकाई-अग्र है)। बेज़ू संबंध तुच्छ है: $\gcd = 0 \cdot (X^4 - 1) + 1 \cdot (X^3 - X^2 + X - 1)$ । गुणनखंडन से संगति की जाँच: $X^3 - X^2 + X - 1 = (X - 1)(X^2 + 1)$ , जो सचमुच $X^4 - 1 = (X-1)(X+1)(X^2+1)$ के उभयनिष्ठ अखंडनीय गुणनखंडों का गुणनफल है।

अभ्यास 8.7 ★★

मान लीजिए $P \in \R[X]$ ऐसा है कि सभी $x \in \R$ के लिए $P(x) \geq 0$ । सिद्ध कीजिए कि $P$ वास्तविक बहुपदों के दो वर्गों का योग है: $P = A^2 + B^2$ । संकेत: वास्तविक गुणनखंडन में वास्तविक मूलों की बहुलता सम होती है; द्विघात गुणनखंडों को $(X - z)(X - \conj z)$ के रूप में लिखिए और $(X - z)$ के गुणनफल पर $\abs{\,\cdot\,}^2 = (\Re)^2 + (\Im)^2$ का प्रयोग कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 8.7.

चूँकि $\R$ पर $P \geq 0$ , उसके वास्तविक मूलों की बहुलता सम है (विषम बहुलता वाले मूल पर $P$ चिह्न बदल देता)। उपप्रमेय 8.16 का प्रयोग करके और युग्मन करके लिखिए

P = c \prod_i (X - a_i)^{2k_i} \prod_j \bigl((X - z_j)(X - \conj z_j)\bigr)^{n_j},

जहाँ $c > 0$ ( $+\infty$ पर व्यवहार से)। मान लीजिए

S = \sqrt c\, \prod_i (X - a_i)^{k_i} \prod_j (X - z_j)^{n_j} \in \C[X],

जिससे $P = S\,\conj S$ , जहाँ $\conj S$ के गुणांक संयुग्मी हैं। $A, B \in \R[X]$ के साथ $S = A + \iu B$ तोड़िए: तब

P = (A + \iu B)(A - \iu B) = A^2 + B^2 .

अभ्यास 8.8 ★★

घात $\leq 2$ का वह बहुपद $P$ खोजिए जिसके लिए $P(0) = 1$ , $P(1) = 3$ , $P(2) = 2$ — पहले लाग्रांज के सूत्र से, फिर गुणांकों पर रैखिक निकाय हल करके। सत्यापित कीजिए कि दोनों उत्तर मेल खाते हैं।

हल

हल — अभ्यास 8.8.

बिंदुओं $0, 1, 2$ के साथ लाग्रांज (प्रमेय 8.23):

P = 1\cdot\frac{(X-1)(X-2)}{(0-1)(0-2)} + 3\cdot\frac{X(X-2)}{1\cdot(1-2)} + 2\cdot\frac{X(X-1)}{2\cdot 1} = \frac{(X-1)(X-2)}{2} - 3X(X-2) + X(X-1).

प्रसार करने पर: $\frac{X^2 - 3X + 2}{2} - 3X^2 + 6X + X^2 - X = -\frac{3}{2}X^2 + \frac{7}{2}X + 1$ ।

निकाय: $c = 1$ के साथ $P = aX^2 + bX + c$ ; $a + b + 1 = 3$ ; $4a + 2b + 1 = 2$ । तीसरे में से दूसरे का दुगुना घटाने पर $2a - 1 = -4$ , अतः $a = -\frac32$ , $b = \frac72$ । वही बहुपद: $P = -\frac32 X^2 + \frac72 X + 1$ । (जाँच $P(2) = -6 + 7 + 1 = 2$ ।)

अभ्यास 8.9 ★★

सिद्ध कीजिए कि $P = X^{2n+1} - 1$ का ठीक एक वास्तविक मूल है, और यह कि प्रत्येक $n \geq 1$ के लिए बहुपद $1 + X + \frac{X^2}{2!} + \dots + \frac{X^n}{n!}$ का कोई बहु मूल नहीं है ( $P$ और $P'$ की तुलना कीजिए)।

हल

हल — अभ्यास 8.9.

$P = X^{2n+1} - 1$ : $P' = (2n+1)X^{2n} \geq 0$ , अतः बहुपद फलन वर्धमान है ( $0$ को छोड़कर कठोरतः), जिसकी सीमाएँ $\mp\infty$ हैं: वह $\R$ पर ठीक एक बार लुप्त होता है ( $x = 1$ पर)।

मान लीजिए $E_n = \sum_{k=0}^{n} \frac{X^k}{k!}$ । तब $E_n' = E_{n-1} = E_n - \frac{X^n}{n!}$ । कोई बहु मूल $a$ $E_n(a) = E_n'(a) = 0$ (प्रतिज्ञप्ति 8.11) संतुष्ट करता, अतः $\frac{a^n}{n!} = E_n(a) - E_n'(a) = 0$ , इसलिए $a = 0$ ; पर $E_n(0) = 1 \neq 0$ । कोई बहु मूल नहीं।

अभ्यास 8.10 ★★★

(चेबिशेव बहुपद) $T_0 = 1$ , $T_1 = X$ और $T_{n+1} = 2X\,T_n - T_{n-1}$ परिभाषित कीजिए।

आगमन से सिद्ध कीजिए कि सभी $\theta$ के लिए $T_n(\cos\theta) = \cos n\theta$ ।
उससे $T_n$ के $n$ मूल और उसका अग्र गुणांक निकालिए।
सिद्ध कीजिए कि $\sup_{x \in \intcc{-1}{1}} \abs{T_n(x)} = 1$ , जो $\intcc{-1}{1}$ के $n + 1$ बिंदुओं पर प्राप्त होता है।

हल

हल — अभ्यास 8.10.

आगमन (दोनों आधार स्थितियाँ सत्य हैं)। $\cos(n+1)\theta + \cos(n-1)\theta = 2\cos\theta\cos n\theta$ का प्रयोग करते हुए:

$T_{n+1}(\cos\theta) = 2\cos\theta \cos n\theta - \cos(n-1)\theta = \cos(n+1)\theta .$
$T_n(\cos\theta) = 0$ तभी जब $n\theta \equiv \frac\pi2 \pmod \pi$ : संख्याएँ

$x_k = \cos\Bigl(\frac{(2k+1)\pi}{2n}\Bigr), \qquad k = 0, 1, \dots, n-1,$

$\intoo{-1}{1}$ के $n$ भिन्न बिंदु हैं (कोण $\intoo{0}{\pi}$ में हैं, जहाँ $\cos$ एकैकी है), और वे सब $T_n$ के मूल हैं; चूँकि $\deg T_n = n$ (पुनरावृत्ति से, जिसका अग्र गुणांक आगमन से $n \geq 1$ के लिए $2^{n-1}$ है), अतः ये सभी मूल हैं, और हर एक सरल है।
$x = \cos\theta \in \intcc{-1}{1}$ के लिए: $\abs{T_n(x)} = \abs{\cos n\theta} \leq 1$ , जहाँ समता तभी जब $n\theta \equiv 0 \pmod\pi$ , अर्थात् $n+1$ बिंदुओं $y_k = \cos\frac{k\pi}{n}$ , $k = 0, \dots, n$ पर, जहाँ $T_n(y_k) = (-1)^k$ । (यही समदोलन $2^{1-n}T_n$ को $\intcc{-1}{1}$ पर लघुतम उच्चतम-मानक वाला घात- $n$ का इकाई-अग्र बहुपद बनाता है — उपपत्ति इस अध्याय की सप्ताहांत समस्या में।)

अभ्यास 8.11 ★★★

मान लीजिए $P \in \C[X]$ अनचर है और उसके भिन्न मूल $a_1, \dots, a_r$ हैं (बहुलताएँ $m_1, \dots, m_r$ )। परिमेय फलनों की सर्वसमिका सिद्ध कीजिए

\frac{P'(X)}{P(X)} = \sum_{i=1}^{r} \frac{m_i}{X - a_i},

और उससे गाउस–लूका प्रमेय निकालिए: $P'$ का प्रत्येक मूल $P$ के मूलों के उत्तल आवरण में स्थित है (सर्वसमिका का मान $P'$ के ऐसे मूल $w$ पर लीजिए जो $P$ का मूल न हो, संयुग्मी लीजिए, और परिणाम को इस रूप में पढ़िए कि $w$ $a_i$ का भारित औसत है)।

हल

हल — अभ्यास 8.11.

$P = c\prod_i (X - a_i)^{m_i}$ लिखिए। गुणनफल नियम (कई गुणनखंडों तक विस्तारित) देता है

P' = c\sum_{i} m_i (X - a_i)^{m_i - 1} \prod_{k \neq i} (X - a_k)^{m_k},

और $P$ से भाग देने पर: $\frac{P'}{P} = \sum_i \frac{m_i}{X - a_i}$ (परिमेय फलनों के रूप में, अर्थात् मूलों से दूर)।

मान लीजिए $w$ $P'$ का मूल है। यदि $w$ $a_i$ में से एक है, तो वह तुच्छ रूप से उत्तल आवरण में है। अन्यथा $w$ पर मान लेने पर:

0 = \sum_i \frac{m_i}{w - a_i} = \sum_i m_i\, \frac{\conj w - \conj a_i}{\abs{w - a_i}^2} .

संयुग्मी लेने पर: $\sum_i \lambda_i (w - a_i) = 0$ , जहाँ $\lambda_i = \frac{m_i}{\abs{w - a_i}^2} > 0$ । अतः

w = \frac{\sum_i \lambda_i a_i}{\sum_i \lambda_i} :

जो मूलों $a_i$ का उत्तल संयोजन है (धनात्मक भार, जिनका योग मानकीकरण के बाद $1$ है)। अतः $P'$ का प्रत्येक मूल $P$ के मूलों के उत्तल आवरण में है।

अभ्यास 8.12 ★★

(इकाई-मूल छननी) मान लीजिए $n \in \N^*$ और $j = \eu^{2\iu\pi/3}$ । $1$ , $j$ तथा $j^2$ पर $(1 + X)^n$ का मान लेकर सिद्ध कीजिए कि

\sum_{k \geq 0} \binom{n}{3k} = \frac{2^n + 2\cos\frac{n\pi}{3}}{3} ,

और $n = 3$ तथा $n = 6$ के लिए सूत्र जाँचिए। संकेत: $1 + j^m + j^{2m}$ $3 \mid m$ होने पर $3$ के बराबर है और अन्यथा $0$ ; तथा $1 + j = \eu^{\iu\pi/3}$ ।

हल

हल — अभ्यास 8.12.

इकाई के तीनों घनमूलों पर $(1 + X)^n$ के मानों का योग कीजिए:

2^n + (1 + j)^n + (1 + j^2)^n = \sum_{k=0}^n \binom nk\,\bigl(1 + j^k + j^{2k}\bigr) = 3\sum_{k\,:\,3\mid k}\binom nk ,

क्योंकि $1 + j^k + j^{2k}$ ऐसा गुणोत्तर योग है जो $3 \mid k$ होने पर $3$ के बराबर है और अन्यथा $\frac{j^{3k} - 1}{j^k - 1} = 0$ के। अब $1 + j = \frac12 + \iu\frac{\sqrt3}2 = \eu^{\iu\pi/3}$ और $1 + j^2 = \conj{1 + j} = \eu^{-\iu\pi/3}$ , अतः $(1+j)^n + (1+j^2)^n = 2\cos\frac{n\pi}3$ और

\sum_{k\geq0}\binom n{3k} = \frac{2^n + 2\cos\frac{n\pi}3}{3} .

जाँच: $n = 3$ : $\frac{8 + 2\cos\pi}3 = 2 = \binom30 + \binom33$ ; $n = 6$ : $\frac{64 + 2}3 = 22 = 1 + 20 + 1$ ।

8.5 समस्या: चेबिशेव बहुपद और सबसे चपटा बहुपद

समस्या 8.1

घात $n$ के सभी इकाई-अग्र बहुपदों में कौन $\intcc{-1}1$ पर शून्य के सबसे निकट रहता है? उत्तर — चेबिशेव की प्रमेय, जो सन्निकटन सिद्धांत का जन्म-प्रमाणपत्र है — $2^{1-n}T_n$ है, जहाँ $T_n$ अभ्यास 8.10 का चेबिशेव बहुपद है, और कोई इकाई-अग्र प्रतिद्वंद्वी उसके विचलन $2^{1-n}$ को नहीं हरा सकता। यह समस्या कुल $(T_n)$ का बीजगणित (संयोजन नियम, स्पष्ट गुणांक, द्वितीय प्रकार का कुल $U_n$ , एक अवकल समीकरण) विकसित करती है, चरम प्रमेय को उसकी समता-स्थिति सहित सिद्ध करती है, और अनुप्रयोग बटोरती है: इष्टतम अंतर्वेशन बिंदु, $\cos 36^\circ$ का यथार्थ मान, और सर्वांगसमता $T_p \equiv X^p \pmod p$ । आगे सर्वत्र $T_0 = 1$ , $T_1 = X$ , $T_{n+1} = 2X\,T_n - T_{n-1}$ , और हम अभ्यास 8.10 के $T_n(\cos\theta) = \cos n\theta$ का स्वतंत्र रूप से प्रयोग करते हैं।

भाग I — कुल $(T_n)$ ।

पुनरावृत्ति से $T_2, T_3, T_4, T_5$ संगणित कीजिए। ( $T_3$ की तुलना उदाहरण 3.9 की सर्वसमिका $\cos3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta$ से कीजिए।)
आगमन से सिद्ध कीजिए: $\deg T_n = n$ , जिसका अग्र गुणांक $n \geq 1$ के लिए $2^{n-1}$ है, और $T_n$ की सम-विषमता $n$ जैसी है (केवल सम या केवल विषम घातें आती हैं)।
अद्वितीयता का सिद्धांत सिद्ध कीजिए: $T_n$ एकमात्र ऐसा बहुपद है जो सभी $\theta$ के लिए $P(\cos\theta) = \cos n\theta$ संतुष्ट करता है। ( $\intcc{-1}1$ पर मेल खाने वाले दो बहुपद सर्वत्र मेल खाते हैं: उपप्रमेय 8.8।)
संयोजन और गुणनफल के नियम निकालिए:

$T_m \circ T_n = T_{mn}, \qquad 2\,T_m T_n = T_{m+n} + T_{\abs{m-n}} .$
अभ्यास 8.10 से मूल $x_k = \cos\frac{(2k+1)\pi}{2n}$ और $T_n(y_k) = (-1)^k$ वाले समदोलन बिंदु $y_k = \cos\frac{k\pi}n$ स्मरण कीजिए। $\R$ पर $T_n$ का पूरा गुणनखंडन लिखिए, और न्यायसंगत ठहराइए कि $y_k$ एक-दूसरे के बीच आते हैं: $y_n < x_{n-1} < y_{n-1} < \dots < x_0 < y_0$ ।
सिद्ध कीजिए कि सभी $t \in \R$ के लिए $T_n(\cosh t) = \cosh(nt)$ (वही आगमन, प्रतिज्ञप्ति 4.18 का प्रयोग करते हुए), और $x \geq 1$ के लिए संवृत रूप निकालिए

$T_n(x) = \frac{\bigl(x + \sqrt{x^2 - 1}\bigr)^n + \bigl(x - \sqrt{x^2 - 1}\bigr)^n}{2} ,$

अतः $x > 1$ के लिए $T_n(x) > 1$ : $\intcc{-1}1$ के बाहर बहुपद तुरंत भाग निकलता है।

भाग II — गुणांक, कुल $U_n$ , एक अवकल समीकरण।

दे मॉयवर के सूत्र (उपप्रमेय 3.8) से स्पष्ट व्यंजक सिद्ध कीजिए

$T_n(x) = \sum_{0 \leq 2j \leq n} \binom{n}{2j}\, x^{\,n-2j}\,(x^2 - 1)^j ,$

और उसे $n = 3$ के लिए सत्यापित कीजिए।
सभी $n$ के लिए $T_n(1)$ , $T_n(-1)$ और $T_n(0)$ संगणित कीजिए।
$U_0 = 1$ , $U_1 = 2X$ , $U_{n+1} = 2X\,U_n - U_{n-1}$ से $U_n$ (द्वितीय प्रकार) परिभाषित कीजिए। सिद्ध कीजिए कि $\theta \notin \pi\Z$ के लिए $U_n(\cos\theta) = \frac{\sin(n+1)\theta}{\sin\theta}$ , और $n \geq 1$ के लिए $T_n' = n\,U_{n-1}$ ।
सिद्ध कीजिए कि सभी $\theta$ के लिए $\abs{\sin n\theta} \leq n\,\abs{\sin\theta}$ (आगमन), और उससे मार्कोव प्रकार का परिबंध निकालिए

$\abs{T_n'(x)} \leq n^2 \quad\text{पर } \intcc{-1}1, \qquad\text{के साथ } T_n'(\pm1) = (\pm1)^{n-1}\,n^2 .$
दिखाइए कि $y = T_n$ अवकल समीकरण

$(1 - x^2)\,y'' - x\,y' + n^2\,y = 0 ,$

संतुष्ट करता है — इसके लिए सर्वसमिका $\sin\theta\, T_n'(\cos\theta) = n\sin n\theta$ का $\theta$ के सापेक्ष अवकलन कीजिए; $T_2$ के लिए सीधे सत्यापित कीजिए।

भाग III — चेबिशेव की चरम प्रमेय। मान लीजिए $\widetilde T_n = 2^{1-n}\,T_n$ (प्रश्न 2 से इकाई-अग्र) और $\norm{P}_\infty = \sup_{x \in \intcc{-1}1}\abs{P(x)}$ लिखिए।

न्यायसंगत ठहराइए कि $\norm{\widetilde T_n}_\infty = 2^{1-n}$ , जो $n + 1$ बिंदुओं $y_n < \dots < y_0$ पर एकांतरित चिह्नों के साथ प्राप्त होता है।
मान लीजिए घात $n$ के किसी इकाई-अग्र $P$ के लिए $\norm P_\infty < 2^{1-n}$ होता, और $D = \widetilde T_n - P$ रखिए। दिखाइए कि $\deg D \leq n - 1$ , और यह कि प्रत्येक $k = 0, \dots, n$ के लिए $D(y_k)$ का चिह्न कठोरतः $(-1)^k$ वाला है।
उससे निकालिए कि $D$ के कम से कम $n$ भिन्न वास्तविक मूल हैं (हर अंतराल में एक, मध्यवर्ती मान गुणधर्म से, जो यहाँ उच्चतर माध्यमिक स्तर पर प्रयुक्त है और अध्याय 13 में सिद्ध), और चेबिशेव की प्रमेय पर पहुँचिए: घात $n$ का प्रत्येक इकाई-अग्र $P$ यह संतुष्ट करता है

$\norm{P}_\infty \geq 2^{1-n} .$
(समता-स्थिति, पहला पद) अब मान लीजिए ठीक $\norm P_\infty = 2^{1-n}$ , जहाँ $P$ घात $n$ का इकाई-अग्र है, और मान लीजिए $D = \widetilde T_n - P$ । दिखाइए कि सभी $k$ के लिए $(-1)^kD(y_k) \geq 0$ , और यह कि यदि किसी भीतरी बिंदु $y_k$ ( $0 < k < n$ ) पर $D(y_k) = 0$ हो, तो $D'(y_k) = 0$ भी। (भीतरी $y_k$ पर $\widetilde T_n$ और $P$ दोनों निरपेक्ष मान $\norm{\cdot} _\infty$ का चरम प्राप्त करते हैं; भीतरी चरम पर अवकलनीय फलन का अवकलज शून्य होता है — यह उच्चतर माध्यमिक स्तर पर प्रयुक्त है और अध्याय 14 में सिद्ध।)
(समता-स्थिति, निष्कर्ष) बहुलता सहित $D$ के मूल गिनकर दिखाइए कि $D = 0$ : अर्थात् न्यूनकारी अद्वितीय है, $P = \widetilde T_n$ ।
किसी स्वेच्छ खंड $\intcc ab$ पर ले जाइए: दिखाइए कि $\intcc ab$ पर घात- $n$ के इकाई-अग्र बहुपद का लघुतम उच्चतम-मानक $2\bigl(\frac{b-a}4\bigr)^n$ है, जो पुनर्मापित चेबिशेव बहुपद से प्राप्त होता है। ( $x = \frac{a+b}2 + \frac{b-a}2\,t$ प्रतिस्थापित कीजिए और अग्र गुणांक का हिसाब रखिए।)

भाग IV — अनुप्रयोग।

स्थिति $n = 3$ हाथ से कीजिए: $\intcc{-1}1$ पर $\widetilde T_3 = X^3 - \frac34X$ के चरम बिंदु ढूँढ़िए, मान $\frac14$ के साथ चार गुना समदोलन सत्यापित कीजिए, और निष्कर्ष निकालिए कि कोई इकाई-अग्र त्रिघात इससे बेहतर नहीं करता।
(इष्टतम अंतर्वेशन बिंदु) $n + 1$ बिंदुओं $x_0, \dots, x_n \in \intcc{-1}1$ के लिए अंतर्वेशन-त्रुटि $\omega(X) = \prod_i (X - x_i)$ से नियंत्रित होती है (जैसा अध्याय 16 परिमाणित करेगा)। सिद्ध कीजिए कि $\norm\omega_\infty$ को न्यूनतम करने वाला चयन $T_{n+1}$ के $n + 1$ मूलों का समुच्चय है, जहाँ $\norm\omega_\infty = 2^{-n}$ : चेबिशेव बिंदु ही अंतर्वेशन के सही स्थान हैं।
$T_5$ का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए कि $c = \cos 36^\circ$ $16c^5 - 20c^3 + 5c + 1 = 0$ संतुष्ट करता है, इस बहुपद का गुणनखंडन $(x + 1)(4x^2 - 2x - 1)^2$ के रूप में कीजिए, और निष्कर्ष निकालिए

$\cos 36^\circ = \frac{1 + \sqrt5}4 .$

अभ्यास 3.8 के $\cos 72^\circ = \frac{\sqrt5 - 1}4$ के साथ संगति जाँचिए।
प्रश्न 6 के संवृत रूप से $T_{10}(1.1)$ का आकलन कीजिए (दो सार्थक अंक पर्याप्त हैं), और व्याख्या कीजिए: जो बहुपद $\intcc{-1}1$ पर $1$ से परिबद्ध है, वह $x = 1.1$ पर ही $40$ पार कर सकता है। (ऐसे बहुपदों में $T_n$ सबसे तेज़ी से बढ़ता है — यह इस कुल का एक और चरम गुणधर्म है, जो इस समस्या से परे है।)
सर्वांगसमता सिद्ध कीजिए: प्रत्येक विषम अभाज्य $p$ के लिए $T_p - X^p$ के सभी गुणांक $p$ से विभाज्य हैं। (प्रश्न 7 और प्रमेय 6.23 की उपपत्ति से $0 < 2j < p$ के लिए $p \mid \binom p{2j}$ का प्रयोग कीजिए।) $T_3$ और $T_5$ पर सत्यापित कीजिए।

भाग V — संश्लेषण।

$\intcc01$ पर लघुतम उच्चतम-मानक वाला इकाई-अग्र द्विघात और उसका विचलन स्पष्ट रूप से संगणित कीजिए। ( $n = 2$ के साथ प्रश्न 17।)
इस समस्या में ठीक कहाँ प्रयोग हुआ: (क) बहुपदों की दृढ़ता (उपप्रमेय 8.8); (ख) अध्याय 3 और अध्याय 4 की त्रिकोणमिति; (ग) अध्याय 6 के द्विपद गुणांकों का अंकगणित? प्रत्येक के लिए एक वाक्य।
एक छोटे अनुच्छेद में संश्लेषण: प्रमेय कहती है कि सबसे चपटा इकाई-अग्र बहुपद वही है जो समदोलन करता है, और उपपत्ति इष्टतमता को मूल-गणना में बदल देती है। इस क्रियाविधि पर, बीजगणित और त्रिकोणमिति के बीच सेतु के रूप में प्रतिस्थापन $x = \cos\theta$ की भूमिका पर टिप्पणी कीजिए, और वे दो स्थान बताइए जहाँ समस्या को विश्लेषण के ऐसे तथ्य (मध्यवर्ती मान प्रमेय, भीतरी चरम) चाहिए थे जिन्हें आगे के अध्याय सिद्ध करते हैं।

हल

हल — समस्या 8.1.

1. $T_2 = 2X^2 - 1$ ; $T_3 = 2X(2X^2 - 1) - X = 4X^3 - 3X$ ; $T_4 = 2X\,T_3 - T_2 = 8X^4 - 8X^2 + 1$ ; $T_5 = 2X\,T_4 - T_3 = 16X^5 - 20X^3 + 5X$ । सर्वसमिका $T_3(\cos\theta) = \cos3\theta$ ठीक उदाहरण 3.9 का $\cos3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta$ ही है।

2. $n = 1, 2$ के लिए सत्य। यदि $T_{n-1}$ , $T_n$ की घातें $n-1$ , $n$ और अग्र गुणांक $2^{n-2}$ , $2^{n-1}$ हैं, तो $2X\,T_n$ की घात $n+1$ और अग्र गुणांक $2^n$ है, जबकि $T_{n-1}$ की घात कम है: अतः $T_{n+1}$ की घात $n + 1$ और अग्र गुणांक $2^n$ है। सम-विषमता: यदि $T_{n-1}$ की सम-विषमता $n - 1$ जैसी है और $T_n$ की $n$ जैसी, तो $2X\,T_n$ और $T_{n-1}$ दोनों की सम-विषमता $n + 1$ जैसी है, अतः $T_{n+1}$ की भी।

3. यदि सभी $\theta$ के लिए $P(\cos\theta) = \cos n\theta$ , तो $P$ और $T_n$ $\intcc{-1}1$ के प्रत्येक बिंदु पर मेल खाते हैं — और वह अनंत समुच्चय है — अतः $P - T_n$ के अनंत मूल हैं और वह शून्य बहुपद है (उपप्रमेय 8.8)।

4. $x = \cos\theta$ के लिए: $T_m(T_n(\cos\theta)) = T_m(\cos n\theta) = \cos(mn\theta) = T_{mn}(\cos\theta)$ , और $2T_mT_n(\cos\theta) = 2\cos m\theta\cos n\theta = \cos(m+n)\theta + \cos\abs{m - n}\theta$ । दोनों सर्वसमिकाएँ $\intcc{-1}1$ पर सत्य हैं, अतः प्रश्न 3 के तर्क से बहुपदीय सर्वसमिकाओं के रूप में भी।

5. $x_k$ $n$ भिन्न सरल मूल हैं और अग्र गुणांक $2^{n-1}$ है:

T_n = 2^{n-1}\prod_{k=0}^{n-1} \Bigl(X - \cos\frac{(2k+1)\pi}{2n}\Bigr) .

एक-दूसरे के बीच आना: कोण $0 < \frac{\pi}{2n} < \frac\pi n < \frac{3\pi}{2n} < \frac{2\pi}n < \dots < \pi$ $y$ -कोणों $\frac{k\pi}n$ और $x$ -कोणों $\frac{(2k+1)\pi}{2n}$ के बीच एकांतरित होते हैं; और चूँकि $\cos$ $\intcc0\pi$ पर कठोरतः ह्रासमान है, मान उलटे क्रम में एक-दूसरे के बीच आ जाते हैं: $y_n < x_{n-1} < y_{n-1} < \dots < x_0 < y_0$ । दो क्रमागत चरम बिंदुओं के बीच ठीक एक मूल बैठता है, जैसा $\cos n\theta$ का चित्र संकेत देता है।

6. $2\cosh a\cosh b = \cosh(a + b) + \cosh(a - b)$ (प्रतिज्ञप्ति 4.18) के साथ आगमन: $T_{n+1}(\cosh t) = 2\cosh t\cosh nt - \cosh(n-1)t = \cosh(n+1)t$ । $x \geq 1$ के लिए $t \geq 0$ के साथ $x = \cosh t$ लिखिए; तब $\eu^t = x + \sqrt{x^2 - 1}$ और $\eu^{-t} = x - \sqrt{x^2 - 1}$ , अतः

T_n(x) = \cosh(nt) = \frac{(x + \sqrt{x^2-1})^n + (x - \sqrt{x^2-1})^n}2 .

$x > 1$ के लिए पहला पद $\frac12(1)^n$ को कठोरतः पार कर जाता है और गुणोत्तर रूप से बढ़ता है: $T_n(x) > 1$ ।

7. दे मॉयवर: $\cos n\theta = \Re\bigl((\cos\theta + \iu\sin\theta)^n\bigr) = \sum_{2j \leq n}\binom n{2j} \cos^{n-2j}\theta\,(\iu\sin\theta)^{2j}$ , और $(\iu\sin\theta)^{2j} = (-\sin^2\theta)^j = (\cos^2\theta - 1)^j$ । $x = \cos\theta$ प्रतिस्थापित करके और प्रश्न 3 का आह्वान करके:

T_n(x) = \sum_{0\leq 2j\leq n}\binom n{2j}x^{n-2j}(x^2 - 1)^j .

$n = 3$ के लिए: $\binom30 x^3 + \binom32 x(x^2 - 1) = x^3 + 3x^3 - 3x = 4x^3 - 3x$ , जैसा प्रश्न 1 में है।

8. $T_n(1) = \cos(n\cdot0) = 1$ ; $T_n(-1) = \cos(n\pi) = (-1)^n$ ; $T_n(0) = \cos\frac{n\pi}2$ , जो विषम $n$ के लिए $0$ है और सम $n$ के लिए $(-1)^{n/2}$ ।

9. $U_n(\cos\theta) = \frac{\sin(n+1)\theta}{\sin\theta}$ के लिए आगमन: $U_0 = 1$ और $U_1 = 2X$ के लिए सत्य ( $\sin2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$ ); और पद योग-से-गुणनफल सर्वसमिका $\sin(n+2)\theta = 2\cos\theta\, \sin(n+1)\theta - \sin n\theta$ है। अब $\theta$ में $T_n(\cos\theta) = \cos n\theta$ का अवकलन कीजिए: $-\sin\theta\,T_n'(\cos\theta) = -n\sin n\theta$ , अतः $\theta \notin \pi\Z$ के लिए:

T_n'(\cos\theta) = n\,\frac{\sin n\theta}{\sin\theta} = n\,U_{n-1}(\cos\theta) ,

और बहुपद $T_n'$ तथा $nU_{n-1}$ , जो $\intoo{-1}1$ पर मेल खाते हैं, बराबर हैं।

10. $\abs{\sin(n+1)\theta} = \abs{\sin n\theta\cos\theta + \cos n\theta\sin\theta} \leq \abs{\sin n\theta} + \abs{\sin\theta}$ , और आगमन $\abs{\sin n\theta} \leq n\abs{\sin\theta}$ देता है। अतः $\intoo{-1}1$ पर $\abs{U_{n-1}} \leq n$ और वहीं $\abs{T_n'} = n\abs{U_{n-1}} \leq n^2$ ; $\pm1$ पर परिबंध सीमाएँ लेकर बढ़ जाता है (अथवा सीधे: पुनरावृत्ति से $U_{n-1}(1) = n$ , आगमन से $U_n(1) = n + 1$ , और सम-विषमता $U_{n-1}(-1) = (-1)^{n-1}n$ देती है)। इस प्रकार $T_n'(1) = n^2$ और $T_n'(-1) = (-1)^{n-1}n^2$ : परिबंध $n^2$ सिरों पर प्राप्त होता है।

11. $\theta$ के सापेक्ष $\sin\theta\,T_n'(\cos\theta) = n\sin n\theta$ (प्रश्न 9) का अवकलन कीजिए:

\cos\theta\,T_n'(\cos\theta) - \sin^2\theta\,T_n''(\cos\theta) = n^2\cos n\theta = n^2\,T_n(\cos\theta) .

$x = \cos\theta$ और $\sin^2\theta = 1 - x^2$ के साथ: $\intcc{-1}1$ पर $x\,T_n' - (1 - x^2)T_n'' = n^2T_n$ , अतः सर्वत्र: $y = T_n$ के लिए $(1 - x^2)y'' - xy' + n^2y = 0$ । $T_2 = 2x^2 - 1$ के लिए जाँच: $(1 - x^2)(4) - x(4x) + 4(2x^2 - 1) = 4 - 4x^2 - 4x^2 + 8x^2 - 4 = 0$ ।

12. $\widetilde T_n$ इकाई-अग्र है (प्रश्न 2) और $\intcc{-1}1$ पर $\abs{\widetilde T_n} = 2^{1-n}\abs{T_n} \leq 2^{1-n}$ , जहाँ $n + 1$ बिंदुओं $y_k$ (अभ्यास 8.10) पर $\widetilde T_n(y_k) = (-1)^k2^{1-n}$ : अतः मानक ठीक $2^{1-n}$ है, जो एकांतरित चिह्नों के साथ प्राप्त होता है।

13. $\widetilde T_n$ और $P$ दोनों घात $n$ के इकाई-अग्र हैं, अतः अग्र पद कट जाते हैं: $\deg D \leq n - 1$ । $y_k$ पर: $D(y_k) = (-1)^k2^{1-n} - P(y_k)$ , और $\abs{P(y_k)} \leq \norm P_\infty < 2^{1-n}$ $D(y_k)$ के चिह्न को कठोरतः $(-1)^k2^{1-n}$ वाला होने पर बाध्य कर देता है।

14. प्रत्येक $k = 0, \dots, n-1$ के लिए $D$ $y_{k+1}$ और $y_k$ के बीच चिह्न बदलता है: मध्यवर्ती मान गुणधर्म से $D$ का इन $n$ जोड़ों में असंयुक्त खुले अंतरालों में से प्रत्येक में एक मूल है — अर्थात् घात $\leq n - 1$ के अशून्य बहुपद के $n$ भिन्न मूल, जो असंभव है। और $D = 0$ भी असंभव है (मानक भिन्न हैं)। विरोधाभास: घात $n$ के किसी इकाई-अग्र $P$ के लिए $\norm P_\infty < 2^{1-n}$ नहीं हो सकता, और यही चेबिशेव की प्रमेय है।

15. अब केवल $\abs{P(y_k)} \leq 2^{1-n}$ , अतः $(-1)^k D(y_k) = 2^{1-n} - (-1)^kP(y_k) \geq 2^{1-n} - \abs{P(y_k)} \geq 0$ । मान लीजिए किसी भीतरी $y_k$ ( $0 < k < n$ ) पर $D(y_k) = 0$ : तब $P(y_k) = (-1)^k2^{1-n}$ , अतः $\abs P$ अपना उच्चतम $2^{1-n}$ भीतरी बिंदु $y_k$ पर प्राप्त करता है, जिससे $P'(y_k) = 0$ (भीतरी चरम); और $T_n'(y_k) = nU_{n-1}(y_k) = 0$ , क्योंकि $\sin(n\cdot\frac{k\pi}n) = 0$ — अतः $\widetilde T_n'(y_k) = 0$ भी, और $D'(y_k) = 0$ : अर्थात् $y_k$ $D$ का कम से कम बहुलता $2$ वाला मूल है।

16. बहुलता सहित $D$ के मूल गिनिए। मान लीजिए $z$ ऐसे भीतरी बिंदुओं $y_k$ की संख्या है जिनके लिए $D(y_k) = 0$ (प्रश्न 15 से हर एक द्विक मूल), और $e \in \{0, 1, 2\}$ ऐसे सिरों ( $y_0$ या $y_n$ ) की संख्या जिनके लिए $D = 0$ (हर एक कम से कम सरल मूल)। जिस अंतराल $(y_{k+1}, y_k)$ के दोनों सिरों पर $D \neq 0$ हो, वह कठोरतः एकांतरित चिह्न रखता है, अतः उसमें एक भीतरी मूल है। हर लुप्त होने वाला भीतरी बिंदु अधिक से अधिक अपने दो पड़ोसी अंतराल बिगाड़ता है और हर लुप्त होने वाला सिरा अधिक से अधिक एक: अतः कम से कम $n - 2z - e$ अंतराल फिर भी एक-एक मूल देते हैं, जो $y$ -मूलों से भिन्न हैं। कुल: घात $\leq n - 1$ के बहुपद के लिए बहुलता सहित कम से कम $(n - 2z - e) + 2z + e = n$ मूल: अतः $D = 0$ और $P = \widetilde T_n$ । न्यूनकारी अद्वितीय है।

17. ऐफ़ीन प्रतिचित्रण $t \mapsto x = \frac{a+b}2 + \frac{b-a}2\,t$ एक एकैकी आच्छादन $\intcc{-1}1 \to \intcc ab$ है। यदि $P$ घात $n$ का इकाई-अग्र है, तो $Q(t) = P(x(t))$ $t$ में ऐसा बहुपद है जिसका अग्र गुणांक $\bigl(\frac{b-a}2\bigr)^n$ है, और $\sup_{\intcc ab}\abs P = \sup_{\intcc{-1}1}\abs Q$ । इकाई-अग्र बहुपद $Q/\bigl(\frac{b-a}2\bigr)^n$ का उच्चतम-मानक $\geq 2^{1-n}$ है (प्रश्न 13–14), अतः

\sup_{\intcc ab}\abs P \geq \Bigl(\frac{b-a}2\Bigr)^n 2^{1-n} = 2\Bigl(\frac{b-a}4\Bigr)^n ,

जहाँ समता ठीक $P(x) = \bigl(\frac{b-a}2\bigr)^n \widetilde T_n\bigl(t(x)\bigr)$ के लिए है (प्रश्न 16)।

18. $\widetilde T_3 = \frac{T_3}4 = X^3 - \frac34X$ ; $\widetilde T_3{}' = 3X^2 - \frac34$ $\pm\frac12$ पर लुप्त होता है। मान: $\widetilde T_3(-1) = -\frac14$ , $\widetilde T_3(-\tfrac12) = \frac14$ , $\widetilde T_3(\tfrac12) = -\frac14$ , $\widetilde T_3(1) = \frac14$ : अर्थात् निरपेक्ष मान $\frac14$ वाले चार एकांतरित चरम — अतः $\norm{\widetilde T_3}_\infty = \frac14$ , और चेबिशेव की प्रमेय से $\intcc{-1}1$ पर किसी इकाई-अग्र त्रिघात का उच्चतम-मानक इससे छोटा नहीं है।

19. $\omega$ घात $n + 1$ का इकाई-अग्र है, अतः चेबिशेव की प्रमेय (घात $n+1$ ) से $\norm\omega_\infty \geq 2^{-n}$ , जहाँ समता यदि और केवल यदि $\omega = \widetilde T_{n+1} = 2^{-n}T_{n+1}$ (प्रश्न 16), अर्थात् यदि और केवल यदि बिंदु $T_{n+1}$ के $n + 1$ मूल हों। चेबिशेव बिंदुओं के साथ त्रुटि-गुणक $\norm\omega_\infty$ $2^{-n}$ होता है — अर्थात् न्यूनतम संभव।

20. $5 \times 36^\circ = 180^\circ$ , अतः $T_5(c) = \cos180^\circ = -1$ : $16c^5 - 20c^3 + 5c + 1 = 0$ । $x = -1$ जाँचने पर: $-16 + 20 - 5 + 1 = 0$ , और प्रसार करने पर पुष्टि होती है

16x^5 - 20x^3 + 5x + 1 = (x + 1)\bigl(4x^2 - 2x - 1\bigr)^2 .

चूँकि $c = \cos36^\circ \neq -1$ , $c$ $4x^2 - 2x - 1$ का मूल है, जिसके मूल $\frac{1 \pm \sqrt5}4$ हैं; और चूँकि $c > 0$ ,

\cos36^\circ = \frac{1 + \sqrt5}4 .

संगति: $\cos72^\circ = T_2(c) = 2c^2 - 1 = 2\cdot\frac{3 + \sqrt5}8 - 1 = \frac{\sqrt5 - 1}4$ , अर्थात् वही मान जो अभ्यास 3.8 में मिला था।

21. $\sqrt{1.1^2 - 1} = \sqrt{0.21} \approx 0.458$ , अतः $x + \sqrt{x^2-1} \approx 1.558$ और $(1.558)^{10} \approx 84.5$ , जबकि $(1.1 - 0.458)^{10} \approx 0.01$ : $T_{10}(1.1) \approx \frac{84.5 + 0.01}2 \approx 42$ । जो बहुपद उस अंतराल पर $\intcc{-1}1$ में बँधा है, वह किनारे से दसवाँ भाग बाहर जाते ही $40$ पार कर चुका होता है: किसी खंड पर परिबद्धता उससे एक इंच बाहर के विषय में कुछ नहीं कहती।

22. प्रश्न 7 के $T_p$ वाले सूत्र में पद $j = 0$ $X^p$ है; शेष हर पद $0 < 2j < p$ वाला $\binom p{2j}$ लिए हुए है (ध्यान दीजिए $2j \neq p$ , क्योंकि $p$ विषम है), और वह प्रमेय 6.23 की उपपत्ति के पहले पद से $p$ से विभाज्य है। अतः $T_p - X^p$ का प्रत्येक गुणांक $p$ का गुणज है। जाँच: $T_3 - X^3 = 3X^3 - 3X = 3(X^3 - X)$ ; $T_5 - X^5 = 15X^5 - 20X^3 + 5X = 5(3X^5 - 4X^3 + X)$ ।

23. $\intcc ab = \intcc01$ और $n = 2$ के साथ प्रश्न 17 से: लघुतम विचलन $2\bigl(\frac14\bigr)^2 = \frac18$ , जो $\bigl(\frac12\bigr)^2\widetilde T_2(2x - 1) = \frac14\bigl((2x-1)^2 - \frac12\bigr) = x^2 - x + \frac18$ से प्राप्त होता है। $\intcc01$ पर शून्य के सबसे निकट रहने वाला इकाई-अग्र द्विघात $x^2 - x + \frac18$ है, जिसका उच्चतम-मानक $\frac18$ है।

24. (क) दृढ़ता — जिस बहुपद के मूल उसकी घात से अधिक हों वह शून्य है — ने अद्वितीयता के सिद्धांत (प्रश्न 3), त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं के बहुपदीय सर्वसमिकाओं में स्थानांतरण (प्रश्न 4, 7, 9, 11), और चरम प्रमेय की उपपत्ति के दोनों मूल-गणना तर्कों (प्रश्न 14, 16) को शक्ति दी। (ख) अध्याय 3 की त्रिकोणमिति (दे मॉयवर, योग-से-गुणनफल) और अध्याय 4 के अतिपरवलयिक फलनों ने इस कुल के पीछे की हर सर्वसमिका दी; प्रतिस्थापन $x = \cos\theta$ ही सेतु है। (ग) अध्याय 6 से आई विभाज्यता $p \mid \binom p{2j}$ ने गुणांक-सूत्र को प्रश्न 22 की सर्वांगसमता में बदल दिया।

25. चेबिशेव की प्रमेय एक अनंतविमीय कुल (सभी इकाई-अग्र बहुपद) पर इष्टतमीकरण को परिमित संयोजनशास्त्र में बदल देती है: $\widetilde T_n$ से बेहतर कोई प्रतिद्वंद्वी उससे ऐसे न्यून-घात बहुपद से भिन्न होता जिसे $n$ बार चिह्न बदलना पड़ता — अर्थात् उसकी घात से एक मूल अधिक। अतः समदोलन का प्रतिरूप कोई कुतूहल नहीं, बल्कि इष्टतमता का प्रमाणपत्र ही है, और समता-स्थिति मूल-गणना को बहुलताओं के साथ और तीक्ष्ण कर देती है। अंतिम शब्द प्रतिस्थापन $x = \cos\theta$ का है: वह बहुपदों की दृढ़, विविक्त दुनिया को त्रिकोणमिति की आवर्ती दुनिया में ले जाता है, जहाँ $T_n$ के मूल और चरम बिंदु केवल $\cos n\theta$ की नियमित जाली हैं। विश्लेषण से उधार लिए दोनों तथ्य — मध्यवर्ती मान गुणधर्म (प्रश्न 14; अध्याय 13 में सिद्ध) और भीतरी चरम पर अवकलज का लुप्त होना (प्रश्न 15; अध्याय 14 में सिद्ध) — ठीक वही औज़ार हैं जो आगे के अध्याय लौटाकर देंगे, और इस प्रकार चक्र पूरा हो जाता है।