दूरिक समष्टि क्या है? — गणित

परिभाषा 4.1 विश्वविद्यालय गणित — स्नातक वर्ष 2 · अध्याय 4 — दूरिक समष्टियों की सांस्थिति

दूरिक समष्टि एक समुच्चय $X$ है जिस पर ऐसा प्रतिचित्रण $d \colon X \times X \to \R_+$ दिया हो कि सभी $x, y, z$ के लिए:

d(x,y) = 0 \iff x = y, \qquad d(x,y) = d(y,x), \qquad d(x,z) \leq d(x,y) + d(y,z).

गोले: $B(a, r) = \{x : d(a,x) < r\}$ (विवृत), $\overline B(a,r) = \{x : d(a,x) \leq r\}$ (संवृत)। कोई उपसमुच्चय $A \subseteq X$ प्रेरित दूरी के साथ स्वयं दूरिक समष्टि बन जाता है।

उदाहरण

उदाहरण 4.2

$\abs{x - y}$ सहित $\R$ ; $\R^n$ निम्नलिखित में से किसी भी दूरी के साथ

d_1(x,y) = \sum_i \abs{x_i - y_i}, \quad d_2(x,y) = \Bigl(\sum_i (x_i - y_i)^2\Bigr)^{1/2}, \quad d_\infty(x,y) = \max_i \abs{x_i - y_i};

संतत फलनों का समुच्चय $C(\intcc{a}{b})$ उच्चतम दूरी $d_\infty(f, g) = \sup_{\intcc{a}{b}} \abs{f - g}$ के साथ (जो परिमित है: $f - g$ परिबद्ध होता है); और कोई भी समुच्चय विविक्त दूरी के साथ ( $x \neq y$ के लिए $d(x,y) = 1$ )। मानदंडों से आने वाली दूरियाँ अध्याय 5 का विषय हैं।

उदाहरण 4.4 (एक ही समुच्चय पर अभ्यंतर, संवृतक और परिसीमा)

$\R$ में मान लीजिए $A = \intoc{0}{1} \cup \{2\}$ । अभ्यंतर: $\intoo{0}{1}$ — किसी भी $x \in \intoo01$ के चारों ओर छोटा गोला $A$ में रहता है; $1$ के चारों ओर हर गोला $\intoo{1-r}{1+r}$ दाईं ओर से $A$ के बाहर निकल जाता है, अतः $1$ अभ्यंतरीय नहीं है; और अलग-थलग पड़ा $2$ भी अभ्यंतरीय नहीं। संवृतक: $\intcc{0}{1} \cup \{2\}$ (बिंदु $0$ $A$ की सीमा है, और कुछ नहीं जुड़ता)। परिसीमा (संवृतक में से अभ्यंतर घटाकर): $\{0, 1, 2\}$ । स्मरण रखने योग्य असमरूपताएँ: कोई अंत्यबिंदु समुच्चय का सदस्य हो सकता है और फिर भी अभ्यंतरीय न हो ( $1$ ), संलग्न हो सकता है और सदस्य न हो ( $0$ ), और अलग-थलग बिंदु स्वयं अपनी परिसीमा होता है ( $2$ )। यही लेखा-जोखा किसी भी दूरिक समष्टि में अक्षरशः चलता है, अंतरालों के स्थान पर गोले लेकर।

उदाहरण 4.19 (समुच्चयों के बीच दूरी: संहतता अपनी रोटी कमाती है)

किसी दूरिक समष्टि में मान लीजिए $K$ संहत है, $F$ संवृत है और $K \cap F = \emptyset$ । तब

d(K, F) = \inf\,\{d(x, y) : x \in K,\ y \in F\} > 0 :

क्योंकि फलन $x \mapsto d(x, F)$ संतत है (अभ्यास 4.11) और $K$ पर धनात्मक ( $d(x, F) = 0$ से $x \in \overline F = F$ हो जाता), अतः वह संहत $K$ पर धनात्मक निम्नतम प्राप्त कर लेता है (प्रमेय 4.16 (3))। संहतता सजावट नहीं है: दो संवृत समुच्चयों के लिए निम्नतम बिना प्राप्त हुए लुप्त हो सकता है — $\R^2$ में अतिपरवलय $F_1 = \{xy = 1\}$ और अक्ष $F_2 = \{y = 0\}$ असंयुक्त संवृत समुच्चय हैं और $d(F_1, F_2) = 0$ (बिंदु $(n, \frac1n)$ अक्ष के पास पहुँचते जाते हैं)। अनंत की ओर भाग निकलना ठीक वही है जिसे संहतता रोकती है।

अध्याय में पढ़ें →

उदाहरण

संबंधित पद