Wat is metrische ruimte?

Voorbeeld 4.2

$\R$ met $\abs{x - y}$; $\R^n$ met elk van

de verzameling $C(\intcc{a}{b})$ van de continue functies met de supafstand $d_\infty(f, g) = \sup_{\intcc{a}{b}} \abs{f - g}$ (eindig, want $f - g$ is begrensd); en elke verzameling met de discrete afstand ($d(x,y) = 1$ voor $x \neq y$). Afstanden die uit normen voortkomen zijn het onderwerp van Hoofdstuk 5.

Voorbeeld 4.4 (Inwendige, afsluiting en rand op één verzameling)

Zij in $\R$ de verzameling $A = \intoc{0}{1} \cup \{2\}$. Inwendige: $\intoo{0}{1}$ — rond elke $x \in \intoo01$ blijft een kleine bol in $A$; rond $1$ lekt elke bol $\intoo{1-r}{1+r}$ aan de rechterkant uit $A$ weg, dus $1$ is geen inwendig punt; en het geïsoleerde punt $2$ evenmin. Afsluiting: $\intcc{0}{1} \cup \{2\}$ (het punt $0$ is een limiet van $A$, verder komt er niets bij). Rand (afsluiting min inwendige): $\{0, 1, 2\}$. Let op de asymmetrieën die het onthouden waard zijn: een randpunt kan tot een verzameling behoren zonder inwendig te zijn ($1$), het kan aanhechtingspunt zijn zonder erbij te horen ($0$), en een geïsoleerd punt is zijn eigen rand ($2$). Dezelfde boekhouding loopt woordelijk in elke metrische ruimte, met bollen in plaats van intervallen.

Voorbeeld 4.19 (Afstanden tussen verzamelingen: compactheid verdient haar loon)

Zij $K$ compact en $F$ gesloten met $K \cap F = \emptyset$ in een metrische ruimte. Dan is

de functie $x \mapsto d(x, F)$ is continu (Oefening 4.11) en positief op $K$ (uit $d(x, F) = 0$ zou $x \in \overline F = F$ volgen), dus neemt zij op de compacte $K$ een positief minimum aan (Stelling 4.16 (3)). De compactheid is geen versiering: voor twee gesloten verzamelingen kan het infimum nul zijn zonder te worden aangenomen — in $\R^2$ zijn de hyperbool $F_1 = \{xy = 1\}$ en de as $F_2 = \{y = 0\}$ disjuncte gesloten verzamelingen met $d(F_1, F_2) = 0$ (de punten $(n, \frac1n)$ naderen de as). Ontsnappen naar oneindig is precies wat compactheid verbiedt.