O que é espaço métrico?

Exemplo 4.2

$\R$ com $\abs{x - y}$; $\R^n$ com qualquer uma das distâncias

o conjunto $C(\intcc{a}{b})$ das funções contínuas com a distância do sup $d_\infty(f, g) = \sup_{\intcc{a}{b}} \abs{f - g}$ (finita: $f - g$ é limitada); qualquer conjunto com a distância discreta ($d(x,y) = 1$ para $x \neq y$). As distâncias provenientes de normas são o assunto do Capítulo 5.

Exemplo 4.4 (Interior, fecho e fronteira num só conjunto)

Em $\R$, seja $A = \intoc{0}{1} \cup \{2\}$. Interior: $\intoo{0}{1}$ — em torno de qualquer $x \in \intoo01$ uma bola pequena permanece em $A$; em torno de $1$, toda bola $\intoo{1-r}{1+r}$ vaza para fora de $A$ pela direita, logo $1$ não é interior; e o ponto isolado $2$ também não é interior. Fecho: $\intcc{0}{1} \cup \{2\}$ (o ponto $0$ é limite de $A$, e nada mais se acrescenta). Fronteira (fecho menos interior): $\{0, 1, 2\}$. Note as assimetrias que vale a pena guardar: uma extremidade pode pertencer a um conjunto sem ser interior ($1$), pode ser aderente sem pertencer ($0$), e um ponto isolado é sua própria fronteira ($2$). A mesma contabilidade roda palavra por palavra em qualquer espaço métrico, com bolas no lugar de intervalos.

Exemplo 4.19 (Distâncias entre conjuntos: a compacidade ganha o pão)

Sejam $K$ compacto, $F$ fechado, $K \cap F = \emptyset$ num espaço métrico. Então

a função $x \mapsto d(x, F)$ é contínua (Exercício 4.11) e positiva em $K$ ($d(x, F) = 0$ poria $x \in \overline F = F$), logo atinge um mínimo positivo no compacto $K$ (Teorema 4.16 (3)). A compacidade não é decorativa: para dois fechados o ínfimo pode se anular sem ser atingido — em $\R^2$, a hipérbole $F_1 = \{xy = 1\}$ e o eixo $F_2 = \{y = 0\}$ são fechados disjuntos com $d(F_1, F_2) = 0$ (os pontos $(n, \frac1n)$ se aproximam do eixo). A fuga para o infinito é exatamente o que a compacidade proíbe.