Apa itu ruang metrik?

Contoh 4.2

$\R$ dengan $\abs{x - y}$; $\R^n$ dengan salah satu dari

himpunan $C(\intcc{a}{b})$ berisi fungsi kontinu dengan jarak supremum $d_\infty(f, g) = \sup_{\intcc{a}{b}} \abs{f - g}$ (yang hingga, sebab $f - g$ terbatas); sembarang himpunan dengan jarak diskret ($d(x,y) = 1$ untuk $x \neq y$). Jarak yang berasal dari norma menjadi bahasan Bab 5.

Contoh 4.4 (Interior, penutup, batas pada satu himpunan)

Di $\R$, misalkan $A = \intoc{0}{1} \cup \{2\}$. Interiornya: $\intoo{0}{1}$ — di sekitar sembarang $x \in \intoo01$ ada bola kecil yang tetap di $A$; sedangkan di sekitar $1$, setiap bola $\intoo{1-r}{1+r}$ bocor keluar dari $A$ di sebelah kanan, jadi $1$ bukan titik interior; dan titik terpencil $2$ pun bukan titik interior. Penutupnya: $\intcc{0}{1} \cup \{2\}$ (titik $0$ adalah limit $A$, dan tak ada lagi yang bertambah). Batasnya (penutup dikurangi interior): $\{0, 1, 2\}$. Perhatikan ketidaksetangkupan yang patut diingat: sebuah ujung dapat menjadi anggota himpunan tanpa menjadi titik interior (yaitu $1$), dapat melekat tanpa menjadi anggota (yaitu $0$), dan titik terpencil menjadi batas bagi dirinya sendiri (yaitu $2$). Pembukuan yang sama berjalan kata demi kata pada sembarang ruang metrik, dengan bola menggantikan interval.

Contoh 4.19 (Jarak antara dua himpunan: kekompakan membayar sewanya)

Misalkan $K$ kompak, $F$ tertutup, dan $K \cap F = \emptyset$ di dalam sebuah ruang metrik. Maka

sebab fungsi $x \mapsto d(x, F)$ bersifat kontinu (Latihan 4.11) dan positif pada $K$ (sebab $d(x, F) = 0$ akan menaruh $x \in \overline F = F$), jadi ia mencapai minimum yang positif pada himpunan kompak $K$ (Teorema 4.16 (3)). Kekompakan bukan hiasan: untuk dua himpunan tertutup infimumnya bisa lenyap tanpa tercapai — di $\R^2$, hiperbola $F_1 = \{xy = 1\}$ dan sumbu $F_2 = \{y = 0\}$ merupakan dua himpunan tertutup yang saling lepas dengan $d(F_1, F_2) = 0$ (sebab titik $(n, \frac1n)$ mendekati sumbunya). Justru pelarian ke tak hingga itulah yang dilarang kekompakan.