¿Qué es espacio métrico? — Matemáticas

Definición 4.1 Matemáticas universitarias — Grado 2 · Capítulo 4 — Topología de los espacios métricos

Un espacio métrico es un conjunto $X$ dotado de una aplicación $d \colon X \times X \to \R_+$ tal que, para todos $x, y, z$ :

d(x,y) = 0 \iff x = y, \qquad d(x,y) = d(y,x), \qquad d(x,z) \leq d(x,y) + d(y,z).

Bolas: $B(a, r) = \{x : d(a,x) < r\}$ (abierta), $\overline B(a,r) = \{x : d(a,x) \leq r\}$ (cerrada). Un subconjunto $A \subseteq X$ pasa a ser un espacio métrico con la distancia inducida.

Ejemplos

Ejemplo 4.2

$\R$ con $\abs{x - y}$ ; $\R^n$ con cualquiera de las distancias

d_1(x,y) = \sum_i \abs{x_i - y_i}, \quad d_2(x,y) = \Bigl(\sum_i (x_i - y_i)^2\Bigr)^{1/2}, \quad d_\infty(x,y) = \max_i \abs{x_i - y_i};

el conjunto $C(\intcc{a}{b})$ de las funciones continuas con la distancia del supremo $d_\infty(f, g) = \sup_{\intcc{a}{b}} \abs{f - g}$ (finita, pues $f - g$ está acotada); cualquier conjunto con la distancia discreta ( $d(x,y) = 1$ para $x \neq y$ ). Las distancias procedentes de normas son el objeto del Capítulo 5.

Ejemplo 4.4 (Interior, clausura y frontera de un mismo conjunto)

En $\R$ , sea $A = \intoc{0}{1} \cup \{2\}$ . Interior: $\intoo{0}{1}$ —alrededor de cualquier $x \in \intoo01$ una bola pequeña se queda dentro de $A$ ; alrededor de $1$ , toda bola $\intoo{1-r}{1+r}$ se sale de $A$ por la derecha, luego $1$ no es interior; y el punto aislado $2$ tampoco lo es—. Clausura: $\intcc{0}{1} \cup \{2\}$ (el punto $0$ es límite de puntos de $A$ y no se añade nada más). Frontera (clausura menos interior): $\{0, 1, 2\}$ . Conviene recordar las asimetrías: un extremo puede pertenecer al conjunto sin ser interior ( $1$ ), puede ser adherente sin pertenecer ( $0$ ), y un punto aislado es su propia frontera ( $2$ ). La misma contabilidad funciona literalmente en cualquier espacio métrico, con bolas en lugar de intervalos.

Ejemplo 4.19 (Distancias entre conjuntos: la compacidad se gana el sueldo)

Sean $K$ compacto, $F$ cerrado y $K \cap F = \emptyset$ en un espacio métrico. Entonces

d(K, F) = \inf\,\{d(x, y) : x \in K,\ y \in F\} > 0 :

la función $x \mapsto d(x, F)$ es continua (Ejercicio 4.11) y positiva sobre $K$ (pues $d(x, F) = 0$ pondría $x \in \overline F = F$ ), luego alcanza un mínimo positivo sobre el compacto $K$ (Teorema 4.16 (3)). La compacidad no es decorativa: para dos cerrados el ínfimo puede anularse sin alcanzarse; en $\R^2$ , la hipérbola $F_1 = \{xy = 1\}$ y el eje $F_2 = \{y = 0\}$ son cerrados disjuntos con $d(F_1, F_2) = 0$ (los puntos $(n, \frac1n)$ se acercan al eje). La huida al infinito es justamente lo que la compacidad prohíbe.

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Ejemplos

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