Qu'est-ce que « espace métrique » ? — Mathématiques

Définition 4.1 Mathématiques universitaires — Licence 2 · Chapitre 4 — Topologie des espaces métriques

Un espace métrique est un ensemble $X$ muni d’une application $d \colon X \times X \to \R_+$ telle que, pour tous $x, y, z$ :

d(x,y) = 0 \iff x = y, \qquad d(x,y) = d(y,x), \qquad d(x,z) \leq d(x,y) + d(y,z).

Boules : $B(a, r) = \{x : d(a,x) < r\}$ (ouverte), $\overline B(a,r) = \{x : d(a,x) \leq r\}$ (fermée). Une partie $A \subseteq X$ devient un espace métrique pour la distance induite.

Exemples

Exemple 4.2

$\R$ avec $\abs{x - y}$ ; $\R^n$ avec l’une des distances

d_1(x,y) = \sum_i \abs{x_i - y_i}, \quad d_2(x,y) = \Bigl(\sum_i (x_i - y_i)^2\Bigr)^{1/2}, \quad d_\infty(x,y) = \max_i \abs{x_i - y_i};

l’ensemble $C(\intcc{a}{b})$ des fonctions continues avec la distance sup $d_\infty(f, g) = \sup_{\intcc{a}{b}} \abs{f - g}$ (finie : $f - g$ est bornée) ; tout ensemble muni de la distance discrète ( $d(x,y) = 1$ pour $x \neq y$ ). Les distances issues de normes font l’objet du Chapitre 5.

Exemple 4.4 (Intérieur, adhérence, frontière sur un ensemble)

Dans $\R$ , soit $A = \intoc{0}{1} \cup \{2\}$ . Intérieur : $\intoo{0}{1}$ — autour de tout $x \in \intoo01$ une petite boule reste dans $A$ ; autour de $1$ , toute boule $\intoo{1-r}{1+r}$ fuit de $A$ vers la droite, donc $1$ n’est pas intérieur ; et le point isolé $2$ ne l’est pas non plus. Adhérence : $\intcc{0}{1} \cup \{2\}$ (le point $0$ est une limite de $A$ , rien d’autre n’est ajouté). Frontière (adhérence privée de l’intérieur) : $\{0, 1, 2\}$ . Notez les asymétries à retenir : une extrémité peut appartenir à un ensemble sans être intérieure ( $1$ ), peut être adhérente sans y appartenir ( $0$ ), et un point isolé est sa propre frontière ( $2$ ). La même comptabilité s’applique mot pour mot dans tout espace métrique, avec des boules à la place des intervalles.

Exemple 4.19 (Distances entre ensembles : la compacité gagne son pain)

Soit $K$ compact, $F$ fermé, $K \cap F = \emptyset$ dans un espace métrique. Alors

d(K, F) = \inf\,\{d(x, y) : x \in K,\ y \in F\} > 0 :

la fonction $x \mapsto d(x, F)$ est continue (Exercice 4.11) et positive sur $K$ ( $d(x, F) = 0$ mettrait $x \in \overline F = F$ ), donc elle atteint un minimum positif sur le compact $K$ (Théorème 4.16 (3)). La compacité n’est pas décorative : pour deux ensembles fermés l’infimum peut s’annuler sans être atteint — dans $\R^2$ , l’hyperbole $F_1 = \{xy = 1\}$ et l’axe $F_2 = \{y = 0\}$ sont deux fermés disjoints avec $d(F_1, F_2) = 0$ (les points $(n, \frac1n)$ approchent l’axe). La fuite à l’infini est exactement ce que la compacité interdit.

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