ما معنى فضاء متري؟

مثال 4.2

$\R$ مع $\abs{x - y}$؛ و$\R^n$ مع أي من المسافات

ومجموعة الدوال المتصلة $C(\intcc{a}{b})$ مع مسافة النهاية العليا $d_\infty(f, g) = \sup_{\intcc{a}{b}} \abs{f - g}$ (وهي منتهية لأن $f - g$ محدودة)؛ وأي مجموعة مع المسافة المتقطعة ($d(x,y) = 1$ من أجل $x \neq y$). أما المسافات الآتية من المعايير فهي موضوع الفصل 5.

مثال 4.4 (الداخل والمنغلق والحافة على مجموعة واحدة)

في $\R$، لتكن $A = \intoc{0}{1} \cup \{2\}$. الداخل: $\intoo{0}{1}$ — إذ تبقى كرة صغيرة حول أي $x \in \intoo01$ داخل $A$؛ أما حول $1$، فكل كرة $\intoo{1-r}{1+r}$ تتسرّب خارج $A$ من اليمين، ومن ثم فإن $1$ ليست داخلية؛ والنقطة المعزولة $2$ ليست داخلية أيضًا. المنغلق: $\intcc{0}{1} \cup \{2\}$ (فالنقطة $0$ نهاية للمجموعة $A$، ولا يُضاف شيء آخر). الحافة (المنغلق ناقص الداخل): $\{0, 1, 2\}$. ولاحظ التباينات الجديرة بالتذكّر: قد تنتمي نقطة طرفية إلى مجموعة دون أن تكون داخلية ($1$)، وقد تكون ملتصقة دون أن تنتمي ($0$)، والنقطة المعزولة هي حافة نفسها ($2$). ويجري مسك الدفاتر نفسه حرفيًا في أي فضاء متري، بكرات بدل الفترات.

مثال 4.19 (المسافات بين المجموعات: التراص يستحق أجره)

لتكن $K$ متراصة و$F$ مغلقة، مع $K \cap F = \emptyset$، في فضاء متري. عندئذٍ

فالدالة $x \mapsto d(x, F)$ متصلة (التمرين 4.11) وموجبة على $K$ (إذ إن $d(x, F) = 0$ يضع $x \in \overline F = F$)، ومن ثم تبلغ حدًّا أدنى موجبًا على المتراص $K$ (المبرهنة 4.16 (3)). وليس التراص زينة: فمن أجل مجموعتين مغلقتين قد ينعدم الحدّ الأدنى دون أن يُبلغ — ففي $\R^2$، القطعُ الزائد $F_1 = \{xy = 1\}$ والمحور $F_2 = \{y = 0\}$ مجموعتان مغلقتان منفصلتان مع $d(F_1, F_2) = 0$ (فالنقاط $(n, \frac1n)$ تقترب من المحور). والهرب إلى اللانهاية هو بالضبط ما يمنعه التراص.