विश्वविद्यालय गणित — स्नातक वर्ष 3 · Bachelor Year 3

12Lp समष्टियाँ

लेबेग समाकल विश्लेषण के लिए बनाया गया था; $L^p$ समष्टियाँ वे स्थान हैं जहाँ वह विश्लेषण रहता है। वे बानाख समष्टियाँ हैं (रीस–फिशर) — अर्थात् वे पूर्णन जिनका अभाव अभ्यास 7.1 ने संतत फलनों में दिखाया था — और वे एक चिकनाई तकनीक का आधार देती हैं, मृदुकारकों के साथ संवलन, जो किसी भी $L^p$ फलन का $\mathcal C^\infty$ फलनों से आसन्नन कर देती है। यह अध्याय होल्डर और मिन्कोव्स्की के समाकल रूप, पूर्णता, सघनता प्रमेय, और नियमितीकरण मशीन सिद्ध करता है, और $L^p$ मापक्रम की अंतर्वेशन एवं अंतर्गणन संबंधी भूगोल पर समाप्त होता है। सर्वत्र $(X, \mathcal A, \mu)$ एक माप समष्टि है और फलन सम्मिश्र-मान वाले हैं; $\R^d$ पर माप $\lambda_d$ है।

12.1 परिभाषा; होल्डर और मिन्कोव्स्की

परिभाषा 12.1

$1 \leq p < \infty$ के लिए $\mathcal L^p(\mu)$ $\norm f_p = \bigl(\int\abs f^p\dd\mu\bigr)^{1/p} < \infty$ वाले मापनीय $f$ का समुच्चय है, और $\mathcal L^\infty(\mu)$ किसी शून्य समुच्चय के बाहर परिबद्ध $f$ का समुच्चय, जिस पर $\norm f_\infty$ सारभूत उच्चतम है — अर्थात् वह न्यूनतम $M$ जिसके लिए लगभग सर्वत्र $\abs f \leq M$ हो (यह निम्नतम प्राप्त हो जाता है: $M + \frac1n$ के लिए शून्य समुच्चयों का प्रतिच्छेदन लीजिए)। चूँकि $\norm f_p = 0$ से केवल लगभग सर्वत्र $f = 0$ अनिवार्य होता है (अभ्यास 10.5), हम

L^p(\mu) = \mathcal L^p(\mu)/\{f = 0 \text{ लगभग सर्वत्र}\} :

परिभाषित करते हैं; अवयव शून्य समुच्चयों के सापेक्ष फलनों के वर्ग हैं, और $\norm\cdot_p$ $L^p$ पर एक सच्चा मानक है।

प्रमेय 12.2 (होल्डर की असमिका)

मान लीजिए $\frac1p + \frac1q = 1$ (संयुग्मी घातांक) के साथ $1 \leq p, q \leq \infty$ । मापनीय $f, g$ के लिए:

\norm{fg}_1 \leq \norm f_p\,\norm g_q ,

और समता ( $1 < p < \infty$ , परिमित मानक, $f,g\ne0$ के लिए) तभी और केवल तभी होती है जब $\abs f^p$ और $\abs g^q$ लगभग सर्वत्र समानुपाती हों।

उपपत्ति. $\{p, q\} = \{1, \infty\}$ की स्थितियाँ सीधी हैं (लगभग सर्वत्र $\abs{fg} \leq \norm g_\infty\abs f$ )। मान लीजिए $1 < p < \infty$ ; $\norm f_p = \norm g_q = 1$ मानकीकृत कीजिए (समघातता; शून्य या अनंत मानक तुच्छ हैं)। यंग की असमिका $ab \leq \frac{a^p}p + \frac{b^q}q$ ( $a, b \geq 0$ ; $\ln$ की अवतलता, जैसे समस्या 8.1 में) बिंदुशः $\abs{f g} \leq \frac{\abs f^p}p + \frac{\abs g^q}q$ देती है; समाकलन कीजिए: $\norm{fg}_1 \leq \frac1p + \frac1q = 1$ । समता के लिए यंग में लगभग सर्वत्र समता अनिवार्य है, अर्थात् लगभग सर्वत्र $\abs f^p = \abs g^q$ (मानकीकरण के बाद; उसे उलटने पर समानुपातिता)। ∎

प्रमेय 12.3 (मिन्कोव्स्की की असमिका)

$1 \leq p \leq \infty$ के लिए: $\norm{f + g}_p \leq \norm f_p + \norm g_p$ ।

उपपत्ति. $p = 1, \infty$ : बिंदुशः/लगभग सर्वत्र त्रिभुज असमिका। $1 < p < \infty$ के लिए मान लीजिए $\norm{f+g}_p < \infty$ (अन्यथा $t^p$ की उत्तलता से मिलने वाली $\abs{f+g}^p \leq 2^{p-1}(\abs f^p + \abs g^p)$ का उपयोग करके देखिए कि दायाँ पक्ष परिमित होने पर बायाँ भी परिमित है)। तब होल्डर से

\norm{f{+}g}_p^p \leq \int\abs f\,\abs{f{+}g}^{p-1} + \int\abs g\,\abs{f{+}g}^{p-1} \leq \bigl(\norm f_p + \norm g_p\bigr)\, \bigl\|\abs{f{+}g}^{p-1}\bigr\|_q

और $(p-1)q = p$ के कारण $\norm{\abs{f+g}^{p-1}}_q = \norm{f+g}_p^{p/q}$ ; अब $\norm{f+g}_p^{p/q}$ से भाग दीजिए (यदि वह शून्येतर हो; अन्यथा तुच्छ) और $p - \frac pq = 1$ का उपयोग कीजिए। ∎

12.2 पूर्णता और उसके सहचर

प्रमेय 12.4 (रीस–फिशर)

$1 \leq p \leq \infty$ के लिए $L^p(\mu)$ एक बानाख समष्टि है। इसके अतिरिक्त $L^p$ में अभिसरित होने वाले प्रत्येक अनुक्रम का कोई ऐसा उपानुक्रम है जो लगभग सर्वत्र अभिसरित होता है (और $p < \infty$ की स्थिति में किसी $L^p$ प्रभावी फलन के साथ)।

उपपत्ति. $p = \infty$ : कोई $\norm\cdot_\infty$ -कोशी अनुक्रम एक ही शून्य समुच्चय (गणनीय संख्या के शून्य समुच्चयों का सम्मिलन) के बाहर एकसमान कोशी होता है: अतः वह उसके बाहर एकसमान रूप से अभिसरित होता है; काम पूरा। अब मान लीजिए $p < \infty$ । अभ्यास 7.1(ख) से केवल निरपेक्षतः अभिसारी श्रेणियों का योग लेना पर्याप्त है: मान लीजिए $\sum\norm{f_k}_p = M < \infty$ । $G_n = \sum_{k \leq n}\abs{f_k}$ और $G = \sum_k\abs{f_k}$ रखिए ( $[0,\infty]$ में बिंदुशः): मिन्कोव्स्की से $\norm{G_n}_p \leq M$ , और एकदिष्ट अभिसरण प्रमेय ( $G_n^p \nearrow G^p$ ) $\int G^p \leq M^p$ दे देती है: अतः लगभग सर्वत्र $G < \infty$ , इसलिए लगभग प्रत्येक $x$ के लिए श्रेणी $\sum f_k(x)$ निरपेक्षतः अभिसरित होती है; उसके योग को $S(x)$ कहिए (शून्य समुच्चय पर कोई भी मान)। तब $\abs{S - \sum_{k\leq n}f_k}^p \leq (2G)^p \in L^1$ , और प्रभावी अभिसरण प्रमेय $\norm{S - \sum_{k\leq n}f_k}_p \to 0$ दे देती है: अर्थात् श्रेणी $L^p$ में अभिसरित होती है।

उपानुक्रम वाला कथन: यदि $L^p$ में $f_n \to f$ हो, तो $\norm{f_{n_{k+1}} - f_{n_k}}_p \leq 2^{-k}$ वाले $n_k$ चुनिए; श्रेणी $\sum(f_{n_{k+1}} - f_{n_k})$ पिछले तर्क के अंतर्गत आ जाती है: वह लगभग सर्वत्र निरपेक्षतः अभिसरित होती है और किसी $G \in L^p$ से प्रभावित है, अतः लगभग सर्वत्र $f_{n_k} \to f_{n_1} + \sum(\cdots)$ , और यह लगभग-सर्वत्र सीमा $f$ (का कोई प्रतिनिधि) ही होनी चाहिए (दोनों $L^p$ सीमाएँ हैं)। प्रभावी फलन: $\abs{f_{n_k}} \leq \abs{f_{n_1}} + G$ । ∎

टिप्पणी 12.5

$L^p$ अभिसरण से लगभग सर्वत्र अभिसरण नहीं निकलता (टाइपराइटर अनुक्रम, अभ्यास 12.3), और न ही विलोमतः (भागती उभारें): दोनों प्रकार केवल उपानुक्रमों और प्रभुत्व के माध्यम से जुड़ते हैं। अभ्यास 12.3 के प्रतिउदाहरण याद रखना सबसे अच्छा टीका है।

12.3 सघनता प्रमेय

प्रमेय 12.6

मान लीजिए $1 \leq p < \infty$ ।

सरल फलन (परिमित माप वाले आलंब के साथ) $L^p(\mu)$ में सघन हैं।
$L^p(\R^d)$ में संहत आलंब वाले संतत फलन $\mathcal C_c(\R^d)$ सघन हैं।
$L^p(\R^d)$ पर स्थानांतरण संतत है: $\tau_hf = f(\cdot - h)$ लिखने पर $h \to 0$ जाने पर $\norm{\tau_hf - f}_p \to 0$ ।

इनमें से कोई भी $p = \infty$ के लिए लागू नहीं होता।

उपपत्ति. (1) $f \geq 0$ के लिए: प्रमेय 10.4 के द्विआधारी $s_n \nearrow f$ $\abs{f - s_n}^p \leq f^p \in L^1$ को संतुष्ट करते हैं: अतः प्रभावी अभिसरण प्रमेय। (प्रत्येक $s_n \leq f$ $L^p$ में है, और जहाँ उसका मान धनात्मक है वहाँ उसके स्तर समुच्चयों का माप परिमित है: $\mu(s_n \geq c) \leq c^{-p}\int f^p$ ।) व्यापक $f$ को चार अऋणात्मक भागों में बाँटिए।

(2) (1) से केवल $\lambda_d(A) < \infty$ वाले बोरेल $A$ के लिए $\mathbf 1_A$ का आसन्नन करना पर्याप्त है। नियमितता (उपपत्ति प्रमेय 9.13 जैसी) $\lambda_d(U\setminus K) < \varepsilon$ वाले संहत $K \subseteq A \subseteq U$ और विवृत समुच्चय दे देती है; और उरिसोन का फलन

\varphi(x) = \frac{d(x, \R^d\setminus U)}{d(x, \R^d\setminus U) + d(x, K)}

संतत है, $K$ पर $1$ , $U$ के बाहर $0$ , और उसे संहत आलंब वाला लिया जा सकता है (पहले $U$ को किसी परिबद्ध विवृत समुच्चय तक सिकोड़ दीजिए)। तब $\norm{\mathbf 1_A - \varphi}_p^p \leq \lambda_d(U\setminus K) < \varepsilon$ ।

(3) $g \in \mathcal C_c$ के लिए: एकसमान सांतत्य $\norm{\tau_hg - g}_\infty \to 0$ देता है, और $\abs h \leq 1$ के लिए आलंब किसी स्थिर संहत समुच्चय में रहते हैं: अतः $\norm{\tau_hg - g}_p \to 0$ । व्यापक $f$ के लिए: $\norm{f - g}_p < \varepsilon$ वाला $g \in \mathcal C_c$ चुनिए; तब $\norm{\tau_hf - f}_p \leq 2\norm{f - g}_p + \norm{\tau_hg - g}_p$ (मानक की स्थानांतरण अपरिवर्तिता)।

$p = \infty$ के लिए: $\mathbf 1_{\intoo0\infty}$ का संतत फलनों से एकसमान आसन्नन असंभव है (उछाल), और $h \neq 0$ के लिए $\norm{\tau_h\mathbf 1_{\intoo0\infty} - \mathbf 1_{\intoo0\infty}}_\infty = 1$ । ∎

12.4 संवलन और नियमितीकरण

प्रमेय 12.7 (यंग की असमिका)

मान लीजिए $1 \leq p \leq \infty$ , $f \in L^1(\R^d)$ , $g \in L^p(\R^d)$ । तब $f * g$ लगभग सर्वत्र परिभाषित है, $L^p$ में है, और

\norm{f * g}_p \leq \norm f_1\,\norm g_p .

उपपत्ति. $p = \infty$ : सीधा परिबंध। $p = 1$ : प्रमेय 11.9। अब मान लीजिए $1 < p < \infty$ , $q$ संयुग्मी हैं। $\abs{f(y)} = \abs{f(y)}^{1/q}\cdot \abs{f(y)}^{1/p}$ को बाँटिए और होल्डर लगाइए:

\int\abs{f(y)}\,\abs{g(x{-}y)}\,\dd y \leq \Bigl(\int\abs f\Bigr)^{1/q} \Bigl(\int\abs{f(y)}\,\abs{g(x - y)}^p\,\dd y\Bigr)^{1/p} .

$p$ -वीं घात लीजिए और $x$ में समाकलन कीजिए; दूसरे गुणनखंड पर टोनेली $\norm f_1^{p/q}\cdot\norm f_1\norm g_p^p$ दे देता है, अर्थात् $\norm{f*g}_p^p \leq \norm f_1^{1 + p/q}\norm g_p^p = (\norm f_1\norm g_p)^p$ — और टोनेली समाकल की परिमितता प्रमेय 11.9 की तरह लगभग सर्वत्र निरपेक्ष अभिसरण को उचित ठहरा देती है। ∎

परिभाषा 12.8 (मृदुकारक)

फलन

\rho(x) = \begin{cases} c\,\exp\Bigl(-\dfrac{1}{1 - \norm x^2}\Bigr) & \norm x < 1,\\ 0 & \norm x \geq 1, \end{cases}

जिसमें $c$ $\int\rho = 1$ को मानकीकृत करता है, $\R^d$ पर $\mathcal C^\infty$ है: मर्म यह है कि $t \mapsto \eu^{-1/t}\mathbf 1_{t>0}$ $\R$ पर $\mathcal C^\infty$ है और $0^+$ पर उसके सभी अवकलज $0$ हैं (प्रत्येक अवकलज किसी बहुपद $P$ के लिए $P(1/t)\eu^{-1/t}$ है, जो $0$ की ओर जाता है; आगमन)। $\varepsilon > 0$ के लिए $\rho_\varepsilon(x) = \varepsilon^{-d}\rho(x/\varepsilon)$ रखिए: यह $\bar B(0, \varepsilon)$ में आलंबित है और उसका समाकल अब भी $1$ है।

प्रमेय 12.9 (नियमितीकरण)

मान लीजिए $1 \leq p < \infty$ और $f \in L^p(\R^d)$ । तब:

$f * \rho_\varepsilon \in \mathcal C^\infty(\R^d)$ , जिसमें $\partial^\alpha(f * \rho_\varepsilon) = f * \partial^\alpha\rho_\varepsilon$ ;
$\varepsilon \to 0$ पर $\norm{f * \rho_\varepsilon - f}_p \to 0$ ;
फलस्वरूप $\mathcal C^\infty_c(\R^d)$ $L^p(\R^d)$ में सघन है।

उपपत्ति. (1) $x$ में समाकल के भीतर अवकलन (प्रमेय 10.15): किसी गोले $B$ में $x$ के लिए $\abs{\partial_{x_i}\rho_\varepsilon(x - y)} \leq C_\varepsilon\,\mathbf 1_{K}(y)$ , जहाँ $K$ संहत है ( $B$ से $\varepsilon$ के भीतर $y$ ), और $\abs f\,\mathbf 1_K \in L^1$ ( $\mathbf 1_K$ के सापेक्ष होल्डर): अतः प्रमेय लागू होती है; ऊँचे अवकलजों के लिए दोहराइए।

(2) चूँकि $\int\rho_\varepsilon = 1$ :

(f * \rho_\varepsilon)(x) - f(x) = \int \bigl(f(x - y) - f(x)\bigr)\rho_\varepsilon(y)\,\dd y ,

और मिन्कोव्स्की की समाकल असमिका से — अथवा सीधे: प्रायिकता माप $\rho_\varepsilon\dd y$ के साथ होल्डर/येंसन और टोनेली से —

\norm{f*\rho_\varepsilon - f}_p^p \leq \int\Bigl(\int\abs{f(x-y) - f(x)}^p\dd x\Bigr)\rho_\varepsilon(y)\,\dd y = \int \norm{\tau_yf - f}_p^p\;\rho_\varepsilon(y)\,\dd y

(बीच का चरण: भीतरी $y$ -समाकल पर येंसन की असमिका अभ्यास 12.10 लगाइए, फिर टोनेली)। समाकल्य $\norm y \leq \varepsilon$ में आलंबित है और $\varepsilon \to 0$ पर वहाँ एकसमान रूप से $0$ की ओर जाता है (प्रमेय 12.6(3)): अतः पूरा व्यंजक $0$ की ओर जाता है।

(3) $f$ का $g \in \mathcal C_c$ से आसन्नन कीजिए (प्रमेय 12.6(2)), फिर $g$ का $g * \rho_\varepsilon \in \mathcal C_c^\infty$ से (संहत आलंब: आलंबों का योग)। ∎

उदाहरण 12.10 ( $\abs x$ का मृदुकरण, दरों सहित)

$\R$ पर $f(x) = \abs x$ लीजिए (जो स्थानीय रूप से $L^1$ है; प्रमेय प्रत्येक परिबद्ध खिड़की पर लागू होती है) और कोई सममित मृदुकारक $\rho_\varepsilon$ । तब

f_\varepsilon(x) = (f * \rho_\varepsilon)(x) = \int\abs{x - y}\,\rho_\varepsilon(y)\,\dd y

$\mathcal C^\infty$ है; और मोड़ से दूर कुछ नहीं होता: $\abs x \geq \varepsilon$ के लिए $\rho_\varepsilon$ के आलंब पर $\abs{x - y}$ $x$ में रैखिक है, अतः ठीक-ठीक $f_\varepsilon(x) = \abs x$ (सममिति संशोधन को समाप्त कर देती है)। $0$ के निकट चिकनाई की कीमत ठीक

0 \leq f_\varepsilon(0) = \int\abs y\,\rho_\varepsilon(y)\,\dd y \leq \varepsilon, \qquad \norm{f_\varepsilon - f}_\infty \leq \varepsilon :

है — अर्थात् आसन्नन त्रुटि एकलता के $\varepsilon$ -प्रतिवेश तक सीमित रहती है और उसी के आकार की होती है। साथ ही सर्वत्र $f_\varepsilon'' \geq 0$ ( $f$ उत्तल है, और $\rho_\varepsilon \geq 0$ के साथ संवलन उत्तलता को सुरक्षित रखता है), जिसमें $\int f_\varepsilon'' = f_\varepsilon'(\infty) - f_\varepsilon'(-\infty) = 2$ : द्वितीय अवकलज द्रव्यमान $2$ की एक उभार है जिसे चौड़ाई $O(\varepsilon)$ में दबा दिया गया है, अतः $\norm{f_\varepsilon''}_\infty \gtrsim \varepsilon^{-1}$ । चिकनाई एक सौदा है: एकसमान त्रुटि $O(\varepsilon)$ के बदले अवकलज का विस्फोट $O(\varepsilon^{-1})$ — यही वह ठीक विनिमय दर है जिसे मात्रात्मक विश्लेषण (अंतर्गणन असमिकाएँ, समस्या 12.1 के विचार-मंडल) औपचारिक रूप देता है।

उपप्रमेय 12.11 (विचरण कलन की मूल प्रमेयिका)

मान लीजिए $f \in L^1_{\mathrm{loc}}(\R^d)$ (संहतों पर समाकलनीय) ऐसा है कि प्रत्येक $\varphi \in \mathcal C^\infty_c(\R^d)$ के लिए $\int f\varphi = 0$ । तब लगभग सर्वत्र $f = 0$ ।

उपपत्ति. कोई गोला $B = B(0, R)$ स्थिर कीजिए और मान लीजिए $g = f\mathbf 1_{B(0, R+1)} \in L^1$ । $x \in B$ और $\varepsilon < 1$ के लिए: $(g * \rho_\varepsilon)(x) = \int f(y)\rho_\varepsilon(x - y)\dd y = 0$ , जहाँ परीक्षण फलन $y \mapsto \rho_\varepsilon(x-y) \in \mathcal C_c^\infty$ है। परंतु $L^1$ में $g * \rho_\varepsilon \to g$ (प्रमेय 12.9): अतः $B$ पर लगभग सर्वत्र $g = 0$ ; अब $\R^d$ को निःशेष कीजिए। ∎

12.5 $L^p$ भूगोल

प्रतिज्ञप्ति 12.12

(क) यदि $\mu(X) < \infty$ और $1 \leq p \leq q \leq \infty$ हों, तो $\norm f_p \leq \mu(X)^{\frac1p - \frac1q}\,\norm f_q$ के साथ $L^q \subseteq L^p$ । (ख) $\R^d$ पर (अनंत माप) कोई अंतर्वेशन नहीं है: $p \neq q$ के लिए ऐसे फलन हैं जो $L^p\setminus L^q$ । (ग) (अंतर्गणन) यदि $p < r < q$ हो और $\alpha \in \intoo01$ $\frac1r = \frac\alpha p + \frac{1 - \alpha}q$ से परिभाषित हो, तो

\norm f_r \leq \norm f_p^{\alpha}\,\norm f_q^{1 - \alpha} ;

और विशेष रूप से $L^p \cap L^q \subseteq L^r$ ।

उपपत्ति. (क) घातांकों $\frac qp$ और उसके संयुग्मी के साथ होल्डर: $\int\abs f^p\cdot 1 \leq \norm{\abs f^p}_{q/p}\,\norm 1_{(q/p)'} = \norm f_q^p\,\mu(X)^{1 - p/q}$ ( $q = \infty$ सीधे)। (ख) $0$ के निकट और $\infty$ के निकट घातें $x^{-\alpha}$ अंशांकन कर देती हैं: अभ्यास 12.2। (ग) $\abs f^r = \abs f^{r\alpha}\abs f^{r(1-\alpha)}$ लिखिए और संयुग्मी युग्म $\frac p{r\alpha}$ , $\frac q{r(1-\alpha)}$ (जो $\alpha$ की परिभाषा से ठीक संयुग्मी हैं) के साथ होल्डर लगाइए: $\int\abs f^r \leq \norm f_p^{r\alpha}\norm f_q^{r(1 - \alpha)}$ । ∎

विधि 12.13

$L^p$ का औजार-बक्सा, जैसा आगे सर्वत्र प्रयुक्त होता है: समस्त $f \in L^p$ के लिए कोई सर्वसमिका या असमिका सिद्ध करने के लिए — उसे किसी सघन वर्ग पर सिद्ध कीजिए (प्रमेय 12.9 के माध्यम से $\mathcal C_c^\infty$ ) और सांतत्य से बढ़ाइए (प्रमेय 7.2, क्योंकि दोनों पक्ष $L^p$ -संतत हैं); $f = 0$ सिद्ध करने के लिए $\mathcal C_c^\infty$ के सापेक्ष परीक्षा लीजिए (उपप्रमेय 12.11); चिकनाई पाने के लिए संवलन कीजिए; और घातांक बदलने के लिए होल्डर तथा अंतर्गणन। अध्याय 14 का फूरिये सिद्धांत इसी विधि का एक लंबा अनुप्रयोग है।

12.6 अभ्यास

अभ्यास 12.1 ★

(क) $L^2(\mu)$ में कोशी–श्वार्ज़ असमिका को होल्डर की $p = q = 2$ स्थिति के रूप में कहिए और सिद्ध कीजिए। (ख) किसी प्रायिकता समष्टि पर दर्शाइए कि $p \mapsto \norm f_p$ अनवरोही है। (ग) $p = 1$ , $q = \infty$ के लिए होल्डर कब समता बनती है?

हल

हल — अभ्यास 12.1.

(क) प्रमेय 12.2 में $p = q = 2$ : $\abs{\int f\bar g\,\dd\mu} \leq \int\abs{fg} \leq \norm f_2\norm g_2$ — अर्थात् कोशी–श्वार्ज़, जिसमें बराबरी तभी और केवल तभी जब $\abs f, \abs g$ समानुपाती हों और कलाएँ संरेखित।

(ख) किसी प्रायिकता समष्टि पर $p \leq q$ के लिए: उत्तल $\Phi(t) = \abs t^{q/p}$ के साथ येंसन (अभ्यास 12.10) को फलन $\abs f^p$ पर लगाइए: $\bigl(\int\abs f^p\bigr)^{q/p} \leq \int\abs f^q$ , अर्थात् $\norm f_p \leq \norm f_q$ ।

(ग) $\int\abs{fg} = \norm f_1\norm g_\infty$ तभी और केवल तभी जब $\{f \neq 0\}$ पर लगभग सर्वत्र $\abs{g} = \norm g_\infty$ (असमिका $\abs{fg} \leq \abs f\norm g_\infty$ को लगभग सर्वत्र बराबरी होना चाहिए)।

अभ्यास 12.2 ★

किन $p \in \intco1\infty$ के लिए निम्नलिखित $L^p$ में हैं?

x^{-1/2}\mathbf 1_{\intoo01},\qquad x^{-1/2}\mathbf 1_{\intoo1\infty},\qquad \frac{1}{x^{1/2}(1 + \abs{\ln x})}\ \intoo01 \text{ पर}, \qquad \frac1{1 + \abs x}\ \R \text{ पर} .

निष्कर्ष निकालिए: $\intoo01$ पर छोटा $p$ आसान है, $\intoo1\infty$ पर बड़ा $p$ आसान है, और $\R$ पर कोई $L^p$ किसी दूसरे को अंतर्विष्ट नहीं करता।

हल

हल — अभ्यास 12.2.

$\int_0^1 x^{-p/2}\dd x < \infty$ तभी और केवल तभी जब $p < 2$ : अतः पहला $p \in \intco12$ के लिए $L^p$ में है। $\int_1^\infty x^{-p/2}\dd x < \infty$ तभी और केवल तभी जब $p > 2$ : अतः दूसरा $p \in \intoo2\infty$ के लिए (और $p = \infty$ : वह परिबद्ध है — उसे सम्मिलित कीजिए)। तीसरा: $p < 2$ के लिए $x^{-p/2}$ का प्रभुत्व: समाकलनीय; $p = 2$ के लिए $u = -\ln x$ प्रतिस्थापित कीजिए: $\int_0^1\frac{\dd x}{x(1 + \abs{\ln x})^2} = \int_0^\infty\frac{\dd u}{(1 + u)^2} < \infty$ ; और $p > 2$ के लिए घात हावी हो जाती है: अपसारी। अतः $p \in \intcc12$ । चौथा: $\int_\R\frac{\dd x}{(1 + \abs x)^p} < \infty$ तभी और केवल तभी जब $p > 1$ ; परिबद्ध, अतः $L^\infty$ भी: $p \in \intoc1\infty$ । शिक्षा: $0$ पर समाकलनीयता को छोटे $p$ भाते हैं, और $\infty$ पर बड़े $p$ ; दोनों बाधाओं को मिलाने पर $L^p(\R)$ समष्टियों के बीच कोई अंतर्विष्टि नहीं।

अभ्यास 12.3 ★★

(टाइपराइटर) द्विआधारी अंतरालों $I_1 = \intcc01$ , $I_2 = \intcc0{\frac12}$ , $I_3 = \intcc{\frac12}1$ , $I_4 = \intcc0{\frac14}$ , … की गणना कीजिए और $f_n = \mathbf 1_{I_n}$ रखिए। (क) दर्शाइए कि प्रत्येक $L^p(\intcc01)$ , $p < \infty$ में $f_n \to 0$ , पर प्रत्येक $x \in \intcc01$ के लिए $(f_n(x))$ अपसरित होता है। (ख) प्रमेय 12.4 द्वारा वचनित लगभग-सर्वत्र अभिसारी उपानुक्रम प्रस्तुत कीजिए। (ग) विलोमतः ऐसा अनुक्रम दीजिए जो लगभग सर्वत्र अभिसरित हो पर $L^1$ में नहीं, और ऐसा भी जो $L^1$ में अभिसरित हो पर किसी भी $L^p$ , $p > 1$ में नहीं।

हल

हल — अभ्यास 12.3.

(क) $\norm{f_n}_p^p = \lambda(I_n) \to 0$ (द्विअंशी स्तर $k$ पर लंबाई $2^{-k}$ है)। पर प्रत्येक $x$ प्रत्येक द्विअंशी स्तर के किसी एक अंतराल में होता है: अतः अनंत बार $f_n(x) = 1$ और अनंत बार $= 0$ ( $x$ को न धारण करने वाले उसी स्तर के अंतराल): इसलिए किसी भी बिंदु पर अभिसरण नहीं।

(ख) $f_{n_k} = \mathbf 1_{\intcc0{2^{-k}}}$ (प्रत्येक स्तर का पहला अंतराल) प्रत्येक $x > 0$ पर $0$ पर अभिसरित होता है: अर्थात् लगभग सर्वत्र।

(ग) लगभग सर्वत्र पर $L^1$ में नहीं: लगभग सर्वत्र $n\mathbf 1_{\intoo0{1/n}} \to 0$ , समाकल $1$ । $L^1$ में पर किसी $L^p$ में नहीं ( $p > 1$ ): $g_n = \eu^n\,\mathbf 1_{(0,\ \eu^{-n}/n)}$ : $\norm{g_n}_1 = \frac1n \to 0$ , जबकि प्रत्येक $p > 1$ के लिए $\norm{g_n}_p^p = \eu^{(p-1)n}/n \to \infty$ ।

अभ्यास 12.4 ★★

मान लीजिए $\mu(X) < \infty$ और $f \in L^\infty(\mu)$ , $f \neq 0$ । दर्शाइए कि $p \to \infty$ पर $\norm f_p \to \norm f_\infty$ । (ऊपरी परिबंध प्रतिज्ञप्ति 12.12 के (क) से; निचला परिबंध धनात्मक माप वाले $\{\abs f > \norm f_\infty - \varepsilon\}$ पर समाकलन करके।)

हल

हल — अभ्यास 12.4.

ऊपरी: $\norm f_p \leq \mu(X)^{1/p}\norm f_\infty$ ( $q = \infty$ के साथ प्रतिज्ञप्ति 12.12(क)), और $\mu(X)^{1/p} \to 1$ । निचली: $\varepsilon > 0$ के लिए $A = \{\abs f > \norm f_\infty - \varepsilon\}$ के पास $\mu(A) > 0$ है (सारभूत उच्चतम की परिभाषा), और

\norm f_p \geq \Bigl(\int_A \abs f^p\Bigr)^{1/p} \geq (\norm f_\infty - \varepsilon)\,\mu(A)^{1/p} \xrightarrow[p\to\infty]{} \norm f_\infty - \varepsilon .

अभ्यास 12.5 ★★

(क) प्रमेय 12.6(3) की उपपत्ति $p < \infty$ का उपयोग ठीक कहाँ करती है? (ख) दर्शाइए कि $f \in L^\infty(\R)$ $\norm{\tau_hf - f}_\infty \to 0$ को संतुष्ट करता है तभी और केवल तभी जब $f$ का कोई एकसमान संतत प्रतिनिधि हो।

हल

हल — अभ्यास 12.5.

(क) दो बार: रूपांतरण $\norm{\tau_hg - g}_p \leq C^{1/p}\norm{\tau_hg - g}_\infty$ (परिमित-माप आलंब) $p = \infty$ के लिए केवल इस अर्थ में क्षीण हो जाता है कि वहाँ $\mathcal C_c$ की सघनता विफल हो जाती है — और वही असली दरार है: प्रमेय 12.6 के चरण (2) का कोई $L^\infty$ सादृश्य नहीं है।

(ख) यदि $f$ का कोई एकसमान संतत प्रतिनिधि $g$ हो: $\norm{\tau_hf - f}_\infty = \sup_x\abs{g(x - h) - g(x)} \to 0$ । विलोमतः मान लीजिए $\norm{\tau_hf - f}_\infty \to 0$ । मृदुकरण $f_\varepsilon = f * \rho_\varepsilon$ संतत हैं, और

\norm{f_\varepsilon - f}_\infty \leq \sup_{\norm y \leq \varepsilon}\norm{\tau_yf - f}_\infty \longrightarrow 0

(संवलन स्थानांतरों का कोई औसत है)। प्रत्येक $f_\varepsilon$ एकसमान रूप से संतत है (औसत लेने से $\norm{\tau_hf_\varepsilon - f_\varepsilon}_\infty \leq \norm{\tau_hf - f}_\infty$ ), और एकसमान संतत फलनों की कोई एकसमान सीमा भी वैसी ही होती है: अतः $f$ किसी एकसमान संतत फलन से लगभग सर्वत्र सहमत है।

अभ्यास 12.6 ★★

मान लीजिए $p, q$ संयुग्मी हैं, $f \in L^p(\R^d)$ , $g \in L^q(\R^d)$ । दर्शाइए कि $f * g$ सर्वत्र परिभाषित है, परिबद्ध है, $\norm{f*g}_\infty \leq \norm f_p\norm g_q$ के साथ, और एकसमान संतत भी। ( $L^p$ में स्थानांतरण का सांतत्य; $p \in \{1, \infty\}$ की स्थिति अलग से लीजिए — $p = \infty$ के लिए $L^1$ गुणनखंड पर स्थानांतरण सांतत्य का उपयोग कीजिए।)

हल

हल — अभ्यास 12.6.

होल्डर से प्रत्येक $x$ के लिए समाकल्य $y \mapsto f(x - y)g(y)$ $\abs{(f*g)(x)} \leq \norm f_p\norm g_q$ के साथ $L^1$ में है: अतः सर्वत्र परिभाषित और परिबद्ध। एकसमान सांतत्य ( $p < \infty$ ):

\abs{(f*g)(x + h) - (f*g)(x)} = \Bigl|\int\bigl(\tau_{-h}f - f\bigr)(x - y)\,g(y)\dd y\Bigr| \leq \norm{\tau_{-h}f - f}_p\,\norm g_q \xrightarrow[h\to0]{} 0,

$x$ में एकसमान रूप से (प्रमेय 12.6(3))। यदि $p = \infty$ हो, तो $q = 1$ : $f * g = g * f$ लिखिए और वही परिबंध चलाइए, जिसमें स्थानांतरण $g \in L^1$ पर क्रिया करता है।

अभ्यास 12.7 ★★

मान लीजिए $f \in L^1_{\mathrm{loc}}(\intoo ab)$ ऐसा है कि प्रत्येक $\varphi \in \mathcal C^\infty_c(\intoo ab)$ के लिए $\int f\varphi' = 0$ । दर्शाइए कि $f$ लगभग सर्वत्र किसी अचर के बराबर है। ( $\int\chi = 1$ वाला $\chi \in \mathcal C_c^\infty$ स्थिर कीजिए; $\int\psi = 0$ वाला कोई भी $\psi \in \mathcal C_c^\infty$ एक $\varphi'$ है; किसी व्यापक परीक्षण फलन को $\psi + (\int\psi)\chi$ के रूप में लिखिए और $c = \int f\chi$ के साथ $f - c$ पर उपप्रमेय 12.11 लगाइए।)

हल

हल — अभ्यास 12.7.

$\int\chi = 1$ वाला $\chi \in \mathcal C_c^\infty(\intoo ab)$ स्थिर कीजिए, और $c = \int f\chi$ रखिए। मान लीजिए $\varphi \in \mathcal C_c^\infty$ स्वेच्छ है और $\psi = \varphi - \bigl(\int\varphi\bigr)\chi$ : तब $\int\psi = 0$ , अतः $\Phi(x) = \int_a^x\psi$ $\Phi' = \psi$ के साथ $\Phi \in \mathcal C_c^\infty(\intoo ab)$ परिभाषित करता है (वह दोनों सिरों के निकट लुप्त हो जाता है: $a$ के निकट तुच्छ रूप से, और $b$ के निकट इसलिए कि कुल समाकल $0$ है)। परिकल्पना $\int f\psi = \int f\Phi' = 0$ देती है, अतः

\int f\varphi = \Bigl(\int\varphi\Bigr)\int f\chi = \int c\,\varphi \quad\text{प्रत्येक } \varphi \text{ के लिए}: \qquad \int(f - c)\varphi = 0 .

उपप्रमेय 12.11 ( $\intoo ab$ पर स्थानीयकृत) से लगभग सर्वत्र $f = c$ ।

अभ्यास 12.8 ★★★

(चिकना उरिसोन) मान लीजिए $K \subseteq U \subseteq \R^d$ , $K$ संहत है, $U$ विवृत। $0 \leq \varphi \leq 1$ , $K$ पर $\varphi = 1$ , और $\operatorname{supp}\varphi \subseteq U$ वाला $\varphi \in \mathcal C^\infty_c(\R^d)$ बनाइए। (छोटे $\delta$ के लिए $K$ के $\delta$ -प्रतिवेश $K_\delta$ के सूचक का $\rho_{\delta/2}$ से मृदुकरण कीजिए।) इससे परिमित संख्या के विवृत समुच्चयों से आच्छादित किसी संहत समुच्चय के लिए $\mathcal C^\infty$ इकाई-विभाजन का कथन निकालिए।

हल

हल — अभ्यास 12.8.

मान लीजिए $3\delta < d(K, \R^d\setminus U)$ (धनात्मक: अभ्यास 6.6(ख); यदि $U = \R^d$ हो तो कोई भी $\delta$ काम करता है), $K_\delta = \{x : d(x, K) \leq \delta\}$ , और

\varphi = \mathbf 1_{K_\delta} * \rho_{\delta/2} .

तब $\varphi \in \mathcal C^\infty$ (प्रमेय 12.9(1); सूचक $L^1$ है), $0 \leq \varphi \leq 1$ ( $\int\rho = 1$ ), $K$ पर $\varphi = 1$ ( $x \in K$ के लिए $\bar B(x, \delta/2) \subseteq K_\delta$ , अतः संवलन $\rho$ का पूरा समाकलन कर लेता है), और $\operatorname{supp}\varphi \subseteq K_{3\delta/2} \subseteq U$ : अर्थात् संहत आलंबित ( $K_\delta$ परिबद्ध है)। इकाई विभाजन: $K \subseteq U_1\cup\dots\cup U_m$ दिया हो, तो (संहतता से) $K \subseteq \bigcup \mathring K_i$ वाले संहत $K_i \subseteq U_i$ चुनिए, $(K_i, U_i)$ के लिए ऊपर की भाँति $\varphi_i$ लीजिए, और $\psi_i = \varphi_i\prod_{j <i}(1 - \varphi_j)$ रखिए: प्रत्येक $\psi_i \in \mathcal C_c^\infty(U_i)$ , और $K$ पर $\sum_i\psi_i = 1 - \prod_i(1 - \varphi_i) = 1$ ।

अभ्यास 12.9 ★★

अंतर्गणन (प्रतिज्ञप्ति 12.12(ग)) का उपयोग करते हुए: (क) दर्शाइए कि सभी $p$ के लिए $\norm f_p \leq \norm f_1^{1/p}\norm f_\infty^{1 - 1/p}$ के साथ $L^1(\R)\cap L^\infty(\R) \subseteq L^p(\R)$ ; (ख) दर्शाइए कि स्थिर $f$ के लिए $f \mapsto \norm f_p$ $\frac1p$ में लघुगणकीय उत्तल है, और ऐसा उदाहरण दीजिए जिसमें $f \in L^p$ ठीक किसी दिए हुए अंतराल $(p_0, p_1)$ के $p$ के लिए हो।

हल

हल — अभ्यास 12.9.

(क) $r = p$ पर $(p_0, q_0) = (1, \infty)$ के लिए अंतर्वेशन घातांक $\alpha = \frac1p$ है: प्रतिज्ञप्ति 12.12(ग) $\norm f_p \leq \norm f_1^{1/p}\norm f_\infty^{1 - 1/p}$ दे देता है।

(ख) प्रतिज्ञप्ति 12.12(ग) में लघुगणक लेने पर: $\ln\norm f_r \leq \alpha\ln\norm f_p + (1-\alpha)\ln\norm f_q$ , जहाँ $\frac1r$ $\frac1p, \frac1q$ का वही उत्तल संचय है: अतः $\frac1p \mapsto \ln\norm f_p$ उत्तल है। ठीक $\intoo{p_0}{p_1}$ पर $L^p$ -सदस्यता वाला उदाहरण:

f(x) = x^{-1/p_1}\,\mathbf 1_{\intoo01}(x) + x^{-1/p_0}\,\mathbf 1_{\intco1\infty}(x):

पहला पद $L^p$ तभी और केवल तभी जब $p < p_1$ , और दूसरा तभी जब $p > p_0$ ।

अभ्यास 12.10 ★★

(येंसन) मान लीजिए $\mu$ एक प्रायिकता माप है, $f \in L^1(\mu)$ वास्तविक है, और $\Phi \colon \R \to \R$ उत्तल। दर्शाइए

\Phi\Bigl(\int f\,\dd\mu\Bigr) \leq \int \Phi\circ f\,\dd\mu

(बिंदु $m = \int f$ पर $\Phi$ की आधार रेखा)। इससे समांतर–गुणोत्तर असमिका और अभ्यास 12.1(ख) की $p \mapsto \norm f_p$ की एकदिष्टता निकालिए।

हल

हल — अभ्यास 12.10.

मान लीजिए $m = \int f\,\dd\mu \in \R$ । उत्तलता $m$ पर कोई आधार रेखा देती है: ऐसा $s$ है कि सभी $t$ के लिए $\Phi(t) \geq \Phi(m) + s(t - m)$ ( $s$ को एकपक्षीय अवकलजों के बीच लीजिए, जो उत्तल फलनों के लिए विद्यमान हैं)। $t = f(x)$ प्रतिस्थापित कीजिए और प्रायिकता $\mu$ के सापेक्ष समाकलन कीजिए:

\int\Phi\circ f\,\dd\mu \geq \Phi(m) + s\Bigl(\int f - m\Bigr) = \Phi\Bigl(\int f\,\dd\mu\Bigr)

(मापनीयता: $\Phi$ संतत है; और $\Phi\circ f$ के ऋणात्मक भाग की समाकलनीयता आधार रेखा से प्रत्याभूत है)। समांतर माध्य–गुणोत्तर माध्य: भार $w_i$ वाले किसी परिमित समुच्चय पर $\Phi = \exp$ और $f = \sum(\ln a_i)\mathbf 1_i$ लीजिए: $\exp\bigl(\sum w_i\ln a_i\bigr) \leq \sum w_ia_i$ , अर्थात् $\prod a_i^{w_i} \leq \sum w_ia_i$ । मानक की एकदिष्टता अभ्यास 12.1(ख) है।

अभ्यास 12.11 ★★★

(यंग की संवलन असमिका) मान लीजिए $\frac1p + \frac1q = 1 + \frac1r$ के साथ $1 \leq p, q, r \leq \infty$ , और $f \in L^p(\R^d)$ , $g \in L^q(\R^d)$ । (क) $\norm{f * g}_r \leq \norm f_p\,\norm g_q$ सिद्ध कीजिए। ( $p, q, r$ से निकाले गए संयुग्मी घातांकों के लिए $\abs{f(y)g(x-y)} = \bigl(\abs f^p\abs g^q\bigr)^{1/r} \cdot\abs f^{\,p(1/p - 1/r)}\cdot\abs g^{\,q(1/q - 1/r)},$ लिखिए और घातांकों $r$ , $\frac{pr}{r - p}$ , $\frac{qr}{r - q}$ के साथ तीन-गुणनखंड वाली होल्डर असमिका लगाइए; फिर टोनेली से $x$ में समाकलन कीजिए।) (ख) पहले से ज्ञात तीनों विशेष स्थितियाँ जाँचिए: $r = \infty$ (होल्डर, अभ्यास 12.6); $q = 1$ (किसी समाकलनीय नाभिक के साथ संवलन की $L^p$ -स्थिरता); और $p = q = 1$ ( $L^1$ एक संवलन बीजगणित है, प्रमेय 11.9)। (ग) $\frac1p + \frac1q < 1 + \frac1r$ के साथ कोई असमिका क्यों नहीं है? (प्रसार $f_\lambda(x) = f(\lambda x)$ पर परीक्षा लीजिए और दोनों पक्षों के मापन की तुलना कीजिए।)

हल

हल — अभ्यास 12.11.

(क) पहले $p, q, r < \infty$ और $f, g \geq 0$ मान लीजिए (निरपेक्ष मानों से बदल दीजिए)। तीनों घातांक $r$ , $\alpha = \frac{pr}{r-p}$ , $\beta = \frac{qr}{r-q}$ $\frac1r + \frac1\alpha + \frac1\beta = \frac1r + \frac1p - \frac1r + \frac1q - \frac1r = 1$ संतुष्ट करते हैं (मापन संबंध)। स्थिर $x$ के लिए विभाजित कीजिए,

f(y)g(x-y) = \bigl[f(y)^pg(x-y)^q\bigr]^{1/r}\cdot f(y)^{1 - p/r}\cdot g(x-y)^{1 - q/r},

और तीनों घातांकों के साथ होल्डर

(f*g)(x) \leq \Bigl(\int f^pg(x-\cdot)^q\Bigr)^{1/r} \norm f_p^{\,p/\alpha\cdot\alpha/p}\cdots

दे देता है; अधिक परिशुद्धता से: दूसरा गुणक $\bigl(\int f^{(1-p/r)\alpha}\bigr)^{1/\alpha} = \norm f_p^{p(1/p - 1/r)}$ है क्योंकि $(1 - \frac pr)\alpha = p$ , और इसी प्रकार तीसरा $\norm g_q^{q(1/q - 1/r)}$ है। $r$ -वीं घात लीजिए और $x$ में समाकलन कीजिए (पहले गुणक पर टोनेली):

\norm{f*g}_r^r \leq \norm f_p^p\,\norm g_q^q\cdot \norm f_p^{\,rp(1/p - 1/r)}\,\norm g_q^{\,rq(1/q - 1/r)} = \norm f_p^r\,\norm g_q^r .

अंत-बिंदु स्थितियाँ ( $r = \infty$ अथवा कोई घातांक अपनी सीमा के बराबर) सादा होल्डर या सीधे आकलन हैं।

(ख) $r = \infty$ $q = p'$ अनिवार्य कर देता है: $\abs{f*g(x)} \leq \norm f_p\norm g_{p'}$ — अर्थात् स्थानांतरण-परावर्तन के बाद होल्डर। $q = 1$ $r = p$ देता है: $\norm{f*g}_p \leq \norm g_1\norm f_p$ , अर्थात् मृदुकरण का भारवाहक (प्रमेय 12.9 का इंजन)। $p = q = 1$ $r = 1$ देता है: अर्थात् संवलन बीजगणित (प्रमेय 11.9)।

(ग) $f, g$ को $f_\lambda = f(\lambda\cdot)$ से और $g_\lambda = g(\lambda\cdot)$ को बदल दीजिए: तब $f_\lambda*g_\lambda = \lambda^{-d}(f*g)(\lambda\cdot)$ , और मानकों की तुलना करने पर

\text{बायाँ पक्ष} \sim \lambda^{-d - d/r}, \qquad \text{दायाँ पक्ष} \sim \lambda^{-d/p - d/q} :

सभी $f, g$ के लिए वैध कोई असमिका दोनों मापन घातांकों को मेल खाने पर बाध्य कर देती है, अर्थात् ठीक $1 + \frac1r = \frac1p + \frac1q$ । कोई भी अन्य संयोजन $\lambda \to 0$ या $\infty$ पर मर जाता है: यंग का संबंध कोई सुविधा नहीं, बल्कि एक मापन नियम है।

अभ्यास 12.12 ★★

(समता की स्थितियाँ) (क) होल्डर की असमिका $\int\abs{fg} \leq \norm f_p\norm g_q$ ( $1 < p < \infty$ ) में दर्शाइए कि समता तभी और केवल तभी होती है जब $\abs f^p$ और $\abs g^q$ लगभग सर्वत्र समानुपाती हों। (यंग की असमिका $ab \leq \frac{a^p}p + \frac{b^q}q$ की समता स्थिति का अनुसरण कीजिए, जो $a^p = b^q$ है।) (ख) मिन्कोव्स्की की असमिका $\norm{f + g}_p \leq \norm f_p + \norm g_p$ ( $1 < p < \infty$ ) में दर्शाइए कि $f, g \neq 0$ के साथ समता से लगभग सर्वत्र $c > 0$ के साथ $g = cf$ अनिवार्य हो जाता है। (ग) $p = 1$ और $p = \infty$ से तुलना कीजिए: वहाँ की (बहुत बड़ी) समता स्थितियों का उदाहरणों सहित वर्णन कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 12.12.

(क) $\norm f_p = \norm g_q = 1$ मानकीकृत कीजिए। होल्डर की उपपत्ति यंग की असमिका $\abs{fg} \leq \frac{\abs f^p}p + \frac{\abs g^q}q$ का समाकलन करती है; और समाकलों की बराबरी यंग में लगभग सर्वत्र बराबरी अनिवार्य कर देती है, जिसका ( $\exp$ की कड़ी उत्तलता; बराबरी तभी और केवल तभी जब $a^p = b^q$ ) अर्थ है लगभग सर्वत्र $\abs f^p = \abs g^q$ । मानकीकरण हटाने पर: लगभग सर्वत्र $\abs f^p\norm g_q^q = \abs g^q\norm f_p^p$ — अर्थात् समानुपातिकता।

(ख) मिन्कोव्स्की $\abs{f + g}^{p-1} \abs f$ और $\abs{f+g}^{p-1}\abs g$ पर लगाए गए दो होल्डर हैं; और बराबरी दोनों में (क) वाली समानुपातिकता अनिवार्य कर देती है: $\abs f^p$ और $\abs g^p$ प्रत्येक $\abs{f+g}^{(p-1)q} = \abs{f+g}^p$ के समानुपाती, अतः किसी अचर $t \geq 0$ के लिए लगभग सर्वत्र $\abs g = t\abs f$ ; और प्रारंभिक बिंदुशः त्रिभुज असमिका $\abs{f + g} \leq \abs f + \abs g$ को भी लगभग सर्वत्र बराबरी होना चाहिए, जिसका सम्मिश्र मानों के लिए अर्थ है कि जहाँ दोनों शून्येतर हों वहाँ $f$ और $g$ का कोणांक लगभग सर्वत्र एक ही हो। मिलाकर: लगभग सर्वत्र $g = tf$ , $t > 0$ (दोनों शून्येतर)।

(ग) $p = 1$ : $\int\abs{f + g} = \int\abs f + \int\abs g$ में बराबरी तब भी लागू रहती है जब $f, g$ का चिह्न प्रतिरूप एक ही हो (लगभग सर्वत्र एक ही कोणांक) — किसी समानुपातिकता की आवश्यकता नहीं: $f = \mathbf 1_{\intcc01}$ और $g = \mathbf 1_{\intcc02}$ काम कर देते हैं। $p = \infty$ : $\norm{f+g}_\infty = \norm f_\infty + \norm g_\infty$ तभी हो जाता है जब दोनों फलन किसी उभयनिष्ठ बिंदु पर (अथवा किसी उभयनिष्ठ अनुक्रम के अनुदिश) संगत रूप से शिखर बनाएँ: अन्यत्र के व्यवहार की परवाह किए बिना किसी एक बिंदु के निकट $f = g\,$ पर्याप्त है। $1 < p < \infty$ के लिए $L^p$ गोलों की कड़ी उत्तलता — और अंत-बिंदुओं पर उसकी विफलता — ठीक वही है जिसकी ये बराबरी स्थितियाँ साक्षी हैं।

12.7 समस्या: हार्डी की असमिका

समस्या 12.1

सप्ताहांत समस्या — हार्डी की असमिका और उसका तीक्ष्ण नियतांक

$f \in L^p(\intoo0{+\infty})$ , $1 < p < \infty$ के लिए हार्डी संकारक

(Hf)(x) = \frac1x\int_0^x f(t)\,\dd t .

परिभाषित कीजिए। हार्डी की असमिका (1920) कहती है

\norm{Hf}_p \;\leq\; \frac{p}{p-1}\,\norm f_p ,

और नियतांक $\frac p{p-1}$ इष्टतम है तथा प्राप्त नहीं होता। यह समस्या सब कुछ सिद्ध करती है, फिर श्रेणियों तक विस्तार करती है।

भाग I — असमिका। पहले मान लीजिए $f \geq 0$ संतत है और $\intoo0{+\infty}$ में संहत आलंब वाला, और मान लीजिए $F(x) = \int_0^xf$ ।

दर्शाइए कि $Hf \in L^p$ : $0$ के निकट $F$ $0$ के किसी प्रतिवेश पर लुप्त हो जाता है; $\infty$ के निकट $F$ परिबद्ध है, अतः $(Hf)(x) = O(1/x)$ , और $x \mapsto \frac1x$ $p > 1$ के लिए $L^p(\intoo1{+\infty})$ में है।
खंडशः समाकलन करके दर्शाइए

$\int_0^\infty \Bigl(\frac Fx\Bigr)^p\dd x = \frac{p}{p-1}\int_0^\infty\Bigl(\frac Fx\Bigr)^{p-1}f(x)\,\dd x .$

( $x^{1-p}F^p$ का अवकलन कीजिए; सीमांत पद लुप्त हो जाते हैं — दोनों छोरों को उचित ठहराइए।)
दाईं ओर होल्डर लगाइए और ऐसे $f$ के लिए $\norm{Hf}_p \leq \frac p{p-1}\norm f_p$ निष्कर्ष निकालिए।
समूचे $L^p$ तक बढ़ाइए: $f \geq 0$ के लिए $\intoo0{+\infty}$ में संहत आलंब वाला संतत $f_n$ बनाइए जिसके लिए लगभग सर्वत्र $0 \leq f_n \nearrow f$ (छाँटिए, फिर एकदिष्ट रूप से आसन्नन कीजिए — रचना को उचित ठहराइए); तब बिंदुशः $Hf_n \nearrow Hf$ (औसत के भीतर एकदिष्ट अभिसरण प्रमेय) और एकदिष्ट अभिसरण प्रमेय असमिका को सीमा तक ले जाती है। चिह्नित या सम्मिश्र $f$ के लिए $\abs{Hf} \leq H\abs f$ से निष्कर्ष निकालिए।

भाग II — इष्टतमता।

$A > 1$ के लिए मान लीजिए $f_A(t) = t^{-1/p}\,\mathbf 1_{\intcc1A}(t)$ । $\norm{f_A}_p^p = \ln A$ परिकलित कीजिए, और $1 \leq x \leq A$ के लिए

$(Hf_A)(x) = \frac p{p-1}\;x^{-1/p}\, \bigl(1 - x^{-(1 - 1/p)}\bigr).$
$\liminf_{A\to\infty} \norm{Hf_A}_p/ \norm{f_A}_p \geq \frac{p}{p-1}$ निष्कर्ष निकालिए, और निष्कर्ष निकालिए कि नियतांक इष्टतम है।
दर्शाइए कि $f \neq 0$ के साथ समता $\norm{Hf}_p = \frac p{p-1}\norm f_p$ असंभव है। (प्रश्न 3 में होल्डर की समता स्थिति का अनुसरण कीजिए: वह $f = cx^{-1/p}$ प्रकार का व्यवहार अनिवार्य कर देती, जो $L^p$ में नहीं है।)

भाग III — विविक्त असमिका।

$(0,\infty)$ पर किसी अनवर्धी $g \geq 0$ और $a_n = g(n)$ के लिए $\sum a_n^p$ और $\int g^p$ की तथा तदनुसार $H$ -औसतों की तुलना करके भाग I से हार्डी की विविक्त असमिका निकालिए: $a_n \geq 0$ के लिए

$\sum_{n\geq1}\Bigl(\frac{a_1 + \dots + a_n}{n}\Bigr)^{p} \;\leq\; \Bigl(\frac{p}{p-1}\Bigr)^{p}\,\sum_{n\geq1}a_n^p$

— इसे पहले अनवर्धी $(a_n)$ के लिए उपर्युक्त तुलना से सिद्ध कीजिए, फिर व्यापक स्थिति को पुनर्विन्यास द्वारा अनवर्धी स्थिति तक सिमटाइए (एक पंक्ति के औचित्य के साथ यह स्वीकार कीजिए कि $(a_n)$ को घटते क्रम में छाँटने से बायाँ पक्ष केवल बढ़ सकता है जबकि दायाँ पक्ष अपरिवर्तित रहता है)।
निष्कर्ष निकालिए: यदि $\sum a_n^p < \infty$ हो, तो $(a_n)$ के चेज़ारो माध्य भी $\ell^p$ में होते हैं — और ऐसा उदाहरण दीजिए ( $p = 2$ ) जिसमें $(a_n) \in \ell^2$ हो पर $a_n$ योग्य न हो, फिर भी हार्डी माध्यों को नियंत्रित कर ले।

भाग IV — उपसंहार।

दर्शाइए कि $p = 1$ के लिए हार्डी की असमिका विफल हो जाती है: $f = \mathbf 1_{\intcc01}$ के साथ $Hf$ परिकलित कीजिए और $Hf \notin L^1$ पर ध्यान दीजिए। उपपत्ति कहाँ टूटती है?

भाग V — महत्तम फलन, और लेबेग की अवकलन प्रमेय। हार्डी मूल बिंदु से औसत लेता है; हार्डी–लिटिलवुड प्रत्येक बिंदु के आसपास औसत लेते हैं। $f \in L^1(\R)$ के लिए परिभाषित कीजिए

Mf(x) = \sup_{r>0}\ \frac1{2r}\int_{x-r}^{x+r}\abs f\,\dd\lambda .

(विटाली, परिमित रूप) मान लीजिए $B_1, \dots, B_N$ विवृत अंतराल हैं। दर्शाइए कि कोई असंयुक्त उपकुल $B_{i_1}, \dots, B_{i_k}$ ऐसा है कि $\bigcup_jB_j \subseteq \bigcup_l3B_{i_l}$ , जहाँ $3B$ उसी केंद्र और तिगुनी लंबाई वाले अंतराल को निरूपित करता है (लोभी विधि: बार-बार वह सबसे लंबा अंतराल चुनिए जो पहले चुने गए अंतरालों से असंयुक्त हो)।
(दुर्बल प्रकार $(1,1)$ ) दर्शाइए कि प्रत्येक $t > 0$ के लिए

$\lambda\bigl(\{Mf > t\}\bigr) \;\leq\; \frac3t\,\norm f_1 :$

$Mf(x) > t$ वाला प्रत्येक $x$ $\int_{B_x}\abs f > t\,\lambda(B_x)$ वाला कोई केंद्रित अंतराल $B_x$ रखता है; कोई संहत $K \subseteq \{Mf > t\}$ लीजिए (आंतरिक नियमितता), उसे परिमित संख्या के $B_x$ से आच्छादित कीजिए, प्रश्न 11 लगाइए, और निःशेष कीजिए।
$x > 1$ के लिए $M\mathbf 1_{\intcc01}(x)$ परिकलित कीजिए और निष्कर्ष निकालिए कि प्रत्येक $f \neq 0$ के लिए $Mf \notin L^1$ (अनंत पर $Mf(x) \geq \frac c{\abs x}$ ): अर्थात् $p = 1$ पर प्रश्न 12 की दुर्बल असमिका ही सर्वोत्तम संभव कथन है।
( $p > 1$ के लिए प्रबल प्रकार) $f \in L^p$ के लिए: $f = f\,\mathbf 1_{\abs f > t/2} + f\,\mathbf 1_{\abs f \leq t/2}$ को बाँटिए, $Mf \leq M\bigl(f\mathbf 1_{\abs f > t/2}\bigr) + \frac t2$ पर ध्यान दीजिए, और प्रश्न 12 को परत-केक सूत्र (प्रतिज्ञप्ति 11.8) तथा टोनेली के साथ मिलाकर सिद्ध कीजिए

$\norm{Mf}_p^p \;\leq\; \frac{6p\,2^{p-1}}{p-1}\,\norm f_p^p .$

( $p \downarrow 1$ पर विस्फोट प्रश्न 13 की विफलता ही है, मात्रात्मक रूप में।)
(लेबेग की अवकलन प्रमेय) सिद्ध कीजिए: $f \in L^1(\R)$ के लिए

$\frac1{2r}\int_{x-r}^{x+r}f\,\dd\lambda \;\longrightarrow\; f(x) \qquad (r \to 0)\quad\text{लगभग प्रत्येक }x\text{ के लिए} .$

(संतत $f$ के लिए स्पष्ट। व्यापक स्थिति में $f = g + h$ लिखिए, जहाँ $g$ संहत आलंब वाला संतत है और $\norm h_1 < \varepsilon$ (प्रमेय 12.6); जिस समुच्चय पर औसतित दोलन का $\limsup_{r\to0}$ $\delta$ से अधिक है वह $\{Mh > \delta/2\} \cup \{\abs h > \delta/2\}$ के भीतर बैठता है, जिसका माप $O(\varepsilon/\delta)$ है; अब $\varepsilon \to 0$ लीजिए, फिर किसी अनुक्रम के अनुदिश $\delta \to 0$ ।)
निष्कर्ष निकालिए: (क) लगभग प्रत्येक बिंदु $f$ का लेबेग बिंदु है; (ख) $f \in L^1$ के लिए आद्यंतर $F(x) = \int_0^xf$ लगभग सर्वत्र अवकलनीय है और लगभग सर्वत्र $F' = f$ — अर्थात् लेबेग संसार में कलन की मूल प्रमेय का समाकल वाला आधा भाग, जो सीढ़ी (समस्या 9.1) से खुले वृत्त को बंद कर देता है, क्योंकि सीढ़ी ने दिखाया था कि विलोम आधा भाग विफल हो सकता है।
(घनत्व बिंदु) मापनीय $A \subseteq \R$ के लिए दर्शाइए कि लगभग प्रत्येक $x \in A$ $\frac{\lambda(A\cap\intcc{x-r}{x+r})}{2r} \to 1$ को संतुष्ट करता है: अर्थात् मापनीय समुच्चय अपने लगभग सभी बिंदुओं पर स्थानीय रूप से भरे हुए होते हैं। दो पंक्तियों में रेखांकित कीजिए कि इससे श्टाइनहाउस की प्रमेय (अभ्यास 9.8) की एक और उपपत्ति कैसे निकलती है।

भाग VI — औसतीकरण की विषय-वस्तु पर विविधताएँ।

(भारित हार्डी) $\alpha < p - 1$ और $f \geq 0$ के लिए उसी खंडशः समाकलन से दर्शाइए

$\int_0^\infty\Bigl(\frac{F(x)}x\Bigr)^{p} x^{\alpha}\,\dd x \;\leq\; \Bigl(\frac{p}{p - 1 - \alpha}\Bigr)^{p} \int_0^\infty f(x)^p\,x^{\alpha}\,\dd x$

और जाँचिए कि सीमांत स्थिति $\alpha = p - 1$ वास्तव में वर्जित है (प्रश्न 10 का प्रतिउदाहरण अनुकूलित कीजिए)।
(संलग्न) मान लीजिए $H^*f(x) = \int_x^{\infty}\frac{f(t)}t\,\dd t$ । अऋणात्मक $f, g$ के लिए $\langle Hf, g\rangle = \langle f, H^*g\rangle$ दर्शाइए (टोनेली), और $\norm{H^*f}_p \leq p\,\norm f_p$ सिद्ध कीजिए (सीधे खंडशः, अथवा द्वैतता से संयुग्मी घातांक पर हार्डी से — ध्यान दीजिए कि कौन-सा घातांक कौन-सा नियतांक उठाता है)।
(हिल्बर्ट प्रकार की एक असमिका) इससे निष्कर्ष निकालिए कि अऋणात्मक $f \in L^p$ , $g \in L^q$ के लिए:

$\int_0^\infty\!\!\int_0^\infty \frac{f(x)\,g(y)}{\max(x,y)}\,\dd x\,\dd y \;\leq\; (p + q)\,\norm f_p\,\norm g_q$

( $y < x$ / $y \geq x$ के अनुदिश बाँटिए: प्रत्येक आधा एक फलन की दूसरे के हार्डी रूपांतर के साथ युग्मन है)।
(इष्टतमता, विविक्त) दर्शाइए कि प्रश्न 8 का नियतांक $\bigl(\frac p{p-1}\bigr)^p$ भी इष्टतम है: $a_n = n^{-1/p}\,\mathbf 1_{n \leq N}$ पर परीक्षा लीजिए, दोनों पक्षों की समाकलों से तुलना कीजिए, और $N \to \infty$ जाने दीजिए (भाग II का विविक्त दर्पण)।
(संश्लेषण) इस समस्या में तीन औसतीकरण संकारक आए: हार्डी का $H$ , विविक्त चेज़ारो माध्य, और महत्तम संकारक $M$ । प्रत्येक की परिबद्धता क्या कहती है, यह एक-एक पंक्ति में कहिए, ध्यान दीजिए कि तीनों ठीक $p = 1$ पर विफल होते हैं, और समझाइए कि यह एक ही विफलता तीन बार क्यों है (हरात्मक पुच्छ $\frac1x$ )।

भाग VII — कार्लमान की असमिका, और तीक्ष्ण कितना तीक्ष्ण।

(कार्लमान की असमिका) मान लीजिए $\sum a_n < \infty$ के साथ $a_n \geq 0$ । प्रश्न 8 की विविक्त हार्डी असमिका $b_n = a_n^{1/p}$ पर लगाइए, समांतर–गुणोत्तर माध्य असमिका का उपयोग कीजिए, और $p \to \infty$ जाने दीजिए (दर्शाइए कि $p \mapsto \bigl(\frac p{p-1}\bigr)^p$ घटकर $\eu$ तक जाता है), जिससे

$\sum_{n\geq1}\bigl(a_1a_2\cdots a_n\bigr)^{1/n} \;\leq\; \eu\,\sum_{n\geq1}a_n :$

मिल जाए: अर्थात् किसी योग्य अनुक्रम के गुणोत्तर माध्य भी योग्य होते हैं, और कीमत अधिकतम $\eu$ ।
(नियतांक $\eu$ इष्टतम है) $a_n = \frac1n\,\mathbf 1_{n\leq N}$ पर परीक्षा लीजिए: समस्या 11.1 के स्टर्लिंग कोष्ठन का उपयोग करके $(n!)^{-1/n} = \frac\eu n\bigl(1 + O\bigl(\frac{\ln n}n\bigr)\bigr)$ दर्शाइए, निष्कर्ष निकालिए कि कार्लमान के दोनों पक्ष $\eu\ln N$ की तरह बढ़ते हैं, और निष्कर्ष निकालिए कि $\eu$ से छोटा कोई नियतांक काम नहीं कर सकता। (प्रतिरूप पर ध्यान दीजिए: हार्डी और कार्लमान दोनों के इष्टतमकारी वही हरात्मक प्रकार के अनुक्रम हैं जो समष्टि में होने से बाल-बाल चूक जाते हैं।)
(“तीक्ष्ण” तक कितनी धीमी पहुँच?) $p = 2$ लीजिए। $f = \mathbf 1_{\intcc01}$ के लिए परिबंध $2$ के सामने $\norm{Hf}_2/\norm f_2 = \sqrt2$ परिकलित कीजिए। प्रश्न 5 के निकट-इष्टतमकारी $f_A$ के लिए यथार्थ सर्वसमिका

$\norm{Hf_A}_2^2 = 4\ln A - 8 + \frac{8}{\sqrt A}, \qquad\text{अतः}\qquad \frac{\norm{Hf_A}_2^2}{\norm{f_A}_2^2} = 4 - \frac{8 - 8A^{-1/2}}{\ln A} .$

सिद्ध कीजिए। $A = \eu^{10}$ पर मान निकालिए (अनुपात $\approx 1.790$ ) और टिप्पणी कीजिए: उच्चतम $2$ तक केवल $1/\ln A$ की गति से पहुँचा जाता है — अर्थात् कोई इष्टतम नियतांक संख्यात्मक दृष्टि से लगभग अदृश्य हो सकता है।

हल

हल — समस्या 12.1.

1. $f$ का आलंब किसी $[\alpha, \beta] \subseteq \intoo0\infty$ में है, अतः $[0, \alpha]$ पर $F = 0$ और $[\beta, \infty)$ पर $F \equiv F(\beta)$ : इसलिए $Hf$ $0$ के निकट लुप्त हो जाता है और अनंत पर $O(1/x)$ है; $p > 1$ के लिए $\int_1^\infty x^{-p}\dd x < \infty$ , और $Hf$ संतत है: $Hf \in L^p$ ।

2. $\bigl(x^{1-p}F(x)^p\bigr)' = (1-p)x^{-p}F^p + p\,x^{1-p}F^{p-1}f$ । दोनों परिसीमा मान लुप्त हो जाते हैं: $0$ पर इसलिए कि $0$ के निकट $F = 0$ ; और $\infty$ पर इसलिए कि $x^{1-p}F^p \leq F(\beta)^p x^{1-p} \to 0$ ( $p > 1$ )। इस सर्वसमिका का $\intoo0\infty$ पर समाकलन:

0 = (1 - p)\int_0^\infty\Bigl(\frac Fx\Bigr)^p\dd x + p\int_0^\infty\Bigl(\frac Fx\Bigr)^{p-1}f(x)\,\dd x,

जो दिखाया गया संबंध है।

3. घातांकों $q = \frac p{p-1}$ और $p$ के साथ होल्डर:

\int\Bigl(\frac Fx\Bigr)^{p-1}f \leq \Bigl(\int\Bigl(\frac Fx\Bigr)^{p}\Bigr)^{1 - 1/p}\,\norm f_p ,

अतः $\norm{Hf}_p^p \leq \frac p{p-1}\norm{Hf}_p^{p-1}\norm f_p$ ; भाग दीजिए (प्रश्न 1 से परिमित, और यदि $0$ हो तो सिद्ध करने को कुछ नहीं)।

4. मान लीजिए $f \in L^p$ , $f \geq 0$ । $L^p$ में $\varphi_k \to f$ वाला $\varphi_k \in \mathcal C_c(\intoo0\infty)$ चुनिए (प्रमेय 12.6(2), विवृत अर्ध-रेखा से प्रतिच्छेदित — $f\mathbf 1_{[1/k, k]}$ का आसन्नन कीजिए और विकर्ण लीजिए), और $\varphi_k$ को $\abs{\varphi_k}$ से बदल दीजिए (अब भी संतत, और $f \geq 0$ के अधिक निकट)। प्रत्येक स्थिर $x > 0$ के लिए $\intoo0x$ पर होल्डर

\abs{H\varphi_k(x) - Hf(x)} \leq \frac1x\,x^{1 - 1/p}\,\norm{\varphi_k - f}_p \to 0 :

देता है, और बिंदुशः $H\varphi_k \to Hf$ । फतू और प्रश्न 3:

\int (Hf)^p \leq \liminf_k\int(H\varphi_k)^p \leq \Bigl(\frac p{p-1}\Bigr)^p\liminf_k\norm{\varphi_k}_p^p = \Bigl(\frac p{p-1}\Bigr)^p\norm f_p^p .

चिह्नयुक्त या सम्मिश्र $f$ के लिए: बिंदुशः $\abs{Hf} \leq H\abs f$ , और ऋणेतर स्थिति $\abs f$ पर लागू होती है।

5. $\norm{f_A}_p^p = \int_1^A t^{-1}\dd t = \ln A$ । $1 \leq x \leq A$ के लिए:

(Hf_A)(x) = \frac1x\int_1^x t^{-1/p}\dd t = \frac{x^{1 - 1/p} - 1}{(1 - \tfrac1p)\,x} = \frac p{p-1}\,x^{-1/p}\bigl(1 - x^{-(1 - 1/p)}\bigr).

6. $\varepsilon > 0$ और $x \geq X_0$ के लिए $(1 - x^{-(1-1/p)})^p \geq 1 - \varepsilon$ वाला $X_0$ स्थिर कीजिए। तब

\norm{Hf_A}_p^p \geq \int_{X_0}^A\Bigl(\frac p{p-1}\Bigr)^p\frac{1 - \varepsilon}{x}\,\dd x = \Bigl(\frac p{p-1}\Bigr)^p(1 - \varepsilon)\,(\ln A - \ln X_0),

अतः $A \to \infty$ पर $\dfrac{\norm{Hf_A}_p^p}{\norm{f_A}_p^p} \geq \bigl(\frac p{p-1}\bigr)^p(1 - \varepsilon)\bigl(1 - \frac{\ln X_0}{\ln A}\bigr) \to \bigl(\frac p{p-1}\bigr)^p(1 - \varepsilon)$ : इसलिए अचर को सुधारा नहीं जा सकता।

7. प्रश्न 3 में बराबरी होल्डर में बराबरी अनिवार्य कर देती है: अर्थात् लगभग सर्वत्र $f^p$ $\bigl(\frac Fx\bigr)^{(p-1)q} = \bigl(\frac Fx\bigr)^p$ का समानुपाती, यानी किसी $\gamma \geq 0$ के लिए लगभग सर्वत्र $f = \gamma\,\frac Fx$ । चूँकि $F(x) = \int_0^xf$ निरपेक्षतः संतत है और लगभग सर्वत्र $F' = f$ , अतः $F$ $F' = \gamma F/x$ हल करता है: जिस भी अंतराल पर $F > 0$ हो वहाँ $(\ln F)' = \gamma/x$ , अतः $F = c\,x^{\gamma}$ और वहाँ $f = c\gamma x^{\gamma - 1}$ । पर कोई शून्येतर घात $x^{\gamma-1}$ $L^p(\intoo0\infty)$ में नहीं होती ( $\infty$ पर $p(\gamma - 1) < -1$ चाहिए और $0$ पर $> -1$ : असंगत), और $F$ सर्वथा लुप्त नहीं हो सकता जब तक $f = 0$ न हो। अतः बराबरी $f = 0$ माँगती है।

8. अनवर्धमान $\geq 0$ $(a_n)$ दिया हो, तो $\intoo0{+\infty}$ पर सोपान फलन $g(t) = a_{\lceil t\rceil}$ परिभाषित कीजिए: यह अनवर्धमान है, जिसमें $\int_0^\infty g^p = \sum_na_n^p$ और $\int_0^ng = a_1 + \dots + a_n$ , अतः $(Hg)(n) = \frac{a_1 + \dots + a_n}n$ । किसी अनवर्धमान फलन का औसत अनवर्धमान होता है, अतः $Hg$ भी वैसा ही है, और भाग I से

\sum_{n\geq1}\Bigl(\frac{a_1{+}\dots{+}a_n}n\Bigr)^p = \sum_{n\geq1}(Hg)(n)^p \leq \sum_{n\geq1}\int_{n-1}^n (Hg)(t)^p\,\dd t = \norm{Hg}_p^p \leq \Bigl(\frac p{p-1}\Bigr)^p\sum_n a_n^p

किसी व्यापक ऋणेतर अनुक्रम के लिए मान लीजिए $(a_n^*)$ उसका अनवर्धमान पुनर्विन्यास है (यह $a_n \to 0$ होने पर संभव है, और हम वैसा मान सकते हैं — अन्यथा दोनों पक्ष अनंत हैं): दायाँ पक्ष अपरिवर्तित रहता है, और प्रत्येक आंशिक योग $a_1 + \dots + a_n$ अधिक से अधिक $a_1^* + \dots + a_n^*$ है ( $n$ सबसे बड़े पद): अतः बायाँ पक्ष केवल बढ़ता है। इसलिए सभी $(a_n)$ के लिए असमिका।

9. यदि $(a_n) \in \ell^p$ हो, तो चेज़ारो माध्यों का अनुक्रम मानक $\leq \frac p{p-1}\norm a_p$ के साथ $\ell^p$ में है। उदाहरण ( $p = 2$ ): $a_n = \frac1{\sqrt n\,\ln n}$ ( $n \geq 2$ ): $\sum a_n^2 = \sum\frac1{n\ln^2n} < \infty$ , फिर भी $\sum a_n = \infty$ (समाकल परीक्षा); हार्डी फिर भी $\sum_n\bigl(\frac{a_1 + \dots + a_n}n\bigr)^2 < \infty$ की प्रत्याभूति देते हैं।

10. $f = \mathbf 1_{\intcc01}$ के लिए: $\intoc01$ पर $Hf(x) = 1$ और $x \geq 1$ के लिए $= \frac1x$ : $\int_0^\infty Hf = 1 + \int_1^\infty\frac{\dd x}x = \infty$ , जबकि $\norm f_1 = 1$ । उपपत्ति दो स्थानों पर ढह जाती है: अचर $\frac p{p-1}$ $p \to 1$ पर फट जाता है, और परिसीमा पद $x^{1-p}F^p$ $p = 1$ के लिए अनंत पर अब लुप्त नहीं होता। हार्डी की असमिका एक ईमानदार $p > 1$ परिघटना है।

11. सबसे लंबा अंतराल $B_{i_1}$ चुनिए; उससे मिलने वाला प्रत्येक अंतराल हटा दीजिए; बचे हुओं में से सबसे लंबा $B_{i_2}$ चुनिए; और पुनरावृत्ति कीजिए (अंतराल परिमित संख्या में हैं)। चुने गए रचना से असंयुक्त हैं, और हटाया गया प्रत्येक $B$ कम से कम उतने ही लंबे किसी चुने गए अंतराल से मिला था: और किसी लंबे-या-बराबर अंतराल से मिलने वाला अंतराल उसके तिगुने $B \subseteq 3B_{i_l}$ में अंतर्विष्ट होता है।

12. $\{Mf > t\}$ विवृत है: प्रत्येक औसत $x \mapsto \frac1{2r}\int_{x-r}^{x+r}\abs f$ संतत है ( $x$ में प्रभावी अभिसरण), और संतत फलनों का कोई उच्चतम अधःसंतत होता है। उसका प्रत्येक $x$ $\int_{B_x}\abs f > t\,\lambda(B_x)$ वाला $B_x = \intoo{x-r_x}{x+r_x}$ रखता है। संहत $K \subseteq \{Mf > t\}$ के लिए: परिमित संख्या के $B_x$ $K$ को आच्छादित कर लेते हैं, विटाली (प्रश्न 11) $K \subseteq \bigcup_l3B_l'$ वाले असंयुक्त $B_1', \dots, B_k'$ निकाल लेते हैं, अतः असंयुक्तता से

\lambda(K) \leq 3\sum_l\lambda(B_l') < \frac3t\sum_l\int_{B_l'}\abs f \leq \frac3t\,\norm f_1

और आंतरिक नियमितता (प्रमेय 9.13) से बात पूरी हो जाती है।

13. $x > 1$ के लिए: $r \in \intcc{x-1}x$ के साथ औसत $\frac{r - x + 1}{2r}$ है, जो $r$ में बढ़ता है; और $r \geq x$ के लिए वह $\frac1{2r}$ है, जो घटता है: अतः उच्चतम $\frac1{2x}$ है, जो $r = x$ पर प्राप्त होता है। इसलिए $M\mathbf 1_{\intcc01} \notin L^1$ । व्यापक रूप से, यदि किसी परिबद्ध अंतराल $I \subseteq \intcc{-C}C$ पर $\int_I\abs f = c > 0$ हो, तो सभी $x$ के लिए $Mf(x) \geq \frac{c}{2(\abs x + C)}$ : अतः जब तक लगभग सर्वत्र $f = 0$ न हो तब तक कभी समाकलनीय नहीं।

14. $f_t = f\,\mathbf 1_{\abs f > t/2}$ के साथ: $M(f - f_t) \leq \frac t2$ , अतः $\{Mf > t\} \subseteq \{Mf_t > \frac t2\}$ और प्रश्न 12 $\lambda(Mf > t) \leq \frac6t\int_{\abs f > t/2}\abs f$ देता है। परत-केक (प्रतिज्ञप्ति 11.8) और टोनेली:

\norm{Mf}_p^p = p\int_0^\infty t^{p-1}\lambda(Mf > t)\dd t \leq 6p\int\abs f\int_0^{2\abs f}t^{p-2}\,\dd t\,\dd\lambda = \frac{6p\,2^{p-1}}{p-1}\,\norm f_p^p .

15. $A_rf(x) = \frac1{2r}\int_{x-r}^{x+r}f$ लिखिए। संतत $g$ के लिए: सर्वत्र $A_rg(x) \to g(x)$ । $\varepsilon > 0$ दिया हो, तो संहत आलंब वाले संतत $g$ और $\norm h_1 < \varepsilon$ (प्रमेय 12.6) के साथ $f = g + h$ में विभाजित कीजिए; तब

\limsup_{r\to0}\,\abs{A_rf(x) - f(x)} \leq Mh(x) + \abs{h(x)},

अतः $\Omega_\delta = \{\limsup_r\abs{A_rf - f} > \delta\} \subseteq \{Mh > \tfrac\delta2\} \cup \{\abs h > \tfrac\delta2\}$ का माप $\leq \frac{6\varepsilon}\delta + \frac{2\varepsilon}\delta$ है (प्रश्न 12; मार्कोव)। $\varepsilon$ स्वेच्छ: $\lambda(\Omega_\delta) = 0$ ; और $\delta = \frac1k$ पर संघ: लगभग सर्वत्र $A_rf \to f$ ।

16. (क) प्रत्येक $q \in \Q$ के लिए $\abs{f - q}$ पर लगाया गया प्रश्न 15 लगभग सर्वत्र $A_r\abs{f - q}(x) \to \abs{f(x) - q}$ देता है; और इन पूर्ण-माप समुच्चयों के प्रतिच्छेद पर $\abs{f(x) - q} < \eta$ वाला $q$ चुनने पर: प्रत्येक $\eta$ के लिए $\limsup_rA_r\abs{f - f(x)}(x) \leq 2\eta$ : अर्थात् लगभग प्रत्येक $x$ कोई लेबेग बिंदु है। (ख) किसी लेबेग बिंदु पर

\Bigl|\frac{F(x + h) - F(x)}h - f(x)\Bigr| = \Bigl|\frac1h\int_x^{x+h}\bigl(f - f(x)\bigr)\Bigr| \leq 2\,A_{\abs h}\abs{f - f(x)}(x) \to 0 :

लगभग सर्वत्र $F' = f$ — अर्थात् $L^1$ फलनों के आद्यंतर वस्तुतः वापस अवकलित हो जाते हैं; और सीढ़ी (समस्या 9.1) केवल विलोम दिशा का प्रतिउदाहरण है।

17. प्रश्न 15 को $\mathbf 1_{A\cap[-n,n]}$ पर लगाइए और $n$ को बढ़ने दीजिए: लगभग प्रत्येक $x \in A$ के लिए घनत्व $\frac{\lambda(A\cap\intcc{x-r}{x+r})}{2r} \to 1$ । श्टाइनहाउस: किसी घनत्व बिंदु के चारों ओर घनत्व $> \frac34$ वाला $r$ लीजिए; $\abs t < \frac r2$ के लिए $A$ और $A + t$ प्रत्येक लंबाई $\leq \frac52r$ के किसी अंतराल का $\frac32r$ से अधिक भाग भर देते हैं, अतः वे प्रतिच्छेद करते हैं: $\intoo{-r/2}{r/2} \subseteq A - A$ ।

18. मान लीजिए $G(x) = x^{\alpha+1-p}F(x)^p$ : $G$ $0$ पर लुप्त होता है ( $0$ के निकट $F$ लुप्त होता है) और $\infty$ पर भी ( $F$ परिबद्ध, $\alpha + 1 - p < 0$ ), अतः $\int_0^\infty G' = 0$ जिसमें

G' = (\alpha + 1 - p)\,x^{\alpha-p}F^p + p\,x^{\alpha+1-p}F^{p-1}f = (\alpha + 1 - p)\Bigl(\frac Fx\Bigr)^px^\alpha + p\Bigl(\frac Fx\Bigr)^{p-1}f\,x^\alpha .

इसलिए $\int(F/x)^px^\alpha = \frac{p}{p-1-\alpha} \int(F/x)^{p-1}f\,x^\alpha$ ; और माप $x^\alpha\dd x$ के लिए होल्डर (घातांक $\frac p{p-1}$ और $p$ ) प्रश्न 3 की भाँति बात पूरी कर देता है। सीमांत $\alpha = p - 1$ : $f(t) = \frac1t\mathbf 1_{\intcc1A}$ के साथ दायाँ पक्ष $\ln A$ है जबकि बाएँ में $\int_1^A\frac{(\ln x)^p}x\dd x = \frac{(\ln A)^{p+1}}{p+1}$ है: $A \to \infty$ पर कोई अचर नहीं बचता।

19. $\{0 < t < x\}$ पर टोनेली:

\langle Hf, g\rangle = \int_0^\infty\frac{g(x)}x\int_0^xf(t)\,\dd t\,\dd x = \int_0^\infty f(t)\int_t^\infty\frac{g(x)}x\,\dd x\,\dd t = \langle f, H^*g\rangle .

द्वैतता: $\norm{H^*f}_p = \sup\{\langle f, Hg\rangle : g \geq 0, \norm g_q \leq 1\} \leq \norm f_p\cdot \sup\norm{Hg}_q \leq \frac q{q-1}\norm f_p = p\,\norm f_p$ , जिसमें हार्डी को $L^q$ में लगाया गया है और जिसका अचर $\frac q{q-1}$ $p$ के बराबर है।

20. (अकिंचन) विकर्ण के अनुदिश विभाजित कीजिए। $\{y \leq x\}$ पर:

\iint_{y\leq x}\frac{f(x)g(y)}{x}\,\dd y\,\dd x = \int f(x)\,(Hg)(x)\,\dd x \leq \norm f_p\,\norm{Hg}_q \leq p\,\norm f_p\norm g_q,

क्योंकि $L^q$ में हार्डी अचर $\frac q{q-1} = p$ ढोते हैं। सममित रूप से $\iint_{y>x} = \int g\,(Hf) \leq \norm g_q\norm{Hf}_p \leq q\,\norm f_p\norm g_q$ ( $\frac p{p-1} = q$ )। कुल: $(p + q)\,\norm f_p\norm g_q$ ।

21. $a_n = n^{-1/p}$ के लिए $n \leq N$ : दायाँ पक्ष $\bigl(\frac p{p-1}\bigr)^p\sum_{n\leq N}\frac1n = \bigl(\frac p{p-1}\bigr)^p\ln N + O(1)$ है। बाईं ओर, $n \leq N$ के लिए: $a_1 + \dots + a_n \geq \int_1^{n+1}t^{-1/p}\dd t = \frac{p}{p-1}\bigl((n+1)^{1-1/p} - 1\bigr)$ , अतः $n$ -वाँ चेज़ारो माध्य किसी भी परास $n \geq n_0(\eta)$ में $n$ के लिए एकसमान रूप से $\geq \frac p{p-1}n^{-1/p}(1 - o(1))$ है; $p$ घात लेकर योग करने पर बायाँ पक्ष $\geq \bigl(\frac p{p-1}\bigr)^p(1 - \eta)\ln N + O_\eta(1)$ है। भाग देकर पहले $N \to \infty$ और फिर $\eta \to 0$ लेने पर: $\bigl(\frac p{p-1}\bigr)^p$ से छोटा कोई अचर काम नहीं कर सकता।

22. $L^p$ पर $H$ परिबद्ध: संचयी औसत $p$ -मानकों को नहीं फुलाते (अचर $\frac p{p-1}$ ); $\ell^p$ पर चेज़ारो: वही, विविक्त रूप में; $L^p$ पर $M$ परिबद्ध: सबसे अच्छा स्थानीय औसत भी नियंत्रण में रहता है (अचर $O(\frac1{p-1})$ )। तीनों $p = 1$ पर विफल हो जाते हैं, और एक ही कारण से: द्रव्यमान की किसी संकेंद्रित इकाई का औसत लेने से $\frac1x$ पुच्छ उत्पन्न होती है (प्रश्न 10 और 13), और $\frac1x$ अनंत के निकट $L^1$ को छोड़कर प्रत्येक $L^p$ में होता है। मृदुकरण द्रव्यमान को ठीक समाकलनीयता के प्रसंवादी सीमांत तक फैला देता है।

23. $b_n = a_n^{1/p}$ रखिए, अतः $\sum b_n^p = \sum a_n$ । प्रश्न 8

\sum_{n\geq1}\Bigl(\frac{b_1 + \dots + b_n}n\Bigr)^{p} \leq \Bigl(\frac p{p-1}\Bigr)^{p}\sum_{n\geq1}a_n,

देता है, और समांतर माध्य–गुणोत्तर माध्य प्रत्येक योज्य पद को नीचे से परिबद्ध कर देता है:

\Bigl(\frac{b_1 + \dots + b_n}n\Bigr)^{p} \geq \bigl(b_1\cdots b_n\bigr)^{p/n} = \bigl(a_1\cdots a_n\bigr)^{1/n}.

अतः प्रत्येक $p > 1$ के लिए $\sum(a_1\cdots a_n)^{1/n} \leq \bigl(\frac p{p-1}\bigr)^p\sum a_n$ । $m = p - 1$ के साथ

\Bigl(\frac p{p-1}\Bigr)^{p} = \Bigl(1 + \frac1m\Bigr)^{m+1},

जो $m \to \infty$ पर घटकर $\eu$ तक जाता है ( $\eu$ के लिए शास्त्रीय एकदिष्ट ऊपरी अनुक्रम)। $p$ पर निम्नतम लेने से अचर $\eu$ के साथ कार्लमान की असमिका मिल जाती है।

24. $a_n = \frac1n$ के लिए $(a_1\cdots a_n)^{1/n} = (n!)^{-1/n}$ । समस्या 11.1 का परिबंधन $\sqrt{2\pi n}\,(n/\eu)^n \leq n! \leq \sqrt{2\pi n}\,(n/\eu)^n\eu^{1/(12n)}$ देता है, अतः

(n!)^{1/n} = \frac n\eu\,(2\pi n)^{1/(2n)} \eu^{O(1/n^2)} = \frac n\eu\Bigl(1 + O\Bigl(\frac{\ln n}{n}\Bigr)\Bigr),

क्योंकि $(2\pi n)^{1/(2n)} = \exp\bigl(\frac{\ln(2\pi n)}{2n}\bigr)$ । प्रतिलोमन करने पर $(n!)^{-1/n} = \frac\eu n(1 + O(\frac{\ln n}n))$ , और $n \leq N$ पर योग लेने पर:

\sum_{n\leq N}(n!)^{-1/n} = \eu\ln N + O(1), \qquad \eu\sum_{n\leq N}\frac1n = \eu\ln N + O(1)

(त्रुटि श्रेणी $\sum\frac{\ln n}{n^2}$ अभिसरित होती है)। अचर $c$ वाली कोई कार्लमान असमिका $\eu\ln N + O(1) \leq c\,(\ln N + O(1))$ अनिवार्य कर देती, अतः $\ln N$ से भाग देने पर $c \geq \eu$ । अनुकूलक अनुक्रम पंक्तिबद्ध हो जाते हैं: हार्डी के अचर तक $n^{-1/p}$ से पहुँचा जाता है (प्रश्न 21), और कार्लमान के अचर तक $n^{-1}$ से — और प्रत्येक दशा में वह प्रसंवादी-प्रकार का अनुक्रम जो जिस समष्टि का औसत लिया जा रहा है उसके ठीक बाहर बैठा हो।

25. $f = \mathbf 1_{\intcc01}$ के लिए: $\intoc01$ पर $Hf(x) = 1$ और $x > 1$ के लिए $Hf(x) = \frac1x$ , अतः $\norm{Hf}_2^2 = 1 + \int_1^\infty x^{-2}\dd x = 2$ और अनुपात $\sqrt2 \approx 1.414$ है, जो तीक्ष्ण परिबंध का लगभग $71\%$ है। $f_A$ ( $p = 2$ ) के लिए: $\intcc1A$ पर $F(x) = 2(\sqrt x - 1)$ , अतः उस परास पर $Hf_A = 2x^{-1/2} - 2x^{-1}$ और, $x > A$ के लिए, $Hf_A(x) = 2(\sqrt A - 1)/x$ । वर्ग करके समाकलन करने पर

\begin{align*} \int_1^A\bigl(2x^{-1/2} - 2x^{-1}\bigr)^2\dd x &= 4\ln A - 12 + \frac{16}{\sqrt A} - \frac4A,\\ \int_A^{\infty}\frac{4(\sqrt A - 1)^2}{x^2}\,\dd x &= 4 - \frac{8}{\sqrt A} + \frac4A, \end{align*}

जिससे $\norm{Hf_A}_2^2 = 4\ln A - 8 + 8A^{-1/2}$ ; और $\norm{f_A}_2^2 = \ln A$ से भाग देने पर कहा गया समीकरण मिल जाता है। $A = \eu^{10}$ पर: $4 - \frac{8(1 - \eu^{-5})}{10} = 3.2054$ , अतः अनुपात $\sqrt{3.2054} \approx 1.790 < 2$ है। दोष $4 - \norm{Hf_A}_2^2/\norm{f_A}_2^2 \sim 8/\ln A$ केवल लघुगणकीय रूप से क्षय होता है: अनुपात $1.99$ तक पहुँचने के लिए $\ln A \approx 200$ चाहिए होता, अर्थात् $A \approx 10^{87}$ । तीक्ष्ण अचर प्रमेय हैं, प्रयोग नहीं।

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