मानदंड क्या है? — गणित

परिभाषा 5.1 विश्वविद्यालय गणित — स्नातक वर्ष 2 · अध्याय 5 — मानदंडित सदिश समष्टियाँ

$E$ पर मानदंड ऐसा प्रतिचित्रण $\norm{\,\cdot\,} \colon E \to \R_+$ है कि सभी $x, y \in E$ , $\lambda \in K$ के लिए:

\norm x = 0 \iff x = 0, \qquad \norm{\lambda x} = \abs\lambda\,\norm x, \qquad \norm{x + y} \leq \norm x + \norm y .

तब $d(x, y) = \norm{x - y}$ एक दूरी है, और अध्याय 4 की पूरी सामग्री लागू हो जाती है। विपरीत त्रिभुज असमिका $\bigl|\norm x - \norm y\bigr| \leq \norm{x - y}$ मानदंड को स्वयं $1$ -लिप्शिट्स बना देती है; और योग तथा अदिश गुणन संतत होते हैं (आकलन $\norm{(x + y) - (x' + y')} \leq \norm{x - x'} + \norm{y - y'}$ इत्यादि)।

उदाहरण

उदाहरण 5.2

$K^n$ पर:

\norm{x}_1 = \sum_i \abs{x_i}, \qquad \norm{x}_2 = \Bigl(\sum_i \abs{x_i}^2\Bigr)^{1/2}, \qquad \norm{x}_\infty = \max_i \abs{x_i}

( $\norm\cdot_2$ कोशी–श्वार्ज़ से मानदंड है, प्रथम वर्ष का खंड)। $C(\intcc{a}{b})$ पर:

\norm f_\infty = \sup \abs f, \qquad \norm f_1 = \int_a^b \abs f, \qquad \norm f_2 = \Bigl(\int_a^b \abs f^2\Bigr)^{1/2},

जिनमें अंतिम दो समाकल की यथार्थ धनात्मकता और समाकल कोशी–श्वार्ज़ (प्रथम वर्ष का खंड) के कारण मानदंड हैं। आव्यूहों पर: $\mathcal M_n(K) \simeq K^{n^2}$ का कोई भी मानदंड; और नीचे आने वाले संकारक मानदंड संरचनात्मक दृष्टि से महत्त्वपूर्ण हैं।

उदाहरण 5.4 (अनंत विमा में अतुल्यता)

$C(\intcc{0}{1})$ पर: $\norm f_1 \leq \norm f_\infty$ सदा, परंतु उलटा कोई परिबंध नहीं टिकता: $f_n(x) = x^n$ के लिए $\norm{f_n}_\infty = 1$ और $\norm{f_n}_1 = \frac{1}{n+1} \to 0$ होते हैं। अतः $\norm\cdot_1$ के लिए $f_n \to 0$ है पर $\norm\cdot_\infty$ के लिए नहीं: दोनों मानदंड अभिसरण के बारे में ही असहमत हैं।

उदाहरण 5.5 (विमा $n$ में स्पष्ट अचर)

$K^n$ पर तीनों क्लासिक मानदंड तीखे अचरों के साथ तुल्य हैं:

\norm x_\infty \leq \norm x_2 \leq \norm x_1 \leq \sqrt n\,\norm x_2 \leq n\,\norm x_\infty ,

जिनमें बीच वाला परिबंध $\norm x_1 \leq \sqrt n\norm x_2$ सर्व-एक सदिश के विरुद्ध कोशी–श्वार्ज़ से आता है। चरम सदिश: $e_1$ पहली दो असमिकाओं को समता बना देता है और $(1, 1, \dots, 1)$ अंतिम दो को। विमा $n$ अचरों में स्पष्ट दिखाई देती है — यही अनंत विमा में विफलता का परिमाणात्मक बीज है: $n \to \infty$ होने पर कोई एकसमान अचर नहीं बचता, और ठीक यही उदाहरण 5.4 फलन समष्टियों पर दिखा देता है।

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उदाहरण

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