बानाख समष्टि क्या है?

उदाहरण 5.20 (समाकलन का संकारक मानदंड)

$\bigl(C(\intcc01), \norm\cdot_\infty\bigr)$ पर $T(f)(x) = \int_0^x f(t)\,\dd t$ लीजिए (यह अंतःरूपांतरण है: $T(f)$ संतत है)। विधि 5.9 चलाइए। ऊपरी परिबंध:

अतः $\vertiii T \leq 1$। साक्षी: $f \equiv 1$ से $T(f)(x) = x$ और $\norm{T(f)}_\infty = 1 = \norm f_\infty$ मिलता है: अतः प्राप्त, $\vertiii T = 1$। परंतु ध्यान दीजिए कि $\vertiii{T^2} = \frac12 \neq \vertiii T^2$: वास्तव में $T^2(f)(x) = \int_0^x(x - t)f(t)\dd t$ के लिए $\abs{T^2(f)(x)} \leq \frac{x^2}2\norm f_\infty$, जो फिर $f \equiv 1$ पर प्राप्त होता है; और सामान्यतः $\vertiii{T^n} = \frac1{n!}$ — अर्थात् उपगुणात्मक परिबंध $\vertiii T^n = 1$ एक क्रमगुणित जितना चूक जाता है। यही वह परिघटना है जिसे अध्याय 4 की सप्ताहांत समस्या की पुनरावृत्त-युक्ति रैखिक अवकल समीकरणों की वैश्विक हल्यता में बदल देती है।

उदाहरण 5.22 (आव्यूह घातांकी, पहला परिचय)

आव्यूह घातांकी: किसी भी उपगुणात्मक मानदंड के साथ $\mathcal{M}_n(K)$ ($\vertiii{AB} \leq \vertiii A \vertiii B$) बानाख है (परिमित विमा)। तब प्रत्येक $A$ के लिए

निरपेक्ष रूप से अभिसरित होती है ($\vertiii{A^k/k!} \leq \vertiii A^k /k!$, जो योग्य है): अतः सुपरिभाषित। अध्याय 16 इसका क्रमबद्ध उपयोग करता है।