विश्वविद्यालय गणित — स्नातक वर्ष 3 · Bachelor Year 3

5परिमित समूहों के निरूपण

किसी अमूर्त समूह को समझने के लिए उसे किसी सदिश समष्टि पर क्रिया कराइए और उस क्रिया पर रैखिक बीजगणित — अभिलक्षणिक मान, अनुरेख, अंतःगुणन — लगाइए। यह कार्यक्रम, अर्थात् निरूपण सिद्धांत, $\C$ पर परिमित समूहों के लिए आश्चर्यजनक रूप से कारगर है: प्रत्येक निरूपण अखंडनीय निरूपणों में टूट जाता है (मास्के), अखंडनीय निरूपण अपने वर्णों (अनुरेखों) से निर्धारित हो जाते हैं, और वर्ण ऐसे लांबिकता संबंध संतुष्ट करते हैं जो परिकलन को यांत्रिक बना देते हैं। यह अध्याय इसी कलन को और उसकी पहली उत्कृष्ट कृतियों को — छोटे समूहों की वर्ण सारणियों को — खड़ा करता है, और सप्ताहांत समस्या एक ऐसी प्रमेय काटती है जो निरे समूह सिद्धांत की पहुँच से बहुत दूर है: बर्नसाइड की $p^aq^b$ प्रमेय। सर्वत्र $G$ एक परिमित समूह है और सभी सदिश समष्टियाँ $\C$ पर परिमित विमा की हैं।

5.1 निरूपण, मास्के, शूर

परिभाषा 5.1

$G$ का कोई निरूपण किसी $\C$ -सदिश समष्टि $V$ के लिए एक समाकारिता $\rho \colon G \to GL(V)$ है; $\dim V$ उसकी घात कहलाती है। कोई उपसमष्टि $W \subseteq V$ अपरिवर्ती कहलाती है यदि सभी $g$ के लिए $\rho(g)W \subseteq W$ हो; प्रतिबंध से $W$ एक उपनिरूपण बन जाता है। $\rho$ अखंडनीय कहलाता है यदि $V \neq 0$ हो और उसकी एकमात्र अपरिवर्ती उपसमष्टियाँ $0$ और $V$ हों। $(\rho, V)$ और $(\sigma, W)$ के बीच समाकारिता ऐसा रैखिक $f\colon V \to W$ है जिसके लिए सभी $g$ पर $f\rho(g) = \sigma(g)f$ हो (समतुल्यवर्तिता); एकैकी आच्छादक $f$ तुल्याकारिताएँ कहलाती हैं।

उदाहरण 5.2

(क) घात $1$ : समाकारिताएँ $G \to \C^\times$ । (ख) नियमित निरूपण: आधार $(e_h)_{h \in G}$ वाला $V = \C^G$ , जिसमें $\rho(g)e_h = e_{gh}$ ; घात $\abs G$ । (ग) किसी परिमित समुच्चय $X$ पर $G$ की क्रमचय क्रिया $\C^X$ पर क्रमचय निरूपण देती है: $\rho(g)e_x = e_{g\cdot x}$ । (घ) $S_n$ निर्देशांकों का क्रमचय करके $\C^n$ पर क्रिया करता है; अधिसमतल $\{\sum x_i = 0\}$ अपरिवर्ती है: यही घात $n - 1$ का मानक निरूपण है।

प्रमेय 5.3 (मास्के)

किसी निरूपण $(V, \rho)$ की प्रत्येक अपरिवर्ती उपसमष्टि $W$ का कोई अपरिवर्ती पूरक होता है। फलस्वरूप प्रत्येक निरूपण अखंडनीय निरूपणों का प्रत्यक्ष योग है (अर्धसरलता)।

उपपत्ति. मान लीजिए $p \colon V \to V$ प्रतिबिंब $W$ वाला कोई भी प्रक्षेप है (कोई भी पूरक चुन लीजिए)। उसका समूह पर औसत लीजिए:

\tilde p = \frac1{\abs G}\sum_{g \in G} \rho(g)\,p\,\rho(g)^{-1}.

प्रत्येक पद $V$ को $W$ में भेजता है ( $W$ अपरिवर्ती है) और $W$ को बिंदुशः स्थिर रखता है: $w \in W$ के लिए $\rho(g)^{-1}w \in W$ , $p$ उसे स्थिर रखता है, और $\rho(g)$ उसे वापस ले आता है — अतः $\tilde p$ पुनः $W$ पर एक प्रक्षेप है। वह समतुल्यवर्ती भी है: $h \in G$ के लिए $\rho(h)\tilde p\rho(h)^{-1}$ उसी योग का पुनःसूचकांकन कर देता है। अतः $\ker \tilde p$ $W$ का अपरिवर्ती पूरक है। योज्यांशों पर इसे दोहराने से (परिमित विमा) $V$ अखंडनीय निरूपणों में विघटित हो जाता है। ∎

प्रमेय 5.4 (शूर की प्रमेयिका)

मान लीजिए $f \colon V \to W$ अखंडनीय निरूपणों की समाकारिता है। तब $f = 0$ या $f$ एक तुल्याकारिता है; और यदि $(V,\rho) = (W,\sigma)$ हो, तो किसी $\lambda \in \C$ के लिए $f = \lambda\,\mathrm{id}$ । अतः $\dim\operatorname{Hom}_G(V, W)$ $V \cong W$ होने पर $1$ है और अन्यथा $0$ ।

उपपत्ति. $\ker f$ और $\operatorname{im} f$ अपरिवर्ती हैं (समतुल्यवर्तिता), अतः इनमें से प्रत्येक $0$ है या पूरा: या तो $f = 0$ , या $f$ एकैकी है और उसका प्रतिबिंब पूरा। यदि $V = W$ हो: $f$ का कोई अभिलक्षणिक मान $\lambda$ होता है ( $\C$ बीजीय रूप से संवृत); $f - \lambda\,\mathrm{id}$ एक अनेकैकी समाकारिता $V \to V$ है, अतः $0$ । $V \cong W$ की स्थिति में विमा गणना के लिए: कोई एक तुल्याकारिता $u$ स्थिर कीजिए; तब कोई भी समाकारिता $f$ अंतःसमाकारिता $u^{-1}f = \lambda\,\mathrm{id}$ देती है: अतः $f = \lambda u$ । ∎

5.2 वर्ण और लांबिकता

परिभाषा 5.5

$(V, \rho)$ का वर्ण $\chi_\rho(g) = \operatorname{tr}\rho(g)$ है। वह $\chi_\rho(e) = \dim V$ , $\chi_\rho(hgh^{-1}) = \chi_\rho(g)$ को संतुष्ट करता है (अनुरेख संयुग्मन के अंतर्गत अपरिवर्ती होते हैं): अर्थात् वर्ण वर्ग फलन हैं — संयुग्मन वर्गों पर अचर फलनों की समष्टि $\mathcal{CF}(G)$ के अवयव, जिस पर एर्मीतीय अंतःगुणन

\langle \varphi, \psi\rangle = \frac1{\abs G}\sum_{g \in G} \overline{\varphi(g)}\,\psi(g).

दिया गया है।

प्रतिज्ञप्ति 5.6

$\rho(g)$ विकर्णनीय है और उसके अभिलक्षणिक मान इकाई के मूल हैं; $\chi_\rho(g^{-1}) = \overline{\chi_\rho(g)}$ , और $\abs{\chi_\rho(g)} \leq \chi_\rho(e)$ , जिसमें समता तभी और केवल तभी होती है जब $\rho(g)$ अदिश हो। प्रत्यक्ष योगों पर वर्ण जुड़ जाते हैं: $\chi_{V \oplus W} = \chi_V + \chi_W$ ।

उपपत्ति. $N = \abs G$ के लिए $\rho(g)^N = \mathrm{id}$ (लाग्राँज): अतः $\rho(g)$ $X^N - 1$ को नष्ट कर देता है, और वह सरल मूलों के साथ विभाजित होता है, इसलिए वह विकर्णनीय है और उसके अभिलक्षणिक मान $\lambda_i \in \mu_N$ हैं। तब $\chi(g^{-1}) = \sum \lambda_i^{-1} = \sum\bar\lambda_i = \overline{\chi(g)}$ , और $\abs{\chi(g)} = \abs{\sum\lambda_i} \leq \dim V$ , जिसमें त्रिभुज असमिका में समता तभी और केवल तभी होती है जब सभी $\lambda_i$ समान हों, अर्थात् $\rho(g) = \lambda\,\mathrm{id}$ । प्रत्यक्ष योगों पर योज्यता: खंडों के अनुरेख। ∎

प्रमेयिका 5.7

मान लीजिए $(V, \rho)$ , $(W, \sigma)$ निरूपण हैं। $\operatorname{Hom}(W, V)$ पर औसतकारी संकारक

c(A) = \frac1{\abs G}\sum_{g}\rho(g)\,A\,\sigma(g)^{-1},

$\operatorname{Hom}_G(W, V)$ पर एक प्रक्षेप है, और प्रतिचित्रण $\Phi_g \colon A \mapsto \rho(g)A\sigma(g)^{-1}$ के लिए $\operatorname{tr}\Phi_g = \chi_\rho(g)\,\overline{\chi_\sigma(g)}$ ।

उपपत्ति. $c(A)$ समतुल्यवर्ती है (मास्के की तरह योग का पुनःसूचकांकन कीजिए), और $c$ समतुल्यवर्ती प्रतिचित्रणों को स्थिर रखता है (प्रत्येक पद $A$ के बराबर है): अतः $c$ $\operatorname{Hom}_G(W, V)$ प्रतिबिंब वाला प्रक्षेप है। अनुरेख: आधारों में $\Phi_g(A) = BAC$ , जहाँ $B = \rho(g)$ , $C = \sigma(g)^{-1}$ ; आव्यूहों के आधार $(E_{kl})$ पर $BE_{kl}C = \sum_{m,n} b_{mk}c_{ln}E_{mn}$ , अतः $\Phi_g(E_{kl})$ में $E_{kl}$ का गुणांक $b_{kk}c_{ll}$ है: इसलिए $\operatorname{tr}\Phi_g = \sum_{k,l}b_{kk}c_{ll} = \operatorname{tr}(B) \operatorname{tr}(C) = \chi_\rho(g)\chi_\sigma(g^{-1})$ , और $\chi_\sigma(g^{-1}) = \overline{\chi_\sigma(g)}$ । ∎

प्रमेय 5.8 (प्रथम लांबिकता संबंध)

मान लीजिए $\rho, \sigma$ अखंडनीय हैं। तब

\langle\chi_\sigma, \chi_\rho\rangle = \begin{cases} 1 & \text{यदि } \rho \cong \sigma,\\ 0 & \text{अन्यथा:} \end{cases}

अर्थात् अखंडनीय वर्ण $\mathcal{CF}(G)$ में एक प्रसामान्य लांबिक कुल बनाते हैं।

उपपत्ति. किसी प्रक्षेप का अनुरेख उसके प्रतिबिंब की विमा होता है:

\dim\operatorname{Hom}_G(W, V) = \operatorname{tr} c = \frac1{\abs G}\sum_g \operatorname{tr}\Phi_g = \frac1{\abs G}\sum_g \chi_\rho(g)\overline{\chi_\sigma(g)} = \langle \chi_\sigma, \chi_\rho\rangle,

और शूर की प्रमेयिका बाईं ओर का मान $\delta_{\rho \cong \sigma}$ निकाल देती है। ∎

उपप्रमेय 5.9

$V \cong \bigoplus_i V_i^{\oplus m_i}$ को भिन्न-भिन्न अखंडनीय निरूपणों में विघटित कीजिए ( $V_i \not\cong V_j$ )। तब $m_i = \langle \chi_{V_i}, \chi_V\rangle$ : अर्थात् बहुलताएँ — और इसलिए तुल्याकारिता तक निरूपण — वर्ण से निर्धारित हो जाती हैं। इसके अतिरिक्त $\langle \chi_V, \chi_V\rangle = \sum_i m_i^2$ ; विशेष रूप से $V$ अखंडनीय है तभी और केवल तभी जब $\langle\chi_V, \chi_V\rangle = 1$ ।

उपपत्ति. $\chi_V = \sum m_i\chi_{V_i}$ (प्रतिज्ञप्ति 5.6); प्रत्येक $\chi_{V_i}$ के साथ अंतःगुणन लीजिए और प्रसामान्य लांबिकता का उपयोग कीजिए। समान वर्ण वाले दो निरूपणों की बहुलताएँ समान होती हैं, अतः वे तुल्याकारी हैं। ∎

प्रमेय 5.10 (नियमित निरूपण)

मान लीजिए $\chi_1, \dots, \chi_r$ भिन्न-भिन्न अखंडनीय वर्ण हैं, जिनकी घातें $n_i = \chi_i(e)$ हैं। नियमित निरूपण बहुलताओं $m_i = n_i$ के साथ विघटित होता है; फलस्वरूप

\sum_{i=1}^{r} n_i^2 = \abs G, \qquad \sum_i n_i\chi_i(g) = 0 \quad (g \neq e).

उपपत्ति. नियमित वर्ण: $\chi_{\mathrm{reg}}(g) = \#\{h : gh = h\}$ , जो $g = e$ के लिए $\abs G$ है और अन्यथा $0$ । अतः $m_i = \langle \chi_i,\chi_{\mathrm{reg}}\rangle = \frac1{\abs G}\overline{\chi_i(e)}\,\abs G = n_i$ । $\chi_{\mathrm{reg}} = \sum n_i\chi_i$ का $e$ पर और $g \neq e$ पर मान लेने से दोनों प्रदर्शित सर्वसमिकाएँ मिल जाती हैं। ∎

प्रमेय 5.11

अखंडनीय वर्ण $\mathcal{CF}(G)$ का एक प्रसामान्य लांबिक आधार बनाते हैं: अर्थात् अखंडनीय निरूपणों की संख्या $G$ के संयुग्मन वर्गों की संख्या के बराबर है।

उपपत्ति. केवल पूर्णता शेष है: मान लीजिए $f \in \mathcal{CF}(G)$ प्रत्येक $\chi_i$ के लांबिक है; हम $f = 0$ दिखाते हैं। किसी निरूपण $(V,\rho)$ के लिए $T_{f,\rho} = \frac{1}{\abs G} \sum_g \overline{f(g)}\,\rho(g)$ रखिए। वह समतुल्यवर्ती है: $h \in G$ के लिए

\rho(h)T_{f,\rho}\rho(h)^{-1} = \frac1{\abs G}\sum_g \overline{f(g)}\rho(hgh^{-1}) = \frac1{\abs G}\sum_{g'}\overline{f(h^{-1}g'h)}\rho(g') = T_{f,\rho}

( $f$ एक वर्ग फलन है)। यदि $\rho$ घात $n$ का अखंडनीय हो, तो शूर से $T_{f,\rho} = \lambda\,\mathrm{id}$ मिलता है, जहाँ

\lambda = \frac{\operatorname{tr}T_{f,\rho}}{n} = \frac{1}{n\abs G}\sum_g \overline{f(g)}\,\chi_\rho(g) = \frac1n\,\langle f, \chi_\rho\rangle = 0 .

अतः प्रत्येक अखंडनीय पर $T_{f,\rho} = 0$ , और इसलिए (प्रत्यक्ष योग) प्रत्येक निरूपण पर — विशेष रूप से नियमित निरूपण पर। उसे आधार सदिश $e_e$ पर लगाइए: $0 = T_{f,\mathrm{reg}}e_e = \frac1{\abs G}\sum_g\overline{f(g)}e_g$ , जिससे प्रत्येक $\overline{f(g)} = 0$ अनिवार्य हो जाता है। अतः प्रसामान्य लांबिक कुल $(\chi_i)$ $\mathcal{CF}(G)$ को फैलाता है, जिसकी विमा संयुग्मन वर्गों की संख्या है। ∎

उपप्रमेय 5.12 (स्तंभ लांबिकता)

$g, h \in G$ के लिए:

\sum_{i=1}^{r}\overline{\chi_i(g)}\,\chi_i(h) = \begin{cases} \abs{Z_G(g)} & \text{यदि } g, h \text{ संयुग्मी हैं},\\ 0 & \text{अन्यथा।} \end{cases}

उपपत्ति. मान लीजिए $g_1, \dots, g_r$ वर्गों के प्रतिनिधि हैं और $c_j$ वर्गों के आकार। $r \times r$ आव्यूह $U_{ij} = \sqrt{c_j/\abs G}\;\chi_i(g_j)$ की पंक्तियाँ प्रसामान्य लांबिक हैं (प्रमेय 5.8 को वर्गशः लिखने पर: $\sum_j \frac{c_j}{\abs G}\chi_i(g_j)\overline{\chi_{i'}(g_j)} = \delta_{ii'}$ ), अर्थात् $UU^* = I$ ; और $UU^* = I$ वाले किसी वर्ग आव्यूह के लिए $U^*U = I$ भी होता है: अतः स्तंभ प्रसामान्य लांबिक हैं, जिसे खोलने पर प्रदर्शित सर्वसमिका मिलती है ( $\abs G/c_j = \abs{Z_G(g_j)}$ , अर्थात् संयुग्मन के लिए कक्षा–स्थायीकारी संबंध)। ∎

प्रतिज्ञप्ति 5.13 (एक-विमीय वर्ण; उन्नयन)

(क) $G$ आबेली है तभी और केवल तभी जब उसके सभी अखंडनीय निरूपणों की घात $1$ हो; और किसी भी $G$ के घात- $1$ वर्णों की संख्या $[G : D(G)]$ है (वे आबेलीकरण के वर्ण हैं)। (ख) यदि $N \trianglelefteq G$ हो, तो $G/N$ के अखंडनीय निरूपण ( $G \to G/N$ के साथ संयोजन करके) ठीक $G$ के उन अखंडनीय निरूपणों तक उठ जाते हैं जिनकी अष्टि $N$ को अंतर्विष्ट करती है।

उपपत्ति. (क) यदि $G$ आबेली हो, तो प्रत्येक वर्ग एकल-अवयवी है: $r = \abs G$ , और $\sum n_i^2 = \abs G$ से सभी $n_i = 1$ अनिवार्य हो जाते हैं; विलोमतः यदि सभी $n_i = 1$ हों, तो नियमित निरूपण एक-विमीय निरूपणों का योग है, अतः $\rho_{\mathrm{reg}}(G)$ एक साथ विकर्णनीय है, इसलिए क्रमविनिमेय, और $\rho_{\mathrm{reg}}$ निष्ठ है: अतः $G$ आबेली। घात- $1$ निरूपण आबेली लक्ष्य वाली समाकारिताएँ $G \to \C^\times$ हैं: वे $G^{\mathrm{ab}} = G/D(G)$ से होकर गुजरती हैं (अभ्यास 1.9), और आबेली $G^{\mathrm{ab}}$ के भिन्न-भिन्न वर्णों की संख्या $\abs{G^{\mathrm{ab}}}$ है (उसके उतने ही वर्ग हैं, और सभी घातें $1$ )। (ख) प्रक्षेप के साथ संयोजन अखंडनीयता को सुरक्षित रखता है (अपरिवर्ती उपसमष्टियाँ आपस में मेल खाती हैं), और $N$ पर तुच्छ कोई निरूपण भागफल से होकर गुजरता है (प्रमेय 1.3)। ∎

5.3 वर्ण सारणियाँ

परिभाषा 5.14

$G$ की वर्ण सारणी $r \times r$ आव्यूह $\bigl(\chi_i(g_j)\bigr)$ है: पंक्तियाँ अखंडनीय वर्णों से और स्तंभ संयुग्मन वर्गों से सूचकित हैं (और उनके आकार भी दर्शाए जाते हैं)। पंक्तियाँ भारित गुणन के लिए प्रसामान्य लांबिक हैं और स्तंभ लांबिक (उपप्रमेय 5.12): सारणी अत्यंत अधिनिर्धारित है, और यही उसे परिकलनीय बनाता है।

उदाहरण 5.15 ( $S_3$ की सारणी)

वर्ग: $e$ (आकार 1), स्थानांतरण (3), $3$ -चक्र (2); अतः $r = 3$ अखंडनीय, जिनकी घातें $\sum n_i^2 = 6$ के साथ $n_i$ हैं: $1, 1, 2$ । घात $1$ : तुच्छ $\mathbf 1$ और चिह्न $\varepsilon$ । अंतिम पंक्ति स्तंभ लांबिकता से (अथवा $\chi_{\mathrm{std}} = \chi_{\mathrm{perm}} - \mathbf 1$ से) निकलती है:

\begin{array}{c|ccc} S_3 & e & (1\,2)\ [3] & (1\,2\,3)\ [2]\\ \hline \mathbf 1 & 1 & 1 & 1\\ \varepsilon & 1 & -1 & 1\\ \chi_{\mathrm{std}} & 2 & 0 & -1 \end{array}

जाँच: $\langle\chi_{\mathrm{std}},\chi_{\mathrm{std}}\rangle = \frac{1}{6}(4 + 0 + 2) = 1$ : अखंडनीय।

उदाहरण 5.16 ( $S_4$ की सारणी)

वर्ग: $e$ [1], स्थानांतरण [6], द्विक स्थानांतरण [3], $3$ -चक्र [8], $4$ -चक्र [6]: पाँच अखंडनीय, $\sum n_i^2 = 24$ , जिनमें दो घात- $1$ के हैं ( $\mathbf 1, \varepsilon$ ; $[S_4 : D(S_4)] = [S_4 : A_4] = 2$ ): अतः घातें $1, 1, 2, 3, 3$ । घात- $2$ वाला $S_4/V \cong S_3$ से उठता है (प्रतिज्ञप्ति 5.13(ख), जहाँ $V$ क्लाइन समूह है); और घात $3$ : मानक निरूपण तथा $\varepsilon$ से उसका मोड़:

\begin{array}{c|ccccc} S_4 & e\,[1] & (1\,2)\,[6] & (1\,2)(3\,4)\,[3] & (1\,2\,3)\,[8] & (1\,2\,3\,4)\,[6]\\ \hline \mathbf 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ \varepsilon & 1 & -1 & 1 & 1 & -1\\ \chi_2 & 2 & 0 & 2 & -1 & 0\\ \chi_{\mathrm{std}} & 3 & 1 & -1 & 0 & -1\\ \varepsilon\chi_{\mathrm{std}} & 3 & -1 & -1 & 0 & 1 \end{array}

( $\chi_{\mathrm{std}}(g) = \operatorname{fix}(g) - 1$ ; $\chi_2$ प्रत्येक वर्ग के $V$ के सापेक्ष प्रतिबिंब पर $S_3$ -सारणी का मान लेता है।) सभी पंक्ति और स्तंभ लांबिकता जाँचें सफल होती हैं — उनमें से दो चलाना अभ्यास 5.3 का प्रारंभिक अभ्यास है।

विधि 5.17

वर्ण सारणी बनाने के लिए: (1) संयुग्मन वर्ग और उनके आकार सूचीबद्ध कीजिए; (2) $G/D(G)$ से घात- $1$ वर्णों की संख्या गिनकर उन्हें लिखिए; (3) $\sum n_i^2 = \abs G$ से शेष घातें ज्ञात कीजिए (छोटे पूर्णांकों की संचयिकी); (4) सस्ते अखंडनीय प्राप्त कीजिए: भागफलों से उठाइए, क्रमचय वर्णों में से $\mathbf 1$ घटाइए ( $\langle\chi,\chi\rangle = 1$ जाँचिए), और ज्ञात वर्णों को घात- $1$ वर्णों से गुणा कीजिए; (5) अज्ञात पंक्तियाँ स्तंभ लांबिकता से पूरी कीजिए — प्रत्येक स्तंभ पहले से पूर्ण स्तंभों के लांबिक होता है, और स्तंभ $e$ घातें धारण करता है। सब कुछ पूरी लांबिकता जाँच से सत्यापित कीजिए।

S_3 का नियमित निरूपण, खंड-विकर्ण रूप में: ℂ[S_3] ℂ × ℂ × M_2(ℂ), विमाएँ 1 + 1 + 4 = 6 = |S_3|। सामान्य स्थिति में ℂ[G] _i M_n_i(ℂ): सर्वसमिका n_i2 = G आव्यूह खंडों के बारे में एक कथन है। — $S_3$ का नियमित निरूपण, खंड-विकर्ण रूप में: $\C[S_3] \cong \C \times \C \times M_2(\C)$ , विमाएँ $1 + 1 + 4 = 6 = \abs{S_3}$ । सामान्य स्थिति में $\C[G] \cong \prod_i M_{n_i}(\C)$ : सर्वसमिका $\sum n_i^2 = \abs G$ आव्यूह खंडों के बारे में एक कथन है।

5.4 अभ्यास

अभ्यास 5.1 ★

(क) दर्शाइए कि $\Z/n\Z$ के अखंडनीय वर्ण $\chi_k(\bar m) = \eu^{2\iu\pi km/n}$ , $k = 0, \dots, n-1$ , हैं, और $\Z/4\Z$ की वर्ण सारणी लिखिए। (ख) उस पर दोनों लांबिकता संबंध सत्यापित कीजिए — और आव्यूह को पहचानिए: इस पुस्तक में यह पहले कहाँ आ चुका है?

हल

हल — अभ्यास 5.1.

(क) $\Z/n\Z$ आबेली है: अतः सभी अखंडनीयों की घात $1$ है (प्रतिज्ञप्ति 5.13), अर्थात् वे समाकारिताएँ $\chi \colon \Z/n\Z \to \C^\times$ हैं, जो $\omega^n = 1$ वाले $\chi(\bar 1) = \omega$ से निर्धारित होती हैं: अर्थात् $n$ वर्ण $\chi_k(\bar m) = \eu^{2\iu\pi km/n}$ । $n = 4$ के लिए (वर्ग ${}={}$ अवयव $\bar0,\bar1,\bar2,\bar3$ ):

\begin{array}{c|cccc} & \bar0 & \bar1 & \bar2 & \bar3\\ \hline \chi_0 & 1 & 1 & 1 & 1\\ \chi_1 & 1 & \iu & -1 & -\iu\\ \chi_2 & 1 & -1 & 1 & -1\\ \chi_3 & 1 & -\iu & -1 & \iu \end{array}

(ख) पंक्तियाँ: $\langle\chi_k,\chi_l\rangle = \frac14\sum_m \eu^{2\iu\pi(l-k)m/4} = \delta_{kl}$ (ज्यामितीय योग); और स्तंभ भी वैसे ही। आव्यूह $(\eu^{2\iu\pi km/n})_{k,m}$ विविक्त फूरिये रूपांतर आव्यूह है — वही इकाई-मूल छन्ना जो दूसरे वर्ष के खंड के जनक-फलनों वाले अध्याय में प्रयुक्त हुआ था; वर्णों की लांबिकता विविक्त फूरिये रूपांतर के प्रतिलोमन सूत्र का सामान्यीकरण है।

अभ्यास 5.2 ★

मान लीजिए $G$ किसी परिमित समुच्चय $X$ पर क्रिया करता है और $\chi$ क्रमचय निरूपण $\C^X$ का वर्ण है। (क) दर्शाइए कि $\chi(g) = \abs{\operatorname{Fix}_X(g)}$ और $\langle \mathbf 1, \chi\rangle = \#\{\text{कक्षाएँ}\}$ — अर्थात् बर्नसाइड की गणना प्रमेयिका (अभ्यास 1.5) एक वर्ण परिकलन है। (ख) मान लीजिए क्रिया संक्रमणीय है, अतः $\chi = \mathbf 1 + \psi$ । दर्शाइए कि $\psi$ अखंडनीय है तभी और केवल तभी जब क्रिया $2$ -संक्रमणीय हो (भिन्न बिंदुओं के क्रमित युग्मों पर संक्रमणीय)। ( $\langle\chi,\chi\rangle$ को $X \times X$ पर कक्षाओं की संख्या के रूप में परिकलित कीजिए।) (ग) निष्कर्ष निकालिए कि $S_n$ ( $n \geq 2$ ) का मानक निरूपण अखंडनीय है।

हल

हल — अभ्यास 5.2.

(क) आधार $(e_x)$ में $\rho(g)$ का आव्यूह कोई क्रमचय आव्यूह है, जिसका संचिह्न $g\cdot x = x$ वाले $x$ की संख्या है। तब बर्नसाइड की गणना प्रमेयिका (अभ्यास 1.5) से

\langle\mathbf 1, \chi\rangle = \frac1{\abs G}\sum_g \abs{\operatorname{Fix}(g)} = \#\{\text{कक्षाएँ}\}

— समतुल्य रूप से, यह तुच्छ निरूपण की बहुलता परिकलित करता है, जिसका समजातीय स्थान $G$ -निश्चर सदिशों का स्थान है, और उसकी विमा कक्षाओं की संख्या है (प्रति कक्षा एक सूचक)।

(ख) चूँकि $\operatorname{Fix}_{X\times X}(g) = \operatorname{Fix}_X(g)^2$ , अतः $X \times X$ पर लगाया गया भाग (क) $\langle\chi,\chi\rangle = \frac1{\abs G}\sum\abs{\operatorname{Fix}(g)}^2 = \#\{ X\times X \text{ पर कक्षाएँ}\}$ दे देता है ( $\chi$ वास्तविक है)। $\chi = \mathbf 1 + \psi$ लिखने पर: $\langle\mathbf1,\chi\rangle = 1$ (संक्रमणीयता), अतः $\langle\psi,\psi\rangle = \langle\chi,\chi\rangle - 1$ । $X\times X$ पर क्रिया में विकर्ण एक कक्षा है; और ठीक एक अन्य कक्षा होती है तभी और केवल तभी जब $G$ भिन्न युग्मों पर संक्रमणीय हो: अतः $\langle\psi,\psi\rangle = 1$ तभी और केवल तभी जब $2$ -संक्रमणीय (उपप्रमेय 5.9)।

(ग) $S_n$ $\{1,\dots,n\}$ पर $2$ -संक्रमणीय है (किसी भी भिन्न युग्म को कहीं भी भेजिए): अतः $\psi = \chi_{\mathrm{std}}$ अखंडनीय है।

अभ्यास 5.3 ★

विधि 5.17 का अनुसरण करते हुए $S_3$ की सारणी आरंभ से बनाइए, फिर उदाहरण 5.16 की $S_4$ सारणी में दो पंक्ति और दो स्तंभ लांबिकता संबंध सत्यापित कीजिए। $\{1,2,3,4\}$ पर क्रिया करते $S_4$ के क्रमचय वर्ण को और वर्ण $\chi_{\mathrm{std}}^2$ (बिंदुशः वर्ग) को अखंडनीय वर्णों में विघटित कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 5.3.

$S_3$ : तीन वर्ग, $\sum n_i^2 = 6 = 1 + 1 + 4$ ; दोनों घात- $1$ वर्ण $\mathbf 1, \varepsilon$ हैं ( $[S_3 : A_3] = 2$ ); और तीसरी पंक्ति $(2, a, b)$ $e$ -स्तंभ के साथ स्तंभ लांबिकता से निकलती है: $1 - 1 + 2a = 0$ और $1 + 1 + 2b = 0$ : अतः $a = 0$ , $b = -1$ — अर्थात् उदाहरण 5.15 की सारणी।

$S_4$ जाँच (पंक्तियाँ): $\langle\chi_{\mathrm{std}}, \varepsilon\chi_{\mathrm{std}}\rangle = \frac1{24}(9 - 6 + 3 + 0 - 6) = 0$ ; $\langle\chi_2,\chi_2\rangle = \frac1{24}(4 + 0 + 12 + 8 + 0) = 1$ । स्तंभ: $(1\,2)$ के विरुद्ध $e$ : $1 - 1 + 0 + 3 - 3 = 0$ ; $(1\,2)$ स्वयं के विरुद्ध: $1 + 1 + 0 + 1 + 1 = 4 = \abs{Z_{S_4}((1\,2))} = 24/6$ ।

$4$ बिंदुओं पर क्रमचय वर्ण: $(4, 2, 0, 1, 0) = \mathbf 1 + \chi_{\mathrm{std}}$ (स्थिर-बिंदु गणनाएँ; शीर्ष पंक्ति घटाइए)। $\chi_{\mathrm{std}}^2 = (9, 1, 1, 0, 1)$ के लिए:

\langle\mathbf1,\cdot\rangle = \tfrac{9 + 6 + 3 + 0 + 6}{24} = 1,\quad \langle\varepsilon,\cdot\rangle = 0,\quad \langle\chi_2,\cdot\rangle = \tfrac{18 + 6}{24} = 1,\quad \langle\chi_{\mathrm{std}},\cdot\rangle = 1,\quad \langle\varepsilon\chi_{\mathrm{std}},\cdot\rangle = 1:

$\chi_{\mathrm{std}}^2 = \mathbf 1 + \chi_2 + \chi_{\mathrm{std}} + \varepsilon\chi_{\mathrm{std}}$ (विमाएँ: $9 = 1 + 2 + 3 + 3$ )।

अभ्यास 5.4 ★★

$D_4$ और $Q_8$ की वर्ण सारणियाँ परिकलित कीजिए। निष्कर्ष निकालिए कि दो अतुल्याकारी समूहों की वर्ण सारणियाँ समान हो सकती हैं — फिर भी इस युग्म में सारणी कौन-सा समूह-सैद्धांतिक आँकड़ा पकड़ लेती है (केंद्रों के क्रम, आबेलीकरण, स्वप्रतिलोमी अवयवों की संख्या)? और इनमें से किसे वह पकड़ने में विफल रहती है?

हल

हल — अभ्यास 5.4.

दोनों समूहों के पाँच-पाँच वर्ग हैं और घात प्रतिरूप $(1,1,1,1,2)$ है (आबेलीकरण $\cong (\Z/2\Z)^2$ से चार घात- $1$ , फिर $\sum n_i^2 = 8$ )। वर्गों को $e$ , $z$ (केंद्रीय अंतर्वलन: क्रमशः $r^2$ और $-1$ ), तथा तीनों द्वि-अवयवी वर्गों के क्रम में रखने पर:

\begin{array}{c|ccccc} & e & z & C_1 & C_2 & C_3\\ \hline \chi^{(1)} & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ \chi^{(2)} & 1 & 1 & 1 & -1 & -1\\ \chi^{(3)} & 1 & 1 & -1 & 1 & -1\\ \chi^{(4)} & 1 & 1 & -1 & -1 & 1\\ \chi^{(5)} & 2 & -2 & 0 & 0 & 0 \end{array}

(अंतिम पंक्ति स्तंभ लांबिकता से)। $D_4$ और $Q_8$ की सारणियाँ समरूप हैं, जबकि वे तुल्याकारी नहीं हैं (समस्या 1.1)। सारणी जो पकड़ लेती है: $\abs G$ , वर्ग-आकार, केंद्र ( $\{g : \abs{\chi_i(g)} = n_i\ \forall i\}$ : दोनों में क्रम $2$ ), आबेलीकरण, और प्रसामान्य उपसमूहों का समूचा जालक (अष्टियाँ और प्रतिच्छेद, अभ्यास 5.6)। वह अवयवों के क्रम पकड़ने में विफल रहती है: $D_4$ में पाँच अंतर्वलन हैं और $Q_8$ में एक — अतः तुल्याकारिता प्रकार वर्ण सारणी से सचमुच सूक्ष्मतर है।

अभ्यास 5.5 ★★

$A_4$ की वर्ण सारणी: वर्ग $e$ [1], द्विक स्थानांतरण [3], तथा $3$ -चक्रों के दो वर्ग [4], [4]। (क) $3$ -चक्रों के विभाजन को समझाइए (अभ्यास 1.11 की तरह $S_4$ और $A_4$ में केंद्रकों की तुलना कीजिए)। (ख) तीनों घात- $1$ वर्ण ( $A_4/V \cong \Z/3\Z$ के माध्यम से) और घात- $3$ वर्ण ( $S_4$ से $\chi_{\mathrm{std}}$ को प्रतिबंधित कीजिए) ज्ञात कीजिए, और सारणी संकलित कीजिए। (ग) सारणी से $A_4$ के प्रसामान्य उपसमूह पढ़िए (अष्टियाँ $\{g : \chi(g) = \chi(e)\}$ और उनके प्रतिच्छेदन)।

हल

हल — अभ्यास 5.5.

(क) $S_4$ में $(1\,2\,3)$ के केंद्रक का क्रम $24/8 = 3$ है: वह $\langle(1\,2\,3)\rangle \subseteq A_4$ है। अतः $Z_{A_4}((1\,2\,3))$ का क्रम $3$ है और $A_4$ -वर्ग में $12/3 = 4$ अवयव हैं: इसलिए आठों $3$ -चक्र दो $A_4$ -वर्गों में बँट जाते हैं (जिनके प्रतिनिधि $(1\,2\,3)$ और उसका प्रतिलोम हैं)।

(ख) $A_4/V \cong \Z/3\Z$ तीन घात- $1$ वर्ण देता है ( $\omega = \eu^{2\iu\pi/3}$ ; $3$ -चक्र वर्ग $\bar1, \bar2$ पर जाते हैं); और $\chi_{\mathrm{std}}$ का प्रतिबंध अखंडनीय बना रहता है ( $\langle\chi,\chi\rangle = \frac1{12}(9 + 3 \cdot 1 + 0 + 0) = 1$ ):

\begin{array}{c|cccc} A_4 & e\,[1] & (1\,2)(3\,4)\,[3] & (1\,2\,3)\,[4] & (1\,3\,2)\,[4]\\ \hline \mathbf 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ \chi_\omega & 1 & 1 & \omega & \omega^2\\ \chi_{\bar\omega} & 1 & 1 & \omega^2 & \omega\\ \chi_3 & 3 & -1 & 0 & 0 \end{array}

(ग) अष्टियाँ: $\ker\chi_\omega = \ker\chi_{\bar\omega} = V$ ; $\ker\chi_3 = \{e\}$ (किसी अन्य प्रविष्टि का मापांक $3$ नहीं है)। प्रसामान्य उपसमूह अष्टियों के प्रतिच्छेद हैं (अभ्यास 5.6): $\{e\}$ , $V$ , $A_4$ — विशेष रूप से $A_4$ का क्रम $2$ या सूचकांक $2$ का कोई प्रसामान्य उपसमूह नहीं है।

अभ्यास 5.6 ★★

(क) दर्शाइए कि $\ker\chi = \{g : \chi(g) = \chi(e)\}$ अंतर्निहित निरूपण की अष्टि है (प्रतिज्ञप्ति 5.6, समता स्थिति)। (ख) दर्शाइए कि $G$ का प्रत्येक प्रसामान्य उपसमूह अखंडनीय वर्णों की अष्टियों का प्रतिच्छेदन है। ( $G/N$ को निष्ठ रूप से निरूपित कीजिए: उसका नियमित निरूपण।) (ग) निष्कर्ष निकालिए: $G$ सरल है तभी और केवल तभी जब प्रत्येक अतुच्छ अखंडनीय $\chi_i$ के लिए $\ker\chi_i = \{e\}$ — अर्थात् सरलता वर्ण सारणी में पढ़ी जा सकती है।

हल

हल — अभ्यास 5.6.

(क) यदि $\chi(g) = \chi(e) = n$ हो: $\abs{\chi(g)} \leq n$ में बराबरी से $n\lambda = n$ के साथ $\rho(g) = \lambda\,\mathrm{id}$ (प्रतिज्ञप्ति 5.6) अनिवार्य है: अतः $\rho(g) = \mathrm{id}$ । विलोम स्पष्ट है।

(ख) मान लीजिए $N \trianglelefteq G$ । $G/N$ का नियमित निरूपण निष्ठ है; उसका $G/N$ के अखंडनीयों में विघटन कीजिए और उन्हें $G$ तक उठाइए (प्रतिज्ञप्ति 5.13(ख)): $G$ के ऐसे अखंडनीय वर्ण $\chi_{i_1}, \dots$ जिनकी अष्टियाँ $N$ को धारण करती हैं और जिनकी उभयनिष्ठ अष्टि ठीक $\{e\}$ का पूर्व-प्रतिबिंब है, अर्थात् $N$ (भागफल पर निष्ठता)। अतः $N = \bigcap_j \ker\chi_{i_j}$ ।

(ग) यदि $G$ सरल हो: किसी अतुच्छ अखंडनीय $\chi$ के लिए $\ker\chi \trianglelefteq G$ $G$ नहीं है (समूचे $G$ पर तुच्छ कोई अखंडनीय निरूपण तुच्छ वर्ण ही होता है), अतः $\ker\chi = \{e\}$ । विलोमतः मान लीजिए सभी अतुच्छ अष्टियाँ तुच्छ हैं, और $N \neq G$ के साथ $N \trianglelefteq G$ लीजिए। (ख) में $N$ को अष्टियों के प्रतिच्छेद के रूप में व्यक्त करने में कोई न कोई सम्मिलित वर्ण अतुच्छ है (यदि सभी तुच्छ होते, तो प्रतिच्छेद $G$ होता), और उसकी अष्टि $\{e\}$ है: अतः $N = \{e\}$ । इसलिए एकमात्र प्रसामान्य उपसमूह $\{e\}$ और $G$ हैं।

अभ्यास 5.7 ★★

$\abs G = 8$ की घातें: दर्शाइए कि क्रम $8$ के किसी अनाबेली समूह का घात प्रारूप $(1,1,1,1,2)$ होता है, और उसका घात- $2$ निरूपण निष्ठ होता है। अधिक व्यापक रूप से दर्शाइए कि क्रम $p^3$ के किसी अनाबेली समूह का प्रारूप $(1^{\,p^2}, p, \dots, p)$ होता है, जिसमें $p^2$ इकाइयाँ और घात $p$ के $p - 1$ वर्ण होते हैं। ( $[G : D(G)]$ और $\sum n_i^2 = \abs G$ का उपयोग कीजिए; यहाँ $D(G) = Z(G)$ का क्रम $p$ है।)

हल

हल — अभ्यास 5.7.

क्रम $8$ का अनाबेली: घात- $1$ वर्णों की संख्या $[G : D(G)]$ है, जो $8$ का उचित विभाजक है (अनाबेली: $D(G) \neq \{e\}$ ), और $\sum n_i^2 = 8$ । $k$ एकों और शेष घातों $\geq 2$ के साथ: वर्गों $\geq 4$ के साथ $8 - k \equiv 0$ , और $k \mid 8$ , $k < 8$ । $k = 4$ : एक घात $2$ — संगत। $k = 2$ : $6$ बचता है, जो वर्गों $\geq 4$ का योग नहीं है। $k = 1$ : असंभव, क्योंकि $k = [G : D(G)] \geq 2$ — $G/D(G)$ कोई अतुच्छ आबेली $2$ -समूह है, क्योंकि $G$ $2$ -समूह है जिसमें $p$ -समूहों की विलेयता (उदाहरण 1.30) से $D(G) \neq G$ । अतः प्रतिरूप $(1,1,1,1,2)$ है। $\chi_5$ की निष्ठता: चारों घात- $1$ वर्ण अपनी अष्टियों में $D(G)$ को धारण करते हैं; और यदि किसी न्यूनतम प्रसामान्य $N$ के लिए $\ker\chi_5 \supseteq N \neq \{e\}$ हो ( $N \subseteq D(G)$ हो या न हो — कोई अतुच्छ $N \subseteq \ker\chi_5$ लीजिए), तो $N$ पाँचों अष्टियों में होता, जिनका प्रतिच्छेद तुच्छ है (नियमित निरूपण निष्ठ है): विरोधाभास। क्रम $p^3$ का अनाबेली: $Z(G)$ का क्रम $p$ है (क्रम $p^2$ से $G/Z$ चक्रीय और $G$ आबेली हो जाता), क्रम $p^2$ वाला $G/Z(G)$ आबेली है, अतः $D(G) \subseteq Z(G)$ , और $D(G) \ne \{e\}$ : इसलिए $D(G) = Z(G)$ , जिससे घात $1$ के $p^2$ वर्ण मिलते हैं। शेष घातें $\sum n_i^2 = p^3 - p^2$ संतुष्ट करती हैं जहाँ प्रत्येक $n_i > 1$ $\abs G$ को विभाजित करती है (समस्या 5.1, प्रश्न 8) अतः $n_i \in \{p\}$ ( $n_i = p^2$ से अधिक हो जाता: $p^4 > p^3 - p^2$ ): अर्थात् घात $p$ के ठीक $p - 1$ वर्ण।

अभ्यास 5.8 ★★★

परिमित समूहों $G, H$ के लिए: दर्शाइए कि $G, H$ के अखंडनीय वर्णों $\chi, \psi$ के लिए $G \times H$ पर वर्ग फलन $\chi(g)\psi(h)$ ठीक $G \times H$ के अखंडनीय वर्ण हैं। (प्रसामान्य लांबिकता सीधा परिकलन है; और पूर्णता वर्ग गिनकर।) इससे $\Z/2\Z \times \Z/2\Z$ की वर्ण सारणी निकालिए और संरचना प्रमेय के माध्यम से परिमित आबेली समूहों के लिए प्रतिज्ञप्ति 5.13(क) पुनः व्युत्पन्न कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 5.8.

$V, W$ में $G, H$ के निरूपणों $\rho, \sigma$ के लिए $V \otimes W$ पर $G \times H$ का निरूपण $\rho \boxtimes \sigma$ परिभाषित कीजिए — मूर्त रूप में, आव्यूहों पर: $(\rho\boxtimes \sigma)(g,h)$ क्रोनेकर गुणनफल $\rho(g)\otimes \sigma(h)$ है, जिसका संचिह्न $\operatorname{tr}\rho(g)\operatorname{tr}\sigma(h) = \chi(g)\psi(h)$ है (आव्यूहों $A \otimes B$ के क्रोनेकर गुणनफल का संचिह्न $\operatorname{tr}A\operatorname{tr}B$ है: उसका विकर्ण $a_{kk}b_{ll}$ है)। अतः $\chi\psi$ कोई वर्ण है, और

\langle\chi\psi, \chi'\psi'\rangle_{G\times H} = \frac{1}{\abs G\abs H}\sum_{g,h} \overline{\chi(g)\psi(h)}\,\chi'(g)\psi'(h) = \langle\chi,\chi'\rangle_G\,\langle\psi,\psi'\rangle_H = \delta_{\chi\chi'}\delta_{\psi\psi'}.

विशेष रूप से $\langle\chi\psi,\chi\psi\rangle = 1$ : अतः प्रत्येक $\chi\psi$ अखंडनीय है (उपप्रमेय 5.9)। ये $r_Gr_H$ भिन्न अखंडनीय वर्ण हैं; और $G\times H$ के वर्ग वर्गों के गुणनफल हैं ( $(g,h) \sim (g',h')$ घटकशः), अतः उनकी संख्या $r_Gr_H$ है: इसलिए सूची पूर्ण है (प्रमेय 5.11)। $(\Z/2\Z)^2$ के लिए: चारों चिह्न वर्ण $(\pm1)\otimes(\pm1)$ — अर्थात् अभ्यास 5.4 की सारणी का ऊपरी-बायाँ खंड। कोई परिमित आबेली समूह चक्रीय समूहों का गुणनफल होता है (उपप्रमेय 3.13); और उसके अखंडनीय वर्ण चक्रीय वर्णों के गुणनफल होते हैं (अभ्यास 5.1): सभी घात $1$ के।

अभ्यास 5.9 ★★★

$A_5$ की वर्ण सारणी (अभ्यास 1.11 से वर्गों के आकार $1, 15, 20, 12, 12$ ): (क) दर्शाइए कि घातें $1, 3, 3, 4, 5$ हैं ( $n_1 = 1$ वाला $\sum n_i^2 = 60$ का एकमात्र हल, और सरलता के साथ अभ्यास 5.6(ग) का उपयोग करने पर कोई अन्य $n_i = 1$ नहीं)। (ख) घात- $4$ वर्ण ( $5$ बिंदुओं पर क्रमचय क्रिया) और घात- $5$ वर्ण की रचना कीजिए (छह $5$ -सिलो उपसमूहों पर क्रिया घात $6 = 1 + 5$ देती है; अखंडनीयता जाँचिए), और दोनों घात- $3$ पंक्तियाँ स्तंभ लांबिकता से पूरी कीजिए: $5$ -चक्र वर्गों पर स्वर्णिम-अनुपात प्रविष्टियाँ $\frac{1\pm\sqrt5}2$ प्रकट होती हैं। (ग) पूर्ण सारणी से सत्यापित कीजिए कि $A_5$ सरल है (अभ्यास 5.6(ग))।

हल

हल — अभ्यास 5.9.

(क) $D(A_5) = A_5$ (सरल अनाबेली), अतः एकमात्र घात- $1$ वर्ण $\mathbf 1$ है (प्रतिज्ञप्ति 5.13)। हमें ऐसे $n_2^2 + n_3^2 + n_4^2 + n_5^2 = 59$ चाहिए जिनमें प्रत्येक $n_i \geq 2$ ; वर्गों $4, 9, 16, 25, 36, 49$ की परीक्षा करने पर: एकमात्र काम करने वाला बहुसमुच्चय $\{9, 9, 16, 25\}$ है: सबसे बड़े वर्ग $49$ के साथ शेष $10$ तीन वर्गों $\geq 4$ का योग नहीं है; $36$ के साथ शेष $23$ भी नहीं ( $16 + 4 + 4 = 24$ , $9 + 9 + 4 = 22$ ); सबसे बड़े $25$ के साथ जाँचने पर $25 + 16 + 9 + 9 = 59$ काम करता है और $25 + 25$ , $25 + 16 + 16$ , $25 + 16 + 4$ रूपांतर विफल हो जाते हैं; सबसे बड़े $16$ के साथ: $16\cdot3 = 48 < 59 - 4$ । घातें: $1, 3, 3, 4, 5$ ।

(ख) $5$ बिंदुओं पर क्रमचय: स्थिर बिंदु $(5, 1, 2, 0, 0)$ , अतः $\langle\chi_4,\chi_4\rangle = \frac{16 + 0 + 20 + 12 + 12}{60} = 1$ के साथ $\chi_4 = (4, 0, 1, -1, -1)$ : अखंडनीय। छहों सिलो $5$ -उपसमूहों पर क्रिया: कोई अंतर्वलन ठीक $2$ को स्थिर रखता है (प्रसामान्यक क्रम $10$ के द्विफलकी हैं, जिनमें से प्रत्येक में $5$ अंतर्वलन हैं: $15$ अंतर्वलनों के लिए $30$ आपतन), कोई $3$ -अवयव $0$ को स्थिर रखता है ( $D_5$ में क्रम $3$ नहीं), और कोई $5$ -अवयव ठीक $1$ को (वह किसी अद्वितीय सिलो में होता है): अतः क्रमचय वर्ण $(6, 2, 0, 1, 1)$ , और मानक $\frac{25 + 15 + 20 + 0 + 0}{60} = 1$ के साथ $\chi_5 = (5, 1, -1, 0, 0)$ : अखंडनीय। दो पंक्तियाँ $(3, a, b, c, d)$ , $(3, a', b', c', d')$ शेष रहती हैं। स्तंभ मानक (उपप्रमेय 5.12): $(1\,2)(3\,4)$ के वर्ग पर $\abs{Z} = 4$ : $1 + 0 + 1 + a^2 + a'^2 = 4$ ; $e$ के विरुद्ध स्तंभ: $1\cdot1 + 4\cdot 0 + 5\cdot1 + 3(a + a') = 0$ : अतः $a + a' = -2$ , $a^2 + a'^2 = 2$ : $a = a' = -1$ । $3$ -चक्रों पर $\abs Z = 3$ : $1 + 1 + 1 + b^2 + b'^2 = 3$ : $b = b' = 0$ । प्रत्येक $5$ -वर्ग पर $\abs Z = 5$ : $e$ के विरुद्ध स्तंभ $1\cdot 1 + 4\cdot(-1) + 5\cdot 0 + 3(c + c') = 0$ पढ़ा जाता है, अतः $c + c' = 1$ ; और $c^2 + c'^2 = 3$ : $\{c, c'\} = \bigl\{\frac{1+\sqrt5}2, \frac{1-\sqrt5}2\bigr\}$ — अर्थात् स्वर्णिम अनुपात और उसका संयुग्म; दूसरा $5$ -वर्ग अदला-बदले हुए मान धारण करता है (दोनों पंक्तियों को लांबिक होना चाहिए)।

(ग) पूरी हुई सारणी में किसी अतुच्छ पंक्ति की कोई प्रविष्टि प्रथम स्तंभ के बाहर अपनी घात के बराबर नहीं है: अतः प्रत्येक अष्टि $\{g : \chi_i(g) = n_i\}$ तुच्छ है। अभ्यास 5.6(ग) से $A_5$ सरल है।

अभ्यास 5.10 ★★

मान लीजिए $\rho$ घात $n$ का अखंडनीय निरूपण है और $z \in Z(G)$ । दर्शाइए कि $\rho(z) = \lambda_z\,\mathrm{id}$ , जहाँ $\lambda \colon Z(G) \to \C^\times$ एक समाकारिता है (केंद्रीय वर्ण), और केंद्रीय $z$ के लिए $\abs{\chi(z)} = n$ निष्कर्ष निकालिए। अनुप्रयोग: यदि $G$ का कोई निष्ठ अखंडनीय निरूपण हो, तो $Z(G)$ चक्रीय है।

हल

हल — अभ्यास 5.10.

$\rho(z)$ प्रत्येक $\rho(g)$ के साथ क्रमविनिमेय है ( $z$ केंद्रीय है), अर्थात् $\rho(z) \in \operatorname{End}_G(V) = \C\,\mathrm{id}$ (शूर): $\rho(z) = \lambda_z\,\mathrm{id}$ , और $z \mapsto \lambda_z$ गुणनात्मक है: अतः कोई समाकारिता $Z(G) \to \C^\times$ । तब $\abs{\lambda_z} = 1$ (इकाई-मूल) के साथ $\chi(z) = n\lambda_z$ : $\abs{\chi(z)} = n$ । यदि $\rho$ निष्ठ हो, तो $\lambda$ $Z(G)$ पर एकैकी है ( $\rho(z) = \mathrm{id} \iff \lambda_z = 1$ ), अतः $Z(G)$ $\C^\times$ में अंतःस्थापित हो जाता है; और किसी क्षेत्र के गुणनात्मक समूह का कोई परिमित उपसमूह चक्रीय होता है (प्रमेय 4.12)।

अभ्यास 5.11 ★★

(समजातीय प्रक्षेप) मान लीजिए $(V, \rho)$ $G$ का एक निरूपण है और $\chi_i$ घात $n_i$ का अखंडनीय वर्ण। परिभाषित कीजिए

p_i = \frac{n_i}{\abs G}\sum_{g\in G} \overline{\chi_i(g)}\,\rho(g) \;\in\; \mathcal L(V).

(क) दर्शाइए कि $p_i$ $G$ -समतुल्यवर्ती है, और वर्ण $\chi_j$ वाले किसी अखंडनीय उपनिरूपण $W \subseteq V$ पर उसका प्रतिबंध परिकलित कीजिए: वह $\delta_{ij}\, \mathrm{id}_W$ है (शूर; अदिश पहचानने के लिए अनुरेख लीजिए)। (ख) निष्कर्ष निकालिए कि $p_i$ वर्ण $\chi_i$ वाले समस्त अखंडनीय उपनिरूपणों के योग $V_i$ पर प्रक्षेप है (समजातीय घटक), कि $\sum_ip_i = \mathrm{id}_V$ , और यह कि विघटन $V = \bigoplus_iV_i$ विहित है — प्रत्येक $V_i$ के अखंडनीय निरूपणों में सूक्ष्मतर विभाजन के विपरीत। (ग) $S_3$ के नियमित निरूपण और चिह्न वर्ण $\varepsilon$ के लिए $p_\varepsilon$ को समूह बीजगणित के अवयव के रूप में स्पष्ट लिखिए और $p_\varepsilon^2 = p_\varepsilon$ हाथ से जाँचिए।

हल

हल — अभ्यास 5.11.

(क) समतुल्यवर्तिता: $\rho(h)p_i\rho(h)^{-1}$ योग को पुनःसूचकांकित कर देता है ( $g \mapsto hgh^{-1}$ , और $\chi_i$ कोई वर्ग फलन है): अतः $p_i$ क्रिया के साथ क्रमविनिमेय है। वर्ण $\chi_j$ वाले किसी अखंडनीय $W$ पर शूर प्रतिबंध को अदिश $\lambda\,\mathrm{id}_W$ बना देते हैं; और संचिह्न लेने पर (प्रथम लांबिकता)

\lambda\,n_j = \frac{n_i}{\abs G}\sum_g \overline{\chi_i(g)}\,\chi_j(g) = n_i\,\langle\chi_i, \chi_j\rangle = n_i\,\delta_{ij}

अतः $\lambda = \delta_{ij}$ ।

(ख) $V$ का अखंडनीयों में विघटन कीजिए (मास्के): $p_i$ वर्ण $\chi_i$ वाले योज्य पदों पर तत्समक की भाँति और शेष सब पर $0$ की भाँति क्रिया करता है, अतः $p_i$ उनके योग $V_i$ पर, शेष के योग के अनुदिश, प्रक्षेप है; और प्रतिबिंब $V_i$ चुने गए विघटन पर निर्भर नहीं करता (वह $p_i$ से स्थिर सदिशों का समुच्चय है, जो बिना किसी चयन के परिभाषित है)। $\sum_ip_i$ प्रत्येक अखंडनीय योज्य पद पर तत्समक की भाँति क्रिया करता है: अतः वह $\mathrm{id}_V$ है। $V_i \cong W_i^{\oplus m_i}$ का सूक्ष्मतर विभाजन $\operatorname{Hom}_G(W_i, V)$ के किसी आधार के चयन पर निर्भर करता है: वह विहित नहीं है।

(ग) $\varepsilon$ के लिए (घात $1$ ): $p_\varepsilon = \frac1{6}\sum_{g}\varepsilon(g)\,\rho(g)$ , अर्थात् समूह बीजगणित में

p_\varepsilon = \tfrac16\bigl(e - (1\,2) - (1\,3) - (2\,3) + (1\,2\,3) + (1\,3\,2)\bigr) .

वर्ग करने पर: $p_\varepsilon^2$ में $g$ का गुणांक $\frac1{36}\sum_{h}\varepsilon(h)\varepsilon(h^{-1}g) = \frac1{36}\,\varepsilon(g)\sum_h\varepsilon(h)^2 = \frac{6}{36}\varepsilon(g)$ है: अतः $p_\varepsilon^2 = p_\varepsilon$ । (नियमित निरूपण में उसका प्रतिबिंब $\sum_g\varepsilon(g)e_g$ से फैली रेखा है: अर्थात् चिह्न निरूपण बहुलता $1$ के साथ आता है, जैसा व्यापक सिद्धांत माँगता है।)

अभ्यास 5.12 ★★

(सारणी पढ़ना) क्रम $24$ के किसी समूह $G$ की वर्ण सारणी अंशतः ज्ञात है: उसमें $5$ वर्ग हैं, जिनके आकार $1, 6, 8, 6, 3$ हैं, और घातें $1, 1, 2, 3, 3$ हैं। (क) पूरी सारणी पुनः प्राप्त कीजिए: दो रैखिक वर्ण (एक तुच्छ; दूसरा ठीक आकार $6$ और $6$ वाले वर्गों पर मान $-1$ लेता है), फिर तत्समक स्तंभ के साथ स्तंभ लांबिकता से घात- $2$ वर्ण, और उसी प्रकार दोनों घात- $3$ वर्ण (उनमें से एक $\chi_2\chi_4$ है)। (ख) $G$ की पहचान कीजिए ( $\cong S_4$ : वर्गों की तुलना चक्र प्रकारों से कीजिए), और अभ्यास 5.6 के माध्यम से सारणी से प्रसामान्य उपसमूह निकालिए: $\chi_2$ की अष्टियाँ (सूचकांक $2$ : $A_4$ ) और $\chi_3$ की (क्लाइन $V_4$ ), तथा $\{e\}, G$ के अतिरिक्त और कुछ नहीं। (ग) समझाइए कि सारणी $G/V_4 \cong S_3$ कैसे दिखाती है (कौन-से वर्ण भागफल से होकर गुजरते हैं?)।

हल

हल — अभ्यास 5.12.

(क) वर्गों को इस क्रम में रखिए: $e$ [1], स्थानांतरण [6], $3$ -चक्र [8], $4$ -चक्र [6], द्विक स्थानांतरण [3]। दूसरा रैखिक वर्ण $\chi_2 = \varepsilon$ है, जिसके मान $1, -1, 1, -1, 1$ हैं। घात- $2$ वर्ण $\chi_3$ के लिए, प्रत्येक स्तंभ की तत्समक स्तंभ के साथ स्तंभ लांबिकता ( $g \neq e$ के लिए $\sum_in_i\chi_i(g) = 0$ ) स्थानांतरणों पर $1 - 1 + 2\chi_3 + 3(\chi_4 + \chi_5) = 0$ देती है; और चिह्न-युक्ति $\chi_5 = \varepsilon\chi_4$ (कोई घात- $3$ वर्ण गुणा कोई रैखिक वर्ण फिर से अखंडनीय होता है — वही मानक) $\chi_4 + \chi_5$ को विषम वर्गों पर लुप्त कर देती है: वहाँ $\chi_3 = 0$ । $3$ -चक्रों पर: सम वर्गों पर $\chi_5 = \chi_4$ के साथ $1 + 1 + 2\chi_3(c_3) + 3(\chi_4 + \chi_5)(c_3) = 0$ ; $c_3$ के स्तंभ की स्वयं के साथ तुलना $\abs{\chi_3}^2$ आँकड़ा देती है; और छोटे निकाय को हल करने पर ( $\chi_3$ की $\mathbf 1$ तथा $\varepsilon$ के साथ पंक्ति लांबिकता का भी उपयोग कीजिए): $\chi_3 = (2, 0, -1, 0, 2)$ , फिर $\chi_4 = (3, 1, 0, -1, -1)$ और $\chi_5 = \varepsilon\chi_4 = (3, -1, 0, 1, -1)$ । पूरी सारणी:

	$e$	$6\,t$	$8\,c_3$	$6\,c_4$	$3\,v$
$\chi_1$	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$
$\chi_2$	$1$	$-1$	$1$	$-1$	$1$
$\chi_3$	$2$	$0$	$-1$	$0$	$2$
$\chi_4$	$3$	$1$	$0$	$-1$	$-1$
$\chi_5$	$3$	$-1$	$0$	$1$	$-1$

(सभी पंक्तियों का मानक $1$ है; सभी स्तंभ लांबिक हैं: जाँच पूरी।)

(ख) इन घातों के साथ वर्ग आँकड़ा $1, 6, 8, 6, 3$ $S_4$ का ही है (चक्र प्रकार $e$ , $2$ , $3$ , $4$ , $2{+}2$ )। अष्टियाँ: $\ker\chi_2 = \{g : \varepsilon(g) = 1\} = A_4$ (वर्ग $e, c_3, v$ : $1 + 8 + 3 = 12$ , सूचकांक $2$ ); $\ker\chi_3 = \{g : \chi_3(g) = 2\}$ = वर्ग $e, v$ : क्रम $4$ का क्लाइन समूह $V_4$ , प्रसामान्य। $\chi_4, \chi_5$ निष्ठ हैं ( $\chi_i(g) = n_i$ केवल $e$ पर)। अष्टियों के प्रतिच्छेद: $\{e\}$ , $V_4$ , $A_4$ , $G$ — और अभ्यास 5.6(ख) से ये $S_4$ के सभी प्रसामान्य उपसमूह हैं।

(ग) $V_4 \subseteq \ker$ वाले वर्ण $\chi_1, \chi_2, \chi_3$ हैं: वे $G/V_4$ के माध्यम से गुणनखंडित होते हैं, जो क्रम $6$ का समूह है और जिसकी अखंडनीय घातें $1, 1, 2$ हैं — अर्थात् $S_3$ की सारणी। चूँकि भागफल की सारणी क्रम $6$ के दोनों समूहों के बीच एक पूर्ण निश्चर है ( $\Z/6\Z$ के छह रैखिक वर्ण होते), अतः $G/V_4 \cong S_3$ : भागफल सारणी के भीतर उन पंक्तियों के खंड के रूप में दिख जाता है जिनकी अष्टि में $V_4$ है।

5.5 समस्या: बर्नसाइड की $p^aq^b$ प्रमेय

समस्या 5.1

सप्ताहांत समस्या — क्रम $p^aq^b$ के समूहों की विलेयता

बर्नसाइड ने 1904 में सिद्ध किया कि जिस समूह के क्रम में अधिकतम दो अभाज्य गुणनखंड हों वह विलेय होता है — अमूर्त समूहों के बारे में एक ऐसा कथन जिसकी आधी सदी तक ज्ञात सभी उपपत्तियाँ वर्ण सिद्धांत से होकर जाती थीं। यह समस्या अध्याय 1 (विलेयता), अध्याय 3 (परिमिततः जनित $\Z$ -मॉड्यूल) और इस अध्याय को जोड़कर पूरी उपपत्ति खड़ी करती है। सर्वत्र $\chi_1, \dots, \chi_r$ $G$ के अखंडनीय वर्ण हैं और $n_i = \chi_i(e)$ ।

भाग I — बीजीय पूर्णांक। बीजीय पूर्णांक $\Z[X]$ के किसी मोनिक बहुपद का मूल होता है।

दर्शाइए कि $\alpha$ बीजीय पूर्णांक है तभी और केवल तभी जब वलय $\Z[\alpha]$ एक परिमिततः जनित $\Z$ -मॉड्यूल हो।
निष्कर्ष निकालिए कि बीजीय पूर्णांक $\C$ का एक उपवलय बनाते हैं। (यदि $\Z[\alpha], \Z[\beta]$ परिमिततः जनित हों, तो $\Z[\alpha, \beta]$ भी है, और प्रमेय 3.5 तथा एक प्रस्तुति तर्क से परिमिततः जनित $\Z$ -मॉड्यूलों के उपमॉड्यूल परिमिततः जनित होते हैं — अथवा सीधे: $\Z^n$ का उपमॉड्यूल कोटि $\leq n$ का मुक्त मॉड्यूल है।)
दर्शाइए कि कोई परिमेय बीजीय पूर्णांक पूर्णांक ही होता है। (परिमेय मूल प्रमेय।)
दर्शाइए कि प्रत्येक वर्ण मान $\chi(g)$ एक बीजीय पूर्णांक है।

भाग II — वर्ग-योग संबंध। घात $n$ और वर्ण $\chi$ वाला कोई अखंडनीय $(V, \rho)$ स्थिर कीजिए। किसी संयुग्मन वर्ग $C$ के लिए $S_C = \sum_{g \in C}\rho(g) \in \mathcal L(V)$ रखिए।

दर्शाइए कि $S_C$ समतुल्यवर्ती है, अतः $S_C = \omega_C\,\mathrm{id}$ , जहाँ

$\omega_C = \frac{\abs C\,\chi(g_C)}{n} \qquad (g_C \in C \text{ कोई भी प्रतिनिधि}).$
दर्शाइए कि $S_CS_{C'} = \sum_{C''} a_{CC'C''}\,S_{C''}$ , जहाँ $a_{CC'C''} \in \N$ किसी स्थिर $z \in C''$ के लिए $xy = z$ वाले युग्मों $(x, y) \in C \times C'$ की गणना करता है। इससे निष्कर्ष निकालिए कि $\omega_C$ $\omega_C\,\omega_{C'} = \sum_{C''} a_{CC'C''}\,\omega_{C''}$ को संतुष्ट करते हैं।
निष्कर्ष निकालिए कि प्रत्येक $\omega_C$ एक बीजीय पूर्णांक है। ( $1$ और $\omega_C$ से जनित $\Z$ -मॉड्यूल एक परिमिततः जनित वलय है; प्रश्न 1 की कसौटी लगाइए — अधिक ठीक-ठीक, दर्शाइए कि $M = \Z\text{-विस्तार} (1, (\omega_C)_C)$ $\omega_{C_0} M \subseteq M$ को संतुष्ट करता है और सारणिक/केली–हैमिल्टन युक्ति का उपयोग कीजिए, अथवा प्रश्न 2 का उपवलय तर्क।)
फ्रोबेनियस विभाज्यता निकालिए: प्रत्येक अखंडनीय घात के लिए $n_i$ $\abs G$ को विभाजित करता है। ( $\frac{\abs G}{n} = \frac{\abs G}{n} \langle\chi,\chi\rangle = \sum_C \omega_C\, \overline{\chi(g_C)}$ परिकलित कीजिए: एक बीजीय पूर्णांक जो परिमेय है।)

भाग III — बर्नसाइड की सरलता कसौटी।

मान लीजिए $\chi$ घात $n$ का अखंडनीय है और $C$ ऐसा वर्ग जिसके लिए $\gcd(\abs C, n) = 1$ । बेज़ू और प्रश्न 4–7 का उपयोग करके दर्शाइए कि $\frac{\chi(g_C)}{n}$ एक बीजीय पूर्णांक है।
अब मान लीजिए इसके अतिरिक्त $0 < \abs{\chi(g_C)} < n$ । दर्शाइए कि यह असंभव है: बीजीय पूर्णांक $\alpha = \chi(g_C)/n$ के समस्त संयुग्म — अर्थात् $\sigma \in \operatorname{Gal}(\Q(\zeta_{\abs G})/\Q)$ के लिए संख्याएँ $\alpha_\sigma = \frac1n\sigma(\chi(g_C))$ , जिनमें से प्रत्येक $n$ इकाई-मूलों का औसत है — मापांक $\leq 1$ के हैं, अतः गुणनफल $N = \prod_\sigma\alpha_\sigma$ ऐसा परिमेय बीजीय पूर्णांक है जिसके लिए $0 < \abs N < 1$ — गाल्वा समूह के लिए प्रमेय 4.23 और इस तथ्य को उद्धृत करते हुए कि $\sigma$ इकाई-मूलों का क्रमचय करता है, प्रत्येक कथन को उचित ठहराइए। निष्कर्ष निकालिए: या तो $\chi(g_C) = 0$ या $\rho(g_C)$ अदिश है (प्रतिज्ञप्ति 5.6)।
(बर्नसाइड की कसौटी) मान लीजिए $C \neq \{e\}$ अभाज्य घात आकार $p^k > 1$ का संयुग्मन वर्ग है, और मान लीजिए $G$ सरल अनाबेली है। $C$ के स्तंभ की $e$ के स्तंभ के साथ स्तंभ लांबिकता से $1 + \sum_{i \geq 2} n_i\chi_i(g_C) = 0$ मिलता है। दर्शाइए कि $p \nmid n_i$ वाला कोई अतुच्छ $\chi_i$ $\chi_i(g_C) \neq 0$ को संतुष्ट करता है (अन्यथा $\frac1p$ एक बीजीय पूर्णांक होता); प्रश्न 10 से $\rho_i(g_C)$ अदिश है; अब सरलता के साथ विरोधाभास निकालिए ( $\rho_i(g)$ के अदिश होने वाले $g$ का समुच्चय एक प्रसामान्य उपसमूह है; अभ्यास 5.6 से निष्ठता का उपयोग कीजिए)। निष्कर्ष निकालिए: किसी भी सरल अनाबेली समूह में $> 1$ अभाज्य घात आकार का कोई संयुग्मन वर्ग नहीं होता।

भाग IV — प्रमेय।

मान लीजिए $a + b \geq 1$ के साथ $\abs G = p^aq^b$ । यदि $G$ सरल हो, तो दर्शाइए कि वह आबेली है: किसी सिलो $q$ -उपसमूह के केंद्र में $z \neq e$ चुनिए (प्रमेय 1.12) और उसके संयुग्मन वर्ग $[G : Z_G(z)]$ के आकार पर विचार कीजिए, जो $p$ की एक घात है (क्यों?); अब प्रश्न 11 लगाइए।
$\abs G$ पर आगमन से निष्कर्ष निकालिए: क्रम $p^aq^b$ का प्रत्येक समूह विलेय है (बर्नसाइड)। तीन अभाज्यों के लिए यह तर्क क्यों टूट जाता है — और $\abs{A_5} = 2^2\cdot3\cdot5$ को देखते हुए उसे टूटना ही क्यों चाहिए?

भाग V — $A_5$ की वर्ण सारणी। जिस सबसे छोटे समूह तक बर्नसाइड की प्रमेय नहीं पहुँच सकती, वह अपने पूरे चित्र का अधिकारी है; नीचे सब कुछ केवल इस अध्याय और अभ्यास 1.11 का उपयोग करता है।

अभ्यास 1.11 से $A_5$ के पाँच संयुग्मन वर्ग स्मरण कीजिए: $\{e\}$ , $15$ द्विक स्थानांतरण, $20$ त्रि-चक्र, और प्रत्येक में $12$ पाँच-चक्र वाले दो वर्ग, जिनके प्रतिनिधि $c = (1\,2\,3\,4\,5)$ और $c^2$ हैं। समझाइए कि पाँच-चक्र $S_5$ -वर्ग में एक ही वर्ग बनाते हुए भी दो $A_5$ -वर्गों में क्यों बँट जाते हैं।
दर्शाइए कि $A_5$ की अखंडनीय घातें ठीक $1, 3, 3, 4, 5$ हैं: $r = 5$ वर्गों के साथ $\sum_in_i^2 = 60$ का उपयोग कीजिए, और इस तथ्य का कि $A_5$ पूर्ण है ( $D(A_5) = A_5$ ), अतः तुच्छ वर्ण ही उसका एकमात्र रैखिक वर्ण है; फिर हर दूसरे बहुसमुच्चय को अपवर्जित कीजिए ( $59$ को $\geq 2$ पूर्णांकों के चार वर्गों के योग के रूप में लिखिए: जाँचिए कि यह केवल एक ही प्रकार से होता है जिसमें सभी योज्य विश्वसनीय घातें हों)।
मान लीजिए $\pi$ $\{1, \dots, 5\}$ पर $A_5$ का क्रमचय वर्ण है: $\pi(g) = \#\operatorname{Fix}(g)$ , जिसके पाँचों वर्गों पर मान $5, 1, 2, 0, 0$ हैं। $\langle\pi, \mathbf 1\rangle$ और $\langle\pi, \pi\rangle$ परिकलित कीजिए, और निष्कर्ष निकालिए कि $\chi_4 = \pi - \mathbf 1$ घात $4$ का अखंडनीय है, जिसके मान $4, 0, 1, -1, -1$ हैं।
$10$ अक्रमित युग्मों $\{i, j\}$ पर वही खेल: स्थिर-बिंदु गणनाएँ $10, 2, 1, 0, 0$ हैं। $\langle\pi_{10}, \pi_{10}\rangle$ , $\langle\pi_{10}, \mathbf 1\rangle$ और $\langle\pi_{10}, \chi_4\rangle$ परिकलित कीजिए, विघटन $\pi_{10} = \mathbf 1 + \chi_4 + \chi_5$ निकालिए, और घात $5$ का अखंडनीय $\chi_5$ प्राप्त कीजिए, जिसके मान $5, 1, -1, 0, 0$ हैं।
शेष दो अखंडनीय $\chi_2, \chi_3$ की घात $3$ है। स्तंभ लांबिकता (प्रत्येक अतत्समक स्तंभ की तत्समक स्तंभ के साथ, और प्रत्येक स्तंभ की अपने साथ) पाँच-चक्रों के बाहर उनके मान निर्धारित कर देती है: दर्शाइए कि द्विक स्थानांतरणों पर $\chi_2(g) = \chi_3(g) = -1$ और त्रि-चक्रों पर $0$ ।
पाँच-चक्र वर्गों पर $x = \chi_2(c)$ और $y = \chi_2(c^2)$ रखिए; सममिति से $\chi_3(c) = y$ , $\chi_3(c^2) = x$ लिया जा सकता है। $c$ के स्तंभ को तत्समक स्तंभ के साथ और $c^2$ के स्तंभ के साथ युग्मित करके $x + y = 1$ और $xy = -1$ निकालिए (और $c$ के स्तंभ की अपने साथ युग्मन से मिलने वाले मान $x^2 + y^2 = 3$ की जाँच कीजिए), जिससे

$\{x, y\} = \Bigl\{\frac{1 + \sqrt5}2,\ \frac{1 - \sqrt5}2\Bigr\} :$

अर्थात् स्वर्णिम अनुपात और उसका संयुग्म। अब $A_5$ की पूरी वर्ण सारणी संकलित कीजिए।
जाँचें चलाइए: $\chi_2$ की पंक्ति मानक $1$ है ( $\varphi^2 + \bar\varphi^2 = 3$ का उपयोग कीजिए), $\langle\chi_2, \chi_3\rangle = 0$ , और पाँचों घातों के लिए फ्रोबेनियस विभाज्यता (प्रश्न 8)। सारणी में कहाँ आप $S_5$ से अंतर देखते हैं, जिसके सभी वर्ण मान परिमेय पूर्णांक हैं?
केवल सारणी से निष्कर्ष निकालिए कि $A_5$ सरल है: कोई प्रसामान्य उपसमूह $e$ को अंतर्विष्ट करने वाले संयुग्मन वर्गों का सम्मिलन होता है जिसकी गणनीयता $60$ को विभाजित करती है — जाँचिए कि $1 + 15 + 20 + 12 + 12$ का कोई भी ऐसा उचित उपयोग जिसमें पद $1$ हो, $60$ को विभाजित नहीं करता। प्रश्न 11 की कसौटी से मिलान कीजिए: सत्यापित कीजिए कि $A_5$ के किसी वर्ग का आकार अभाज्य घात $> 1$ नहीं है।
(बीसफलकी समापन) $A_5$ बीसफलक का घूर्णन समूह है, और घात- $3$ निरूपण $\R^3$ पर दोनों ज्यामितीय क्रियाएँ हैं। अनुरेख सर्वसमिका सत्यापित कीजिए: कोण $\theta$ के घूर्णन का अनुरेख $1 + 2\cos\theta$ होता है, और $1 + 2\cos\frac{2\pi}5 = \frac{1+\sqrt5}2 = \varphi$ । बिना किसी परिकलन के समझाइए कि दूसरे घात- $3$ वर्ण को संयुग्म मान क्यों धारण करना चाहिए: $\Q(\sqrt5)/\Q$ का गाल्वा समूह पूरी वर्ण सारणी पर (प्रविष्टिशः) क्रिया करता है और अखंडनीय वर्णों का क्रमचय कर देता है।

भाग VI — पूरक: एक केंद्रीय परिबंध और टेंसर वर्ग।

(विभाज्यता से तीक्ष्णतर) मान लीजिए $\chi$ घात $n$ का अखंडनीय है। दर्शाइए कि प्रत्येक $z \in Z(G)$ के लिए $\abs{\chi(z)} = n$ (शूर की प्रमेयिका: $\rho(z)$ परिमित क्रम का अदिश है), और $\langle\chi, \chi\rangle = 1$ से परिबंध

$n^2 \leq [G : Z(G)] .$

निकालिए। दर्शाइए कि क्रम $8$ के अनाबेली समूहों की अखंडनीय घातें $1, 1, 1, 1, 2$ हैं (पाँच संयुग्मन वर्ग; $8$ को पाँच वर्गों के योग के रूप में लिखिए) और वे समता $4 = [G : Z(G)]$ प्राप्त कर लेते हैं; $A_5$ पर परिबंध जाँचिए, जिसका केंद्र तुच्छ है।
( $\chi_2$ का टेंसर वर्ग) परिमित क्रम के $g$ के लिए $\rho(g)$ इकाई-मूल अभिलक्षणिक मानों के साथ विकर्णनीय है; इससे वर्ण सूत्र

$\chi_{\operatorname{Sym}^2 V}(g) = \frac{\chi(g)^2 + \chi(g^2)}2, \qquad \chi_{\Lambda^2 V}(g) = \frac{\chi(g)^2 - \chi(g^2)}2 .$

निकालिए। इन्हें $A_5$ के $\chi_2$ पर लगाइए (ध्यान दीजिए कि जब $g$ $c$ के वर्ग में विचरता है तब $g^2$ $c^2$ के वर्ग में विचरता है, और विलोमतः भी): दर्शाइए कि $\Lambda^2\chi_2 = \chi_2$ और $\operatorname{Sym}^2\chi_2 = \mathbf 1 + \chi_5$ , अतः

$\chi_2\otimes\chi_2 = \mathbf 1 + \chi_2 + \chi_5 .$

$\R^3$ पर सदिश गुणन के माध्यम से $\Lambda^2\chi_2 = \chi_2$ की ज्यामितीय व्याख्या कीजिए।
(सारणी का अंतिम अंकेक्षण) संख्यात्मक रूप से सत्यापित कीजिए: दोनों पाँच-चक्र स्तंभों के बीच स्तंभ लांबिकता ( $\varphi\bar\varphi = -1$ ), $c$ के स्तंभ की अपने साथ युग्मन से मिलने वाला मान $5 = \abs{Z_{A_5}(c)}$ , और सारणी के चारों अतत्समक स्तंभों पर नियमित वर्ण $\sum_i n_i\chi_i(g) = 0$ का लुप्त होना।

हल

हल — समस्या 5.1.

1. यदि $\alpha^n + c_{n-1}\alpha^{n-1} + \dots + c_0 = 0$ ( $c_i \in \Z$ ) हो, तो $\alpha^n \in \Z\text{-विस्तार}(1, \dots, \alpha^{n-1})$ , और आगमन से प्रत्येक घात भी: अतः $\Z[\alpha]$ $1, \alpha, \dots, \alpha^{n-1}$ से जनित है। विलोमतः मान लीजिए $\Z[\alpha] = \Z g_1 + \dots + \Z g_m$ । $M = (m_{ij}) \in M_m(\Z)$ के साथ $\alpha g_i = \sum_j m_{ij}g_j$ लिखिए: सदिश $g = (g_i)$ $(\alpha I - M)g = 0$ संतुष्ट करता है; सहगुणक आव्यूह से गुणा करने पर प्रत्येक $i$ के लिए $\det(\alpha I - M)\,g_i = 0$ , और चूँकि $1 \in \Z[\alpha]$ $g_i$ का कोई $\Z$ -संचय है, अतः $\det(\alpha I - M) = 0$ : इसलिए $\alpha$ मोनिक $\det(XI - M) \in \Z[X]$ का मूल है।

2. यदि $\Z[\alpha]$ $n-1$ तक $\alpha$ की घातों से और $\Z[\beta]$ $m - 1$ तक $\beta$ की घातों से फैला हो, तो $\Z[\alpha,\beta]$ $nm$ गुणनफलों $\alpha^i\beta^j$ से फैला है (किसी भी एकपदी को घटाइए)। उपवलय $\Z[\alpha + \beta]$ और $\Z[\alpha\beta]$ परिमिततः जनित $\Z$ -मॉड्यूल $\Z[\alpha, \beta]$ के $\Z$ -उपमॉड्यूल हैं, अतः परिमिततः जनित ( $\Z[\alpha,\beta]$ , जो $nm$ अवयवों से जनित है, $\Z^{nm}$ का प्रतिबिंब है; और कोई उपमॉड्यूल $\Z^{nm}$ के किसी उपमॉड्यूल पर पीछे खिंच आता है, जो प्रमेय 3.5 से कोटि $\leq nm$ का मुक्त है, और उसका प्रतिबिंब जनित करता है)। प्रश्न 1 से $\alpha + \beta$ और $\alpha\beta$ बीजीय पूर्णांक हैं।

3. यदि $\frac pq$ (निम्नतम पदों में) घात $n$ के किसी मोनिक पूर्णांक बहुपद का मूल हो, तो परिमेय मूल प्रमेय (हर हटाइए: $p^n = -q(\cdots)$ ) $q \mid p^n$ दे देती है, अतः $q = \pm1$ ।

4. $\chi(g)$ इकाई-मूलों का योग है (प्रतिज्ञप्ति 5.6), और उनमें से प्रत्येक बीजीय पूर्णांक है ( $X^N - 1$ का मूल); अतः प्रश्न 2 से निष्कर्ष निकलता है।

5. $h \in G$ के लिए: $\rho(h)S_C\rho(h)^{-1} = \sum_{g\in C}\rho(hgh^{-1}) = S_C$ ( $C$ कोई वर्ग है)। शूर से $S_C = \omega_C\,\mathrm{id}$ ; और संचिह्न लेने पर $\abs C\,\chi(g_C) = \omega_C\, n$ ।

6. $a(z) = \#\{(x,y) \in C\times C' : xy = z\}$ के साथ $S_CS_{C'} = \sum_{x \in C, y \in C'}\rho(xy) = \sum_{z \in G} a(z)\rho(z)$ । $h$ से संयुग्मन $z$ के हलों को $hzh^{-1}$ के हलों के साथ एकैकी रूप से जोड़ देता है: अतः $a$ $\N$ में मान लेने वाला कोई वर्ग फलन है, इसलिए $S_CS_{C'} = \sum_{C''}a_{CC'C''}S_{C''}$ । सर्वत्र $S_C = \omega_C\,\mathrm{id}$ प्रतिस्थापित करके और अदिशों की पहचान करके: $\omega_C\omega_{C'} = \sum_{C''}a_{CC'C''}\,\omega_{C''}$ ।

7. मान लीजिए $M$ $1$ और सभी गुणनफलों $\omega_{C_1}\cdots\omega_{C_k}$ से फैला $\Z$ -मॉड्यूल है; प्रश्न 6 से ऐसा प्रत्येक गुणनफल $1$ और $\omega_C$ के किसी $\Z$ -संचय तक सिमट जाता है: अतः $M$ परिमिततः जनित है, और प्रत्येक $C$ के लिए $\omega_C M \subseteq M$ । विशेष रूप से $\Z[\omega_C] \subseteq M$ परिमिततः जनित है (उपमॉड्यूल, प्रश्न 2 की भाँति), और प्रश्न 1 $\omega_C$ को बीजीय पूर्णांक बना देता है।

8. घात $n$ के किसी अखंडनीय $\chi$ के लिए:

\frac{\abs G}{n} = \frac{\abs G}{n}\langle\chi,\chi\rangle = \frac1n \sum_{g}\chi(g)\overline{\chi(g)} = \sum_{C}\frac{\abs C\,\chi(g_C)}{n}\,\overline{\chi(g_C)} = \sum_C \omega_C\,\overline{\chi(g_C)} .

प्रत्येक $\overline{\chi(g_C)} = \chi(g_C^{-1})$ बीजीय पूर्णांक है (प्रश्न 4), अतः दायाँ पक्ष भी (प्रश्न 2, 7); और वह परिमेय है, इसलिए पूर्णांक (प्रश्न 3): $n \mid \abs G$ ।

9. बेज़ू: $u, v \in \Z$ के साथ $u\abs C + vn = 1$ । तब

\frac{\chi(g_C)}{n} = u\,\frac{\abs C\,\chi(g_C)}{n} + v\,\chi(g_C) = u\,\omega_C + v\,\chi(g_C),

जो कोई बीजीय पूर्णांक है।

10. मान लीजिए $0 < \abs{\chi(g_C)} < n$ और $\alpha = \chi(g_C)/n$ लीजिए। सभी मान $\chi(g)$ $\Q(\zeta_N)$ , $N = \abs G$ में हैं ( $N$ -वें इकाई-मूलों के योग)। $\sigma \in \operatorname{Gal}(\Q(\zeta_N)/\Q)$ के लिए: $\sigma$ इकाई-मूलों को इकाई-मूलों पर भेजता है ( $\sigma(\zeta^k) = \zeta^{ak}$ , प्रमेय 4.23), अतः $\sigma(\chi(g_C))$ फिर से $n$ इकाई-मूलों का योग है: $\abs{\sigma(\alpha)} \leq 1$ ; साथ ही $\sigma(\alpha)$ बीजीय पूर्णांक है (उसका न्यूनतम बहुपद $\alpha$ के ही समान है)। गुणनफल $P = \prod_\sigma \sigma(\alpha)$ समूचे गाल्वा समूह से स्थिर रहता है, अतः परिमेय (प्रमेय 4.21(1)), और वह

0 < \abs P \leq \abs\alpha < 1

वाला बीजीय पूर्णांक है (कोई गुणनखंड लुप्त नहीं होता: $\sigma(\alpha) = 0$ से $\alpha = 0$ अनिवार्य हो जाता)। यह प्रश्न 3 का खंडन करता है। अतः $\chi(g_C) = 0$ या $\abs{\chi(g_C)} = n$ , और पिछली स्थिति में $\rho(g_C)$ अदिश है (प्रतिज्ञप्ति 5.6)।

11. स्तंभ लांबिकता ( $C \neq \{e\}$ ): $\sum_i \chi_i(e)\overline{\chi_i(g_C)} = 0$ , अर्थात् $1 + \sum_{i \geq 2} n_i\overline{\chi_i(g_C)} = 0$ । यदि $p \nmid n_i$ वाला प्रत्येक अतुच्छ $\chi_i$ $g_C$ पर लुप्त हो जाता, तो शेष को उनके गुणनखंड $p$ के अनुसार समूहित करने पर

-\frac1p = \sum_{i \geq 2,\ p \mid n_i} \frac{n_i}{p}\,\overline{\chi_i(g_C)},

कोई बीजीय पूर्णांक होता — जो प्रश्न 3 का खंडन करता है। अतः किसी अतुच्छ $\chi_i$ के लिए $p \nmid n_i$ और $\chi_i(g_C) \neq 0$ ; और चूँकि $\abs C = p^k$ , अतः $\gcd(\abs C, n_i) = 1$ , और प्रश्न 10 $\rho_i(g_C)$ को अदिश बना देता है। अब $G$ सरल अनाबेली: $\chi_i$ निष्ठ है (अभ्यास 5.6(ग)), और $Z_i = \{g : \rho_i(g) \text{ अदिश}\}$ $g_C \neq e$ को धारण करने वाला कोई प्रसामान्य उपसमूह है ( $\rho_i$ के अंतर्गत अदिशों का पूर्व-प्रतिबिंब, और अदिश प्रतिबिंब का प्रसामान्य — वस्तुतः केंद्रीय — उपसमूह बनाते हैं): अतः $Z_i = G$ । तब $\rho_i(G)$ आबेली और निष्ठ है, जिससे $G$ आबेली हो जाता है: विरोधाभास। किसी सरल अनाबेली समूह का अभाज्य-घात आकार $> 1$ वाला कोई संयुग्मन वर्ग नहीं होता।

12. मान लीजिए $G$ क्रम $p^aq^b$ का सरल है। यदि $b = 0$ हो ( $G$ कोई $p$ -समूह): $Z(G) \neq \{e\}$ (प्रमेय 1.12) प्रसामान्य है, अतः $Z(G) = G$ : आबेली। अन्यथा कोई सिलो $q$ -उपसमूह $Q$ और $z \in Z(Q) \setminus\{e\}$ लीजिए (पुनः प्रमेय 1.12)। तब $Q \subseteq Z_G(z)$ , अतः $z$ के वर्ग का आकार $[G : Z_G(z)]$ है जो $[G : Q] = p^a$ को विभाजित करता है: अर्थात् $p$ की कोई घात। यदि आकार $1$ हो, तो $z \in Z(G)$ : केंद्र कोई अतुच्छ प्रसामान्य उपसमूह है, अतः $Z(G) = G$ , आबेली। यदि आकार $p^k > 1$ हो: प्रश्न 11 सरल अनाबेली $G$ के लिए उसे मना कर देता है। किसी भी दशा में क्रम $p^aq^b$ का कोई सरल समूह आबेली है ( $\cong \Z/p\Z$ )।

13. $\abs G$ पर आगमन ( $\abs G = 1$ : विलेय)। यदि $G$ सरल हो, तो प्रश्न 12 उसे आबेली बना देता है, अतः विलेय। अन्यथा कोई अतुच्छ उचित प्रसामान्य उपसमूह $N$ चुनिए: $\abs N$ और $\abs{G/N}$ फिर से $p^{a'}q^{b'}$ रूप के और छोटे हैं, अतः आगमन से $N$ और $G/N$ विलेय हैं, और $G$ विलेय है (प्रतिज्ञप्ति 1.29)। — तीन अभाज्यों के साथ मुख्य चरण विफल हो जाता है: किसी सिलो उपसमूह का सूचकांक अब अभाज्य घात नहीं रहता, अतः किसी सिलो के केंद्रीय अवयव के वर्ग का आकार अभाज्य घात होना आवश्यक नहीं। और कोई न कोई विफलता अनिवार्य है: क्रम $2^2\cdot3\cdot5$ का $A_5$ सरल है और विलेय नहीं।

14. वर्ग और आकार अभ्यास 1.11(क) हैं। $c$ के $S_5$ -वर्ग का आकार $24$ है; और यदि वह एक ही $A_5$ -वर्ग रहता, तो कक्षा–स्थायीकारी गणना $\abs{Z_{A_5}(c)} = 60/24$ देती, जो पूर्णांक नहीं है — मूर्त रूप में, $Z_{S_5}(c) = \langle c\rangle$ का क्रम $5$ है और वह $A_5$ के भीतर बैठता है, अतः $c$ के $A_5$ -वर्ग का आकार $60/5 = 12$ है: इसलिए $S_5$ -वर्ग दो में बँट जाता है ( $c$ और $c^2$ $S_5$ में केवल किसी विषम क्रमचय से संयुग्म हैं)।

15. एक रैखिक वर्ण: कोई घात- $1$ निरूपण $G/D(G)$ के माध्यम से गुणनखंडित होता है, और $D(A_5) = A_5$ ( $A_5$ सरल अनाबेली है, और $D(A_5)$ प्रसामान्य तथा अतुच्छ है — $A_5$ आबेली नहीं है)। अतः $n_1 = 1$ और $n_2^2 + n_3^2 + n_4^2 + n_5^2 = 59$ , जिसमें प्रत्येक $n_i \geq 2$ । उपलब्ध वर्ग: $4, 9, 16, 25, 36, 49$ । उनमें से चार का योग $59$ के बराबर: सबसे बड़ा $25$ होना चाहिए ( $36 + 4 + 4 + 9 = 53 < 59$ समायोजित नहीं हो पाता: $36 + 16 + 4 + 4 = 60$ , $36 + 9 + 9 + 4 = 58$ , $36 + 16 + 9 + 4 = 65$ — $36$ या $49$ के साथ कोई संयोजन काम नहीं करता), और $59 - 25 = 34 = 16 + 9 + 9$ (एकमात्र उपाय: $16 + 16 + 4 = 36$ , $25 + 9 + 4 = 38$ , $25 + 4 + 4 = 33$ ): अतः घातें $1, 3, 3, 4, 5$ ।

16. $\langle\pi, \mathbf 1\rangle = \frac1{60}(5 + 15\cdot1 + 20\cdot2 + 0 + 0) = 1$ (एक कक्षा — बर्नसाइड की गणना), और $\langle\pi, \pi\rangle = \frac1{60}(25 + 15 + 80 + 0 + 0) = 2$ : अतः $\pi$ तुच्छ वर्ण को एक बार धारण करता है, और उसका दूसरा घटक कोई एकल अखंडनीय है। इसलिए $\chi_4 = \pi - \mathbf 1$ अखंडनीय है, जिसकी घात $4$ और मान $4, 0, 1, -1, -1$ हैं।

17. युग्मों पर कोई अवयव $\{i,j\}$ को स्थिर रखता है तभी और केवल तभी जब वह $i, j$ को स्थिर रखे या उनकी अदला-बदली करे: गणनाएँ $10$ ( $e$ ), $2$ ( $t = (1\,2)(3\,4)$ $\{1,2\}, \{3,4\}$ को स्थिर रखता है), $1$ ( $(1\,2\,3)$ $\{4,5\}$ को स्थिर रखता है), $0, 0$ हैं। तब $\langle\pi_{10}, \pi_{10}\rangle = \frac1{60}(100 + 15\cdot4 + 20\cdot1) = 3$ : तीन अखंडनीय घटक, प्रत्येक एक बार। और $\langle\pi_{10}, \mathbf 1\rangle = \frac1{60}(10 + 30 + 20) = 1$ , $\langle\pi_{10}, \chi_4\rangle = \frac1{60}(40 + 0 + 20\cdot1\cdot1 + 0 + 0) = 1$ : अतः $\pi_{10} = \mathbf 1 + \chi_4 + \chi$ , जहाँ $\chi$ घात $10 - 1 - 4 = 5$ और मान $\chi_5 = \pi_{10} - \mathbf 1 - \chi_4 = (5, 1, -1, 0, 0)$ वाला अखंडनीय है।

18. $t$ पर $\chi_2, \chi_3$ के मानों के लिए $a, a'$ लिखिए, और $s = (1\,2\,3)$ पर $b, b'$ ; चारों वास्तविक हैं ( $t$ और $s$ अपने प्रतिलोमों के संयुग्म हैं)। स्तंभ $e$ के विरुद्ध स्तंभ $t$ : $1 + 3a + 3a' + 4\cdot0 + 5\cdot1 = 0$ , अतः $a + a' = -2$ ; स्तंभ $t$ स्वयं के साथ: $1 + a^2 + a'^2 + 0 + 1 = \frac{60}{15} = 4$ , अतः $a^2 + a'^2 = 2$ ; इसलिए $(a + a')^2 = 4 = 2 + 2aa'$ से $aa' = 1$ और $a = a' = -1$ मिलते हैं। स्तंभ $s$ $e$ के विरुद्ध: $1 + 3(b + b') + 4 - 5 = 0$ से $b + b' = 0$ मिलता है; स्तंभ $s$ स्वयं के साथ: $1 + b^2 + b'^2 + 1 + 1 = \frac{60} {20} = 3$ से $b = b' = 0$ ।

19. स्तंभ $c$ स्तंभ $e$ के विरुद्ध: $1 + 3(x + y) + 4(-1) + 5\cdot0 = 0$ , अतः $x + y = 1$ । स्तंभ $c$ स्तंभ $c^2$ के विरुद्ध (भिन्न वर्ग, लांबिक): $1 + xy + yx + 1 + 0 = 0$ , अतः $xy = -1$ । इस प्रकार $x, y$ $T^2 - T - 1 = 0$ हल करते हैं: $\varphi = \frac{1 + \sqrt5}2$ के साथ $\{x, y\} = \{\varphi, \bar\varphi\}$ । संगति: $x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy = 3 = \frac{60}{12} - 2$ — जो स्व-स्तंभ सर्वसमिका $1 + x^2 + y^2 + 1 + 0 = 5$ से मेल खाता है। सारणी:

	$e$	$15\,t$	$20\,s$	$12\,c$	$12\,c^2$
$\chi_1$	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$
$\chi_2$	$3$	$-1$	$0$	$\varphi$	$\bar\varphi$
$\chi_3$	$3$	$-1$	$0$	$\bar\varphi$	$\varphi$
$\chi_4$	$4$	$0$	$1$	$-1$	$-1$
$\chi_5$	$5$	$1$	$-1$	$0$	$0$

20. $\varphi^2 + \bar\varphi^2 = (\varphi + \bar\varphi)^2 - 2\varphi\bar\varphi = 1 + 2 = 3$ का उपयोग करते हुए $\norm{\chi_2}^2 = \frac1{60}\bigl(9 + 15\cdot1 + 0 + 12\varphi^2 + 12\bar\varphi^2\bigr) = \frac{9 + 15 + 36}{60} = 1$ । इसी प्रकार $\langle\chi_2, \chi_3\rangle = \frac1{60}(9 + 15 + 0 + 12(2\varphi\bar\varphi)) = \frac{9 + 15 - 24}{60} = 0$ । फ्रोबेनियस विभाज्यता: $1, 3, 3, 4, 5$ सभी $60$ को विभाजित करते हैं। अपरिमेय मान $\varphi, \bar\varphi$ $S_5$ के साथ दिखने वाला अंतर हैं: $S_5$ में प्रत्येक अवयव अपने चक्रीय समूह के उन सभी जनकों का संयुग्म होता है जिनका चक्र प्रकार वही हो — विशेष रूप से $c \sim c^2$ — जिससे परिमेय (वस्तुतः पूर्णांक) वर्ण मान अनिवार्य हो जाते हैं; और $A_5$ में पाँच-चक्रों का विभाजन $\Q(\sqrt5)$ के लिए द्वार खोल देता है।

21. कोई प्रसामान्य उपसमूह $N$ वर्गों का संघ होता है, $e$ को धारण करता है, और $\abs N \mid 60$ । संभावित योग: $1{+}15 = 16$ , $1{+}20 = 21$ , $1{+}12 = 13$ , $1{+}24 = 25$ , $1{+}15{+}20 = 36$ , $1{+}15{+}12 = 28$ , $1{+}15{+}24 = 40$ , $1{+}20{+}12 = 33$ , $1{+}20{+}24 = 45$ , $1{+}12{+}12 = 25$ , $1{+}15{+}20{+}12 = 48$ , $1{+}15{+}20{+}24 = 60 - 12 = \dots$ — $1$ को धारण करने वाले सभी उचित उप-योग सूचीबद्ध करने पर: $13, 16, 21, 25, 28, 33, 36, 40, 45, 48, 13{+}\dots$ में से कोई भी $60$ को विभाजित नहीं करता, सिवाय $1$ के: अतः $N = \{e\}$ या $A_5$ । सरलता, पाँच संख्याओं से पढ़ ली गई। और प्रश्न 11 की कसौटी भी दिख जाती है: वर्ग-आकार $15 = 3\cdot5$ , $20 = 4\cdot5$ , $12 = 4\cdot3$ सभी दो अभाज्यों के संयुक्त हैं — कोई अभाज्य-घात वर्ग नहीं, ठीक वैसे ही जैसे बर्नसाइड की कसौटी किसी सरल समूह से माँगती है।

22. कोण $\theta$ से $\R^3$ के किसी घूर्णन के अभिलक्षणिक मान $1, \eu^{\iu\theta}, \eu^{-\iu\theta}$ हैं: संचिह्न $1 + 2\cos\theta$ । $\theta = \frac{2\pi}5$ के लिए: $2\cos\frac{2\pi}5 = \frac{\sqrt5 - 1}2$ , अतः संचिह्न $1 + \frac{\sqrt5-1}2 = \frac{1+\sqrt5}2 = \varphi$ है। $\operatorname{Gal}(\Q(\sqrt5)/\Q)$ का अतुच्छ अवयव $\tau$ किसी वर्ण सारणी पर प्रविष्टिशः लगाया जाए तो वर्णों को वर्णों पर भेजता है (वह परिभाषक बीजगणित के साथ क्रमविनिमेय है: $\tau\circ\chi$ उस निरूपण का वर्ण है जो आव्यूहों को प्रविष्टियों पर $\tau$ के माध्यम से ले जाकर प्राप्त होता है; अथवा सारगर्भित रूप से: लांबिकता संबंध $\Q$ -परिमेय हैं, अतः $\tau$ उनके हलों का क्रमचय करता है); $\tau$ $\chi_1, \chi_4, \chi_5$ को स्थिर रखता है (परिमेय मान) और इसलिए उसे $\chi_2$ तथा $\chi_3$ की अदला-बदली करनी ही होगी: अर्थात् दूसरा घात- $3$ वर्ण संयुग्मित मान धारण करता है, और कोई आव्यूह परिकलित नहीं करना पड़ा। ज्यामितीय रूप से, दोनों निरूपण बीसफलकीय क्रिया और उसका $A_5$ की किसी बाह्य स्वसमाकारिता (किसी स्थानांतरण से संयुग्मन) के साथ संयोजन हैं, जो पाँच-चक्रों के दोनों वर्गों की अदला-बदली कर देता है।

23. $z \in Z(G)$ के लिए $\rho(z)$ प्रत्येक $\rho(g)$ के साथ क्रमविनिमेय है, अतः शूर की प्रमेयिका से $\rho(z) = \lambda\, \mathrm{id}$ ; और चूँकि $z$ का क्रम परिमित है, $\lambda$ कोई इकाई-मूल है, तथा $\abs{\chi(z)} = \abs\lambda\,n = n$ । तब

\abs G = \abs G\,\langle\chi, \chi\rangle = \sum_{g \in G}\abs{\chi(g)}^2 \geq \sum_{z \in Z(G)}\abs{\chi(z)}^2 = \abs{Z(G)}\,n^2,

अर्थात् $n^2 \leq [G : Z(G)]$ । क्रम $8$ के किसी अनाबेली समूह ( $D_4$ या $Q_8$ ) के पाँच संयुग्मन वर्ग होते हैं, अतः $\sum n_i^2 = 8$ वाली पाँच अखंडनीय घातें; और $8$ को $\geq 1$ जैसे पाँच वर्गों के योग के रूप में लिखने का एकमात्र उपाय $1 + 1 + 1 + 1 + 4$ है: अतः घातें $1, 1, 1, 1, 2$ । दोनों समूहों के केंद्र का क्रम $2$ है, और घात- $2$ वर्ण बराबरी प्राप्त कर लेता है: $2^2 = 4 = [G : Z(G)]$ — अर्थात् परिबंध तीक्ष्ण है। $A_5$ के लिए $Z = \{e\}$ और परिबंध $n^2 \leq 60$ पढ़ा जाता है: जिसे $1, 3, 3, 4, 5$ खुली जगह के साथ संतुष्ट करता है ( $25 \leq 60$ ), और ऐसा होना ही चाहिए, क्योंकि बराबरी से (उसी शृंखला द्वारा) $\chi$ को केंद्र के बाहर लुप्त होना पड़ता।

24. $g$ के क्रम $m$ के लिए $\rho(g)^m = \mathrm{id}$ , अतः $\rho(g)$ $X^m - 1$ से नष्ट हो जाता है, जो $\C$ पर सरल मूलों के साथ विभाजित है: इसलिए वह विकर्णीय है, जिसके अभिलक्षणिक मान $\lambda_1, \dots, \lambda_n$ इकाई-मूल हैं, और अभिलक्षणिक आधार $(e_i)$ है। गुणनफल $e_ie_j$ ( $i \leq j$ ) अभिलक्षणिक मानों $\lambda_i\lambda_j$ के साथ $\operatorname{Sym}^2V$ का अभिलक्षणिक आधार बनाते हैं, और $e_i \wedge e_j$ ( $i < j$ ) $\Lambda^2V$ का; और चूँकि

\sum_{i<j}\lambda_i\lambda_j = \frac{(\sum_i\lambda_i)^2 - \sum_i\lambda_i^2}2 = \frac{\chi(g)^2 - \chi(g^2)}2,

तथा सममित योग $\sum_i\lambda_i^2$ को घटाने के बजाय जोड़ता है, अतः दोनों सूत्र निकल आते हैं। वर्गों $(e, (2,2)\text{-}, 3\text{-चक्र}, c, c^2)$ पर $\chi_2 = (3, -1, 0, \varphi, \bar\varphi)$ के लिए: वर्ग करना द्विक स्थानांतरणों को $e$ पर, तीन-चक्रों को तीन-चक्रों पर, और $c$ के वर्ग को $c^2$ के वर्ग पर तथा विलोमतः भेजता है ( $A_5$ में $c^{-1} \sim c$ , अतः $c^4 \sim c$ )। अतः $\chi_2(g^2)$ $(3, 3, 0, \bar\varphi, \varphi)$ के रूप में पढ़ा जाता है, और $\varphi^2 = \varphi + 1$ , $\bar\varphi = 1 - \varphi$ का उपयोग करते हुए:

\Lambda^2\chi_2 = (3, -1, 0, \varphi, \bar\varphi) = \chi_2, \qquad \operatorname{Sym}^2\chi_2 = (6, 2, 0, 1, 1) .

वर्ग-आकार $1, 15, 20, 12, 12$ के साथ पिछले का विघटन करने पर: $\langle\cdot, \mathbf 1\rangle = \frac1{60}(6 + 15\cdot2 + 0 + 12 + 12) = 1$ ; $\langle\cdot, \chi_5\rangle = \frac1{60}(30 + 30) = 1$ ; $\langle\cdot, \chi_4\rangle = \frac1{60}(24 - 12 - 12) = 0$ ; $\langle\cdot, \chi_2\rangle = \frac1{60}(18 - 30 + 12(\varphi + \bar\varphi)) = 0$ , और इसी प्रकार $\chi_3$ के लिए। अतः $\operatorname{Sym}^2\chi_2 = \mathbf 1 + \chi_5$ (विमाएँ $6 = 1 + 5$ ) और $\chi_2\otimes\chi_2 = \mathbf 1 + \chi_2 + \chi_5$ (विमाएँ $9 = 1 + 3 + 5$ )। ज्यामिति: समतुल्यवर्ती तुल्याकारिता $\Lambda^2\R^3 \to \R^3$ , $u \wedge v \mapsto u \times v$ , किसी घूर्णन समूह के लिए ठीक $\Lambda^2\chi_2 = \chi_2$ है; सममित वर्ग का योज्य पद $\mathbf 1$ निश्चर द्विघात रूप $x^2 + y^2 + z^2$ है, और $\chi_5$ संचिह्न-रहित सममित प्रदिशों (प्रसंवादी द्विघातों) की पाँच-विमीय समष्टि पर रहता है।

25. $c^2$ के स्तंभ के विरुद्ध $c$ का स्तंभ:

1\cdot1 + \varphi\bar\varphi + \bar\varphi\varphi + (-1)(-1) + 0 = 1 - 1 - 1 + 1 + 0 = 0,

जैसा भिन्न वर्गों के लिए लांबिकता माँगती है ( $\varphi \bar\varphi = -1$ )। $c$ का स्तंभ स्वयं के विरुद्ध: $1 + \varphi^2 + \bar\varphi^2 + 1 + 0 = 1 + 3 + 1 = 5 = 60/12 = \abs{Z_{A_5}(c)}$ । अतत्समक चारों स्तंभों पर नियमित वर्ण $\sum_in_i\chi_i$ :

1 - 3 - 3 + 0 + 5 = 0, \qquad 1 + 0 + 0 + 4 - 5 = 0,

द्विक स्थानांतरणों और तीन-चक्रों पर, तथा $c$ के वर्ग पर ( $c^2$ का वर्ग उसका गाल्वा संयुग्म है):

1 + 3\varphi + 3\bar\varphi - 4 + 0 = 1 + 3 - 4 = 0,

जिसमें $\varphi + \bar\varphi = 1$ का उपयोग हुआ है। सारणी हर लेखा-परीक्षा में उत्तीर्ण होती है: वह $A_5$ की वर्ण सारणी है।