संहत संकारक क्या है?

उदाहरण 15.3

(क) $\ell^2$ पर विकर्ण संकारक: $T(x_n) = (\lambda_nx_n)$ संहत है तभी और केवल तभी जब $\lambda_n \to 0$ (अभ्यास 15.2)। (ख) $\mathcal C(\intcc01)$ पर नाभिक संकारक: आस्कोली से संहत (अभ्यास 7.7)। (ग) हिल्बर्ट–श्मिट संकारक: $k \in L^2(\intcc01^2)$ के लिए

$L^2(\intcc01)$ पर एक संहत संकारक परिभाषित करता है जिसके लिए $\vertiii{T_k} \leq \norm k_{L^2}$ (अभ्यास 15.4: $k$ के आधार प्रसार को छाँटने पर $T_k$ परिमित कोटि के संकारकों की सीमा के रूप में दिख जाता है)।

उदाहरण 15.9

$L^2(\intcc01)$ पर मान लीजिए $Tf(x) = \int_0^1\min(x, y)f(y)\dd y$: यह वास्तविक सममित नाभिक वाला हिल्बर्ट–श्मिट संकारक है: अतः संहत और स्वसंलग्न। $Tf = \lambda f$ हल करना: संबंध $\bigl(Tf\bigr)(x) = \int_0^xyf(y)\dd y + x\int_x^1f(y)\dd y$ दिखाता है कि $u = Tf$ $u'' = -f$ को संतुष्ट करता है (दो बार अवकलन, जो संतत $f$ के लिए वैध है, और $f \in L^2$ के लिए $Tf$ संतत है: प्रभावी अभिसरण), जिसमें $u(0) = 0$ और $u'(1) = 0$। अतः अभिलक्षणिक फलन $\lambda u'' = -u$, $u(0) = 0$, $u'(1) = 0$ को हल करते हैं:

और स्पेक्ट्रमी प्रमेय कहती है — बिना किसी फूरिये सिद्धांत के — कि मानकीकरण के बाद ये ज्या $L^2(\intcc01)$ का प्रसामान्य लांबिक आधार बनाते हैं ($T$ की अष्टि $0$ है: $Tf = 0$ से दो अवकलनों द्वारा लगभग सर्वत्र $f = 0$ अनिवार्य हो जाता है)। सप्ताहांत समस्या कंपमान डोरी के लिए इसी विचार-मंडल को चलाती है और अनुरेख से $\zeta(2)$ निकाल लेती है।