विश्वविद्यालय गणित — स्नातक वर्ष 3 · Bachelor Year 3

13हिल्बर्ट समष्टियाँ

हिल्बर्ट समष्टि वह बानाख समष्टि है जिसका मानक किसी अंतःगुणन से आता है — और यही एक अतिरिक्त संरचना अनंत विमा में यूक्लिडीय ज्यामिति का लगभग सब कुछ लौटा देती है: लांबिक प्रक्षेप विद्यमान होते हैं, प्रत्येक संतत फलनिक किसी स्थिर सदिश के साथ अंतःगुणन ही होता है (रीस), और प्रसामान्य लांबिक आधार प्रत्येक सदिश को पाइथागोरसीय लेखा-जोखा वाली एक अभिसारी श्रेणी में फैला देते हैं (पार्सेवाल)। इस अध्याय का शिखर एक चुकाया गया ऋण है: त्रिकोणमितीय निकाय $L^2$ का प्रसामान्य लांबिक आधार है, अतः पार्सेवाल की सर्वसमिका प्रत्येक वर्ग-समाकलनीय फलन के लिए लागू होती है — वही कथन जिसे दूसरा वर्ष केवल खंडशः $\mathcal C^1$ फलनों के लिए सिद्ध कर सका था। हम लाक्स–मिलग्राम पर समाप्त करते हैं, जो अवकल समीकरणों के विचरण उपागम की श्रमिक प्रमेयिका है।

सर्वत्र $H$ $K = \R$ या $\C$ पर एक सदिश समष्टि है।

13.1 अंतःगुणन; प्रक्षेप प्रमेय

परिभाषा 13.1

अंतःगुणन ऐसा प्रतिचित्रण $\langle \cdot,\cdot\rangle \colon H\times H \to K$ है जो दूसरे चर में रैखिक हो, जिसमें $\langle y, x\rangle = \overline{\langle x, y\rangle}$ हो, और $x \neq 0$ के लिए $\langle x, x\rangle > 0$ हो। वह मानक $\norm x = \langle x, x\rangle^{1/2}$ , कोशी–श्वार्ज़ असमिका $\abs{\langle x, y\rangle} \leq \norm x\norm y$ (दूसरे वर्ष की उपपत्ति — विविक्तकर — अपरिवर्तित रहती है), और समांतर चतुर्भुज नियम

\norm{x + y}^2 + \norm{x - y}^2 = 2\norm x^2 + 2\norm y^2 .

प्रेरित करता है। हिल्बर्ट समष्टि वह अंतःगुणन समष्टि है जो इस मानक के लिए पूर्ण हो। उदाहरण: $\ell^2$ (समस्या 8.1) और, सबसे मूलभूत, $\langle f, g\rangle = \int\bar fg\,\dd\mu$ के साथ $L^2(\mu)$ — जो रीस–फिशर (प्रमेय 12.4) से पूर्ण है; और अंतःगुणन कोशी–श्वार्ज़ ( $p = q = 2$ पर $=$ होल्डर) से परिमित है।

प्रमेय 13.2 (किसी संवृत उत्तल समुच्चय पर प्रक्षेप)

मान लीजिए $C \neq \varnothing$ हिल्बर्ट समष्टि $H$ का संवृत उत्तल उपसमुच्चय है और $x \in H$ । तब एक अद्वितीय $p_C(x) \in C$ है जिसके लिए

\norm{x - p_C(x)} = d(x, C),

और जो इस गुण से अभिलक्षित होता है: सभी $c \in C$ के लिए $\operatorname{Re}\langle x - p_C(x),\ c - p_C(x)\rangle \leq 0$ । प्रतिचित्रण $p_C$ $1$ -लिप्शिट्ज़ है।

उपपत्ति. मान लीजिए $d = d(x, C)$ और $\norm{x - c_n} \to d$ वाले $(c_n) \subseteq C$ । $x - c_n$ और $x - c_m$ पर समांतर चतुर्भुज:

\norm{c_n - c_m}^2 = 2\norm{x - c_n}^2 + 2\norm{x - c_m}^2 - 4\,\bigl\|x - \tfrac{c_n + c_m}2\bigr\|^2 \leq 2\norm{x{-}c_n}^2 + 2\norm{x{-}c_m}^2 - 4d^2

(उत्तलता मध्य बिंदु को $C$ में रख देती है): दायाँ पक्ष $0$ की ओर जाता है, अतः $(c_n)$ कोशी है, और उसकी सीमा $p \in C$ (संवृत) $d$ प्राप्त कर लेती है। अद्वितीयता: दो न्यूनीकारकों से उसी सर्वसमिका द्वारा $\norm{p - p'}^2 \leq 2d^2 + 2d^2 - 4d^2 = 0$ ।

अभिलक्षण: $c \in C$ , $t \in \intoc01$ के लिए सदिश $p + t(c - p) \in C$ , अतः

d^2 \leq \norm{x - p - t(c-p)}^2 = d^2 - 2t\operatorname{Re}\langle x - p, c - p\rangle + t^2\norm{c-p}^2 ;

अब $t \to 0^+$ से भाग दीजिए: $\operatorname{Re}\langle x - p, c - p\rangle \leq 0$ । विलोमतः यही असमिका $\norm{x - c}^2 = \norm{x - p}^2 - 2\operatorname{Re}\langle x - p, c - p\rangle + \norm{p - c}^2 \geq \norm{x-p}^2$ दे देती है। लिप्शिट्ज़: प्रक्षेप $p, q$ वाले $x, y$ के लिए दोनों विचरण असमिकाएँ (क्रमशः $c = q$ और $c = p$ के साथ) जोड़िए: $\operatorname{Re}\langle x - y - (p - q), p - q\rangle \geq 0$ , अतः $\norm{p - q}^2 \leq \operatorname{Re}\langle x - y, p - q\rangle \leq \norm{x - y}\norm{p - q}$ । ∎

प्रमेय 13.3 (लांबिक विघटन)

मान लीजिए $F$ $H$ की कोई संवृत उपसमष्टि है। तब $p_F$ रैखिक है, सभी $x$ के लिए $x - p_F(x) \perp F$ , और

H = F \oplus F^\perp, \qquad F^\perp = \{y : \langle y, f\rangle = 0\ \forall f\in F\}, \qquad (F^\perp)^\perp = F .

किसी व्यापक उपसमष्टि के लिए $(F^\perp)^\perp = \bar F$ ; विशेष रूप से $F$ सघन है तभी और केवल तभी जब $F^\perp = \{0\}$ ।

उपपत्ति. किसी उपसमष्टि के लिए $c = p_F(x) \pm f$ ( $f \in F$ , दोनों चिह्न, और सम्मिश्र स्थिति में $\iu f$ ) के साथ विचरण अभिलक्षण $\langle x - p_F(x), f\rangle = 0$ अनिवार्य कर देता है: अर्थात् अवशेष $F$ के लांबिक है। विघटन $x = p_F(x) + (x - p_F(x))$ जिसमें $F \cap F^\perp = \{0\}$ ( $\langle y, y \rangle = 0$ ); और $p_F$ की रैखिकता ऐसे विघटनों की अद्वितीयता से निकलती है (दोनों पक्ष उनमें रैखिक हैं)। $(F^\perp) ^\perp \supseteq F$ सदैव; विलोमतः यदि $x \perp F^\perp$ हो, तो $x = f + g$ लिखिए: $g = x - f \in F^\perp$ और $\langle g, g\rangle = \langle x, g\rangle - \langle f, g\rangle = 0$ : अतः $x = f \in F$ । किसी व्यापक उपसमष्टि $F$ के लिए: $F^\perp = \bar F^{\,\perp}$ (अंतःगुणन का सांतत्य), अतः संवृत स्थिति से $(F^\perp)^\perp = \bar F$ ; और सघनता तभी और केवल तभी जब $\bar F = H$ , अर्थात् तभी और केवल तभी जब $F^\perp = 0$ । ∎

प्रमेय 13.4 (रीस निरूपण)

प्रत्येक संतत रैखिक फलनिक $\varphi \in H'$ के लिए एक अद्वितीय $a \in H$ है जिसके लिए

\varphi(x) = \langle a, x\rangle \quad (x \in H), \qquad \norm\varphi_{H'} = \norm a .

उपपत्ति. यदि $\varphi = 0$ हो: $a = 0$ । अन्यथा $F = \ker\varphi$ एक संवृत उचित उपसमष्टि है; $u \in F^\perp$ , $\norm u = 1$ चुनिए (प्रमेय 13.3: $F^\perp \neq 0$ , क्योंकि $F \neq H$ )। किसी भी $x$ के लिए सदिश $\varphi(x)u - \varphi(u)x \in \ker\varphi$ , अतः $\perp u$ :

0 = \langle u, \varphi(x)u - \varphi(u)x\rangle = \varphi(x) - \varphi(u)\langle u, x\rangle : \qquad \varphi(x) = \langle \overline{\varphi(u)}\,u,\ x\rangle .

इसलिए $a = \overline{\varphi(u)}u$ काम कर जाता है। अद्वितीयता: सभी $x$ के लिए $\langle a - a', x\rangle = 0$ ; $x = a - a'$ की परीक्षा लीजिए। मानक: $\abs{\varphi(x)} \leq \norm a\norm x$ (कोशी–श्वार्ज़), और $x = a$ पर समता। ∎

उदाहरण 13.5 (एक प्रक्षेप, अंत तक परिकलित)

$H = L^2(\intcc01)$ में $f(x) = x^2$ का किसी आफ़ीन फलन से श्रेष्ठतम आसन्नन क्या है? उपसमष्टि $F = \operatorname{Vect}(1, x)$ संवृत है (परिमित-विमीय), और $p_F(f) = a + bx$ इस गुण से अभिलक्षित होता है कि अवशेष $1$ और $x$ दोनों के लांबिक है:

\int_0^1(x^2 - a - bx)\,\dd x = 0, \qquad \int_0^1x\,(x^2 - a - bx)\,\dd x = 0,

अर्थात् $\frac13 = a + \frac b2$ और $\frac14 = \frac a2 + \frac b3$ : अतः $a = -\frac16$ , $b = 1$ । इसलिए $p_F(x^2) = x - \frac16$ , और त्रुटि

d(f, F)^2 = \int_0^1\Bigl(x^2 - x + \frac16\Bigr)^2\dd x = \frac1{180}, \qquad d(f, F) = \frac1{6\sqrt5} .

है। दो बातें आत्मसात करने योग्य हैं। पहली, यह परिकलन एक $2\times2$ रैखिक निकाय के अतिरिक्त कुछ नहीं है — प्रसामान्य समीकरण; एकपदी आधार में उनका आव्यूह $\bigl(\frac1{i+j+1}\bigr)$ कुख्यात रूप से दुर्दशित हिल्बर्ट आव्यूह है, और पहले लांबिकीकरण कर लेना (लजांद्र बहुपद, समस्या 13.1) उसका उपचार है। दूसरी, $x^2$ का आफ़ीन फलनों से श्रेष्ठतम एकसमान आसन्नन भिन्न है ( $x - \frac18$ , समदोलन से): प्रत्येक मानक की अपनी ज्यामिति होती है, और केवल हिल्बर्टीय मानक ही किसी रैखिक निकाय से उत्तर देता है।

13.2 प्रसामान्य लांबिक आधार

परिभाषा 13.6

कोई कुल $(e_i)_{i\in I}$ प्रसामान्य लांबिक कहलाता है यदि $\langle e_i, e_j\rangle = \delta_{ij}$ हो, और हिल्बर्ट आधार (प्रसामान्य लांबिक आधार) यदि इसके अतिरिक्त उसके परिमित रैखिक संचय $H$ में सघन हों (अर्थात् कुल संपूर्ण हो)। हम गणनीय स्थिति $I = \N$ लेते हैं, जो ग्राम–श्मिट के माध्यम से प्रत्येक पृथक्करणीय $H$ को समेट लेती है (प्रतिज्ञप्ति 13.8)।

प्रमेय 13.7 (बेसेल, पार्सेवाल)

मान लीजिए $(e_n)_{n\in\N}$ $H$ में प्रसामान्य लांबिक है और $c_n(x) = \langle e_n, x\rangle$ ।

(बेसेल) $\sum_n\abs{c_n(x)}^2 \leq \norm x^2$ , और श्रेणी $\sum_nc_n(x)e_n$ $H$ में अभिसरित होती है, जिसका योग $p_F(x)$ , $F = \overline{\operatorname{Vect}}(e_n)$ है।
निम्नलिखित समतुल्य हैं: (क) $(e_n)$ एक हिल्बर्ट आधार है; (ख) प्रत्येक $x$ के लिए $x = \sum_nc_n(x)e_n$ ; (ग) पार्सेवाल: प्रत्येक $x$ के लिए $\norm x^2 = \sum_n\abs{c_n(x)}^2$ ; (घ) समस्त $e_n$ के लांबिक एकमात्र सदिश $0$ है।
यदि $(e_n)$ एक हिल्बर्ट आधार हो, तो $x \mapsto (c_n(x))_n$ एक समदूरिक तुल्याकारिता $H \to \ell^2$ है (प्रत्येक अनंत-विमीय पृथक्करणीय हिल्बर्ट समष्टि “ $\ell^2$ ही है”), और $\langle x, y\rangle = \sum_n\overline{c_n(x)}c_n(y)$ ।

उपपत्ति. (1) परिमित $N$ के लिए: $x - \sum_{n\leq N}c_ne_n \perp e_k$ ( $k \leq N$ ), अतः पाइथागोरस से $\norm x^2 = \sum_{n\leq N}\abs{c_n}^2 + \norm{x - \sum_{n\leq N}c_ne_n}^2$ : यही बेसेल है। आंशिक योग $S_N = \sum_{n\leq N}c_ne_n$ कोशी हैं: $\norm{S_N - S_M}^2 = \sum_{M<n\leq N}\abs{c_n}^2$ , जो किसी अभिसारी श्रेणी की पुच्छ है; सीमा $F$ में होती है, और सांतत्य से प्रत्येक $e_k$ पर $x - \lim S_N \perp$ , अतः $\perp F$ : लांबिक विघटन की अद्वितीयता से $\lim S_N = p_F(x)$ ।

(2) (क) $\Rightarrow$ (ख): $F = H$ , अतः $p_F = \mathrm{id}$ । (ख) $\Rightarrow$ (ग): सीमा में पाइथागोरस ( $\norm{S_N}^2 = \sum_{n \leq N}\abs{c_n}^2 \to \norm x^2$ )। (ग) $\Rightarrow$ (घ): सभी $e_n$ के लिए $x \perp$ से $\norm x^2 = 0$ मिलता है। (घ) $\Rightarrow$ (क): $F^\perp = \{0\}$ (समस्त $e_n$ के लांबिक होना $F$ के लांबिक होना है), अतः प्रमेय 13.3 से $F$ सघन है; परंतु $F$ , जो एक संवृति है, पहले से ही संवृत है: अतः $F = H$ ।

(3) प्रतिचित्रण रैखिक है, (ग) से समदूरिक (अतः एकैकी), और आच्छादक भी: $(c_n) \in \ell^2$ दिया हो तो श्रेणी $\sum c_ne_n$ ((1) की तरह कोशी) किसी पूर्वप्रतिबिंब पर अभिसरित होती है। अंतःगुणन सूत्र (ग) से ध्रुवण द्वारा, अथवा किसी सीधे सीमा परिकलन से मिलता है। ∎

प्रतिज्ञप्ति 13.8 (ग्राम–श्मिट)

मान लीजिए $(x_n)$ एक रैखिकतः स्वतंत्र अनुक्रम है। आगमन से $\tilde e_n = x_n - \sum_{k<n}\langle e_k, x_n\rangle e_k$ और $e_n = \tilde e_n/\norm{\tilde e_n}$ रखने पर एक प्रसामान्य लांबिक $(e_n)$ मिलता है जिसके परिमित विस्तार वही हैं: $\operatorname{Vect}(e_1, \dots, e_n) = \operatorname{Vect} (x_1, \dots, x_n)$ । फलस्वरूप प्रत्येक पृथक्करणीय हिल्बर्ट समष्टि (जिसका कोई गणनीय सघन उपसमुच्चय हो) का कोई हिल्बर्ट आधार होता है।

उपपत्ति. आगमन: रचना से $\tilde e_n \perp e_k$ ( $k < n$ ), और स्वतंत्रता से $\tilde e_n \neq 0$ ; प्रत्येक चरण पर विस्तार मेल खाते हैं (त्रिभुजाकार आधार-परिवर्तन)। पृथक्करणीय $H$ के लिए: किसी सघन अनुक्रम से सघन विस्तार वाला कोई रैखिकतः स्वतंत्र उपकुल निकालिए (हर उस सदिश को छोड़ दीजिए जो अपने पूर्ववर्तियों के विस्तार में हो — विस्तार अपरिवर्तित रहता है), और उसका प्रसामान्य लांबिकीकरण कीजिए: परिणाम संपूर्ण होता है। ∎

प्रमेय 13.9 (त्रिकोणमितीय निकाय; अंततः पार्सेवाल)

$\langle f, g\rangle = \frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi \bar fg$ के साथ $L^2(\intcc{-\pi}\pi)$ में कुल $e_n(t) = \eu^{\iu nt}$ , $n \in \Z$ , एक हिल्बर्ट आधार है। फलस्वरूप प्रत्येक $f \in L^2$ के लिए — विशेष रूप से प्रत्येक खंडशः संतत $2\pi$ -आवर्ती $f$ के लिए — $c_n(f) = \frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\eu^{-\iu nt}\dd t$ के साथ:

f = \sum_{n\in\Z}c_n(f)\,\eu^{\iu nt} \ \ L^2 \text{ में}, \qquad \frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\abs f^2 = \sum_{n\in\Z}\abs{c_n(f)}^2 .

यह उसी पार्सेवाल सर्वसमिका को पूरी व्यापकता में सिद्ध कर देता है जिसे दूसरे वर्ष ने स्वीकार कर लिया था।

उपपत्ति. प्रसामान्य लांबिकता एक सीधा परिकलन है (दूसरा वर्ष)। संपूर्णता: मान लीजिए $f \in L^2$ समस्त $e_n$ के $\perp$ है, अर्थात् उसके सभी फूरिये गुणांक लुप्त हैं। संतत $2\pi$ -आवर्ती फलन $L^2(\intcc{-\pi}\pi)$ में सघन हैं: वस्तुतः $\mathcal C_c(\intoo{-\pi}\pi)$ सघन है (प्रमेय 12.6(2)) और ऐसे फलन आवर्ती तथा संतत रूप से विस्तारित हो जाते हैं। त्रिकोणमितीय बहुपद संतत आवर्ती फलनों में $\norm\cdot_\infty$ -सघन हैं (स्टोन–वाइरश्ट्रास, उपप्रमेय 7.16(ग)), और $\norm\cdot_2 \leq \norm\cdot_\infty$ : अतः त्रिकोणमितीय बहुपद $L^2$ में सघन हैं। परंतु $f \perp$ प्रत्येक त्रिकोणमितीय बहुपद, अतः $f \perp$ किसी सघन उपसमष्टि: इसलिए $f \in (\text{सघन})^\perp = \{0\}$ (प्रमेय 13.3)। प्रमेय 13.7 की कसौटी (घ) निष्कर्ष दे देती है; और (ख) तथा (ग) खुलकर प्रदर्शित रूप बन जाते हैं (गणनीय $\Z$ का पुनःसूचकांकन; और दो-मुखी श्रेणी अप्रतिबंधित रूप से अभिसरित होती है — किसी भी निःशेषक कुल पर आंशिक योग $\ell^2$ पुच्छ तर्क से अभिसरित होते हैं)। ∎

प्रमेय 13.10 (लाक्स–मिलग्राम)

मान लीजिए $H$ एक वास्तविक हिल्बर्ट समष्टि है और $a \colon H\times H \to \R$ द्विरैखिक, संतत ( $\abs{a(u,v)} \leq M\norm u\norm v$ ) तथा प्रबलकारी ( $a(u, u) \geq \alpha\norm u^2$ , $\alpha > 0$ )। तब प्रत्येक $\varphi \in H'$ के लिए एक अद्वितीय $u \in H$ है जिसके लिए

a(u, v) = \varphi(v) \qquad \text{प्रत्येक } v \in H \text{ के लिए} .

उपपत्ति. स्थिर $u$ के लिए $v \mapsto a(u, v)$ संतत रैखिक है: रीस एक अद्वितीय $Au \in H$ दे देता है जिसके लिए $a(u,v) = \langle Au, v\rangle$ ; और $A$ $\norm{Au} \leq M\norm u$ के साथ रैखिक है (प्रतिनिधियों की अद्वितीयता, फिर परिबंध)। प्रबलकारिता: $\alpha\norm u^2 \leq a(u,u) = \langle Au, u\rangle \leq \norm{Au}\norm u$ , अतः $\norm{Au} \geq \alpha\norm u$ : इसलिए $A$ एकैकी है और उसका परिसर संवृत है (कोई कोशी प्रतिबिंब अनुक्रम $Au_n$ $u_n$ को कोशी होने पर विवश कर देता है)। परिसर सघन है: $w \perp \operatorname{im}A$ से $0 = \langle Aw, w\rangle \geq \alpha\norm w^2$ मिलता है। संवृत और सघन: अतः $A$ एकैकी आच्छादक है। $\varphi$ दिया हो, तो उसे निरूपित करने वाला $f$ लीजिए (रीस) और $u = A^{-1}f$ : तब $a(u, v) = \langle f, v\rangle = \varphi(v)$ , और वह भी अद्वितीय रूप से ( $a(u - u', \cdot) = 0$ और प्रबलकारिता)। ∎

टिप्पणी 13.11

जब $a$ सममित हो, तब लाक्स–मिलग्राम का हल ऊर्जा $J(v) = \frac12a(v,v) - \varphi(v)$ (अभ्यास 13.9) का अद्वितीय न्यूनीकारक होता है: अर्थात् एक ही आघात में विचरण समस्याओं के हलों का अस्तित्व। उपयुक्त फलन समष्टियों (आगे के पाठ्यक्रम की सोबोलेव समष्टियाँ) पर लगाकर यह अवकल समीकरणों की सीमांत मान समस्याएँ हल कर देता है — आंशिक अवकल समीकरणों में आधुनिक प्रवेश द्वार।

13.3 अभ्यास

अभ्यास 13.1 ★

(क) ध्रुवण सर्वसमिकाएँ सिद्ध कीजिए (वास्तविक: $4\langle x, y\rangle = \norm{x+y}^2 - \norm{x-y}^2$ ; सम्मिश्र: चार-पद वाला रूप)। (ख) दर्शाइए कि $L^1(\intcc01)$ पर $\norm\cdot_1$ और $\mathcal C(\intcc01)$ पर $\norm\cdot_\infty$ समांतर चतुर्भुज नियम का उल्लंघन करते हैं: अतः ये मानक किसी अंतःगुणन से नहीं आते।

हल

हल — अभ्यास 13.1.

(क) वास्तविक: $\norm{x \pm y}^2 = \norm x^2 \pm 2\langle x,y\rangle + \norm y^2$ का प्रसार कीजिए और घटाइए। सम्मिश्र (अंतःगुणन दूसरे खाँचे में रैखिक): ऊपर की भाँति प्रसार करने पर

\langle x, y\rangle = \frac14\sum_{k=0}^{3} \iu^k\,\bigl\|\iu^kx + y\bigr\|^2,

जिसमें प्रत्येक पद $\iu^k\cdot2\operatorname{Re}\bigl( (-\iu)^k\langle x,y\rangle\bigr)$ का योगदान देता है, और उनका योग $4\langle x,y\rangle$ है ( $k$ के चारों मान जाँचिए; $\sum\iu^k (\norm x^2 + \norm y^2) = 0$ )।

(ख) $L^1$ : $f = \mathbf 1_{\intcc0{1/2}}$ , $g = \mathbf 1_{\intcc{1/2}1}$ : प्रत्येक $\norm{f\pm g}_1^2 = 1$ , योग $2$ ; $2\norm f_1^2 + 2\norm g_1^2 = 1 \neq 2$ । उच्चतम मानक: $f = \mathbf 1$ , $\intcc01$ पर $g(t) = t$ : $\norm{f + g}_\infty^2 + \norm{f-g}_\infty^2 = 4 + 1 = 5 \neq 4 = 2 + 2$ । समांतर चतुर्भुज नियम में विफल होने के कारण ये मानक किसी भी अंतःगुणन से प्रेरित नहीं हैं (जो उसे सीधे प्रसार से अनिवार्य कर देता)।

अभ्यास 13.2 ★

$H = L^2(\intcc01)$ (वास्तविक) में: (क) अचर फलनों की उपसमष्टि पर $f$ का प्रक्षेप परिकलित कीजिए और उसकी व्याख्या कीजिए; (ख) $\{g : g = 0 \text{, } \intcc0{1/2} \text{ पर लगभग सर्वत्र}\}$ पर प्रक्षेप परिकलित कीजिए; (ग) $d\bigl(x \mapsto x,\ \operatorname{Vect}(\mathbf 1)\bigr)$ परिकलित कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 13.2.

(क) $p(f) = \bigl(\int_0^1f\bigr)\mathbf 1$ : वस्तुतः $f - \int f \perp$ अचर ( $\int(f - \int f)c = 0$ )। माध्य-वर्ग में $f$ का सर्वोत्तम अचर आसन्नन उसका औसत है — सप्रतिबंध प्रत्याशा का पहला उदाहरण (अध्याय 22)।

(ख) $p(f) = f\,\mathbf 1_{\intcc{1/2}1}$ : अंतर $f\mathbf 1_{\intcc0{1/2}}$ $\intcc0{1/2}$ पर लुप्त होने वाले प्रत्येक $g$ पर लांबिक है।

(ग) $d^2 = \bigl\|x - \tfrac12\bigr\|_2^2 = \int_0^1(x - \tfrac12)^2\dd x = \tfrac1{12}$ : $d = \frac1{2\sqrt3}$ ।

अभ्यास 13.3 ★★

(क) दर्शाइए कि किसी उपसमष्टि $F$ के लिए: $F$ सघन $\iff$ $F^\perp = \{0\}$ , और $\ell^2$ में किसी उचित सघन उपसमष्टि का उदाहरण दीजिए (जिससे $F = H$ के बिना $F^\perp = 0$ : विघटन प्रमेय को $F$ का संवृत होना वास्तव में चाहिए)। (ख) दर्शाइए कि यदि $x_n \to x$ और मानक में $y_n \to y$ हो, तो $\langle x_n, y_n\rangle \to \langle x, y\rangle$ , और इस अध्याय में दो ऐसे स्थान बताइए जहाँ इस सांतत्य का उपयोग हुआ।

हल

हल — अभ्यास 13.3.

(क) तुल्यता प्रमेय 13.3 है ( $\bar F = (F^\perp)^\perp$ , और $\bar F = H \iff F^\perp = \{0\}$ )। उदाहरण: परिमित अनुक्रमों की समष्टि $F$ $\ell^2$ में सघन (कर्तन) और उचित है: $F^\perp = \{0\}$ फिर भी $F \neq \ell^2$ — अर्थात् किसी असंवृत उपसमष्टि के लिए $H = F \oplus F^\perp$ खुलेआम विफल हो जाता है ( $F \oplus \{0\} \neq H$ )।

(ख) $\abs{\langle x_n, y_n\rangle - \langle x, y\rangle} \leq \abs{\langle x_n - x, y_n\rangle} + \abs{\langle x, y_n - y\rangle} \leq \norm{x_n - x}\sup_n\norm{y_n} + \norm x\,\norm{y_n - y} \to 0$ (अभिसारी अनुक्रम परिबद्ध होते हैं)। उपयोग: प्रमेय 13.7(1) में $x - \lim S_N \perp e_k$ देखने के लिए, और प्रमेय 13.3 में $F^\perp = \bar F^{\,\perp}$ देखने के लिए।

अभ्यास 13.4 ★★

$L^2(\intcc{-1}1)$ (लेबेग माप) में $1, x, x^2$ पर ग्राम–श्मिट लगाइए: पहले तीन मानकीकृत लजांद्र बहुपद प्राप्त कीजिए, और सत्यापित कीजिए कि वे समस्या 13.1 के रोद्रीग बहुपदों $P_n$ के लिए $\sqrt{n + \frac12}\,P_n$ से मेल खाते हैं।

हल

हल — अभ्यास 13.4.

$e_0 = \frac1{\sqrt2}$ । इसके बाद $x \perp \mathbf 1$ पहले से ही ( $\int_{-1}^1x = 0$ ), और $\int_{-1}^1x^2 = \frac23$ : $e_1 = \sqrt{\tfrac32}\,x$ । फिर $x^2 - \langle e_0, x^2\rangle e_0 = x^2 - \frac13$ (और समता से $\perp e_1$ ), जिसमें

\int_{-1}^1\Bigl(x^2 - \frac13\Bigr)^2\dd x = \frac25 - \frac49 + \frac29 = \frac{8}{45}: \qquad e_2 = \sqrt{\tfrac{45}8}\,\Bigl(x^2 - \frac13\Bigr).

तुलना: $P_0 = 1$ , $P_1 = x$ , $P_2 = \frac{3x^2 - 1}2$ , और $\sqrt{n + \tfrac12}\,P_n$ $\frac1{\sqrt2}$ , $\sqrt{\frac32}x$ , $\sqrt{\frac52}\,\frac{3x^2-1}2 = \sqrt{\frac{45}8}\bigl(x^2 - \frac13\bigr)$ देता है: अर्थात् ठीक $e_0, e_1, e_2$ ।

अभ्यास 13.5 ★★

$\intcc{-\pi}\pi$ पर $f(t) = t$ और $f(t) = t^2$ पर पार्सेवाल (प्रमेय 13.9) लगाइए — अब इनके लिए वैध रूप से (ये संतत हैं, पर पहले सर्वसमिका को लपेटन-बिंदु की असांतत्य पर खंडशः- $\mathcal C^1$ सावधानी चाहिए थी): और

\sum_{n\geq1}\frac1{n^2} = \frac{\pi^2}6, \qquad \sum_{n\geq1}\frac1{n^4} = \frac{\pi^4}{90} .

पुनः प्राप्त कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 13.5.

$f(t) = t$ के लिए: $c_0 = 0$ और, खंडशः समाकलन करने पर, $n \neq 0$ के लिए $c_n = \frac{\iu(-1)^n}{n}$ : $\abs{c_n}^2 = \frac1{n^2}$ । पार्सेवाल:

\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi t^2\dd t = \frac{\pi^2}3 = \sum_{n\neq0}\frac1{n^2} = 2\sum_{n\geq1}\frac1{n^2} \ \Longrightarrow\ \sum_{n\geq1}\frac1{n^2} = \frac{\pi^2}6 .

$f(t) = t^2$ के लिए: $c_0 = \frac{\pi^2}3$ , $c_n = \frac{2(-1)^n}{n^2}$ ( $n \ne 0$ )। पार्सेवाल:

\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}t^4\dd t = \frac{\pi^4}5 = \frac{\pi^4}9 + \sum_{n\neq0}\frac4{n^4} \ \Longrightarrow\ \sum_{n\geq1}\frac1{n^4} = \frac18\Bigl(\frac{\pi^4}5 - \frac{\pi^4}9\Bigr) = \frac{\pi^4}{90} .

किसी खंडशः- $\mathcal C^1$ चेतावनी की आवश्यकता नहीं: प्रमेय 13.9 प्रत्येक $L^2$ फलन को ढक लेती है।

अभ्यास 13.6 ★★

(क) ऐसा $a \in L^2(\intcc01)$ ढूँढ़िए जिसके लिए सभी $f$ पर $\int_0^{1/2}f = \langle a, f\rangle$ हो; इस फलनिक के लिए $\norm\varphi$ परिकलित कीजिए। (ख) दर्शाइए कि उपसमष्टि $\mathcal C(\intcc01) \subseteq L^2(\intcc01)$ पर परिभाषित मान-निर्धारण $f \mapsto f(\frac12)$ $\norm\cdot_2$ के लिए संतत नहीं है: अतः कोई रीस प्रतिनिधि विद्यमान नहीं (मान-निर्धारण कोई $L^2$ धारणा नहीं है)।

हल

हल — अभ्यास 13.6.

(क) $\varphi(f) = \int_0^{1/2}f = \langle\mathbf 1_{\intcc0{1/2}},\ f\rangle$ : प्रतिनिधि $a = \mathbf 1_{\intcc0{1/2}}$ है, और $\norm\varphi = \norm a_2 = \frac1{\sqrt2}$ (प्रमेय 13.4)।

(ख) $\frac12$ पर शिखर $1$ और चौड़ाई $\frac2n$ के आलंब वाले तंबू फलन $f_n$ लीजिए: $f_n(\tfrac12) = 1$ जबकि $\norm{f_n}_2^2 \leq \frac2n \to 0$ : कोई अचर $C$ $\abs{f(\frac12)} \leq C\norm f_2$ नहीं दे सकता। $L^2$ में बिंदु पर मान लेना निरर्थक है — अवयव अकिंचन समुच्चयों के मापांक में वर्ग हैं — और यह परिकलन उसका मात्रात्मक कारण है।

अभ्यास 13.7 ★★★

मान लीजिए $H$ हिल्बर्ट आधार $(e_n)$ के साथ पृथक्करणीय है और $(x_k)$ कोई परिबद्ध अनुक्रम। (क) दर्शाइए कि कोई उपानुक्रम दुर्बल रूप से अभिसरित होता है: ऐसा $x$ है कि प्रत्येक $y \in H$ के लिए $\langle y, x_{k_j}\rangle \to \langle y, x\rangle$ । (गुणांकों $\langle e_n, x_k\rangle$ पर विकर्ण निष्कर्षण; बेसेल और मानकों की एकसमान परिबद्धता के माध्यम से $x$ संकलित कीजिए।) (ख) दर्शाइए कि $e_n \rightharpoonup 0$ पर $\norm{e_n} = 1$ : दुर्बल सीमाएँ मानक खो सकती हैं। (क) में $\norm x \leq \liminf\norm{x_{k_j}}$ दर्शाइए।

हल

हल — अभ्यास 13.7.

(क) मान लीजिए $M = \sup_k\norm{x_k}$ । अदिश अनुक्रम $(\langle e_n, x_k\rangle)_k$ $M$ से परिबद्ध हैं: कोई विकर्ण निष्कर्षण ऐसा $x_{k_j}$ देता है कि प्रत्येक $n$ के लिए $\langle e_n, x_{k_j}\rangle \to \gamma_n$ । प्रत्येक $N$ के लिए: $\sum_{n\leq N}\abs{\gamma_n}^2 = \lim_j\sum_{n\leq N}\abs{\langle e_n, x_{k_j}\rangle}^2 \leq M^2$ (बेसेल), अतः $(\gamma_n) \in \ell^2$ और $x = \sum_n\gamma_ne_n \in H$ (प्रमेय 13.7(3))। $y \in H$ के लिए:

\abs{\langle y, x_{k_j} - x\rangle} \leq \Bigl|\sum_{n\leq N}\overline{c_n(y)}\bigl(\langle e_n, x_{k_j}\rangle - \gamma_n\bigr)\Bigr| + 2M\Bigl(\sum_{n>N}\abs{c_n(y)}^2\Bigr)^{1/2},

जिसमें प्रसार $\langle y, z\rangle = \sum\overline{c_n(y)}c_n(z)$ और पुच्छ पर कोशी–श्वार्ज़ का उपयोग हुआ है; पहले $N$ फिर $j$ चुनिए: अतः $x$ पर दुर्बल अभिसरण।

(ख) प्रत्येक $y$ के लिए $\langle y, e_n\rangle = c_n(y) \to 0$ ( $\ell^2$ पुच्छ): $e_n \rightharpoonup 0$ , फिर भी $\norm{e_n} = 1$ : अतः मानक दुर्बल रूप से संतत नहीं है। (क) में: $\norm x^2 = \sum\abs{\gamma_n}^2 \leq \liminf_j\norm{x_{k_j}}^2$ (परिमित अनुभाग और फिर से बेसेल): दुर्बल सीमाएँ केवल मानक खो सकती हैं।

अभ्यास 13.8 ★★

(संलग्न) $T \in \mathcal L(H)$ के लिए दर्शाइए कि $\langle Tx, y\rangle = \langle x, T^*y\rangle$ वाला एक अद्वितीय $T^* \in \mathcal L(H)$ है (रीस), और $\vertiii{T^*} = \vertiii T$ । $\ell^2$ पर विस्थापन $S$ का संलग्न परिकलित कीजिए, और $\ker T^* = (\operatorname{im}T)^\perp$ सिद्ध कीजिए — इससे $\overline{\operatorname{im}T} = (\ker T^*)^\perp$ निष्कर्ष निकालिए।

हल

हल — अभ्यास 13.8.

स्थिर $y$ के लिए $x \mapsto \langle y, Tx\rangle$ कोई संतत रैखिक फलनक है; रीस ऐसा अद्वितीय $T^*y$ देते हैं कि सभी $x$ के लिए $\langle y, Tx\rangle = \langle T^*y, x\rangle$ — और संयुग्मन करने पर $\langle Tx, y\rangle = \langle x, T^*y\rangle$ । अद्वितीयता $T^*$ को रैखिक बना देती है;

\norm{T^*y} = \sup_{\norm x = 1}\abs{\langle T^*y, x\rangle} = \sup_{\norm x=1}\abs{\langle y, Tx\rangle} \leq \vertiii T\,\norm y,

अतः $\vertiii{T^*} \leq \vertiii T$ , और $T^{**} = T$ बराबरी दे देता है। विस्थापन: $(S^*y)_n = y_{n+1}$ के साथ $\langle Sx, y\rangle = \sum_{n\geq1} x_n\bar y_{n+1} = \langle x, S^*y\rangle$ : अर्थात् पश्च विस्थापन। अष्टि–प्रतिबिंब: $T^*y = 0$ तभी और केवल तभी जब सभी $x$ के लिए $\langle x, T^*y\rangle = 0$ , और तभी जब सभी $x$ के लिए $\langle Tx, y\rangle = 0$ , और तभी जब $y \perp \operatorname{im}T$ : अतः $\ker T^* = (\operatorname{im}T)^\perp$ ; और $\perp$ लेकर प्रमेय 13.3 का उपयोग करने पर $\overline{\operatorname{im}T} = (\ker T^*)^\perp$ ।

अभ्यास 13.9 ★★

मान लीजिए $a$ लाक्स–मिलग्राम जैसा है और इसके अतिरिक्त सममित भी। दर्शाइए कि $u$ $a(u, \cdot) = \varphi$ को हल करता है तभी और केवल तभी जब $u$ $J(v) = \frac12a(v, v) - \varphi(v)$ को न्यूनतम करे, और यह कि न्यूनतम ठीक एक ही बिंदु पर प्राप्त होता है। (वर्ग पूरा कीजिए: $J(u + w) - J(u) = \frac12a(w,w) \geq \frac\alpha2\norm w^2$ ।) अनुप्रयोग: लाक्स–मिलग्राम से संवृत उपसमष्टियों के लिए प्रक्षेप प्रमेय पुनः व्युत्पन्न कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 13.9.

यदि $a(u, \cdot) = \varphi$ हो: तो किसी भी $w$ के लिए

J(u + w) - J(u) = a(u, w) - \varphi(w) + \tfrac12a(w,w) = \tfrac12a(w,w) \geq \tfrac\alpha2\norm w^2,

जो $w \neq 0$ के लिए कड़ाई से धनात्मक है: अतः $u$ अद्वितीय न्यूनीकारक है। विलोमतः किसी न्यूनीकारक पर फलन $t \mapsto J(u + tw)$ ( $t$ में कोई द्विघात बहुपद) का अवकलज $0$ पर लुप्त हो जाता है: अतः प्रत्येक $w$ के लिए $a(u, w) - \varphi(w) = 0$ । प्रक्षेप पुनः व्युत्पन्न: किसी संवृत उपसमष्टि $F$ के लिए हिल्बर्ट समष्टि $F$ पर $a(u,v) = \langle u, v\rangle$ ( $M = \alpha = 1$ ) और $\varphi(v) = \langle x, v\rangle$ के साथ लाक्स–मिलग्राम लगाइए: अतः कोई अद्वितीय $p \in F$ जिसके लिए सभी $v \in F$ के लिए $\langle p, v\rangle = \langle x, v\rangle$ , अर्थात् $x - p \perp F$ — और सममित स्थिति से $p$ $F$ पर $\frac12\norm v^2 - \langle x, v\rangle = \frac12\norm{v - x}^2 - \frac12\norm x^2$ को न्यूनतम कर देता है: यही प्रक्षेप है।

अभ्यास 13.10 ★★★

(हार निकाय) $\intcc01$ पर मान लीजिए $h_{0} = \mathbf 1$ , और $n = 2^j + k$ ( $j \geq 0$ , $0 \leq k < 2^j$ ) के लिए:

h_n = 2^{j/2}\Bigl(\mathbf 1_{[k2^{-j},\,(k + \frac12)2^{-j})} - \mathbf 1_{[(k+\frac12)2^{-j},\,(k+1)2^{-j})} \Bigr).

दर्शाइए कि $(h_n)_{n\geq0}$ $L^2(\intcc01)$ में प्रसामान्य लांबिक और संपूर्ण है। (लांबिकता: असंयुक्त या नेस्टेड आलंब; संपूर्णता: परिमित विस्तार समस्त द्विआधारी सोपान फलनों को समेटते हैं, जो सघन हैं — प्रमेय 12.6(1) और अंतरालों के द्विआधारी आसन्नन के माध्यम से।) हार निकाय तरंगिकाओं का पूर्वज है।

हल

हल — अभ्यास 13.10.

मानकीकरण: $\int h_n^2 = 2^j\cdot 2^{-j} = 1$ । लांबिकता: दो भिन्न हार फलनों के आलंबों के (अंतःभाग) या तो असंयुक्त होते हैं (गुणनफल लगभग सर्वत्र शून्य), या सूक्ष्मतर वाले का आलंब किसी ऐसे अर्ध-अंतराल में अंतर्विष्ट होता है जहाँ स्थूलतर अचर है — तब गुणनफल का समाकल वह अचर गुणा $\int h_{\text{सूक्ष्मतर}} = 0$ है; और $h_0 = \mathbf 1$ के सापेक्ष भी पुनः $\int h_n = 0$ । पूर्णता: $\{h_0, \dots, h_{2^J-1}\}$ का विस्तार चरण $2^{-J}$ के द्विअंशी जालक पर सोपान फलनों से बना है; दोनों समष्टियों की विमा $2^J$ है और हार फलन स्वतंत्र हैं (लांबिक-प्रसामान्य): अतः विस्तार सभी ऐसे सोपान फलन हैं। द्विअंशी सोपान फलन $L^2(\intcc01)$ में सघन हैं: सरल फलन सघन हैं (प्रमेय 12.6(1)), मापनीय समुच्चय अंतरालों के परिमित संघों से आसन्नित होते हैं (अभ्यास 9.7), और अंतराल द्विअंशी अंतरालों से (अंत-बिंदु $\leq 2^{-J}$ हिलते हैं)। प्रमेय 13.7 से हार निकाय कोई हिल्बर्ट आधार है।

अभ्यास 13.11 ★★

(लांबिक प्रक्षेप, अभिलक्षित) मान लीजिए $H$ एक हिल्बर्ट समष्टि है और $P^2 = P$ , $P \neq 0$ वाला $P \in \mathcal L(H)$ । इनकी तुल्यता दर्शाइए: (क) $P$ $\operatorname{im}P$ पर लांबिक प्रक्षेप है; (ख) $P = P^*$ (अभ्यास 13.8); (ग) $\vertiii P = 1$ । ((ग) $\Rightarrow$ (क) के लिए: यदि किसी $x \in (\ker P)^\perp$ के लिए $Px \neq x$ हो, तो $x + t(Px - x)$ पर विचार कीजिए — अथवा सीधे: $u \in \operatorname{im}P$ और $v \in \ker P$ के लिए सभी $t \in \R$ पर $\norm{P(u + tv)}^2 \leq \norm{u + tv}^2$ का प्रसार कीजिए और $\langle u, v\rangle = 0$ निष्कर्ष निकालिए।) $\R^2$ पर कोई अलांबिक प्रक्षेप प्रस्तुत कीजिए और उसका मानक परिकलित कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 13.11.

(क) $\Rightarrow$ (ख): लांबिक प्रक्षेप के लिए $\langle Px, y\rangle = \langle Px, Py\rangle = \langle x, Py\rangle$ (विघटन $x = Px + (x - Px)$ इत्यादि डालिए और तिर्यक पद मार दीजिए)। (ख) $\Rightarrow$ (ग): $\norm{Px}^2 = \langle P^2x, x\rangle = \langle Px, x\rangle \leq \norm{Px}\norm x$ , अतः $\vertiii P \leq 1$ , और शून्येतर प्रतिबिंब पर $Pu = u$ : $= 1$ । (ग) $\Rightarrow$ (क): $H = \operatorname{im}P \oplus \ker P$ (बीजगणितीय रूप से, $P^2 = P$ से); $u = Pu \in \operatorname{im}P$ , $v \in \ker P$ , $t \in \R$ लीजिए: प्रत्येक $t$ के लिए $\norm{P(u + tv)}^2 = \norm u^2$ को $\leq \norm{u + tv}^2 = \norm u^2 + 2t\operatorname{Re}\langle u, v\rangle + t^2\norm v^2$ होना चाहिए, जिससे $\operatorname{Re}\langle u, v\rangle = 0$ अनिवार्य हो जाता है ( $t \to 0^\pm$ पर रैखिक पदों की तुलना कीजिए); और $v$ को $\iu v$ से बदलने पर काल्पनिक भाग भी मर जाता है: $\operatorname{im}P \perp \ker P$ , जो ठीक प्रक्षेप की लांबिकता है। उदाहरण: $\R^2$ पर $P(x, y) = (x + y, 0)$ : $P^2 = P$ , प्रतिबिंब $x$ -अक्ष, अष्टि रेखा $y = -x$ , और $\vertiii P = \sup\frac{\abs{x+y}}{\norm{(x,y)}} = \sqrt2$ ( $(1,1)/\sqrt2$ पर प्राप्त): अर्थात् किसी तिर्यक प्रक्षेप का मानक $> 1$ होता है। (अभिलेख के लिए, (ख) से (क) भी सीधे मिलता है: अभ्यास 13.8 से $\ker P = \ker P^* = (\operatorname{im}P)^\perp$ ।)

अभ्यास 13.12 ★★★

(फोन नॉयमान की एर्गोडिक प्रमेय) मान लीजिए $U \in \mathcal L(H)$ एकात्मक है ( $U^*U = UU^* = I$ ), $F = \ker(U - I)$ स्थिर समष्टि है, $P$ $F$ पर लांबिक प्रक्षेप, और $A_n = \frac1n\sum_{k=0}^{n-1}U^k$ । (क) दर्शाइए कि $\ker(U - I) = \ker(U^* - I)$ ( $\norm{Ux - x}^2 = 2\norm x^2 - 2\operatorname{Re}\langle Ux, x\rangle$ और एकात्मकता से), और $\overline{\operatorname{im}(U - I)} = F^\perp$ निष्कर्ष निकालिए। (ख) दर्शाइए कि $x \in F$ के लिए $A_nx \to x$ , और $x \in \operatorname{im}(U - I)$ के लिए $A_nx \to 0$ (दूरबीनी योग), फिर $x \in \overline{\operatorname{im}(U - I)}$ के लिए भी (एकसमान परिबंध $\vertiii{A_n} \leq 1$ )। (ग) निष्कर्ष निकालिए: प्रत्येक $x \in H$ के लिए $A_nx \to Px$ — अर्थात् समय-औसत अपरिवर्तियों पर के प्रक्षेप पर अभिसरित होते हैं। (घ) $H = L^2(\R/\Z)$ और अपरिमेय $\alpha$ वाले $Uf = f(\cdot + \alpha)$ के लिए इसे विस्तार से लिखिए: $F$ पहचानिए (फूरिये श्रेणी का उपयोग कीजिए, प्रमेय 13.9) और निष्कर्ष निकालिए कि $L^2$ में $\frac1n\sum_{k<n}f(x + k\alpha) \to \int_0^1f$ : अर्थात् अपरिमेय घूर्णनों का $L^2$ समवितरण।

हल

हल — अभ्यास 13.12.

(क) एकात्मक $U$ के लिए: $\norm{Ux - x}^2 = 2\norm x^2 - 2\operatorname{Re}\langle Ux, x\rangle$ और $\norm{U^*x - x}^2 = 2\norm x^2 - 2\operatorname{Re}\langle x, Ux\rangle$ : दोनों साथ ही लुप्त होते हैं, अतः $\ker(U - I) = \ker(U^* - I)$ । तब $T = U - I$ और $T^* = U^* - I$ के साथ $\ker T^* = (\operatorname{im}T)^\perp$ (अभ्यास 13.8) का उपयोग करते हुए:

\overline{\operatorname{im}(U - I)} = \bigl(\ker(U^* - I)\bigr)^\perp = F^\perp .

(ख) $F$ पर: $U^kx = x$ , अतः $A_nx = x$ । $x = (U - I)y$ के लिए: $A_nx = \frac1n(U^ny - y)$ , जिसका मानक $\leq \frac2n\norm y \to 0$ है। संवरण में $x$ के लिए: $\varepsilon$ दिया हो, तो $\norm{x - x'} < \varepsilon$ वाला $x' = (U - I)y$ चुनिए; चूँकि $\vertiii{A_n} \leq \frac1n\sum\vertiii{U^k} = 1$ , अतः $\norm{A_nx} \leq \norm{A_n(x - x')} + \norm{A_nx'} \leq \varepsilon + o(1)$ ।

(ग) $Px \in F$ और $x - Px \in F^\perp = \overline{\operatorname{im}(U - I)}$ के साथ $x = Px + (x - Px)$ में विघटित कीजिए (भाग (क)): $A_nx = Px + A_n(x - Px) \to Px + 0$ ।

(घ) फूरिये आधार $e_m(x) = \eu^{2\iu\pi mx}$ में: $Ue_m = \eu^{2\iu\pi m\alpha}e_m$ , अतः $Ue_m = e_m$ तभी और केवल तभी जब $m\alpha \in \Z$ , और तभी जब $m = 0$ ( $\alpha$ अपरिमेय): $F = \C\mathbf 1$ और $Pf = \langle\mathbf 1, f\rangle\mathbf 1 = \int_0^1f$ । प्रमेय $L^2(\R/\Z)$ में $\frac1n\sum_{k<n}f(\cdot + k\alpha) \to \int_0^1f$ के रूप में पढ़ी जाती है: अर्थात् किसी अपरिमेय घूर्णन के कक्षा औसत समवितरित हो जाते हैं — वाइल की समवितरण प्रमेय की $L^2$ छाया, विशुद्ध हिल्बर्ट ज्यामिति से प्राप्त।

13.4 समस्या: लांबिक बहुपद

समस्या 13.1

सप्ताहांत समस्या — लजांद्र, एर्मीत, और गाउस संख्यात्मक समाकलन

मान लीजिए $I \subseteq \R$ कोई अंतराल है और $w > 0$ $I$ के अंतःभाग पर ऐसा संतत भार कि सभी $n$ के लिए $\int_I \abs t^nw(t)\dd t < \infty$ ; $\langle f, g\rangle = \int_I \bar fg\,w$ के साथ $H = L^2(I, w\,\dd\lambda)$ में कार्य कीजिए। $1, t, t^2, \dots$ पर ग्राम–श्मिट लगाने से $w$ के लिए लांबिक बहुपद $(p_n)$ मिलते हैं (मोनिक मानकीकरण: $p_n = t^n + \cdots$ )।

भाग I — व्यापक सिद्धांत।

दर्शाइए कि $p_n$ घात $< n$ के प्रत्येक बहुपद के लांबिक है, और यह कि $(p_0, \dots, p_n)$ $\R_n[t]$ का आधार है।
(त्रिपद पुनरावर्तन) दर्शाइए कि ऐसे वास्तविक $a_n, b_n$ हैं जिनके लिए

$p_{n+1}(t) = (t - a_n)\,p_n(t) - b_n\,p_{n-1}(t), \qquad b_n = \frac{\norm{p_n}^2}{\norm{p_{n-1}}^2} > 0 .$

( $t\,p_n$ का आधार $(p_k)_{k \leq n+1}$ में प्रसार कीजिए और $\langle tp_n, p_k\rangle = \langle p_n, tp_k\rangle$ का उपयोग करते हुए लांबिकता से गुणांक समाप्त कीजिए।)
(मूल) दर्शाइए कि $p_n$ के $n$ भिन्न मूल हैं, और सभी $I$ के अंतःभाग में। (मान लीजिए $t_1 < \dots < t_m$ $p_n$ के आंतरिक चिह्न-परिवर्तन हैं; यदि $m < n$ हो, तो $\prod_{i\leq m}(t - t_i)$ के सापेक्ष $p_n$ की परीक्षा लीजिए और लांबिकता का खंडन कीजिए।)

भाग II — लजांद्र ( $I = \intcc{-1}1$ , $w = 1$ )। $P_n(t) = \frac{1}{2^nn!}\,\frac{\dd^n}{\dd t^n}\bigl[(t^2 - 1)^n\bigr]$ (रोद्रीग) परिभाषित कीजिए।

दर्शाइए कि $\deg P_n = n$ का अग्र गुणांक $\frac{(2n)!}{2^n(n!)^2}$ है, और $n$ बार खंडशः समाकलन करके यह भी कि घात $< n$ के प्रत्येक बहुपद $Q$ के लिए $\langle P_n, Q\rangle = 0$ : अर्थात् $P_n$ (मानकीकरण तक) $w = 1$ के लिए लांबिक बहुपद हैं।
$\norm{P_n}_2^2 = \frac{2}{2n+1}$ परिकलित कीजिए ( $n$ बार अपने ही सापेक्ष खंडशः समाकलन कीजिए और किसी बीटा/वालिस समाकल तक सिमटाइए, अभ्यास 11.8)।
दर्शाइए कि मानकीकृत लजांद्र बहुपद $L^2(\intcc{-1}1)$ का हिल्बर्ट आधार बनाते हैं (वाइरश्ट्रास, उपप्रमेय 7.16, और $L^2$ में $\mathcal C$ की सघनता), और $f(t) = \abs t$ का घात $2$ तक प्रसार कीजिए: $\abs t$ का श्रेष्ठतम द्विघात $L^2$ -आसन्नन परिकलित कीजिए।

भाग III — एर्मीत ( $I = \R$ , $w(t) = \eu^{-t^2}$ )। $H_n(t) = (-1)^n\eu^{t^2}\frac{\dd^n}{\dd t^n}\eu^{-t^2}$ परिभाषित कीजिए।

दर्शाइए कि $H_n$ घात $n$ का ऐसा बहुपद है जिसका अग्र गुणांक $2^n$ है, कि $H_{n+1} = 2tH_n - H_n'$ , और यह कि $\langle H_m, H_n\rangle_w = \delta_{mn}\,2^nn!\sqrt\pi$ (फिर खंडशः)।
दर्शाइए कि एर्मीत कुल $L^2(\R, \eu^{-t^2}\dd t)$ में संपूर्ण है, और इसके लिए अध्याय 14 का एक परिणाम स्वीकार कीजिए: यदि $g \in L^1(\R)$ के लिए सभी $\xi$ पर $\int g(t)\eu^{-\iu\xi t}\dd t = 0$ हो, तो लगभग सर्वत्र $g = 0$ । (सभी $H_n$ के लिए $f \perp$ , अर्थात् समस्त बहुपदों के $\perp$ : दर्शाइए कि $z \mapsto \int f(t)\eu^{-t^2}\eu^{-\iu zt}\dd t$ सुपरिभाषित है, चरघातांकी का श्रेणी में प्रसार कीजिए, प्रभुत्व से अदला-बदली उचित ठहराइए, और निष्कर्ष निकालिए कि $f\eu^{-t^2}$ का फूरिये रूपांतर लुप्त हो जाता है।)

भाग IV — गाउस संख्यात्मक समाकलन। $n$ स्थिर कीजिए, मान लीजिए $t_1 < \dots < t_n$ $p_n$ (भाग I) के मूल हैं, और भार $w_i = \int_I \ell_i(t)\,w(t)\dd t$ परिभाषित कीजिए, जहाँ $\ell_i$ $t_i$ पर लाग्राँज अंतर्वेशन आधार बहुपद हैं।

दर्शाइए कि संख्यात्मक समाकलन नियम $Q(f) = \sum_iw_if(t_i)$ घात $\leq n - 1$ तक के सभी बहुपदों पर यथार्थ है (अंतर्वेशन), और वस्तुतः — यही चमत्कार है — घात $\leq 2n - 1$ तक के सभी बहुपदों पर: $P = qp_n + r$ लिखिए और भागफल $q$ पर लांबिकता का उपयोग कीजिए।
दर्शाइए कि भार धनात्मक हैं (नियम को घात $2n - 2$ के $\ell_i^2$ पर लगाइए), और पोल्या की प्रमेय (अभ्यास 8.9) से निष्कर्ष निकालिए कि गाउस संख्यात्मक समाकलन अभिसरित होता है: किसी संहत $I$ पर प्रत्येक संतत $f$ के लिए $Q_n(f) \to \int_I fw$ ।
$n = 2$ , $I = \intcc{-1}1$ , $w = 1$ के लिए: नोड $\pm\frac1{\sqrt3}$ और भार $1, 1$ परिकलित कीजिए, और $1, t, t^2, t^3$ पर यथार्थता हाथ से सत्यापित कीजिए। उन्हीं दो मान-निर्धारण बिंदुओं पर समलंब नियम से तुलना कीजिए।

भाग V — चेबिशेव: सबसे अच्छा दोलन करने वाले बहुपद। अब $I = \intcc{-1}1$ और $w(t) = \frac1{\sqrt{1 - t^2}}$ ।

दर्शाइए कि $T_n(\cos\theta) = \cos n\theta$ घात $n$ का एक बहुपद $T_n$ परिभाषित करता है (किसी त्रिकोणमितीय सर्वसमिका से $T_{n+1} = 2t\,T_n - T_{n-1}$ स्थापित कीजिए), जिसका अग्र गुणांक $n \geq 1$ के लिए $2^{n-1}$ है; और यह कि प्रतिस्थापन $t = \cos\theta$ से

$\langle T_m, T_n\rangle_w = \int_0^\pi\cos m\theta\,\cos n\theta\,\dd\theta = 0 \ (m \neq n), \qquad \norm{T_0}_w^2 = \pi,\ \ \norm{T_n}_w^2 = \frac\pi2 :$

मिलता है: अर्थात् $T_n$ इस भार के लिए लांबिक बहुपद हैं, और चेबिशेव प्रसार वस्तुतः छद्म वेश में फूरिये कोज्या श्रेणियाँ हैं।
$\intcc{-1}1$ पर $T_n$ के $n$ मूल $t_k = \cos\frac{(2k-1)\pi}{2n}$ और $n + 1$ चरम मान $s_j = \cos\frac{j\pi}n$ स्पष्ट रूप से बताइए, जहाँ $T_n(s_j) = (-1)^j$ : अर्थात् आलेख $\pm1$ के बीच समदोलन करता है।
(न्यूनतम-उच्चतम) दर्शाइए कि घात $n$ के समस्त मोनिक बहुपदों में बहुपद $2^{1-n}T_n$ का $\intcc{-1}1$ पर उच्चतम मानक सबसे छोटा है, अर्थात् $2^{1-n}$ — और वही अद्वितीय न्यूनीकारक है। (यदि किसी मोनिक $P$ के लिए $\sup\abs P < 2^{1-n}$ होता, तो घात $\leq n-1$ का अंतर $2^{1-n}T_n - P$ $n+1$ समदोलन बिंदुओं पर चिह्न बदलता।)
अंतर्वेशन में अनुप्रयोग: $\intcc{-1}1$ में नोड $t_1 < \dots < t_n$ के लिए किसी $\mathcal C^n$ फलन के लाग्राँज अंतर्वेशन की त्रुटि में $\omega(t) = \prod_i(t - t_i)$ आता है। दर्शाइए कि नोड के रूप में चेबिशेव मूल चुनने से $\sup_{\intcc{-1}1}\abs\omega$ न्यूनतम हो जाता है, और परिणामी परिबंध $\norm{f - L_nf}_\infty \leq \frac{\norm{f^{(n)}}_\infty} {2^{n-1}\,n!}$ दीजिए — समान दूरी वाले नोड से तुलना कीजिए (चेतावनी की कथा के रूप में रुंगे परिघटना का कथन दीजिए)।
$\abs{T_n'(\pm1)} = n^2$ सत्यापित कीजिए ( $T_n(\cos\theta) = \cos n\theta$ का अवकलन कीजिए और $\theta \to 0, \pi$ पर सीमाएँ लीजिए): अर्थात् $\intcc{-1}1$ पर $1$ से परिबद्ध बहुपदों का अवकलज किनारे पर $n^2$ जितना बड़ा हो सकता है (मार्कोव असमिका कहती है कि इससे बड़ा नहीं — केवल कथन)। अंतराल में कहाँ अवकलज का परिबंध केवल $O(n)$ रहता है?
(चेबिशेव–गाउस संख्यात्मक समाकलन) दर्शाइए कि भार $w$ के लिए $n$ चेबिशेव मूलों पर गाउस नियम के भार समान होते हैं, $w_i = \frac\pi n$ ( $T_0, \dots, T_{n-1}$ पर यथार्थता और $1 \leq j \leq n - 1$ के लिए त्रिकोणमितीय योग $\sum_{k=1}^n\cos\bigl(j\tfrac{(2k-1)\pi}{2n}\bigr) = 0$ ): अर्थात् सभी संख्यात्मक समाकलनों में सबसे एकसमान। $n = 3$ के लिए उसे लिखिए।

भाग VI — क्रिस्टोफेल–दारबू, अंतर्ग्रथन, और याकोबी आव्यूह। अब फिर किसी व्यापक भार पर लौटिए; $h_k = \norm{p_k}^2$ (मोनिक $p_k$ ), $b_k = h_k/h_{k-1}$ ।

(न्यूनतम मानक) दर्शाइए कि घात $n$ के समस्त मोनिक बहुपदों में लांबिक $p_n$ ही न्यूनतम $L^2(w)$ -मानक वाला अद्वितीय बहुपद है — इस न्यूनीकरण को $\R_{n-1}[t]$ पर लांबिक प्रक्षेप के रूप में पहचानिए (प्रमेय 13.2 अथवा दूसरे वर्ष का परिमित-विमीय प्रक्षेप)। प्रश्न 14 का न्यूनतम-उच्चतम गुण वही कथन है जिसमें $L^2$ के स्थान पर $L^\infty$ है: एक ही नायक, दो मानक।
(क्रिस्टोफेल–दारबू) त्रिपद पुनरावर्तन का उपयोग करते हुए $n$ पर आगमन से सर्वसमिका

$\sum_{k=0}^{n}\frac{p_k(x)\,p_k(y)}{h_k} = \frac{p_{n+1}(x)\,p_n(y) - p_n(x)\,p_{n+1}(y)}{h_n\,(x - y)} \qquad (x \neq y),$

और उसका संगामी रूप ( $y \to x$ ) सिद्ध कीजिए: $\sum_{k\leq n}\frac{p_k(x)^2}{h_k} = \frac{p_{n+1}'(x)p_n(x) - p_n'(x)p_{n+1}(x)}{h_n}$ ।
इससे निष्कर्ष निकालिए कि $p_n$ और $p_{n+1}$ का कोई उभयनिष्ठ मूल नहीं है, और यह कि $p_{n+1}$ के प्रत्येक मूल $x_0$ पर $p_n(x_0)\,p_{n+1}'(x_0) > 0$ । मूलों का अंतर्ग्रथन निष्कर्ष के रूप में निकालिए: $p_{n+1}$ के दो क्रमागत मूलों के बीच $p_n$ का ठीक एक मूल होता है।
(याकोबी आव्यूह) मान लीजिए $J_n$ वह $n\times n$ सममित त्रिविकर्ण आव्यूह है जिसका विकर्ण $a_0, \dots, a_{n-1}$ है और विकर्णेतर प्रविष्टियाँ $\sqrt{b_1}, \dots, \sqrt{b_{n-1}}$ । आगमन से दर्शाइए कि $\det(tI_n - J_n) = p_n(t)$ , अतः $p_n$ के मूल किसी वास्तविक सममित आव्यूह के अभिलक्षणिक मान हैं — जिससे एक पंक्ति में पुनः सिद्ध हो जाता है कि वे वास्तविक हैं, और (ऊपर के अंतर्ग्रथन के साथ) लांबिक बहुपद अध्याय 15 के स्पेक्ट्रमी संसार से जुड़ जाते हैं।
(संश्लेषण) तीनों शास्त्रीय कुलों (लजांद्र, एर्मीत, चेबिशेव) के लिए शब्दकोश संकलित कीजिए: अंतराल, भार, परिभाषक सूत्र, त्रिपद पुनरावर्तन, मानक, और प्रत्येक का स्वाभाविक निवास (संहतों पर संख्यात्मक समाकलन और आसन्नन; गाउसीय विश्लेषण; न्यूनतम-उच्चतम और फूरिये-कोज्या विधियाँ)। एक वाक्य इस पर कि व्यापक सिद्धांत (भाग I, VI) ने वह क्या दिया जो कोई भी अलग परिकलन नहीं दे सकता था।

भाग VII — त्रुटि पद, और भारों के पीछे का नाभिक। यहाँ $I$ संहत है और $f \in \mathcal C^{2n}(I)$ ।

(गाउस त्रुटि सूत्र) मान लीजिए $Hf$ घात $\leq 2n - 1$ का वह एर्मीत अंतर्वेशक है जो नोड $t_1, \dots, t_n$ पर $f$ और $f'$ से मेल खाता है (उसका अस्तित्व और बिंदुशः त्रुटि

$f(t) - Hf(t) = \frac{f^{(2n)}(\xi_t)}{(2n)!}\;p_n(t)^2$

सामान्य सहायक-फलन तर्क से सिद्ध कीजिए)। इस सर्वसमिका का $w$ के सापेक्ष समाकलन करके और $f^{(2n)}$ के चरम मानों के बीच दबाकर निष्कर्ष निकालिए

$\int_I f\,w - Q_n(f) = \frac{f^{(2n)}(\xi)}{(2n)!}\,h_n \qquad\text{किसी } \xi \in I \text{ के लिए},$

जिसमें $h_n = \norm{p_n}^2$ भाग VI जैसा है: अर्थात् गाउस संख्यात्मक समाकलन एक $2n$ -वें अवकलज जितनी त्रुटि करता है, और वह भी मोनिक लांबिक बहुपद के वर्ग-मानक से भारित।
(भार क्रिस्टोफेल मान हैं) $\R_{n-1}[t]$ के पुनरुत्पादक नाभिक $K_n(x, y) = \sum_{k=0}^{n-1} \frac{p_k(x)p_k(y)}{h_k}$ और $Q_n$ की घात $2n - 2$ तक की यथार्थता का उपयोग करके सिद्ध कीजिए

$w_i \;=\; \Bigl(\,\sum_{k=0}^{n-1} \frac{p_k(t_i)^2}{h_k}\Bigr)^{\!-1} :$

अर्थात् प्रत्येक भार अपने ही नोड पर क्रिस्टोफेल फलन का मान है — भारों की धनात्मकता (प्रश्न 10) पुनः, अब एक यथार्थ सूत्र के साथ। सत्यापित कीजिए कि इससे $n = 2$ , $I = \intcc{-1}1$ , $w = 1$ के लिए $w_1 = w_2 = 1$ पुनः मिल जाता है।
(एक ही समाकल पर सब कुछ जाँचिए) चेबिशेव भार और $n = 3$ नोड के लिए

$\int_{-1}^{1}\frac{t^6}{\sqrt{1 - t^2}}\,\dd t = \frac{5\pi}{16}, \qquad Q_3(t^6) = \frac{9\pi}{32},$

के दोनों पक्ष परिकलित कीजिए, जिससे संख्यात्मक समाकलन की त्रुटि ठीक $\frac{\pi}{32}$ निकले; फिर जाँचिए कि प्रश्न 23 का त्रुटि सूत्र ठीक यही मान बताता है (यहाँ $f^{(6)} = 6!$ अचर है, और $h_3 = \norm{2^{-2}T_3}_w^2 = \frac\pi{32}$ ): सिद्धांत और परिकलन अंतिम अंक तक सहमत हैं।

हल

हल — समस्या 13.1.

1. ग्राम–श्मिट $\operatorname{Vect}(p_0, \dots, p_n) = \operatorname{Vect}(1, \dots, t^n) = \R_n[t]$ और $p_n \perp p_k$ ( $k < n$ ) की प्रत्याभूति देती है, अतः $p_n \perp \R_{n-1}[t]$ । कड़ाई से बढ़ती घातों वाले $p_k$ स्वतंत्र हैं: अर्थात् कोई आधार।

2. $t\,p_n$ घात $n + 1$ का मोनिक है: $c_k = \langle p_k, tp_n\rangle/\norm{p_k}^2$ के साथ $t\,p_n = p_{n+1} + \sum_{k\leq n}c_kp_k$ का प्रसार कीजिए। $k \leq n - 2$ के लिए: $\langle p_k, tp_n\rangle = \langle tp_k, p_n\rangle = 0$ (घात $k + 1 < n$ )। अतः $tp_n = p_{n+1} + a_np_n + b_np_{n-1}$ , अर्थात् कहा गया पुनरावर्तन, जिसमें

b_n = \frac{\langle p_{n-1}, tp_n\rangle}{\norm{p_{n-1}}^2} = \frac{\langle tp_{n-1}, p_n\rangle}{\norm{p_{n-1}}^2} = \frac{\langle p_n + (\text{निम्नतर घातें}),\ p_n\rangle}{\norm{p_{n-1}}^2} = \frac{\norm{p_n}^2}{\norm{p_{n-1}}^2} > 0 .

3. मान लीजिए $t_1 < \dots < t_m$ $I$ के आंतरिक वे बिंदु हैं जहाँ $p_n$ चिह्न बदलता है, और $q = \prod_{i\leq m}(t - t_i)$ ( $m = 0$ होने पर $q = 1$ के साथ)। तब $p_nq$ $I$ पर अचर चिह्न रखता है और लगभग सर्वत्र शून्य नहीं है: $\int_Ip_nq\,w \neq 0$ । यदि $m < n$ हो, तो यह $p_n \perp \R_{n-1}[t]$ का खंडन करता है। अतः $m = n$ : $p_n$ के $n$ भिन्न आंतरिक मूल हैं (उसके कुल मिलाकर अधिक से अधिक $n$ मूल हैं)।

4. $(t^2 - 1)^n$ की घात $2n$ है; $n$ अवकलन घात $n$ छोड़ते हैं, जिसका अग्र गुणांक $\frac{(2n)(2n-1)\cdots(n+1)}{2^nn!} = \frac{(2n)!}{2^n(n!)^2}$ है। $\deg Q < n$ के लिए $n$ बार खंडशः समाकलन कीजिए: सभी परिसीमा पदों में $(t^2-1)^n$ का कोटि $< n$ का कोई अवकलज होता है, जो $\pm1$ पर लुप्त हो जाता है (कोटि $n$ का मूल); और $n$ चरणों के बाद समाकल्य $Q^{(n)} = 0$ ढोता है।

5. $u = (t^2 - 1)^n$ के साथ:

(2^nn!)^2\norm{P_n}^2 = \int_{-1}^1(u^{(n)})^2 = (-1)^n\int_{-1}^1 u\,u^{(2n)} = (2n)!\int_{-1}^1(1 - t^2)^n\dd t ,

( $u^{(2n)} = (2n)!$ ; परिसीमा पद प्रश्न 4 की भाँति लुप्त हो जाते हैं)। और $\int_{-1}^1(1-t^2)^n\dd t = B(\tfrac12, n+1) = \frac{\Gamma(\frac12)\Gamma(n+1)}{\Gamma(n + \frac32)} = \frac{2\cdot4^n(n!)^2}{(2n+1)!}$ (अभ्यास 11.8)। मिलाकर: $\norm{P_n}^2 = \frac{2}{2n + 1}$ ।

6. बहुपद $\mathcal C(\intcc{-1}1)$ में $\norm\cdot_\infty$ -सघन हैं (वाइरश्ट्रास, उपप्रमेय 7.16), संतत फलन $L^2$ -सघन हैं (प्रमेय 12.6), और $\norm\cdot_2 \leq \sqrt2\norm\cdot_\infty$ : अतः बहुपद विस्तार पूर्ण हैं, इसलिए मानकीकृत $P_n$ कोई हिल्बर्ट आधार बनाते हैं। $\abs t$ का प्रसार: $P_0$ के सापेक्ष गुणांक $\frac{\langle P_0, \abs t\rangle}{\norm{P_0}^2} = \frac12$ है; $P_1$ के सापेक्ष: $0$ (समता); $P_2$ के सापेक्ष: $\frac{\int_{-1}^1\abs t\,\frac{3t^2-1}2\dd t}{2/5} = \frac{1/4}{2/5} = \frac58$ । सर्वोत्तम द्विघात आसन्नन:

\abs t \approx \frac12 + \frac58\,P_2(t) = \frac{3}{16} + \frac{15}{16}\,t^2 .

7. $\frac{\dd^{n+1}}{\dd t^{n+1}}\eu^{-t^2} = \frac{\dd^n}{\dd t^n}(-2t\,\eu^{-t^2})$ और लाइब्नित्स से $H_{n+1} = 2tH_n - H_n'$ ; और आगमन घात $n$ तथा अग्र गुणांक $2^n$ दे देता है। $m < n$ के लिए $\int H_m H_n\eu^{-t^2} = (-1)^n\int H_m\,\bigl(\eu^{-t^2} \bigr)^{(n)}$ में $n$ बार खंडशः समाकलन कीजिए: परिसीमा पद (बहुपद $\times$ $\eu^{-t^2}$ ) $\pm\infty$ पर लुप्त हो जाते हैं, जिससे $\int H_m^{(n)}\,\eu^{-t^2} = 0$ बचता है। $m = n$ के लिए: $H_n^{(n)} = 2^nn!$ , अतः $\norm{H_n}_w^2 = 2^nn!\int\eu^{-t^2} = 2^nn!\sqrt\pi$ ।

8. मान लीजिए $f \in L^2(\R, \eu^{-t^2}\dd t)$ प्रत्येक बहुपद पर लांबिक है, और $g = f\eu^{-t^2}$ । तब $g \in L^1$ : $\int\abs f\eu^{-t^2} \leq \bigl(\int\abs f^2\eu^{-t^2}\bigr)^{1/2}\bigl(\int\eu^{-t^2}\bigr)^{1/2}$ (कोशी–श्वार्ज़)। $\xi \in \R$ के लिए $\eu^{-\iu\xi t}$ का प्रसार कीजिए: आंशिक योगों पर प्रभुत्व है, क्योंकि

\sum_k\frac{\abs\xi^k}{k!}\int\abs f\,\abs t^k\eu^{-t^2}\dd t \leq \Bigl(\int \abs f^2\eu^{-t^2}\Bigr)^{1/2} \sum_k\frac{\abs\xi^k}{k!}\Bigl(\int t^{2k}\eu^{-t^2}\Bigr)^{1/2} < \infty

(अंतिम श्रेणी अभिसरित होती है: $\int t^{2k}\eu^{-t^2} = \Gamma(k+\frac12) \leq k!\,\sqrt\pi$ , अतः पद $O(\abs\xi^k/\sqrt{k!})$ हैं)। पदशः समाकलन (निरपेक्ष श्रेणी पर लगाई गई उपप्रमेय 10.7, फिर श्रेणियों के लिए फुबिनी)

\int_\R g(t)\,\eu^{-\iu\xi t}\dd t = \sum_k\frac{(-\iu\xi)^k}{k!}\int f(t)\,t^k\,\eu^{-t^2}\dd t = 0 ,

देता है, जिसमें प्रत्येक समाकल $\langle t^k, f\rangle_w$ -प्रकार का $= 0$ है। फूरिये रूपांतर की स्वीकृत एकैकीयता (अध्याय 14) से लगभग सर्वत्र $g = 0$ , अतः लगभग सर्वत्र $f = 0$ : इसलिए एर्मीत कुल (जिसके विस्तार बहुपद हैं) पूर्ण है।

9. घात $n - 1$ तक यथार्थता: ऐसे $P$ के लिए ठीक-ठीक $P = \sum_iP(t_i)\ell_i$ , अतः $\int Pw = \sum_iP(t_i)\int \ell_iw = Q(P)$ । घात $\leq 2n - 1$ : $P = qp_n + r$ , $\deg q \leq n - 1$ , $\deg r \leq n-1$ से भाग दीजिए; तब $\int Pw = \int qp_nw + \int rw = 0 + Q(r)$ ( $p_n \perp \R_{n-1}[t]$ ), जबकि $Q(P) = \sum_iw_i\bigl(q(t_i)\,p_n(t_i) + r(t_i)\bigr) = Q(r)$ क्योंकि गाँठें $p_n$ के मूल हैं। बराबर।

10. $\ell_i^2$ की घात $2n - 2 \leq 2n - 1$ है और $\ell_i^2(t_j) = \delta_{ij}$ : $0 < \int\ell_i^2w = Q(\ell_i^2) = w_i$ । पोल्या (अभ्यास 8.9, भार के साथ $I$ पर अंतरित): शर्त (i) लागू है — प्रत्येक बहुपद अपनी घात $2n - 1 \geq$ होते ही ठीक एक बार यथार्थ रूप से समाकलित हो जाता है; और शर्त (ii): $\sum_i\abs{w_{i}} = \sum_iw_i = Q(\mathbf 1) = \int_Iw$ , परिबद्ध: प्रत्येक $f \in \mathcal C(I)$ के लिए $Q_n(f) \to \int fw$ , $I$ संहत।

11. मोनिक $p_2 = t^2 - \frac13$ (अभ्यास 13.4 से): गाँठें $\pm\frac1{\sqrt3}$ । भार: $\ell_1(t) = \frac{t - \frac1{\sqrt3}}{-\frac2{\sqrt3}}$ , और $w_1 = \int_{-1}^1\ell_1 = 1$ ; सममिति से $w_2 = 1$ । यथार्थता: $\int 1 = 2 = 1 + 1$ ; $\int t = 0 = -\frac1{\sqrt3} + \frac1{\sqrt3}$ ; $\int t^2 = \frac23 = \frac13 + \frac13$ ; $\int t^3 = 0$ । दो-बिंदु समलंब नियम (गाँठें $\pm1$ , भार $1, 1$ ) केवल घात $1$ तक यथार्थ है: $t^2$ पर वह $\frac23$ के बजाय $2$ लौटाता है। वही लागत, और यथार्थता की दो अतिरिक्त कोटियाँ: यही लांबिक गाँठों का प्रतिफल है।

12. $\cos(n{+}1)\theta + \cos(n{-}1)\theta = 2\cos\theta\cos n\theta$ से: $T_0 = 1$ , $T_1 = t$ के साथ $T_{n+1} = 2tT_n - T_{n-1}$ ; और आगमन घात $n$ तथा अग्र गुणांक $2^{n-1}$ ( $n \geq 1$ ) वाले बहुपद दे देता है। $t = \cos\theta$ प्रतिस्थापित करने पर ( $w(t)\dd t \mapsto \dd\theta$ ): $m \neq n$ के लिए $\langle T_m, T_n\rangle_w = \int_0^\pi\cos m\theta\cos n\theta\,\dd\theta = 0$ , $m = n = 0$ के लिए $= \pi$ , और अन्यथा $= \frac\pi2$ (गुणनफल-से-योग)। घातें और युग्मशः लांबिकता $T_n$ की पहचान अदिशों तक ग्राम–श्मिट के निर्गम से कर देती हैं; और $f$ का कोई चेबिशेव प्रसार ठीक $\theta \mapsto f(\cos\theta)$ की फूरिये कोज्या श्रेणी है।

13. $T_n(t) = 0$ तभी और केवल तभी जब $\cos n\theta = 0$ , और तभी जब $\theta = \frac{(2k-1)\pi}{2n}$ : अतः $n$ भिन्न मूल $t_k = \cos\frac{(2k-1)\pi}{2n} \in \intoo{-1}1$ । चरम: $\intcc{-1}1$ पर $\abs{T_n} \leq 1$ , जिसमें $n + 1$ बिंदुओं $s_j = \cos\frac{j\pi}n$ पर $T_n(s_j) = (-1)^j$ : अर्थात् पूर्ण सम-दोलन।

14. $2^{1-n}T_n$ उच्चतम-मानक $2^{1-n}$ के साथ मोनिक है। यदि घात $n$ के किसी मोनिक $P$ के लिए $\sup\abs P < 2^{1-n}$ होता, तो अंतर $D = 2^{1-n}T_n - P$ की घात $\leq n - 1$ होती (अग्र पद निरस्त हो जाते हैं) फिर भी वह $s_0 > \dots > s_n$ पर चिह्न बदलता (वहाँ $2^{1-n}T_n = \pm2^{1-n}$ $P$ पर हावी है): अतः कम से कम $n$ शून्य — $D \equiv 0$ , विरोधाभास। बराबरी पर अद्वितीयता के लिए वही $D$ $(-1)^jD(s_j) \geq 0$ संतुष्ट करता है; और घात $\leq n-1$ का कोई शून्येतर बहुपद $n$ मूलों को ठीक से गिने बिना $n$ दुर्बल रूप से एकांतर चरम प्रतिबंध नहीं रख सकता (यदि किसी आंतरिक $s_j$ के लिए $D(s_j) = 0$ हो, तो वह शून्य गणना में द्विक है, क्योंकि $D$ स्थानीय रूप से एक चिह्न रखता है): अतः फिर से $D \equiv 0$ ।

15. लाग्राँज त्रुटि सूत्र (रोल, दूसरा वर्ष) $f - L_nf = \frac{f^{(n)}(\xi_t)}{n!}\,\omega(t)$ देता है, अतः एकसमान त्रुटि अधिक से अधिक $\frac{\norm{f^{(n)}}_\infty} {n!}\,\sup\abs\omega$ है, और $\omega$ घात $n$ का मोनिक है: अतः प्रश्न 14 से $\sup_{\intcc{-1}1}\abs\omega \geq 2^{1-n}$ , जिसमें बराबरी तभी और केवल तभी जब गाँठें चेबिशेव मूल हों। अतः अनुकूलतम परिबंध $\norm{f - L_nf}_\infty \leq \frac{\norm{f^{(n)}}_\infty}{2^{n-1}n!}$ । समान अंतर वाली गाँठों के साथ $\sup\abs\omega$ सिरों के निकट चरघातांकी रूप से बड़ा होता है, और $\frac1{1 + 25t^2}$ जैसे फलन का अंतर्वेशन भी वहाँ $n \to \infty$ की भाँति अपसारित होता है (रुंगे की परिघटना); चेबिशेव गाँठें ही उसका उपचार हैं।

16. $T_n(\cos\theta) = \cos n\theta$ का अवकलन: $T_n'(\cos\theta) = \frac{n\sin n\theta} {\sin\theta}$ , जो $\theta \to 0$ पर $n^2$ और $\theta \to \pi$ पर $(-1)^{n+1}n^2$ की ओर जाता है: $\abs{T_n'(\pm1)} = n^2$ । आंतरिक बिंदुओं पर $\abs{T_n'(t)} \leq \frac{n}{\sqrt{1 - t^2}} = O(n)$ : अर्थात् द्विघातीय विस्फोट केवल किनारों पर रहता है (बर्नस्टाइन का आंतरिक परिबंध बनाम मार्कोव का वैश्विक परिबंध)।

17. मान लीजिए $\theta_k = \frac{(2k-1)\pi}{2n}$ और $1 \leq j \leq n-1$ के लिए $S_j = \sum_{k=1}^n\cos(j\theta_k)$ । तब

S_j = \operatorname{Re}\Bigl[\eu^{\iu j\pi/2n} \sum_{k=0}^{n-1}\eu^{\iu jk\pi/n}\Bigr] = \operatorname{Re}\Bigl[\eu^{\iu j\pi/2n}\, \frac{\eu^{\iu j\pi} - 1}{\eu^{\iu j\pi/n} - 1}\Bigr] .

सम $j$ के लिए अंश लुप्त हो जाता है: $S_j = 0$ । विषम $j$ के लिए अंश $-2$ है, और $\eu^{\iu j\pi/n} - 1 = \eu^{\iu j\pi/2n}\cdot2\iu\sin\frac{j\pi}{2n}$ , अतः पूरा व्यंजक $\frac{-2}{2\iu\sin(j\pi/2n)} = \frac{\iu}{\sin(j\pi/2n)}$ है: विशुद्धतः काल्पनिक, फिर से $S_j = 0$ । अतः समान-भार नियम $\frac\pi n\sum_kf(t_k)$ $T_0$ ( $\sum w_i = \pi = \int w$ ) का समाकलन करता है और $T_1, \dots, T_{n-1}$ को ठीक वैसे ही मारता है जैसे $\int T_jw = 0$ करता है: इसलिए वह घात $n - 1$ तक यथार्थ है। दी गई गाँठों पर घात $n-1$ तक यथार्थ भार अद्वितीय होते हैं (लाग्राँज आधार): अतः गाउस भार सभी $\frac\pi n$ हैं। $n = 3$ के लिए: गाँठें $\pm\frac{\sqrt3}2, 0$ और

\int_{-1}^1\frac{f(t)}{\sqrt{1 - t^2}}\,\dd t \approx \frac\pi3\Bigl[f\Bigl(\tfrac{\sqrt3}2\Bigr) + f(0) + f\Bigl(-\tfrac{\sqrt3}2\Bigr)\Bigr],

जो घात $5$ तक यथार्थ है।

18. घात $n$ के मोनिक $P$ के लिए: $r \in \R_{n-1}[t]$ के साथ $P = p_n + r$ , और $p_n \perp \R_{n-1}[t]$ (प्रश्न 1), अतः $\norm P^2 = \norm{p_n}^2 + \norm r^2 \geq \norm{p_n}^2$ , जिसमें बराबरी तभी और केवल तभी जब $r = 0$ : अर्थात् $p_n$ $t^n$ का $\R_{n-1}[t]^\perp$ पर लांबिक प्रक्षेप शेष है, यानी वह मोनिक बहुपद जो उस उपसमष्टि के सबसे निकट है जिससे उसे बचना है। चेबिशेव का $2^{1-n}T_n$ उच्चतम-मानक के लिए वही प्रश्न उत्तरित करता है: शून्य से न्यूनतम विचलन, एक बार $L^2(w)$ में और एक बार $L^\infty$ में।

19. $K_n(x, y) = \sum_{k=0}^n\frac{p_k(x)p_k(y)}{h_k}$ लिखिए। आधार $n = 0$ : $(x - y)\frac1{h_0} = \frac{p_1(x)\cdot1 - 1\cdot p_1(y)}{h_0}$ , क्योंकि $p_1 = t - a_0$ । चरण: $n - 1$ के लिए सर्वसमिका मानकर

(x - y)\,K_n(x,y) = \frac{p_n(x)p_{n-1}(y) - p_{n-1}(x)p_n(y)}{h_{n-1}} + \frac{(x - y)\,p_n(x)p_n(y)}{h_n} ;

दूसरे पद में $x\,p_n(x) = p_{n+1}(x) + a_np_n(x) + b_np_{n-1}(x)$ और $y\,p_n(y) = p_{n+1}(y) + a_np_n(y) + b_np_{n-1}(y)$ प्रतिस्थापित कीजिए: $a_n$ योगदान निरस्त हो जाते हैं, और $b_n = \frac{h_n}{h_{n-1}}$ योगदान आगमन पद को निरस्त कर देते हैं; जो बचता है वह $\frac{p_{n+1}(x)p_n(y) - p_n(x)p_{n+1}(y)}{h_n}$ है। संगामी रूप $y \to x$ लेने से निकलता है (दोनों पक्ष $y$ में बहुपद हैं)।

20. संगामी रूप सर्वत्र $p_{n+1}'p_n - p_n'p_{n+1} = h_n\sum_{k\leq n}\frac{p_k^2}{h_k} \geq \frac{h_n}{h_0} > 0$ देता है। $p_{n+1}$ के किसी मूल $x_0$ पर: $p_{n+1}'(x_0)\,p_n(x_0) > 0$ , अतः $p_n(x_0) \neq 0$ (कोई उभयनिष्ठ मूल नहीं)। $p_{n+1}$ के क्रमागत मूलों $x_0 < x_1$ के बीच (सभी सरल, भाग I) $p_{n+1}'$ के विपरीत चिह्न होते हैं, अतः $p_n$ के भी: इसलिए $p_n$ का कोई मूल $n$ रिक्तियों में से प्रत्येक में होता है — और इससे उसके $n$ मूल समाप्त हो जाते हैं: यही अंतर्ग्रथन है।

21. $D_n(t) = \det(tI_n - J_n)$ का अंतिम पंक्ति के अनुदिश प्रसार करने पर: $D_0 = 1$ , $D_1 = t - a_0$ के साथ $D_n = (t - a_{n-1})D_{n-1} - b_{n-1}D_{n-2}$ : अर्थात् मोनिक $p_n$ का पुनरावर्तन और बीज, अतः $D_n = p_n$ । $p_n$ के मूल = सममित $J_n$ के अभिलक्षणिक मान: वास्तविक, और प्रश्न 19 से सरल — गाउस संख्यात्मक समाकलन वेश बदले हुए किसी त्रिविकर्णी आव्यूह का स्पेक्ट्रमी सिद्धांत है, अर्थात् अध्याय 15 की परिमित-विमीय छाया।

22. शब्दकोश:

	लजांद्र	एर्मीत	चेबिशेव
अंतराल	$\intcc{-1}1$	$\R$	$\intcc{-1}1$
भार	$1$	$\eu^{-t^2}$	$(1-t^2)^{-1/2}$
सूत्र	रोद्रीग	$(-1)^n\eu^{t^2} \frac{\dd^n}{\dd t^n}\eu^{-t^2}$	$\cos(n\arccos t)$
मानक $^2$	$\frac2{2n+1}$	$2^nn!\sqrt\pi$	$\pi, \frac\pi2$
निवास	संख्यात्मक समाकलन	गाउसीय विश्लेषण	न्यूनतम-उच्चतम

(प्रत्येक अपने त्रिपद पुनरावर्तन के साथ: लजांद्र के लिए व्यापक रूप, $H_{n+1} = 2tH_n - 2nH_{n-1}$ , $T_{n+1} = 2tT_n - T_{n-1}$ )। व्यापक सिद्धांत ने वह दिया जो कोई एक कुल नहीं दिखाता: मूलों की वास्तविकता और अंतर्ग्रथन, संख्यात्मक समाकलन भारों की धनात्मकता, और स्वयं पुनरावर्तन तथा क्रिस्टोफेल–दारबू का अस्तित्व — ये सब अकेली लांबिकता के परिणाम हैं, भार में एकसमान।

23. अस्तित्व: रैखिक प्रतिचित्रण $\R_{2n-1}[t] \to \R^{2n}$ , $P \mapsto (P(t_1), P'(t_1), \dots, P(t_n), P'(t_n))$ , एकैकी है (अष्टि के किसी $P$ के $n$ द्विक मूल और घात $\leq 2n - 1$ होगी, अतः $P = 0$ ) और वह समान विमा $2n$ की समष्टियों के बीच है: अतः एकैकी-आच्छादक। बिंदुशः त्रुटि: कोई अगाँठ $t$ स्थिर कीजिए और $K$ ऐसा चुनिए कि $g(s) = f(s) - Hf(s) - K\,p_n(s)^2$ $s = t$ पर लुप्त हो। तब $g$ $n + 1$ भिन्न बिंदुओं $t, t_1, \dots, t_n$ पर लुप्त होता है, और $g'$ भी प्रत्येक $t_i$ पर लुप्त होता है ( $f - Hf$ और $p_n^2$ दोनों के वहाँ द्विक शून्य हैं)। रोल $g$ के क्रमागत शून्यों के बीच कड़ाई से $g'$ के $n$ शून्य देते हैं — जो गाँठों से भिन्न हैं — अतः $g'$ के $2n$ भिन्न शून्य हैं; और रोल को $2n - 1$ बार और लगाने पर $g^{(2n)}(\xi_t) = 0$ वाला $\xi_t$ मिल जाता है। चूँकि $\deg Hf \leq 2n - 1$ और $p_n^2$ घात $2n$ का मोनिक है, अतः $g^{(2n)} = f^{(2n)} - K\,(2n)!$ , जिससे $K = f^{(2n)}(\xi_t)/(2n)!$ — और गाँठों पर यह सर्वसमिका तुच्छ है। समाकलन: $Q_n(f) = Q_n(Hf)$ ( $Hf$ गाँठों पर $f$ से मेल खाता है) और घात $2n - 1$ तक यथार्थता (प्रश्न 9) से $Q_n(Hf) = \int Hf\,w$ , अतः संख्यात्मक समाकलन त्रुटि $\int(f - Hf)\,w$ है। $I$ पर $f^{(2n)}$ के चरम $m, M$ के साथ बिंदुशः सर्वसमिका

\frac{m\,h_n}{(2n)!} \;\leq\; \int_I(f - Hf)\,w \;\leq\; \frac{M\,h_n}{(2n)!} ,

को दबा देती है, और संतत $f^{(2n)}$ पर लगाई गई मध्यवर्ती मान प्रमेय $\xi$ दे देती है। ( $n = 2$ के साथ लजांद्र के लिए: $h_2 = \int_{-1}^1(t^2 - \frac13)^2\dd t = \frac8{45}$ , अतः त्रुटि $f^{(4)}(\xi)/135$ है।)

24. अष्टि $\R_{n-1}[t]$ का पुनरुत्पादन करती है: $q = \sum_k\frac{\langle p_k, q\rangle}{h_k}p_k$ का प्रसार घात $\leq n - 1$ के प्रत्येक $q$ के लिए $\int_I K_n(t_i, t)\,q(t)\,w(t)\dd t = q(t_i)$ दे देता है। $q = \ell_i$ लीजिए: बायाँ पक्ष $\ell_i(t_i) = 1$ के बराबर है। पर $t \mapsto K_n(t_i, t)\,\ell_i(t)$ घात $\leq (n - 1) + (n - 1) = 2n - 2$ का कोई बहुपद है, जिस पर $Q_n$ यथार्थ है (प्रश्न 9), और वह प्रत्येक गाँठ $t_j \neq t_i$ पर लुप्त हो जाता है (गुणक $\ell_i$ ), अतः

1 = \int_I K_n(t_i, t)\,\ell_i(t)\,w(t)\dd t = w_i\,K_n(t_i, t_i) = w_i\sum_{k=0}^{n-1}\frac{p_k(t_i)^2}{h_k} .

योग $> 0$ है (उसका $k = 0$ पद $1/h_0 > 0$ है): अर्थात् कहा गया सूत्र, और फिर से धनात्मकता। जाँच ( $n = 2$ , लजांद्र): $p_0 = 1$ , $h_0 = 2$ , $p_1 = t$ , $h_1 = \frac23$ ; और $t_i = \pm\frac1{\sqrt3}$ पर

K_2(t_i, t_i) = \frac12 + \frac{1/3}{2/3} = 1, \qquad w_i = 1,

जैसा प्रश्न 11 में मिला था।

25. $t = \cos\theta$ प्रतिस्थापित करने पर समाकल $\int_0^\pi\cos^6\theta\,\dd\theta = \pi\,\frac{5\cdot3\cdot1}{6\cdot4\cdot2} = \frac{5\pi}{16}$ है (वालिस, अभ्यास 11.8)। $n = 3$ चेबिशेव–गाउस नियम (प्रश्न 17) की गाँठें $\cos\frac\pi6 = \frac{\sqrt3}2$ , $\cos\frac\pi2 = 0$ , $\cos\frac{5\pi}6 = -\frac{\sqrt3}2$ और समान भार $\frac\pi3$ हैं:

Q_3(t^6) = \frac\pi3\Bigl(2\cdot\Bigl(\frac{\sqrt3}2 \Bigr)^{6}\Bigr) = \frac\pi3\cdot\frac{54}{64} = \frac{9\pi}{32}, \qquad \frac{5\pi}{16} - \frac{9\pi}{32} = \frac\pi{32} .

भविष्यवाणी: घात- $3$ का मोनिक लांबिक बहुपद $2^{-2}T_3 = t^3 - \frac34t$ है, जिसमें $h_3 = \frac1{16}\norm{T_3}_w^2 = \frac1{16}\cdot\frac\pi2 = \frac\pi{32}$ ; और $f = t^6$ का अचर $f^{(6)} = 720 = 6!$ है, अतः प्रश्न 23 त्रुटि $\frac{6!}{6!}\,h_3 = \frac\pi{32}$ देता है — और $\xi$ पर कोई निर्भरता न बचने से सूत्र को यथार्थ होना ही पड़ता है, और वह है।