15संहत संकारक और स्पेक्ट्रमी प्रमेय

हल — अभ्यास 15.1.

(क) $T(B)$ परिमित-विमीय $\operatorname{im}T$ का कोई परिबद्ध उपसमुच्चय है: अतः हाइने–बोरेल (उपप्रमेय 6.17, $\R^n$ के साथ किसी रैखिक समस्थितिकता से अंतरित) से सापेक्षतः संहत। (ख) $I$ का संहत होना यह कहता है कि संवृत इकाई गोला संहत है, जो रीस की प्रमेय (दूसरा वर्ष) से ठीक परिमित विमा में होता है। यदि किसी संहत $T$ का परिबद्ध प्रतिलोम $T^{-1}$ होता, तो $I = T^{-1}T$ संहत होता (प्रतिज्ञप्ति 15.2): जो अनंत विमा में असंभव है।

हल — अभ्यास 15.2.

(क) $\norm{Tx}^2 = \sum\abs{\lambda_n}^2\abs{x_n}^2 \leq \sup\abs{\lambda_n}^2\norm x^2$, जिसमें उच्चतम को साकार करने वाले $e_n$ पर निकट-बराबरी। (ख) ($\Leftarrow$) कर्तन $T_N$ ($n \leq N$ रखिए, आगे शून्य) परिमित कोटि के हैं और $\vertiii{T - T_N} = \sup_{n>N}\abs{\lambda_n} \to 0$: अतः प्रतिज्ञप्ति 15.2 से संहत। ($\Rightarrow$) यदि किसी उपानुक्रम के अनुदिश $\abs{\lambda_{n_k}} \geq \delta > 0$ हो: $\norm{Te_{n_k} - Te_{n_l}}^2 = \abs{\lambda_{n_k}}^2 + \abs{\lambda_{n_l}}^2 \geq 2\delta^2$: अतः $(Te_{n_k})$ का कोई अभिसारी उपानुक्रम नहीं। (ग) $(\bar\lambda_n)$ के साथ विकर्ण $T^* ={}$: स्वसंलग्न तभी और केवल तभी जब सभी $\lambda_n \in \R$। तब मानक आधार $(e_n)$ अभिलक्षणिक सदिशों का कोई लांबिक-प्रसामान्य आधार है, जिसके अभिलक्षणिक मान $\lambda_n \to 0$ हैं: अर्थात् स्पेक्ट्रमी प्रमेय अक्षरशः।

हल — अभ्यास 15.3.

मान लीजिए $(x_n)$ परिबद्ध है। तब $(Bx_n)$ परिबद्ध है ($\vertiii B < \infty$); $S$ की संहतता $SBx_{n_k} \to y$ निकाल लेती है; और $A$ की सांतत्य $ASBx_{n_k} \to Ay$ दे देती है: अतः $ASB$ संहत है। यदि संहत $T$ और $\dim H = \infty$ के साथ $ST = TS = I$ हो: तो $I = ST$ संहत होता, जो अभ्यास 15.1(ख) का खंडन करता है — और वह वही कथन है, दूसरी ओर से देखा गया।

हल — अभ्यास 15.4.

(क) $y$ में कोशी–श्वार्ज़ से: $\abs{T_kf(x)}^2 \leq \bigl(\int\abs{k(x,y)}^2\dd y\bigr)\norm f_2^2$; $x$ में समाकलन कीजिए (टोनेली): $\norm{T_kf}_2 \leq \norm k_{L^2(\square)} \norm f_2$।

(ख) कुल $e_{mn}(x,y) = e_m(x)\overline{e_n(y)}$ $L^2(\intcc01^2)$ में लांबिक-प्रसामान्य है (टोनेली द्विक समाकल को अलग कर देती है)। पूर्ण: यदि सभी $e_{mn}$ के लिए $h \perp$ हो, तो प्रत्येक $m$ के लिए फलन $y \mapsto \int h(x,y)\overline{e_m(x)}\dd x$ (कोशी–श्वार्ज़ और टोनेली से $L^2$ में) प्रत्येक $\overline{e_n}$ पर लांबिक है — और जब भी $(e_n)$ कोई हिल्बर्ट आधार हो तब संयुग्म $(\overline{e_n})$ भी होते हैं (संयुग्मन $L^2$ का कोई समदूरीय एकैकी आच्छादन है जो लांबिकता और पूर्णता को सुरक्षित रखता है) — अतः वह लगभग सर्वत्र $0$ है; तब लगभग प्रत्येक $y$ के लिए प्रत्येक $e_m$ के सापेक्ष $h(\cdot, y) \perp$: लगभग सर्वत्र $h(\cdot, y) = 0$: अतः $h = 0$ (टोनेली)। इसलिए $(e_{mn})$ कोई हिल्बर्ट आधार है; $k = \sum c_{mn}e_{mn}$ का प्रसार कीजिए। कर्तन $k_N$ (सूचकांक $\leq N$) परिमित कोटि का $T_{k_N}$ देता है (परास $\operatorname{Vect}(e_1, \dots, e_N)$ में), और (क) से

अतः $T_k$ परिमित-कोटि संकारकों की कोई मानक-सीमा है: संहत (प्रतिज्ञप्ति 15.2)।

हल — अभ्यास 15.5.

(क) किसी अभिलक्षणिक सदिश पर $\lambda\norm x^2 = \langle x, Tx\rangle \geq 0$। सूत्र सभी मान $\langle x, Tx\rangle \geq 0$ के साथ प्रतिज्ञप्ति 15.5 है: अतः निरपेक्ष मान अनावश्यक है। (ख) $(x, y) \mapsto \langle x, Ty\rangle$ कोई एर्मीती धनात्मक (संभवतः अपह्रासी) अर्ध-द्विरैखिक रूप है; और कोशी–श्वार्ज़ की सामान्य उपपत्ति ($\langle x + t\eu^{\iu\theta}y, T(x + t\eu^{\iu\theta}y)\rangle \geq 0$ का प्रसार कीजिए और विविक्तकर लीजिए) निश्चितता का उपयोग कभी नहीं करती।

हल — अभ्यास 15.6.

(क) $\norm{Mf}_2 \leq \norm f_2$, और $f_n = \sqrt n\, \mathbf 1_{\intcc{1 - 1/n}1}$ (इकाई सदिश) पर $\norm{Mf_n}_2 \geq 1 - \frac1n$: $\vertiii M = 1$; और स्वसंलग्न, क्योंकि गुणक वास्तविक है। अभिलक्षणिक मान: लगभग सर्वत्र $xf(x) = \lambda f(x)$ से अकिंचन समुच्चय $\{x = \lambda\}$ के बाहर लगभग सर्वत्र $f = 0$ अनिवार्य हो जाता है: $L^2$ में $f = 0$। (ख) उन्हीं $f_n$ के साथ: $\norm{Mf_n - f_n}_2 \leq \frac1n \to 0$, जबकि $f_n \rightharpoonup 0$ (स्थिर $g \in L^2$ के लिए प्रभावी अभिसरण प्रमेय से $\abs{\langle g, f_n\rangle} \leq \norm{g\,\mathbf 1_{\intcc{1-1/n}1}}_2 \to 0$)। यदि मानक में $Mf_{n_k} \to h$ हो, तो $f_{n_k} \to h$, जिससे $h = 0$ अनिवार्य हो जाता है (दुर्बल सीमा) फिर भी $\norm h = 1$: अतः कोई अभिसारी उपानुक्रम नहीं। (ग) प्रमेयिका 15.6 में ठीक “$Tx_{n_k} \to y$” वाला निष्कर्षण ही संहतता का उपयोग करता है; और $M$ के लिए अधिकतमकारी अनुक्रम $x = 1$ के निकट संकेंद्रित हो जाते हैं और उनके प्रतिबिंब $0$ पर दुर्बल रूप से अभिसरित होते हैं, मानक में कभी नहीं: संख्यात्मक परास के शिखर पर अभिलक्षणिक सदिश बस विद्यमान ही नहीं होता।

हल — अभ्यास 15.7.

(क) $k(x, y) = \mathbf 1_{y < x} \in L^2(\intcc01^2)$ के साथ $V = T_k$: अतः संहत (अभ्यास 15.4)। उसका संलग्न अष्टि $\overline{k(y, x)} = \mathbf 1_{y > x}$ वाला अष्टि संकारक है: $V^*f(x) = \int_x^1f$; $V \neq V^*$ ($f = \mathbf 1$ पर परीक्षा लीजिए)। (ख) यदि $Vf = \lambda f$, $\lambda \ne 0$ हो: तो $Vf$ $\intcc01$ पर संतत है ($\int_0^x f$ में प्रभावी अभिसरण), अतः $f = \frac1\lambda Vf$ का कोई संतत प्रतिनिधि है; तब $Vf$ $\mathcal C^1$ है (संतत समाकल्यों के लिए कलन की मूल प्रमेय), अतः $f$ $\mathcal C^1$ है, और $f(0) = \frac1\lambda Vf(0) = 0$ के साथ $\lambda f' = f$: $C = f(0) = 0$ के साथ $f = C\eu^{x/\lambda}$। (ग) $V$ संहत है और संभवतः $0$ को छोड़कर उसका कोई भी अभिलक्षणिक मान नहीं है ($Vf = 0$ समाकल का अवकलन करने पर लगभग सर्वत्र $f = 0$ अनिवार्य कर देता है — अतः $0$ भी नहीं): स्पेक्ट्रमी मशीनरी को सचमुच स्वसंलग्नता चाहिए, केवल संहतता नहीं।

हल — अभ्यास 15.8.

$x = \sum_ic_ie_i + z$, $z \in \ker T$ लिखिए, अतः $\langle x, Tx\rangle = \sum_i\mu_i\abs{c_i}^2$। निचला परिबंध: $V_k = \operatorname{Vect}(e_1, \dots, e_k)$ के इकाई गोलक पर $\langle x, Tx\rangle = \sum_{i\leq k}\mu_i\abs{c_i}^2 \geq \mu_k$: अतः $V$ पर निम्निष्ठ का उच्चिष्ठ $\geq \mu_k$ है। ऊपरी परिबंध: मान लीजिए $\dim V = k$ और $W_k = \overline{\operatorname{Vect}}(e_k, e_{k+1}, \dots) + \ker T$, जिसकी सह-विमा $k - 1$ है (उसका लांबिक पूरक $V_{k-1}$ है); $V \cap W_k \neq \{0\}$ (कोटि $\leq k - 1$ के किसी रैखिक प्रतिचित्रण $V \to H/W_k \cong V_{k-1}$ की अष्टि अतुच्छ होती है), और किसी इकाई $x \in V\cap W_k$ के लिए $\langle x, Tx\rangle = \sum_{i \geq k}\mu_i\abs{c_i}^2 \leq \mu_k$: अतः $V$ पर निम्निष्ठ $\leq \mu_k$ है। मिलाकर: पहला सूत्र; और दूसरा सममित रूप से सिद्ध होता है ($W = W_k$ पर परीक्षा लीजिए; सह-विमा $k-1$ वाले स्वेच्छ $W$ के लिए $W \cap V_k \neq 0$ $\langle x, Tx\rangle \geq \mu_k$ वाला कोई इकाई सदिश दे देता है)। एकदिष्टता: बिंदुशः $\langle x, Tx\rangle \leq \langle x, Sx\rangle$ $\max\min$ के माध्यम से अंतरित हो जाता है।

हल — अभ्यास 15.9.

$f - \lambda Tf = g$ फिर से लिखिए। $\lambda = 0$ के लिए: $f = g$, जो सदैव अद्वितीय रूप से हल-योग्य है। $\lambda \neq 0$ के लिए: यह $(T - \frac1\lambda)f = -\frac g\lambda$ है, और $T$ (उदाहरण 15.9) के अभिलक्षणिक मानों $\lambda_n = \bigl((n + \frac12)\pi\bigr)^{-2}$ के साथ फ्रेडहोम विकल्प (प्रमेय 15.8) से: सभी $g$ के लिए अद्वितीय हल-योग्यता तभी और केवल तभी जब प्रत्येक $n$ के लिए $\frac1\lambda \neq \lambda_n$, अर्थात्

किसी अपवादिक $\lambda = (n+\frac12)^2\pi^2$ पर: हल विद्यमान हैं तभी और केवल तभी जब $g \perp \sin\bigl((n{+}\frac12)\pi x\bigr)$, और तब वे उस ज्या के गुणज जोड़ने तक अद्वितीय हैं।

हल — अभ्यास 15.10.

(क) $Sx = \lambda x$: निर्देशांकों की तुलना करने पर $0 = \lambda x_1$ और $x_n = \lambda x_{n+1}$; यदि $\lambda \ne 0$ हो तो $x_1 = 0$ और आगमन से $x = 0$; और यदि $\lambda = 0$ हो, तो $Sx = 0$ $x = 0$ अनिवार्य कर देता है ($S$ समदूरीय)। अतः कोई अभिलक्षणिक मान नहीं। $S^*x = \lambda x$ $x_{n+1} = \lambda x_n$ के रूप में पढ़ा जाता है: $x = x_1(1, \lambda, \lambda^2, \dots)$, जो $\ell^2$ में ठीक तब है जब $\abs\lambda < 1$: अर्थात् अभिलक्षणिक मानों की एक पूरी विवृत चक्र। (ख) $\norm{Se_n - Se_m} = \norm{e_{n+1} - e_{m+1}} = \sqrt2$: परिबद्ध $(e_n)$ के प्रतिबिंब का कोई कोशी उपानुक्रम नहीं; और इसी प्रकार $S^*e_{n+1} = e_n$। दोनों में से कोई संहत नहीं है। (ग) संहत स्वसंलग्न संकारकों के लिए अभिलक्षणिक मान सब कुछ पकड़ लेते हैं (प्रमेय 15.7); पर दोनों में से कोई भी परिकल्पना हटाने पर अभिलक्षणिक मान पूरी तरह लुप्त हो सकते हैं ($S$, वोल्तेरा) या कोई चक्र भर सकते हैं ($S^*$): सुदृढ़ वस्तु स्पेक्ट्रम $\{\lambda : T - \lambda I \text{ व्युत्क्रमणीय नहीं}\}$ है, जिसका सिद्धांत किसी बाद के पाठ्यक्रम का विषय है।

हल — अभ्यास 15.11.

(क) $S$ गुणांकों $\sqrt{\mu_n} \to 0$ वाला विकर्ण संकारक है: अतः संहत (अभ्यास 15.2(ख), $\ker T$ से पूरित आधार $(e_n)$ पर अंतरित, जहाँ $S = 0$), स्वसंलग्न (वास्तविक विकर्ण), धनात्मक ($\langle x, Sx\rangle = \sum\sqrt{\mu_n}\abs{\langle e_n, x\rangle}^2$), और पदशः $S^2 = T$।

(ख) $R$ $T = R^2$ के साथ क्रमविनिमेय है; और अभिलक्षणिक मान $\mu$ वाले $T$ के किसी अभिलक्षणिक सदिश $x$ के लिए $T(Rx) = RTx = \mu Rx$, अतः परिमित-विमीय अभिलक्षणिक समष्टि $E_\mu = \ker(T - \mu)$ $R$-स्थायी है। $E_\mu$ पर $R$ $R^2 = \mu\,\mathrm{id}$ के साथ सममित धनात्मक है: उसके अभिलक्षणिक मान $\rho$ $\rho^2 = \mu$, $\rho \geq 0$ संतुष्ट करते हैं: अतः सभी $\sqrt\mu$ के बराबर, और एक ही अभिलक्षणिक मान वाला कोई विकर्णीय संकारक अदिश होता है: $E_\mu$ पर $R = \sqrt\mu\,\mathrm{id}$। $\ker T$ पर: $\norm {Rx}^2 = \langle x, R^2x\rangle = \langle x, Tx\rangle = 0$। अतः $R$ $\ker T$ पर और प्रत्येक अभिलक्षणिक समष्टि पर $S$ से सहमत है, जिनका संवृत विस्तार $H$ है (स्पेक्ट्रमी प्रमेय): $R = S$।

(ग) $\sqrt G$ $e_n = \sqrt2\sin(n\pi x)$ पर $\frac1{n\pi}$ की भाँति क्रिया करता है: वह

अष्टि वाला अष्टि संकारक है, जिसकी श्रेणी $L^2(\intcc01^2)$ में अभिसरित होती है (गुणांक $\frac1{n\pi} \in \ell^2$; आंशिक-योग अष्टियाँ परिमित-कोटि आसन्नन दे देती हैं)। किसी प्रारंभिक संवृत रूप की आवश्यकता नहीं: स्पेक्ट्रमी पक्ष ही वह संकारक है।

हल — अभ्यास 15.12.

(क) $T^*T$ संहत (किसी परिबद्ध और किसी संहत संकारक का गुणनफल, अभ्यास 15.3), स्वसंलग्न ($(T^*T)^* = T^*T$) और धनात्मक ($\langle x, T^*Tx\rangle = \norm{Tx}^2$) है। अष्टि: $T^*Tx = 0 \Rightarrow \norm{Tx}^2 = \langle x, T^*Tx\rangle = 0 \Rightarrow Tx = 0$, और विलोमतः $\ker T^*T = \ker T$। स्पेक्ट्रमी प्रमेय $T^*Te_n = s_n^2e_n$, $s_n > 0$ वाले लांबिक-प्रसामान्य $(e_n)$ दे देती है, जो $(\ker T)^\perp$ को फैलाते हैं।