संतत प्रतिचित्रण क्या है?

उदाहरण 6.11

भागफल $\R/\Z$ ($x$ और $x + n$ की पहचान कीजिए) वृत्त $S^1 = \{z \in \C : \abs z = 1\}$ के समस्थितिक है: प्रतिचित्रण $x \mapsto \eu^{2\iu\pi x}$ एक संतत एकैकी आच्छादक प्रतिचित्रण $\R/\Z \to S^1$ तक जाता है (प्रतिज्ञप्ति 6.10(ख)); और उसका प्रतिलोम नीचे उपप्रमेय 6.14 के संहतता तर्क से संतत है (अभ्यास 6.5 सब कुछ विस्तार से देता है, यह भी कि $\R/\Z$ हाउसडॉर्फ और संहत क्यों है)। इसी प्रकार सिरे जोड़ने पर $[0,1]$ $S^1$ बन जाता है, सम्मुख भुजाएँ जोड़ने पर वर्ग टोरस बन जाता है, और जोड़ना अंततः एक प्रमेय बन जाता है, चित्र नहीं।

उदाहरण 6.22 (संस्थितिविद् का ज्या वक्र)

मान लीजिए $\Gamma = \{(x, \sin\frac1x) : 0 < x \leq 1\}$ और $S = \bar\Gamma = \Gamma \cup (\{0\}\times[-1,1])$ (प्रत्येक बिंदु $(0, y)$, $\abs y \leq 1$, $\Gamma$ के बिंदुओं की सीमा है: $0$ के निकट $\sin\frac1x = y$ हल कीजिए)। तब $S$ संबद्ध है — यह संबद्ध $\Gamma$ की संवृति है, जो $(0, 1]$ का संतत प्रतिबिंब है (प्रमेय 6.20(3)) — पर पथ-संबद्ध नहीं: $(1, \sin 1)$ से $(0,0)$ तक कोई पथ $\to 0$ भुजाक्षों को पार करता, जबकि कोटि $\pm1$ के बीच दोलन करती रहती है; अभ्यास 6.9 इसे कठोर रूप दे देता है। संबद्धता और पथ-संबद्धता वास्तव में भिन्न हैं।