समुच्चय पर संक्रियाएँ क्या है? — गणित

परिभाषा 1.16 विश्वविद्यालय गणित — स्नातक वर्ष 1 · 第 1 章 — तर्क, समुच्चय और प्रतिचित्रण

हम समुच्चय की धारणा और सदस्यता संबंध $x \in E$ को मूलभूत मान लेते हैं। किसी परिवेशी समुच्चय $E$ के भीतर समुच्चयों $A, B$ के लिए:

अंतर्विष्टि: $A \subseteq B$ तब जब $\forall x,\ x \in A \implies x \in B$ ; समता $A = B$ तब जब $A \subseteq B$ और $B \subseteq A$ ;
सम्मिलन $A \cup B$ , प्रतिच्छेदन $A \cap B$ , अंतर $A \setminus B = \{x \in A : x \notin B\}$ , पूरक $\overline{A} = E \setminus A$ ;
रिक्त समुच्चय $\emptyset$ , जो प्रत्येक समुच्चय में अंतर्विष्ट है;
घात समुच्चय $\mathcal{P}(E)$ : $E$ के सभी उपसमुच्चयों का समुच्चय;
कार्तीय गुणन $E \times F$ : क्रमित युग्मों $(x, y)$ का समुच्चय, जहाँ $x \in E$ , $y \in F$ ।

示例

उदाहरण 1.17 (घात समुच्चय से परिचय)

$E = \{a, b\}$ के लिए:

\mathcal P(E) = \bigl\{\, \emptyset,\ \{a\},\ \{b\},\ \{a, b\} \,\bigr\},

चार अवयव — और प्रकार-अनुशासन पर ध्यान दीजिए: $a \in E$ , किंतु $\{a\} \in \mathcal P(E)$ ; कथन $a \in \mathcal P(E)$ और $\{a\} \subseteq \mathcal P(E)$ लिखे हुए रूप में असत्य हैं (दूसरे के लिए $a$ का $E$ का उपसमुच्चय होना आवश्यक होता)। शून्य से आरंभ करके दोहराने पर: $\mathcal P(\emptyset) = \{\emptyset\}$ में एक अवयव है, $\mathcal P(\mathcal P(\emptyset)) = \{\emptyset, \{\emptyset\}\}$ में दो, अगले में चार — समुच्चयों के समुच्चय भी साधारण समुच्चय ही हैं, और अध्याय 2 इस दुगुना होने के प्रतिरूप की पुष्टि करेगा: $\abs{\mathcal P(E)} = 2^{\abs E}$ । स्तरों ( $x$ , $\{x\}$ , $\{\{x\}\}$ ) को अलग-अलग बनाए रखना अभ्यास 1.11 और 1.12 जैसे अभ्यासों की आधी लड़ाई है।

उदाहरण 1.27 (बिंदु (2) तीक्ष्ण है)

प्रतिज्ञप्ति 1.26 (2) में निष्कर्षों को और आगे नहीं बढ़ाया जा सकता: $g \circ f$ का एकैकी आच्छादक होना $f$ को आच्छादक या $g$ को एकैकी होने के लिए बाध्य नहीं करता। लीजिए $E = G = \{1\}$ , $F = \{1, 2\}$ , जिनमें $f(1) = 1$ और $g(1) = g(2) = 1$ : तब $g \circ f = \mathrm{id}_E$ एकैकी आच्छादक है, फिर भी $f$ अवयव $2$ तक नहीं पहुँचता और $g$ दोनों अवयवों को एक में मिला देता है। इसका उपदेश एक सुनिश्चित लेखा-नियम है: संयोजन की सूचना एकैकीयता के लिए भीतरी प्रतिचित्रण की ओर बहती है और आच्छादकता के लिए बाहरी प्रतिचित्रण की ओर, कभी उलटी दिशा में नहीं। (अभ्यास 1.9 इसी परिघटना को अनंत समुच्चयों के साथ बनाता है, जहाँ यही एकपक्षीय प्रतिलोमों का इंजन है।)

उदाहरण 1.32

$\Z$ पर $n$ के सापेक्ष सर्वांगसमता ( $x \equiv y \pmod n$ तब जब $n$ $x - y$ को विभाजित करता है) एक तुल्यता संबंध है; उसके वर्ग $n$ से भाग देने पर एक दिए हुए शेषफल वाले पूर्णांकों के $n$ समुच्चय हैं। यही उदाहरण अध्याय 7 में वलय $\Z/n\Z$ बन जाता है।

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