Wat is Bewerkingen met verzamelingen? — Wiskunde

Definitie 1.16 Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 1 · Hoofdstuk 1 — Logica, verzamelingen en afbeeldingen

We nemen het begrip verzameling en de lidmaatschapsrelatie $x \in E$ als primitief aan. Voor verzamelingen $A, B$ binnen een omvattende verzameling $E$ :

inclusie: $A \subseteq B$ wanneer $\forall x,\ x \in A \implies x \in B$ ; gelijkheid $A = B$ wanneer $A \subseteq B$ en $B \subseteq A$ ;
de vereniging $A \cup B$ , de doorsnede $A \cap B$ , het verschil $A \setminus B = \{x \in A : x \notin B\}$ , het complement $\overline{A} = E \setminus A$ ;
de lege verzameling $\emptyset$ , bevat in elke verzameling;
de machtsverzameling $\mathcal{P}(E)$ : de verzameling van alle deelverzamelingen van $E$ ;
het product $E \times F$ : de verzameling van geordende paren $(x, y)$ met $x \in E$ , $y \in F$ .

Voorbeelden

Voorbeeld 1.17 (Wennen aan de machtsverzameling)

Voor $E = \{a, b\}$ is

\mathcal P(E) = \bigl\{\, \emptyset,\ \{a\},\ \{b\},\ \{a, b\} \,\bigr\},

vier elementen — en let op de typediscipline: $a \in E$ , maar $\{a\} \in \mathcal P(E)$ ; de uitspraken $a \in \mathcal P(E)$ en $\{a\} \subseteq \mathcal P(E)$ zijn zoals ze er staan allebei onwaar (de tweede zou vergen dat $a$ een deelverzameling van $E$ is). Iteratie vanuit het niets: $\mathcal P(\emptyset) = \{\emptyset\}$ heeft één element, $\mathcal P(\mathcal P(\emptyset)) = \{\emptyset, \{\emptyset\}\}$ er twee, de volgende vier — verzamelingen van verzamelingen zijn gewone verzamelingen, en Hoofdstuk 2 zal het verdubbelingspatroon bevestigen: $\abs{\mathcal P(E)} = 2^{\abs E}$ . De niveaus ( $x$ , $\{x\}$ , $\{\{x\}\}$ ) uit elkaar houden is het halve werk bij oefeningen als Oefeningen 1.11 en 1.12.

Voorbeeld 1.27 (Punt (2) is scherp)

In Propositie 1.26 (2) kunnen de conclusies niet versterkt worden: dat $g \circ f$ bijectief is, dwingt $f$ niet surjectief of $g$ injectief te zijn. Neem $E = G = \{1\}$ , $F = \{1, 2\}$ , met $f(1) = 1$ en $g(1) = g(2) = 1$ : dan is $g \circ f = \mathrm{id}_E$ bijectief, terwijl $f$ het element $2$ mist en $g$ beide elementen op elkaar plakt. De moraal is een nauwkeurige boekhoudregel: informatie over de samenstelling stroomt voor injectiviteit naar de binnenste afbeelding en voor surjectiviteit naar de buitenste, nooit andersom. (Oefening 1.9 bouwt hetzelfde verschijnsel op oneindige verzamelingen, waar het de motor is achter eenzijdige inversen.)

Voorbeeld 1.32

Op $\Z$ is de congruentie modulo $n$ ( $x \equiv y \pmod n$ wanneer $n$ het getal $x - y$ deelt) een equivalentierelatie; haar klassen zijn de $n$ verzamelingen van gehele getallen met een gegeven rest bij deling door $n$ . Dit voorbeeld wordt de ring $\Z/n\Z$ in Hoofdstuk 7.

Lees in het hoofdstuk →