विश्वविद्यालय गणित — स्नातक वर्ष 3 · Bachelor Year 3

19साधारण अवकल समीकरण

दूसरे वर्ष ने रैखिक अवकल समीकरण हल किए थे और कोशी–लिप्शिट्ज़ प्रमेय का कथन दिया था; यह अध्याय उसे सिद्ध करता है — और वह भी दो बार: बानाख स्थिर बिंदु से अस्तित्व और अद्वितीयता, तथा महत्तम हलों के सिद्धांत और संहतों-से-पलायन प्रमेय से वैश्विक संरचना। इसके बाद रैखिक सिद्धांत ईमानदार नींव पर फिर से खड़ा किया जाता है (विलायक, व्रोन्स्कियन, आव्यूह चरघातांकी, दुआमेल), और अध्याय का उत्तरार्ध गुणात्मक सिद्धांत खोलता है — प्रवाह, साम्यावस्थाएँ, ल्यापुनोव फलन, और रैखिकीकरण से स्थायित्व: अर्थात् उन हलों को समझना जिन्हें कोई कभी परिकलित नहीं करेगा। सप्ताहांत समस्या में लोलक चिरंतन अध्ययन-विषय है। सर्वत्र $U \subseteq \R\times\R^d$ विवृत है और $f \colon U \to \R^d$ संतत; $x' = f(t, x)$ का हल ऐसा $\mathcal C^1$ प्रतिचित्रण $x \colon I \to \R^d$ ( $I$ कोई अंतराल) है जिसका आलेख $U$ में हो और जो समीकरण संतुष्ट करे।

19.1 कोशी–लिप्शिट्ज़

परिभाषा 19.1

$f$ $x$ में स्थानीय लिप्शिट्ज़ कहलाता है यदि $U$ के प्रत्येक बिंदु का कोई प्रतिवेश $V$ और कोई नियतांक $L$ ऐसा हो कि $(t, x_1), (t, x_2) \in V$ के लिए $\norm{f(t, x_1) - f(t, x_2)} \leq L\norm{x_1 - x_2}$ । यदि $f$ $\mathcal C^1$ हो (अथवा केवल $\partial_xf$ विद्यमान और संतत हो), तो वह $x$ में स्थानीय लिप्शिट्ज़ है: किसी संहत उत्तल प्रतिवेश पर $L = \sup\vertiii{\partial_xf}$ के साथ माध्य मान असमिका।

प्रमेय 19.2 (कोशी–लिप्शिट्ज़, स्थानीय)

मान लीजिए $f$ संतत और $x$ में स्थानीय लिप्शिट्ज़ है, और $(t_0, x_0) \in U$ । तब ऐसा $T > 0$ है कि कोशी समस्या

x' = f(t, x), \qquad x(t_0) = x_0

का $[t_0 - T, t_0 + T]$ पर ठीक एक हल है।

उपपत्ति. $Q = [t_0 - a, t_0 + a]\times\bar B(x_0, b) \subseteq U$ वाला $a, b > 0$ चुनिए, जिस पर $\norm f \leq M$ और $f$ $x$ में $L$ -लिप्शिट्ज़ हो। कोई $\mathcal C^1$ फलन हल है तभी और केवल तभी जब वह समाकल समीकरण

x(t) = x_0 + \int_{t_0}^{t}f\bigl(s, x(s)\bigr)\,\dd s

संतुष्ट करे (कलन की मूल प्रमेय, दोनों दिशाओं में)। मान लीजिए $T = \min\bigl(a, \frac bM, \frac1{2L}\bigr)$ , $I = [t_0 - T, t_0 + T]$ , और

\mathcal E = \{x \in \mathcal C(I, \R^d) : \norm{x(t) - x_0} \leq b\ I \text{ पर}\},

जो बानाख समष्टि $(\mathcal C(I, \R^d), \norm\cdot_\infty)$ का संवृत उपसमुच्चय है: अतः पूर्ण (परिभाषा 7.1)। $\Phi(x)(t) = x_0 + \int_{t_0}^tf(s, x(s))\dd s$ परिभाषित कीजिए: $x \in \mathcal E$ के लिए $\norm{\Phi(x)(t) - x_0} \leq M\abs{t - t_0} \leq MT \leq b$ — अर्थात् $\Phi$ $\mathcal E$ को उसी पर भेजता है — और $x, y \in \mathcal E$ के लिए:

\norm{\Phi(x)(t) - \Phi(y)(t)} \leq \Bigl|\int_{t_0}^t L\,\norm{x(s) - y(s)}\,\dd s\Bigr| \leq LT\,\norm{x - y}_\infty \leq \tfrac12\norm{x - y}_\infty :

अर्थात् एक संकुचन। बानाख स्थिर बिंदु (प्रमेय 7.4) $\mathcal E$ में एक अद्वितीय स्थिर बिंदु दे देता है: अस्तित्व, और $\bar B(x_0, b)$ में रहने वाले हलों के बीच अद्वितीयता — पर $I$ पर कोई भी हल वहीं रहता है (जब तक आलेख $Q$ में रहता है तब तक $\norm{x(t) - x_0} \leq M\abs{t - t_0} \leq b$ , जो एक सांतत्य तर्क है): अतः $I$ पर अद्वितीयता। ∎

प्रमेयिका 19.3 (ग्रोनवाल)

मान लीजिए $u \colon I \to \intco0\infty$ संतत है, $t_0 \in I$ , और मान लीजिए

u(t) \leq \alpha + \beta\,\Bigl|\int_{t_0}^{t}u(s)\,\dd s\Bigr| \qquad (t \in I)

जहाँ $\alpha \geq 0$ , $\beta > 0$ । तब $I$ पर $u(t) \leq \alpha\,\eu^{\beta\abs{t - t_0}}$ ।

उपपत्ति. $t \geq t_0$ के लिए: मान लीजिए $v(t) = \alpha + \beta\int_{t_0}^tu(s)\dd s$ , अतः $u \leq v$ , $v' = \beta u \leq \beta v$ , और $(v\eu^{-\beta(t - t_0)})' \leq 0$ : इसलिए $v(t) \leq v(t_0)\eu^{\beta(t-t_0)} = \alpha\eu^{\beta(t - t_0)}$ । $t \leq t_0$ के लिए वही $\tilde u(t) = u(2t_0 - t)$ पर लगाइए। ∎

उपप्रमेय 19.4 (अद्वितीयता और संतत निर्भरता)

प्रमेय 19.2 की परिकल्पनाओं के अंतर्गत, $x' = f(t,x)$ के जो दो हल किसी एक बिंदु पर सहमत हों वे अपनी उभयनिष्ठ परिभाषा-अंतराल पर सहमत होते हैं। मात्रात्मक रूप से, यदि $x, y$ ऐसे दो हल हों जिनके आलेख उस क्षेत्र में हों जहाँ $f$ $x$ में $L$ -लिप्शिट्ज़ है, तो

\norm{x(t) - y(t)} \leq \norm{x(t_0) - y(t_0)}\,\eu^{L\abs{t - t_0}} .

उपपत्ति. आकलन: $u = \norm{x - y}$ $u(t) \leq u(t_0) + L\abs{\int_{t_0}^tu}$ को संतुष्ट करता है (समाकल समीकरण घटाइए); अब ग्रोनवाल। वैश्विक अद्वितीयता: सहमति समुच्चय $\{t : x(t) = y(t)\}$ उभयनिष्ठ अंतराल में संवृत, अरिक्त और विवृत भी है — किसी भी सहमति बिंदु के चारों ओर उभयनिष्ठ आलेख के किसी संहत टुकड़े को परिमित संख्या के लिप्शिट्ज़ बक्सों से आच्छादित कीजिए और प्रत्येक पर $u(t_1) = 0$ के साथ यह आकलन लगाइए: तब स्थानीय रूप से $x \equiv y$ । और किसी अंतराल का अरिक्त विवृत संवृत उपसमुच्चय समूचा अंतराल ही होता है। ∎

19.2 महत्तम हल

प्रमेय 19.5 (महत्तम हल; संहतों से पलायन)

मान लीजिए $f$ संतत और $x$ में स्थानीय लिप्शिट्ज़ है।

प्रत्येक कोशी समस्या का एक अद्वितीय महत्तम हल $x \colon \intoo{T_-}{T_+} \to \R^d$ होता है: $(t_0, x_0)$ से होकर जाने वाला हर दूसरा हल उसी का प्रतिबंध है। अंतराल विवृत होता है।
(पलायन) प्रत्येक संहत $K \subseteq U$ के लिए ऐसा $\varepsilon > 0$ है कि सभी $t \in \intoo{T_+ - \varepsilon}{T_+}$ के लिए $(t, x(t)) \notin K$ (और $T_-$ पर सममित रूप से): अर्थात् किसी महत्तम हल का आलेख अंततः $U$ के प्रत्येक संहत उपसमुच्चय को छोड़ देता है। विशेष रूप से $U = \R\times\R^d$ और $T_+ < +\infty$ के लिए: $t \to T_+^-$ पर $\norm{x(t)} \to +\infty$ (विस्फोट)।

उपपत्ति. (1) मान लीजिए $\mathcal S$ $(t_0, x_0)$ से होकर जाने वाले समस्त हलों का समुच्चय है; उपप्रमेय 19.4 से कोई भी दो अपने अंतरालों के प्रतिच्छेदन पर सहमत होते हैं, अतः वे जुड़ जाते हैं: $J = \bigcup_{y \in \mathcal S}I_y$ पर $t$ पर परिभाषित किसी भी $y$ के लिए $x(t) = y(t)$ रखिए: यह एक सुपरिभाषित हल है, जो स्पष्टतः महत्तम और अद्वितीय है। $J$ विवृत है: किसी सिरे पर परिभाषित हल को उसी सिरे पर प्रमेय 19.2 से आगे बढ़ाया जा सकता।

(2) मान लीजिए दावा $T_+$ पर विफल होता है: तब $(t_n, x(t_n)) \in K$ वाले $t_n \to T_+$ हैं; ध्यान दीजिए कि इससे $T_+ < \infty$ अनिवार्य हो जाता है, अथवा यदि $T_+ = \infty$ हो तो सिद्ध करने को कुछ है ही नहीं ( $K$ समय में परिबद्ध है)। अतः मान लीजिए $T_+ < \infty$ । संहतता: $K$ के किसी प्रतिवेश के समस्त कोशी आँकड़ों के लिए एकसमान नियतांक $M, L, a, b$ काम करते हैं — मूर्त रूप में, $K$ को स्थानीय प्रमेय की उपपत्ति जैसे परिमित संख्या के बक्सों $Q_i$ से आच्छादित कीजिए और मान लीजिए $T^* > 0$ संगत अस्तित्व समयों का न्यूनतम है: तब $K$ का कोई भी कोशी आँकड़ा ऐसा हल जन्माता है जो अपने आरंभिक समय के आगे कम से कम $T^*$ तक जीता है। इसे $t_n > T_+ - T^*/2$ के साथ $(t_n, x(t_n))$ पर लगाने से $x$ $T_+$ के पार बढ़ जाता है (विस्तार अद्वितीयता से $x$ के साथ सहमत होता है, फिर उसे आगे बढ़ा देता है): जो महत्तमता का विरोधाभास है। अतः आलेख $T_+$ से पहले $K$ को निश्चित रूप से छोड़ देता है। $U = \R\times\R^d$ के लिए: यदि $\norm{x(t)}\not\to\infty$ हो, तो कोई अनुक्रम $t_n \to T_+$ $(t_n, x(t_n))$ को संहत $[t_0, T_+]\times\bar B(0, R)$ में रख देता: जो अपवर्जित है। ∎

उपप्रमेय 19.6 (रैखिक वृद्धि के अंतर्गत वैश्विक अस्तित्व)

यदि $U = I\times\R^d$ ( $I$ विवृत अंतराल) हो और संतत $\alpha, \beta$ के साथ $\norm{f(t, x)} \leq \alpha(t)\norm x + \beta(t)$ , तो प्रत्येक महत्तम हल समूचे $I$ पर परिभाषित होता है।

उपपत्ति. किसी संहत $[t_0, T] \subseteq I$ पर: $\norm{x(t)} \leq \norm{x_0} + \int_{t_0}^t(\alpha\norm x + \beta)$ , अतः ग्रोनवाल से (जहाँ $\alpha, \beta$ वहाँ $A, B$ से परिबद्ध है) $\norm{x(t)} \leq (\norm{x_0} + B(T - t_0))\eu^{A(T - t_0)}$ : अर्थात् परिबद्ध। यदि $T_+ < \sup I$ हो, तो आलेख $T_+$ के निकट $I\times\R^d$ के किसी संहत में रहता: जो पलायन (प्रमेय 19.5) का खंडन है। ∎

19.3 रैखिक निकाय

इस पूरे अनुभाग में $A \colon I \to M_d(\R)$ और $b \colon I \to \R^d$ संतत हैं; और निकाय $x' = A(t)x + b(t)$ है — रैखिक वृद्धि: अतः सभी महत्तम हल समूचे $I$ पर जीते हैं (उपप्रमेय 19.6)।

प्रमेय 19.7 (संरचना)

समघात निकाय $x' = A(t)x$ के हल एक $d$ -विमीय सदिश समष्टि $S_H$ बनाते हैं; और प्रत्येक $t_0$ के लिए मान-निर्धारण $x \mapsto x(t_0)$ एक तुल्याकारिता $S_H \to \R^d$ है। विलायक $R(t, s) \in GL_d(\R)$ , जो इस प्रकार परिभाषित है कि $t \mapsto R(t, s)v$ $s$ पर मान $v$ वाला हल है,

R(s,s) = I,\quad R(t, u)R(u, s) = R(t, s),\quad \partial_tR(t,s) = A(t)R(t,s),

संतुष्ट करता है, और असमघात समस्या दुआमेल के सूत्र से हल हो जाती है:

x(t) = R(t, t_0)\,x_0 + \int_{t_0}^{t}R(t, s)\,b(s)\,\dd s .

अंततः व्रोन्स्कियन $w(t) = \det R(t, s)$ ल्यूविल के सूत्र $w' = \operatorname{tr}A(t)\,w$ का पालन करता है, अतः $w(t) = \exp\bigl(\int_s^t\operatorname{tr}A\bigr) > 0$ ।

उपपत्ति. समीकरण की रैखिकता हलों को एक सदिश समष्टि बना देती है; मान-निर्धारण रैखिक है, एकैकी (अद्वितीयता: $t_0$ पर लुप्त होने वाला हल $\equiv 0$ है) और आच्छादक (अस्तित्व): अतः विमा $d$ । विलायक के गुण अद्वितीयता को ही दोहराते हैं (प्रत्येक सर्वसमिका के दोनों पक्ष एक ही कोशी समस्या हल करते हैं); और व्युत्क्रमणीयता $R(s,t)R(t,s) = I$ से। दुआमेल: सूत्र का अवकलन कीजिए — $x'(t) = A(t)R(t,t_0)x_0 + R(t,t)b(t) + \int_{t_0}^tA(t)R(t,s)b(s)\dd s = A(t)x(t) + b(t)$ (समाकल के भीतर अवकलन वैध है: समाकल्य $t$ में $\mathcal C^1$ है और $(t,s)$ में उसका अवकलज संतत; अथवा समाकल समीकरण से सत्यापित कीजिए)। ल्यूविल: $w(t + h) = \det\bigl(R(t+h, t)\bigr)w(t)$ और $R(t + h, t) = I + hA(t) + o(h)$ (समाकल समीकरण से), अतः $\det = 1 + h\operatorname{tr}A(t) + o(h)$ ( $I$ पर $\det$ का प्रसार): इसलिए $w'(t) = \operatorname{tr}A(t)\,w(t)$ ; अब अदिश रैखिक अवकल समीकरण का समाकलन कीजिए। ∎

प्रमेय 19.8 (आव्यूह चरघातांकी)

$A \in M_d(\C)$ के लिए श्रेणी $\eu^{A} = \sum_{n\geq0}\frac{A^n}{n!}$ अभिसरित होती है (किसी भी उपगुणात्मक मानक में, निरपेक्षतः), और $AB = BA$ होने पर $\eu^{A+B} = \eu^A\eu^B$ , तथा $t \mapsto \eu^{tA}$ अचर निकाय का विलायक है: $R(t,s) = \eu^{(t-s)A}$ ; वह $\mathcal C^\infty$ है, जिसमें $\frac{\dd}{\dd t}\eu^{tA} = A\eu^{tA}$ । इसके अतिरिक्त: यदि $A$ के प्रत्येक अभिलक्षणिक मान $\lambda$ के लिए $\operatorname{Re}\lambda < -\alpha < 0$ हो, तो $t \geq 0$ पर $\vertiii{\eu^{tA}} \leq C\eu^{-\alpha t}$ ।

उपपत्ति. अभिसरण: $\vertiii{A^n/n!} \leq \vertiii A^n/n!$ , जो योग्य है (बानाख बीजगणित $M_d$ में अभ्यास 7.1(ख))। क्रमविनिमेय $A, B$ के लिए: दोनों निरपेक्षतः अभिसारी श्रेणियों का कोशी गुणनफल, द्विपद प्रमेय (जो $AB = BA$ होने पर वैध है) के माध्यम से पुनर्विन्यस्त होकर $\sum_n\frac{(A+B)^n}{n!}$ बन जाता है। अवकलनीयता, सीधे: $\frac{\eu^{(t+h)A} - \eu^{tA}}h = \eu^{tA}\frac{\eu^{hA} - I}{h} \to \eu^{tA}A$ , क्योंकि $\norm{\frac{\eu^{hA} - I}h - A} \leq \sum_{n\geq2}\frac{\abs h^{n-1}\vertiii A^n}{n!} = O(h)$ । अतः $t \mapsto \eu^{(t - s)A}v$ $R(t,s)v$ को परिभाषित करने वाली कोशी समस्या हल कर देता है। स्पेक्ट्रमी परिबंध: जॉर्डन रूप (प्रमेय 3.18) से $A = P(D + N)P^{-1}$ , जहाँ $D$ अभिलक्षणिक मान धारण करने वाला विकर्ण है, $N$ शून्यभावी, और $DN = ND$ । तब $\eu^{tA} = P\,\eu^{tD}\eu^{tN}P^{-1}$ , जिसमें किसी $\delta > 0$ ( $t \geq 0$ ) के लिए $\vertiii{\eu^{tD}} \leq \eu^{-(\alpha + \delta)t}$ और $t$ में $\eu^{tN}$ बहुपद (शून्यभाविता): अतः गुणनफल $\leq C\eu^{-\alpha t}$ है ( $\eu^{-\delta t}$ बहुपद को हरा देता है)। ∎

उदाहरण 19.9 (समतल, वर्गीकृत)

व्युत्क्रमणीय $A \in M_2(\R)$ के साथ $x' = Ax$ के लिए $0$ के निकट प्रावस्था चित्र $\tau = \operatorname{tr}A$ और $\delta = \det A$ से, अभिलक्षणिक मानों $\lambda_\pm = \frac{\tau \pm \sqrt{\tau^2 - 4\delta}}2$ के माध्यम से, तय होता है:

$\delta < 0$ : विपरीत चिह्नों वाले वास्तविक अभिलक्षणिक मान — एक काठी; दो प्रक्षेपपथ भीतर आते हैं, दो बाहर जाते हैं, और शेष सब पास से गुजर जाते हैं। सदा अस्थायी।
$\delta > 0$ , $\tau^2 \geq 4\delta$ : एक ही चिह्न वाले वास्तविक अभिलक्षणिक मान ( $= \operatorname{sign}\tau$ ) — एक ग्रंथि, जो स्थायी है तभी और केवल तभी जब $\tau < 0$ ; प्रक्षेपपथ मंद अभिलक्षणिक दिशा के स्पर्शी होते हैं।
$\delta > 0$ , $\tau^2 < 4\delta$ , $\tau \neq 0$ : सम्मिश्र संयुग्मी अभिलक्षणिक मान $\frac\tau2 \pm \iu\omega$ — एक सर्पिल (नाभि), जो स्थायी है तभी और केवल तभी जब $\tau < 0$ ; और हल आवर्तकाल $\frac{2\pi}\omega$ वाले $\eu^{\tau t/2}\times$ घूर्णन हैं।
$\tau = 0$ , $\delta > 0$ : विशुद्ध काल्पनिक अभिलक्षणिक मान — एक केंद्र: संवृत कक्षाएँ (दीर्घवृत्त), और स्पर्शोन्मुख स्थायित्व के बिना स्थायित्व, ठीक वही सीमांत स्थिति जिसे प्रमेय 19.12 अरैखिक निकायों के लिए तय नहीं कर सकती (लोलक की निचली साम्यावस्था, समस्या 19.1, यहीं बैठती है)।

परिसीमा परवलय $\tau^2 = 4\delta$ पर अपकर्षित ग्रंथियाँ होती हैं (जॉर्डन खंड: एक ही स्पर्श दिशा वाले प्रक्षेपपथ)। सब कुछ दो संख्याओं में पढ़ लिया जाता है — और इसीलिए किसी भी समतलीय प्रावस्था चित्र से पहले पहली प्रतिक्रिया $\operatorname{tr}$ और $\det$ परिकलित करना ही होती है; उदाहरणार्थ $A = \bigl(\begin{smallmatrix}0 & 1\\ -1 & -c\end{smallmatrix}\bigr)$ (अवमंदित दोलक): $\delta = 1 > 0$ , $\tau = -c$ : अतः $0 < c < 2$ के लिए स्थायी सर्पिल, और $c \geq 2$ के लिए स्थायी ग्रंथि — एक ही दृष्टि में अल्प-अवमंदन बनाम अति-अवमंदन।

19.4 प्रवाह, साम्यावस्थाएँ, स्थायित्व

अब स्वायत्त समीकरण $x' = F(x)$ पर विचार कीजिए, जिसमें $F \colon \Omega \to \R^d$ विवृत $\Omega \subseteq \R^d$ पर स्थानीय लिप्शिट्ज़ है। $x(0) = x_0$ वाले महत्तम हल के लिए $\varphi_t(x_0) = x(t)$ लिखिए (सदिश क्षेत्र का प्रवाह); स्वायत्तता जहाँ परिभाषित हो वहाँ समूह गुण $\varphi_{t+s} = \varphi_t\circ\varphi_s$ दे देती है (दोनों पक्ष समय $s$ पर एक ही समस्या हल करते हैं)।

परिभाषा 19.10

साम्यावस्था वह बिंदु $\bar x$ है जिसके लिए $F(\bar x) = 0$ (अतः $\varphi_t(\bar x) = \bar x$ )। वह स्थायी कहलाती है यदि प्रत्येक $\varepsilon > 0$ के लिए ऐसा $\delta > 0$ हो कि $\norm{x_0 - \bar x} < \delta$ से यह निकले कि हल सभी $t \geq 0$ के लिए विद्यमान है और $\norm{\varphi_t(x_0) - \bar x} < \varepsilon$ ; और स्पर्शोन्मुख रूप से स्थायी यदि इसके अतिरिक्त $\bar x$ के निकट सभी $x_0$ के लिए $\varphi_t(x_0) \to \bar x$ ।

प्रमेय 19.11 (ल्यापुनोव फलन)

मान लीजिए $\bar x$ कोई साम्यावस्था है और $V \colon \mathcal V \to \R$ $\bar x$ के किसी प्रतिवेश पर ऐसा $\mathcal C^1$ फलन है कि:

V(\bar x) = 0,\qquad V(x) > 0 \text{ जब } x \neq \bar x, \qquad \dot V(x) = \nabla V(x)\cdot F(x) \leq 0 .

तब $\bar x$ स्थायी है। और यदि इसके अतिरिक्त $\bar x$ के बाहर $\dot V < 0$ हो, तो $\bar x$ स्पर्शोन्मुख रूप से स्थायी है।

उपपत्ति. किसी हल के अनुदिश $\frac{\dd}{\dd t}V(x(t)) = \dot V(x(t)) \leq 0$ : अतः $V$ घटता है। $\varepsilon$ दिया हो (इतना छोटा कि $\bar B(\bar x, \varepsilon) \subseteq \mathcal V$ ), तो $m = \min\{V(x) : \norm{x - \bar x} = \varepsilon\} > 0$ लीजिए (संहतता, धनात्मकता) और $B(\bar x, \delta)$ पर $V < m$ वाला $\delta < \varepsilon$ चुनिए (सांतत्य)। $B(\bar x, \delta)$ में आरंभ होने वाले किसी हल के लिए बाद के सभी समयों पर $V(x(t)) < m$ रहता है, अतः वह गोलक $\norm{x - \bar x} = \varepsilon$ (जहाँ $V \geq m$ ) तक कभी नहीं पहुँच सकता: वह गोले में ही रहता है — और तब सभी $t \geq 0$ के लिए विद्यमान रहता है: हल संहत $\bar B$ में बना रहता है, अतः प्रमेय 19.5(2) (संहतों से पलायन) $T_+ = +\infty$ अनिवार्य कर देती है। यही स्थायित्व है।

स्पर्शोन्मुख स्थिति: मान लीजिए $x(t)$ $B(\bar x, \delta)$ में आरंभ होता है; तब $V(x(t))$ घटकर किसी $c \geq 0$ तक जाता है। यदि $c > 0$ हो: प्रक्षेपपथ $K = \{x \in \bar B(\bar x, \varepsilon): V(x) \geq c\}$ में रहता है, जो एक ऐसा संहत समुच्चय है जो $\bar x$ के किसी प्रतिवेश को अपवर्जित कर देता है ( $V$ $V(\bar x) = 0 < c$ के साथ संतत है)। $K$ पर फलन $\dot V$ संतत और कड़ाई से ऋणात्मक है, अतः संहतता से $\mu = \max_K\dot V < 0$ ; तब $V(x(t)) \leq V(x(0)) + \mu t \to -\infty$ : निरर्थक, इसलिए $V \geq 0$ । अतः $c = 0$ , और $x(t) \to \bar x$ (गोले के भीतर $\bar x$ से दूरी $\geq \rho$ वाले बिंदुओं के लिए $V \geq m_\rho > 0$ )। ∎

प्रमेय 19.12 (रैखिकीकरण से स्थायित्व)

मान लीजिए $F$ $\mathcal C^1$ है, $F(\bar x) = 0$ , $A = DF(\bar x)$ । यदि $A$ के प्रत्येक अभिलक्षणिक मान के लिए $\operatorname{Re}\lambda < 0$ हो, तो $\bar x$ स्पर्शोन्मुख रूप से स्थायी है।

उपपत्ति. $\bar x$ को $0$ पर स्थानांतरित कीजिए और $g(x) = o(\norm x)$ ( $\mathcal C^1$ अवकलनीयता) के साथ $F(x) = Ax + g(x)$ लिखिए। $\vertiii{\eu^{tA}} \leq C\eu^{-\alpha t}$ वाला $\alpha > 0$ चुनिए ( $t \geq 0$ ; प्रमेय 19.8) और $\norm x \leq r$ के लिए $\norm{g(x)} \leq \frac{\alpha}{2C}\norm x$ वाला $r > 0$ । $b(s) = g(x(s))$ के साथ दुआमेल:

x(t) = \eu^{tA}x_0 + \int_0^t\eu^{(t-s)A}g(x(s))\,\dd s,

जो तब तक वैध है जब तक $\norm{x(s)} \leq r$ । तब $u(t) = \eu^{\alpha t}\norm{x(t)}$

u(t) \leq C\norm{x_0} + \int_0^{t}C\,\frac{\alpha}{2C}\,u(s)\,\dd s ,

संतुष्ट करता है, अतः ग्रोनवाल $u(t) \leq C\norm{x_0}\eu^{\alpha t/2}$ देता है, अर्थात् $\norm{x(t)} \leq C\norm{x_0}\eu^{-\alpha t/2}$ । यदि $\norm{x_0} < r/C$ हो, तो यह पूर्व परिबंध सभी $t$ के लिए $\norm{x(t)} < r$ बनाए रखता है (एक सांतत्य/उन्नयन तर्क: कड़े आकलन को देखते हुए जिन समयों पर $\norm x \leq r$ है उनका समुच्चय $\intco0{T_+}$ में विवृत और संवृत दोनों है), हल वैश्विक हो जाता है, और वह $0$ पर चरघातांकी दर से अभिसरित होता है: अर्थात् स्पर्शोन्मुख स्थायित्व। ∎

विधि 19.13

किसी अवकल समीकरण का सामना होने पर: (1) अस्तित्व/अद्वितीयता — स्थानीय लिप्शिट्ज़ जाँचिए (प्रायः $\mathcal C^1$ ); (2) वैश्विकता — रैखिक वृद्धि, परिबद्धता, अथवा किसी ल्यापुनोव फलन या प्रथम समाकल से कोई अपरिवर्ती संहत; और यदि यह न मिले, तो विस्फोट का संदेह कीजिए और अदिश व्यंग्यचित्र $x' = x^2$ पर परखिए; (3) रैखिक निकाय — विलायक, दुआमेल, और अचर गुणांकों के लिए $A$ की अभिलक्षणिक संरचना; (4) गुणात्मक प्रश्न — साम्यावस्थाएँ, रैखिकीकरण, और किसी ल्यापुनोव फलन (यांत्रिक निकाय होने पर ऊर्जा) या ऐसे प्रथम समाकल की खोज जिसके स्तर समुच्चय प्रक्षेपपथों को फँसा लें। सप्ताहांत समस्या पूरी विधि को लोलक पर चलाकर दिखाती है।

(x, x')-समतल में लोलक x'' = - x का प्रावस्था चित्र: ऊर्जा E = x'22 - x के स्तर वक्र। संवृत वक्र (नीले): दोलन, E < 1; दौड़ते वक्र (नारंगी): पूरे घूर्णन, E > 1; और उनके बीच विभाजक (लाल), E = 1, जो अस्थायी साम्यावस्थाओं (±π, 0) को जोड़ता है। सप्ताहांत समस्या वह सब सिद्ध करती है जो यह चित्र सुझाता है। — $(x, x')$ -समतल में लोलक $x'' = -\sin x$ का प्रावस्था चित्र: ऊर्जा $E = \frac{x'^2}2 - \cos x$ के स्तर वक्र। संवृत वक्र (नीले): दोलन, $E < 1$ ; दौड़ते वक्र (नारंगी): पूरे घूर्णन, $E > 1$ ; और उनके बीच *विभाजक* (लाल), $E = 1$ , जो अस्थायी साम्यावस्थाओं $(\pm\pi, 0)$ को जोड़ता है। सप्ताहांत समस्या वह सब सिद्ध करती है जो यह चित्र सुझाता है।

19.5 अभ्यास

अभ्यास 19.1 ★

स्पष्ट रूप से हल कीजिए और महत्तम अंतराल निर्धारित कीजिए: (क) $x' = x^2$ , $x(0) = 1$ ; (ख) $x' = 1 + x^2$ , $x(0) = 0$ ; (ग) $x' = x(1-x)$ , $x(0) = \frac12$ । प्रत्येक उत्तर का प्रमेय 19.5(2) और उपप्रमेय 19.6 से मेल कराइए।

हल

हल — अभ्यास 19.1.

(क) चर पृथक करने पर: $\intoo{-\infty}1$ पर $x(t) = \frac1{1 - t}$ : $x(t) \to +\infty$ के साथ $T_+ = 1$ पर विस्फोट — अर्थात् ठीक प्रमेय 19.5(2)। (ख) $\intoo{-\pi/2}{\pi/2}$ पर $x(t) = \tan t$ : दोनों सिरों पर विस्फोट। (ग) $x(t) = \frac{1}{1 + \eu^{-t}}$ , वैश्विक: हल $\intoo01$ में ही रहता है, जो कोई परिबद्ध समुच्चय है, अतः आलेख परिमित समय में $\R\times\R$ के प्रत्येक संहत से बच नहीं सकता — $T_\pm = \pm\infty$ । ध्यान दीजिए कि (क), (ख) उपप्रमेय 19.6 का खंडन नहीं करते: $x^2$ और $1 + x^2$ की वृद्धि अधिरैखिक है।

अभ्यास 19.2 ★

मान लीजिए $x, y$ $x' = f(t,x)$ को हल करते हैं, जहाँ $f$ $\R\times\R^d$ पर $x$ में वैश्विक रूप से $L$ -लिप्शिट्ज़ है। (क) $\norm{x(t) - y(t)} \leq \norm{x(0) - y(0)}\eu^{L\abs t}$ सिद्ध कीजिए, और उदाहरण से (रैखिक!) दर्शाइए कि गुणक $\eu^{L\abs t}$ प्राप्त हो जाता है। (ख) निष्कर्ष निकालिए कि प्रवाह प्रतिचित्रण $x_0 \mapsto x(t; x_0)$ संतत है, और परिबद्ध समुच्चयों पर वस्तुतः लिप्शिट्ज़।

हल

हल — अभ्यास 19.2.

(क) यह $t_0 = 0$ के साथ उपप्रमेय 19.4 का आकलन है। तीक्ष्णता: $x' = Lx$ (वैश्विक रूप से $L$ -लिपशित्ज़) के लिए दो हल ठीक $(x_0 - y_0)\eu^{Lt}$ भर भिन्न होते हैं। (ख) आकलन यह कहता है: समय- $t$ प्रवाह प्रतिचित्रण प्रारंभिक शर्त में $\eu^{L\abs t}$ -लिपशित्ज़ है — अर्थात् सांतत्य, संहतों में $t$ के लिए एकसमान रूप से; और अवैश्विक-लिपशित्ज़ $f$ के परिबद्ध समुच्चयों पर वही तर्क प्रक्षेप-पथों के चारों ओर किसी संहत नली पर स्थानीय अचर के साथ चलाइए।

अभ्यास 19.3 ★★

दर्शाइए कि निम्नलिखित में से प्रत्येक के सभी महत्तम हल $\R$ पर वैश्विक हैं, और उचित प्रमेय उद्धृत कीजिए: (क) $x' = \sin(tx)$ ; (ख) $x' = \frac{t\,x}{1 + x^2}$ ; (ग) संतत $q$ के साथ $x'' + q(t)x = 0$ (प्रथम-कोटि निकाय में बदलिए); (घ) संतत और परिबद्ध $A$ के साथ $x' = A(t)x$ — और $\norm{x(t)}$ पर ग्रोनवाल परिबंध दीजिए।

हल

हल — अभ्यास 19.3.

(क) $\abs{\sin(tx)} \leq 1$ : परिबद्ध, अर्थात् $\alpha = 0$ , $\beta = 1$ के साथ रैखिक वृद्धि: $U = \R\times\R$ पर उपप्रमेय 19.6। (ख) $\abs{tx/(1 + x^2)} \leq \abs t\cdot\frac12$ : फिर से अवरैखिक (वस्तुतः समय-संहतों पर परिबद्ध): अतः वैश्विक। (ग) $X = (x, x')$ : $X' = \bigl(\begin{smallmatrix}0 & 1\\ -q(t) & 0\end{smallmatrix}\bigr)X$ : संतत गुणांकों के साथ रैखिक: अतः वैश्विक (प्रमेय 19.7 की व्यवस्था)। (घ) वैश्विक; और उपप्रमेय 19.6 की भाँति ग्रोनवाल: $M = \sup\vertiii{A}$ के साथ $\norm{x(t)} \leq \norm{x(t_0)}\,\eu^{M\abs{t - t_0}}$ ।

अभ्यास 19.4 ★★

(क) $A = \bigl(\begin{smallmatrix}0 & -1\\ 1 & 0\end{smallmatrix}\bigr)$ , $\bigl(\begin{smallmatrix}\lambda & 1\\ 0 & \lambda\end{smallmatrix}\bigr)$ , और $\bigl(\begin{smallmatrix}0 & 1\\ 1 & 0\end{smallmatrix}\bigr)$ के लिए $\eu^{tA}$ परिकलित कीजिए। (ख) प्रणोदित दोलक $x'' + x = \cos(\omega t)$ को (निकाय रूप में) दुआमेल से हल कीजिए, $\omega \neq 1$ और $\omega = 1$ के लिए: अनुनाद धर्मनिरपेक्ष पद $t\sin t$ के रूप में प्रकट होता है।

हल

हल — अभ्यास 19.4.

(क) पहले के लिए $A^2 = -I$ : $\eu^{tA} = \cos t\,I + \sin t\,A = \bigl(\begin{smallmatrix}\cos t & -\sin t\\ \sin t & \cos t\end{smallmatrix}\bigr)$ । जॉर्डन खंड: $\lambda I$ और $N$ क्रमविनिमेय हैं: $\eu^{tA} = \eu^{\lambda t}\bigl(\begin{smallmatrix}1 & t\\ 0 & 1\end{smallmatrix}\bigr)$ । तीसरा: $A^2 = I$ : $\eu^{tA} = \cosh t\,I + \sinh t\,A$ ।

(ख) निकाय $X' = \bigl(\begin{smallmatrix}0&1\\-1&0 \end{smallmatrix}\bigr)X + \bigl(\begin{smallmatrix}0\\ \cos\omega t\end{smallmatrix}\bigr)$ ; और घूर्णन विलायक के साथ द्यूआमेल विशेष हल दे देता है: $\omega \neq 1$ के लिए $x_p(t) = \frac{\cos(\omega t)}{1 - \omega^2}$ (सीधे सत्यापित कीजिए); और $\omega = 1$ के लिए समाकल $\int_0^t\sin(t - s)\cos s\,\dd s = \frac t2\sin t$ कालिक वृद्धि $x_p = \frac t2\sin t$ उत्पन्न कर देता है: अर्थात् अनुनाद — बल प्राकृतिक आवृत्ति पर ऊर्जा भरता है और आयाम रैखिक रूप से बढ़ता है।

अभ्यास 19.5 ★★

अदिश समीकरण $x'' + p(t)x' + q(t)x = 0$ के लिए: (क) दर्शाइए कि दो हलों का व्रोन्स्कियन $w = x_1x_2' - x_1'x_2$ $w' = -p\,w$ (आबेल) को संतुष्ट करता है, और निष्कर्ष निकालिए कि जिन दो हलों के लिए कहीं $w \neq 0$ हो वे एक आधार बनाते हैं। (ख) कोई एक अलुप्त हल $x_1$ दिया हो, तो कोटि अपचयन से सामान्य हल ढूँढ़िए: $x_2 = x_1\int \frac{\eu^{-\int p}}{x_1^2}$ रखिए और सत्यापित कीजिए। इसे $x_1(t) = t^2$ के साथ $\intoo0{+\infty}$ पर $t^2x'' - 2x = 0$ पर लगाइए।

हल

हल — अभ्यास 19.5.

(क) $w' = x_1x_2'' - x_1''x_2 = x_1(-px_2' - qx_2) - (-px_1' - qx_1)x_2 = -p\,w$ : $w(t) = w(t_0)\eu^{-\int_{t_0}^tp}$ , जो कभी शून्य नहीं होता और न सर्वथा शून्य। यदि $w \neq 0$ हो, तो सदिश $(x_i, x_i')(t_0)$ $\R^2$ में स्वतंत्र हैं, और चूँकि हल समष्टि की विमा $2$ है (निकाय के लिए प्रमेय 19.7), अतः $(x_1, x_2)$ कोई आधार है।

(ख) $u = \int\frac{\eu^{-\int p}}{x_1^2}$ के साथ: $x_2 = x_1u$ , $x_2' = x_1'u + \frac{\eu^{-\int p}}{x_1}$ , और

x_2'' + px_2' + qx_2 = u\,(x_1'' + px_1' + qx_1) + \Bigl(-\,p\frac{\eu^{-\int p}}{x_1} + p\frac{\eu^{-\int p}}{x_1}\Bigr) = 0

(तिर्यक पद ठीक-ठीक निरस्त हो जाते हैं; सावधानी से प्रसार कीजिए)। $t^2x'' - 2x = 0$ के लिए, अर्थात् $x_1 = t^2$ के साथ $x'' - \frac2{t^2}x = 0$ ( $p = 0$ ): $u = \int t^{-4} = -\frac1{3t^3}$ , अतः $x_2 = -\frac1{3t}$ : व्यापक हल $at^2 + \frac bt$ ।

अभ्यास 19.6 ★★

(लॉजिस्टिक) $x' = x(1 - x)$ के लिए: समस्त साम्यावस्थाएँ और उनका स्थायित्व निर्धारित कीजिए (प्रमेय 19.12 से और सीधे भी); दर्शाइए कि $x(0) \in \intoo01$ वाला प्रत्येक हल बढ़ता हुआ और वैश्विक है, जिसकी $\mp\infty$ पर सीमाएँ $0$ और $1$ हैं; और स्पष्ट रूप से हल करके पुष्टि कीजिए। अधिक व्यापक रूप से दर्शाइए कि अदिश स्वायत्त हल एकदिष्ट होते हैं, और निष्कर्ष निकालिए: विमा $1$ में कोई अचरेतर आवर्ती हल नहीं होता।

हल

हल — अभ्यास 19.6.

साम्यावस्थाएँ $0, 1$ ; $f'(x) = 1 - 2x$ : $f'(0) = 1 > 0$ (अस्थिर — जैसा स्पष्ट रूप दिखा देता है, पास के हल दूर हट जाते हैं), $f'(1) = -1 < 0$ : अनंतस्पर्शी रूप से स्थायी (विमा $1$ में प्रमेय 19.12)। $x(0) \in \intoo01$ के लिए: वहाँ $f > 0$ , अतः जब तक हल $\intoo01$ में रहता है वह बढ़ता है; और वह $0$ या $1$ तक कभी नहीं पहुँच सकता (अद्वितीयता: वे प्रक्षेप-पथ हैं), अतः वह वहीं रहता है, परिबद्ध है — इसलिए वैश्विक — और बढ़कर किसी सीमा $L \in \intoc{x(0)}1$ तक जाता है। यदि $f(L) \neq 0$ हो, तो सीमा के निकट $x' \geq c > 0$ , जिससे $x$ $L$ के पार चला जाता: अतः $f(L) = 0$ , $L = 1$ ; और सममित रूप से $-\infty$ पर $x \to 0$ । स्पष्ट रूप से $x(t) = \frac1{1 + C\eu^{-t}}$ सब कुछ की पुष्टि कर देता है। व्यापक रूप से: यदि किसी अदिश स्वायत्त हल के लिए $x'(t_0) = 0$ होता, तो $x(t_0)$ कोई साम्यावस्था होती और अद्वितीयता $x$ को अचर बना देती; अन्यथा $f(x(t))$ कोई स्थिर चिह्न रखता है (वह कभी लुप्त नहीं होता, और $t \mapsto f(x(t))$ संतत है): अतः $x$ कड़ाई से एकदिष्ट है — इसलिए कोई अचरेतर आवर्ती हल असंभव है।

अभ्यास 19.7 ★★

(प्रथम समाकल) मान लीजिए $H \colon \Omega \to \R$ $\mathcal C^1$ है और समतलीय हैमिल्टनी निकाय $x' = \partial_yH$ , $y' = -\partial_xH$ पर विचार कीजिए। (क) दर्शाइए कि $H$ हलों के अनुदिश अचर है। (ख) $H = \frac{y^2}2 + \frac{x^4}4$ के लिए: दर्शाइए कि सभी हल वैश्विक और परिबद्ध हैं, और मूल बिंदु स्थायी है (ल्यापुनोव: $H$ ), यद्यपि रैखिकीकरण ( $\bigl(\begin{smallmatrix}0&1\\0&0\end{smallmatrix}\bigr)$ ) स्पर्शोन्मुख रूप से स्थायी नहीं है: अर्थात् रैखिकीकरण अनिर्णायक हो सकता है।

हल

हल — अभ्यास 19.7.

(क) $\frac{\dd}{\dd t}H(x,y) = H_xx' + H_yy' = H_xH_y + H_y(-H_x) = 0$ । (ख) $H = \frac{y^2}2 + \frac{x^4}4$ के स्तर समुच्चय संहत हैं ( $H$ प्रबलकारी), अतः हल संहतों में फँस जाते हैं: वैश्विक और परिबद्ध (प्रमेय 19.5)। $(0,0)$ की स्थायित्व: $V = H$ $\dot V = 0$ के साथ धनात्मक निश्चित है ( $H = 0$ केवल मूल बिंदु पर): प्रमेय 19.11। रैखिकीकरण $x' = y$ , $y' = 0$ का आव्यूह अभिलक्षणिक मान $0$ वाला अविकर्णीय शून्यभावी है: अतः प्रमेय 19.12 मौन है (उसकी परिकल्पना $\operatorname{Re}\lambda < 0$ विफल हो जाती है), और वस्तुतः रैखिकीकृत निकाय अस्थिर है ( $y_0 \ne 0$ बह जाता है) जबकि अरैखिक निकाय स्थायी है: अर्थात् किसी अ-अतिपरवलयिक साम्यावस्था पर रैखिकीकरण कुछ भी सिद्ध नहीं करता।

अभ्यास 19.8 ★★★

(अवमंदित लोलक) $x'' + cx' + \sin x = 0$ , $c > 0$ ; निकाय: $x' = y$ , $y' = -\sin x - cy$ । (क) दर्शाइए कि $V(x, y) = \frac{y^2}2 + 1 - \cos x$ $\dot V = -cy^2 \leq 0$ को संतुष्ट करता है: अतः मूल बिंदु स्थायी है। (ख) $\dot V$ पूरे अक्ष $y = 0$ पर लुप्त हो जाता है: अतः ल्यापुनोव की कड़ी कसौटी विफल हो जाती है। फिर भी रैखिकीकरण (प्रमेय 19.12) से स्पर्शोन्मुख स्थायित्व सिद्ध कीजिए: $(0,0)$ पर रैखिकीकृत आव्यूह के अभिलक्षणिक मान परिकलित कीजिए और प्रत्येक $c > 0$ के लिए $\operatorname{Re} < 0$ जाँचिए। (ग) साम्यावस्था $(\pi, 0)$ पर क्या होता है? रैखिकीकरण परिकलित कीजिए और निष्कर्ष निकालिए (एक अभिलक्षणिक मान धनात्मक: अस्थायित्व — आप अस्थायित्व के कथन का अनौपचारिक उपयोग कर सकते हैं अथवा रैखिक निकाय का कोई स्पष्ट भागता हुआ हल प्रस्तुत कर सकते हैं)।

हल

हल — अभ्यास 19.8.

(क) $\dot V = y\,y' + \sin x\cdot x' = y(-\sin x - cy) + y\sin x = -cy^2 \leq 0$ , और $V = \frac{y^2}2 + (1 - \cos x)$ मूल बिंदु के चारों ओर $\{\abs x < 2\pi\}$ पर धनात्मक निश्चित है: अतः स्थायी (प्रमेय 19.11)। (ख) $(0,0)$ पर रैखिकीकृत आव्यूह $\bigl(\begin{smallmatrix}0 & 1\\ -1 & -c\end{smallmatrix}\bigr)$ है, जिसका अभिलक्षणिक बहुपद $\lambda^2 + c\lambda + 1$ है: मूल $\frac{-c \pm \sqrt{c^2 - 4}}2$ — $c \geq 2$ होने पर दोनों वास्तविक ऋणात्मक, और $0 < c < 2$ होने पर वास्तविक भाग $-\frac c2 < 0$ वाले सम्मिश्र। सभी दशाओं में $\operatorname{Re}\lambda < 0$ : अतः प्रमेय 19.12 अनंतस्पर्शी स्थायित्व दे देती है (अपह्रासी $\dot V$ के बावजूद)। (ग) $(\pi, 0)$ पर: $\sin(\pi + u) = -\sin u$ , रैखिकीकरण $\bigl(\begin{smallmatrix}0&1\\1&-c\end{smallmatrix}\bigr)$ , अभिलक्षणिक $\lambda^2 + c\lambda - 1$ : विपरीत चिह्नों वाले मूल ( $\lambda_+\lambda_- = -1$ )। अस्थिर अभिलक्षणिक सदिश के अनुदिश रैखिक निकाय का $\lambda_+ > 0$ वाला स्पष्ट रूप से भागता हुआ हल $\eu^{\lambda_+t}v_+$ है: अर्थात् उलटा लोलक प्रत्येक अवमंदन के लिए अस्थिर है।

अभ्यास 19.9 ★★

(अद्वितीयता की सीमा) $\alpha \in \intoo01$ के लिए दर्शाइए कि समस्या $x' = \abs x^{\alpha}$ , $x(0) = 0$ के अनंत हल हैं (समस्या 7.1, भाग III को अनुकूलित कीजिए)। इसके विपरीत दर्शाइए कि $\alpha = 1$ (अर्थात् $x' = \abs x$ ) के लिए $0$ से होकर जाने वाला हल अद्वितीय है, और ठीक-ठीक बताइए कि प्रमेय 19.2 की कौन-सी परिकल्पना इन दोनों स्थितियों में भेद करती है।

हल

हल — अभ्यास 19.9.

$\alpha \in \intoo01$ के लिए: $x \equiv 0$ के अतिरिक्त प्रत्येक

x_c(t) = \begin{cases}0 & t \leq c,\\ \bigl((1-\alpha)(t - c)\bigr)^{1/(1-\alpha)} & t \geq c, \end{cases}

$\mathcal C^1$ है और समीकरण हल करता है (घातांक $\frac1{1-\alpha} > 1$ अवकलज को $c$ पर लुप्त कर देता है): अतः $(0,0)$ से होकर हलों का एक सातत्य। $\alpha = 1$ के लिए: $x \mapsto \abs x$ वैश्विक रूप से $1$ -लिपशित्ज़ है ( $\abs{\abs a - \abs b} \leq \abs{a - b}$ ), अतः प्रमेय 19.2 लागू होती है और $0$ से होकर एकमात्र हल $x \equiv 0$ है। सीमांत ठीक $0$ पर स्थानीय लिपशित्ज़ शर्त है: $\alpha < 1$ के लिए $\abs x^\alpha$ के वहाँ अपरिबद्ध अंतर भागफल हैं।

अभ्यास 19.10 ★★★

(पूर्व परिबंध हलों को फँसा लेते हैं) मान लीजिए $F \colon \R^d \to \R^d$ स्थानीय लिप्शिट्ज़ है और $\norm x \geq R$ होने पर $\langle F(x), x\rangle \leq 0$ । (क) दर्शाइए कि संवृत गोला $\bar B(0, R)$ धनात्मक रूप से अपरिवर्ती है: भीतर से आरंभ होने वाले हल $t \geq 0$ के लिए भीतर ही रहते हैं। (यदि $\norm{x(t_2)} > R$ हो, तो $\norm{x(t_1)} = R$ वाला अंतिम समय $t_1 < t_2$ लीजिए और $\intcc{t_1}{t_2}$ पर $\frac{\dd}{\dd t}\norm{x(t)}^2$ का अध्ययन कीजिए।) (ख) गोले के आँकड़ों के लिए वैश्विक अग्रगामी अस्तित्व निष्कर्ष के रूप में निकालिए। फिर प्रवणक निकाय $x' = -\nabla G(x)$ , $G \in \mathcal C^2$ लीजिए, जहाँ $\norm x \to \infty$ पर $G(x) \to +\infty$ : दर्शाइए कि हलों के अनुदिश $G$ घटता है, कि प्रत्येक हल (परिबद्ध) अधोस्तर समुच्चय $\{G \leq G(x_0)\}$ में रहता है, और वैश्विक अग्रगामी अस्तित्व निष्कर्ष निकालिए।

हल

हल — अभ्यास 19.10.

(क) मान लीजिए $\norm{x(0)} \leq R$ वाले किसी $t_2 > 0$ के लिए $\norm{x(t_2)} > R$ , और $t_1 = \sup\{t \leq t_2 : \norm{x(t)} \leq R\}$ रखिए: तब $\norm{x(t_1)} = R$ और $\intoc{t_1}{t_2}$ पर $\norm{x(t)} > R$ । उस अंतराल पर $g(t) = \norm{x(t)}^2$ का $g'(t) = 2\langle x(t), F(x(t))\rangle \leq 0$ है (परिकल्पना लागू होती है: $\norm{x(t)} \geq R$ ), अतः $g(t_2) \leq g(t_1) = R^2$ : विरोधाभास। गोला धनात्मक रूप से निश्चर है। (ख) संहत गोले में फँसा कोई हल $T_+ < \infty$ नहीं रख सकता (प्रमेय 19.5(2)): अतः अग्र दिशा में वैश्विक। प्रवणक निकाय: $\frac{\dd}{\dd t}G(x(t)) = \langle\nabla G, -\nabla G\rangle = -\norm{\nabla G(x(t))}^2 \leq 0$ : $G$ घटता है, अतः हल $\{G \leq G(x_0)\}$ में रहता है, जो परिबद्ध (प्रबलकारिता: किसी बड़े गोले के बाहर $G > G(x_0)$ ) और संवृत है: अर्थात् संहत। पलायन असंभव है: किसी प्रबलकारी प्रवणक निकाय का प्रत्येक हल अग्र दिशा में वैश्विक है और सदा ढलान पर फिसलता रहता है।

अभ्यास 19.11 ★★

(तुलना से विस्फोट) $x' = x^2 + t^2$ , $x(0) = 1$ पर विचार कीजिए। (क) दर्शाइए कि महत्तम हल किसी $\intco0{T_+}$ पर विद्यमान है जिसमें $T_+ < \infty$ : $y' = y^2$ , $y(0) = 1$ से तुलना कीजिए (अभीष्ट तुलना प्रमेयिका सिद्ध कीजिए: यदि $x' \geq F(x)$ और $x(0) \geq y(0)$ के साथ $y' = F(y)$ हो, तो जहाँ दोनों जीते हैं वहाँ $x \geq y$ ), और $T_+ \leq 1$ निष्कर्ष निकालिए। (ख) $T_+$ को नीचे से परिबद्ध कीजिए: $\intcc01$ पर $x' \leq x^2 + 1$ ; $z(0) = 1$ वाले अधिहल $z' = z^2 + 1$ से तुलना कीजिए, जो $z(t) = \tan\bigl(t + \frac\pi4\bigr)$ से हल हो जाता है, और $T_+ \geq \frac\pi4$ निष्कर्ष निकालिए। (ग) $\frac\pi4 \leq T_+ \leq 1$ संकलित कीजिए और सार बाँधिए: दायाँ पक्ष अधिरैखिक रूप से बढ़ता हो तो वैश्विक अस्तित्व मर जाता है (अभ्यास 19.3 इसका प्रतिबिंदु है), और सीमा $\int^{\infty}\frac{\dd s}{F(s)}$ के अभिसरण पर पड़ती है।

हल

हल — अभ्यास 19.11.

(क) तुलना प्रमेयिका: मान लीजिए उभयनिष्ठ अंतराल पर $w = x - y$ ; $w(0) \geq 0$ और $w' = x' - y' \geq F(x) - F(y) = c(t)w$ , जिसमें $c(t) = \frac{F(x) - F(y)}{x - y}$ संहत समय अंतरालों पर परिबद्ध है ( $F$ स्थानीय रूप से लिपशित्ज़); तब $(w\eu^{-\int c})' \geq 0$ , अतः सर्वत्र $w \geq 0$ । $F(x) = x^2$ के साथ: $y(t) = \frac1{1 - t}$ $1$ पर विस्फोटित होता है, और जब तक $x$ जीवित है तब तक $x \geq y$ ; यदि $T_+ > 1$ हो, तो $x$ $t = 1$ पर परिमित होता जबकि $y \to \infty$ पर हावी रहता: असंगत। अतः $T_+ \leq 1$ ।

(ख) उलटी तुलना (वही प्रमेयिका, भूमिकाएँ बदली हुई): $\intcc01\cap\intco0{T_+}$ पर $t^2 \leq 1$ $x' \leq x^2 + 1$ देता है, जबकि $z(t) = \tan(t + \frac\pi4)$ $z' = z^2 + 1$ , $z(0) = 1 = x(0)$ संतुष्ट करता है: अतः जब तक दोनों परिभाषित हैं तब तक $x \leq z$ । चूँकि $z$ $\intco0{\frac\pi4}$ पर परिमित है, अतः $x$ $\frac\pi4$ से पहले विस्फोटित नहीं हो सकता: $T_+ \geq \frac\pi4$ ।

(ग) मिलाकर: $\frac\pi4 \leq T_+ \leq 1$ (संख्यात्मक रूप से $T_+ \approx 0.96$ )। शिक्षा: $x$ में अधिरैखिक $F$ वाले $x' = F(t, x)$ के लिए हल परिमित समय में तब-तब फट जाते हैं जब $\int^\infty\frac{\dd s}{F(s)} < \infty$ हो (तुलना हल उतने ही परिमित समय में अनंत तक पहुँच जाता है); और रैखिक वृद्धि, जहाँ समाकल अपसारित होता है, वैश्विक अस्तित्व अनिवार्य कर देती है (अभ्यास 19.3)। यह वही ऑस्गुड समाकल है जो समस्या 7.1 में था, और अब वह शून्य से पलायन के बजाय अनंत की ओर पलायन को शासित करता है।

अभ्यास 19.12 ★★★

(श्टुर्म की तुलना प्रमेय) मान लीजिए $q_1 \leq q_2$ किसी अंतराल $I$ पर संतत हैं, और $u \neq 0$ $u'' + q_1u = 0$ को तथा $v \neq 0$ $v'' + q_2v = 0$ को हल करते हैं। (क) व्रोन्स्कियन सर्वसमिका स्थापित कीजिए: $W = uv' - u'v$ के साथ $W' = (q_1 - q_2)\,uv$ । (ख) (श्टुर्म) दर्शाइए कि $u$ के दो क्रमागत शून्यों $a < b$ के बीच या तो $v$ $\intoo ab$ में कहीं लुप्त होता है, या वहाँ $q_1 = q_2$ और $v \propto u$ ( $\intoo ab$ पर $u > 0$ और $v > 0$ भी मान लीजिए; (क) का $a$ से $b$ तक समाकलन कीजिए और सीमांत पदों $W(a), W(b)$ के चिह्न देखिए)। (ग) निष्कर्ष निकालिए: $q \geq m > 0$ वाले $u'' + qu = 0$ के हल लंबाई $\pi/\sqrt m$ के प्रत्येक अंतराल में कम से कम एक बार लुप्त होते हैं ( $v'' + mv = 0$ से तुलना कीजिए); और $q \leq 0$ वाले हल $\R$ पर अधिकतम एक बार। दोनों को $q \equiv \pm1$ पर परखिए।

हल

हल — अभ्यास 19.12.

(क) $W' = uv'' - u''v = u(-q_2v) - (-q_1u)v = (q_1 - q_2)\,uv$ ।

(ख) मान लीजिए $a < b$ $u$ के क्रमागत शून्य हैं; $\intoo ab$ पर $u > 0$ मानकीकृत कीजिए (अतः $u'(a) > 0$ , $u'(b) < 0$ — जो अद्वितीयता से शून्येतर है, क्योंकि $u(a) = u'(a) = 0$ $u \equiv 0$ अनिवार्य कर देता)। मान लीजिए $\intoo ab$ में $v$ का कोई शून्य नहीं; वहाँ $v > 0$ मानकीकृत कीजिए (अतः सांतत्य से $v(a), v(b) \geq 0$ )। (क) का समाकलन कीजिए:

W(b) - W(a) = \int_a^b(q_1 - q_2)\,uv \;\leq\; 0 .

पर $W(a) = u(a)v'(a) - u'(a)v(a) = -u'(a)v(a) \leq 0$ और $W(b) = -u'(b)v(b) \geq 0$ : अतः $W(b) - W(a) \geq 0$ । पूरी शृंखला में बराबरी: विवृत अंतराल पर $uv > 0$ के साथ $\int(q_1 - q_2)uv = 0$ वहाँ $q_1 = q_2$ अनिवार्य कर देता है; और $W(a) = W(b) = 0$ $v(a) = v(b) = 0$ अनिवार्य कर देता है; तब $\intcc ab$ पर $W \equiv 0$ (उसका अवकलज लुप्त होता है), अर्थात् $\intoo ab$ पर $(v/u)' = -W/u^2 = 0$ : $v \propto u$ ।

(ग) $q_1 = m$ और $u = \sin(\sqrt m(t - t_0))$ लीजिए, जिसके क्रमागत शून्य $\pi/\sqrt m$ दूर हैं, और $q_2 = q \geq m$ : तब (ख) से $v'' + qv = 0$ का प्रत्येक हल $v$ लंबाई $\pi/\sqrt m$ के प्रत्येक विवृत अंतराल में लुप्त होता है (अपह्रासी विकल्प $q \equiv m$ में $v \propto u$ भी लुप्त होता है)। और यदि $q \leq 0$ हो: तो $q_1 = q$ , $u = v$ के साथ (ख) लगाइए, तथा $v'' = 0$ के शून्य-रहित हल $\mathbf 1$ के साथ $q_2 = 0$ । यदि $v$ के दो क्रमागत शून्य होते, तो (ख) या तो उनके बीच $\mathbf 1$ का कोई शून्य अनिवार्य कर देती या अपह्रासी स्थिति $\mathbf 1 \propto v$ — दोनों असंगत: अतः $v$ अधिक से अधिक एक बार लुप्त होता है। परीक्षण: $q = 1$ के लिए $\sin t$ प्रत्येक $\pi = \pi/\sqrt1$ पर लुप्त होता है, जैसा भविष्यवाणी की गई; और $q = -1$ के लिए $\sinh t$ ठीक एक बार लुप्त होता है तथा $\eu^t$ कभी नहीं — अधिक से अधिक एक शून्य, जैसा भविष्यवाणी की गई।

19.6 समस्या: लोलक, पूर्णतः हल

समस्या 19.1

सप्ताहांत समस्या — दोलन, घूर्णन, विभाजक, और आवर्तकाल

लोलक समीकरण $x'' = -\sin x$ — निकाय के रूप में: $\R^2$ पर $x' = y$ , $y' = -\sin x$ — गतिकी की ड्रोसोफिला है: लिखने में सरल, प्रारंभिक सूत्रों से हल करने में असंभव, फिर भी गुणात्मक विधि से पूर्णतः बोधगम्य। मान लीजिए $E(x, y) = \frac{y^2}2 - \cos x$ (ऊर्जा)।

भाग I — वैश्विक संरचना।

दर्शाइए कि सभी महत्तम हल वैश्विक ( $\R$ -परिभाषित) हैं: $\dot E = 0$ और प्रमेय 19.5 का उपयोग कीजिए। साम्यावस्थाएँ: $(k\pi, 0)$ ; उनके रैखिकीकरणों का वर्गीकरण कीजिए (सम $k$ के लिए केंद्र-प्रकार, विषम $k$ के लिए काठी)।
दर्शाइए कि प्रक्षेपपथ स्तर समुच्चयों $\{E = E_0\}$ में अंतर्विष्ट हैं, और उन्हें $E_0 \in \intco{-1}{+\infty}$ के मान के अनुसार खींचिए/वर्णित कीजिए: $E_0 = -1$ (साम्यावस्थाएँ), $-1 < E_0 < 1$ ( $(2k\pi, 0)$ के चारों ओर संवृत वक्र), $E_0 = 1$ ( $(\pm\pi, 0)$ से होकर जाता विभाजक), $E_0 > 1$ ( $x$ पर आलेख: घूर्णन)।
सिद्ध कीजिए कि निचली साम्यावस्था $(0,0)$ स्थायी है पर स्पर्शोन्मुख रूप से स्थायी नहीं। ( $V = E + 1$ के साथ ल्यापुनोव; अस्पर्शोन्मुखता: ऊर्जा संरक्षण कक्षाओं को मूल बिंदु से दूर स्तर वक्रों पर फँसा देता है।)

भाग II — दोलन और उनका आवर्तकाल। $-1 < E_0 < 1$ स्थिर कीजिए और $a \in \intoo0\pi$ (आयाम) के साथ $E_0 = -\cos a$ लिखिए।

दर्शाइए कि $x(0) = a$ , $y(0) = 0$ वाला हल दोलन करता है: $x(t) \in \intcc{-a}a$ , और कक्षा संवृत वक्र $y^2 = 2(\cos x - \cos a)$ है। यह उचित ठहराइए कि हल आवर्ती है: कक्षा साम्यावस्थाओं से रहित एक संहत वक्र है जिसे नीचे से परिबद्ध चाल पर पार किया जाता है — इसे एक तर्क बनाइए (हल परिमित समय में अपने आरंभिक बिंदु पर लौट आता है, और फिर अद्वितीयता आवर्तिता अनिवार्य कर देती है)।
आवर्तकाल सूत्र

$T(a) = 4\int_0^{a}\frac{\dd x}{\sqrt{2(\cos x - \cos a)}}$

स्थापित कीजिए (किसी चौथाई कक्षा पर $y = \frac{\dd x}{\dd t} > 0$ और चर पृथक कीजिए; $x = a$ पर अनुचित अभिसरण उचित ठहराइए)।
(छोटे दोलन) $\sin\frac x2 = \sin\frac a2\,\sin\varphi$ प्रतिस्थापित कीजिए और

$T(a) = 4\int_0^{\pi/2}\frac{\dd\varphi}{\sqrt{1 - k^2\sin^2\varphi}}, \qquad k = \sin\frac a2$

दर्शाइए (एक पूर्ण दीर्घवृत्तीय समाकल)। प्रभावी अभिसरण से निष्कर्ष निकालिए कि $a \to 0^+$ पर $T(a) \to 2\pi$ : अर्थात् संनादी सीमा, जो आयाम से स्वतंत्र है — गैलीलियो की सन्निकट समकालिकता, और उसका यथार्थ संशोधन $T(a) = 2\pi\bigl(1 + \frac{k^2}4 + O(k^4)\bigr)$ (समाकल्य का प्रसार कीजिए और प्रसामान्य अभिसरण से उचित ठहराते हुए पदशः समाकलन कीजिए)।
दर्शाइए कि $a \to \pi^-$ पर $T(a) \to +\infty$ ( $k \to 1$ होने पर $\varphi = \frac\pi2$ के निकट समाकल्य को नीचे से परिबद्ध कीजिए, अथवा एकदिष्ट अभिसरण लगाइए): अर्थात् विभाजक के पास पहुँचते हुए लोलक बिना किसी सीमा के धीमा होता जाता है।

भाग III — विभाजक।

$E_0 = 1$ के लिए ऊपरी शाखा पर $y = 2\cos\frac x2$ : चर पृथक कीजिए और समाकलन करके स्पष्ट हल

$x(t) = 4\arctan\bigl(\eu^{t}\bigr) - \pi$

ढूँढ़िए ( $x(0) = 0$ , $y(0) = 2$ के साथ)। सीधे सत्यापित कीजिए कि वह लोलक समीकरण हल करता है, और $t \to \pm\infty$ पर उसकी तथा $y(t)$ की सीमाएँ परिकलित कीजिए।
निष्कर्ष निकालिए: विभाजक कक्षा काठी $(-\pi, 0)$ ( $t \to -\infty$ पर) को काठी $(\pi, 0)$ ( $t \to +\infty$ पर) से जोड़ती है, पर किसी तक भी परिमित समय में नहीं पहुँचती — जो अद्वितीयता के अनुरूप है (किसी काठी तक परिमित समय में पहुँचना उपप्रमेय 19.4 का खंडन क्यों करता?)।

भाग IV — घूर्णन, और पूरा चित्र।

$E_0 > 1$ के लिए: दर्शाइए कि $y$ कभी लुप्त नहीं होता, $x$ कड़ाई से एकदिष्ट और वैश्विक है, $x(t) \to \pm\infty$ , और $t \mapsto y(t)$ आवर्तकाल

$\tau(E_0) = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{\dd x}{\sqrt{2(E_0 + \cos x)}} .$

के साथ आवर्ती है।
पूरा प्रावस्था चित्र (अध्याय का चित्र) संकलित कीजिए और उसकी प्रत्येक विशेषता को पूरी तरह उचित ठहराइए, तथा विधि का दस-पंक्ति सार लिखिए: ऊर्जा, स्तर समुच्चय, संहतता, अद्वितीयता — अध्याय की प्रत्येक प्रमेय कहाँ आई? हमें कहीं भी सामान्य हल के किसी सूत्र की आवश्यकता पड़ी?

भाग V — सूक्ष्मदर्शी के नीचे आवर्तकाल फलन।

वालिस आघूर्ण

$W_n = \int_0^{\pi/2}\sin^{2n}\varphi\,\dd\varphi = \frac\pi2\cdot\frac{(2n)!}{4^n\,(n!)^2}$

आगमन से (खंडशः समाकलन) सिद्ध कीजिए, प्रश्न 6 के समाकल्य का द्विपद श्रेणी में प्रसार कीजिए, और पदशः समाकलन उचित ठहराकर पूरी श्रेणी

$T(a) = 2\pi\sum_{n\geq0} \Bigl(\frac{(2n)!}{4^n(n!)^2}\Bigr)^{\!2}k^{2n} = 2\pi\Bigl(1 + \frac{k^2}4 + \frac{9k^4}{64} + O(k^6)\Bigr), \qquad k = \sin\frac a2 .$

प्राप्त कीजिए।
आयाम में बदलिए:

$T(a) = 2\pi\Bigl(1 + \frac{a^2}{16} + \frac{11\,a^4}{3072} + O(a^6)\Bigr)$

( $\sin\frac a2$ का प्रसार प्रतिस्थापित कीजिए और पद इकट्ठे कीजिए)। समकालिकता कोटि $a^2$ पर विफल हो जाती है, और वह विफलता अब कोटि $a^4$ तक मात्रात्मक हो गई है।
दर्शाइए कि $a \mapsto T(a)$ $\intoo0\pi$ पर संतत और कड़ाई से बढ़ता हुआ है, और प्रश्न 6–7 के साथ निष्कर्ष निकालिए कि $T$ $\intoo0\pi$ से $\intoo{2\pi}{+\infty}$ पर एक एकैकी आच्छादक संगति है: अर्थात् प्रत्येक अधिक्रांतिक आवर्तकाल ठीक एक ही आयाम से साकार होता है।
(घड़ीसाज़ का अंकगणित) लुप्त होते आयाम पर नियमित किया गया लोलक आदर्श समय रखता है; दर्शाइए कि आयाम $a$ पर चलाने से वह आदर्श समय के अंश $\frac{a^2}{16} + O(a^4)$ जितना पिछड़ जाता है, और $a = 0.2$ रेडियन के लिए बहाव परिकलित कीजिए: लगभग $216$ सेकंड प्रति दिन। (हाइगेंस के चक्रज गाल और निर्गम तंत्रों के छोटे अचर आयाम, दोनों इसी संख्या के उत्तर हैं।)
प्रश्न 10 के घूर्णन आवर्तकाल $\tau$ पर लौटिए: दर्शाइए कि $\tau$ $\intoo1{+\infty}$ पर कड़ाई से घटता हुआ है, कि $E_0 \to 1^+$ पर $\tau(E_0) \to +\infty$ (एकदिष्ट अभिसरण), और यह कि $E_0 \to +\infty$ पर $\sqrt{2E_0}\,\tau(E_0) \to 2\pi$ (प्रभावी अभिसरण): अर्थात् तेज चक्करदार घूर्णन स्पर्शोन्मुख रूप से कोणीय चाल $\sqrt{2E_0}$ का मुक्त घूर्णन है।

भाग VI — विधि का निर्यात: लोत्का–वोल्तेरा। लोलक का नुस्खा — प्रथम समाकल, संहत स्तर वक्र, अद्वितीयता — किसी पारितंत्र को भी हल कर देता है। $\alpha, \beta, \gamma, \delta > 0$ स्थिर कीजिए और विवृत चतुर्थांश $Q = \intoo0{+\infty}\times\intoo0{+\infty}$ पर

x' = x\,(\alpha - \beta y), \qquad y' = y\,(\delta x - \gamma)

पर विचार कीजिए ( $x$ शिकार, $y$ परभक्षी)।

दर्शाइए कि $Q$ अपरिवर्ती है — अक्ष स्पष्ट परिकलनीय कक्षाओं के सम्मिलन हैं जिन्हें कोई हल पार नहीं कर सकता (उपप्रमेय 19.4) — और यह कि $Q$ में एकमात्र साम्यावस्था $(x_*, y_*) = \bigl(\frac\gamma\delta, \frac\alpha\beta\bigr)$ है।
दर्शाइए कि

$H(x, y) = \delta x - \gamma\ln x + \beta y - \alpha\ln y$

एक प्रथम समाकल है, कि $H = f(x) + g(y)$ , जहाँ $f, g$ $\intoo0{+\infty}$ पर कड़ाई से उत्तल और उचित है और उसके न्यूनतम $x_*$ , $y_*$ पर हैं, और निष्कर्ष निकालिए कि $Q$ में सभी महत्तम हल वैश्विक हैं।
दर्शाइए कि $h > h_* = H(x_*, y_*)$ के लिए स्तर समुच्चय $\{H = h\}\cap Q$ साम्यावस्था के चारों ओर एक संवृत वक्र है: किसी संहत अंतराल $\intcc{x_-}{x_+} \ni x_*$ पर दो संतत शाखाएँ $y_\pm(x)$ , जो सिरों पर जुड़ी हों — अर्थात् लोलक के अंडाकारों का समरूप।
सिद्ध कीजिए कि $Q$ में प्रत्येक असाम्य कक्षा आवर्ती है: रेखाओं $x = x_*$ और $y = y_*$ से कटे चारों क्षेत्रों में वामावर्त परिभ्रमण स्थापित कीजिए, प्रत्येक चाप के पार करने के समय को अभिसारी वर्गमूल एकलता वाले किसी समाकल से परिबद्ध कीजिए (प्रश्न 5 की तरह), और अद्वितीयता से समाप्त कीजिए (प्रश्न 4 की तरह)।
(वोल्तेरा का औसतों का नियम) यदि $T$ ऐसी किसी कक्षा का आवर्तकाल हो, तो दर्शाइए कि

$\frac1T\int_0^Tx(t)\,\dd t = \frac\gamma\delta, \qquad \frac1T\int_0^Ty(t)\,\dd t = \frac\alpha\beta :$

अर्थात् समय-औसत साम्यावस्था मानों के बराबर होते हैं, चाहे आयाम कुछ भी हो (एक आवर्त पर $(\ln x)' = \alpha - \beta y$ का समाकलन कीजिए)।
(मछली पकड़ने का विरोधाभास) दोनों प्रजातियों की दर $\varepsilon \in \intoo0\alpha$ से कटाई कीजिए: निकाय अपना रूप बनाए रखता है, जिसमें $\alpha$ और $\gamma$ के स्थान पर $\alpha - \varepsilon$ और $\gamma + \varepsilon$ आ जाते हैं। औसत जनसंख्याओं का क्या होता है? दांकोना के प्रेक्षण (1914–1918) की व्याख्या कीजिए: युद्ध के दौरान जब एड्रियाटिक में मछली पकड़ना घटा, तब पकड़ में परभक्षियों (शार्क) का अनुपात बढ़ गया — और यह भी कि मध्यम मछली पकड़ना शिकार को क्यों लाभ पहुँचाता है।
दस-पंक्ति सार लिखिए: प्रत्येक चरण को अध्याय की कौन-सी प्रमेय चलाती है, लोलक की ऊर्जा का स्थान क्या लेता है, और दोनों में से किसी निकाय को किसी प्रारंभिक संवृत-रूप हल की आवश्यकता क्यों नहीं पड़ी — और वह स्वीकार्य भी क्यों नहीं।
(चाल का मॉडुलन) घूर्णन व्यवस्था $E_0 > 1$ में दर्शाइए कि $y = x'$ $\sqrt{2(E_0 - 1)}$ ( $x \equiv \pi \bmod 2\pi$ पर) और $\sqrt{2(E_0 + 1)}$ ( $x \equiv 0$ पर) के बीच दोलन करता है, कि एक आवर्त पर $y$ का समय-औसत ठीक $\frac{2\pi}{\tau(E_0)}$ है, और यह कि $E_0 \to \infty$ पर मॉडुलन अनुपात $\sqrt{\frac{E_0 + 1}{E_0 - 1}} \to 1$ : अर्थात् तेज घूर्णन स्पर्शोन्मुख रूप से एकसमान होता है।
(घूर्णन आवर्तकाल की एकदिष्टता) दर्शाइए कि $\tau(E_0)$ $\mathcal C^1$ है और $\intoo1{+\infty}$ पर कड़ाई से घटता हुआ (समाकल चिह्न के भीतर अवकलन कीजिए, प्रत्येक $\intco{1 + \delta}\infty$ पर प्रभुत्व के साथ), जिसमें $E_0 \to 1^+$ पर $\tau \to \infty$ और $E_0 \to \infty$ पर $\tau \to 0$ । ऊर्जा अक्ष के अनुदिश लोलक का पूरा द्विशाखन चित्र संकलित कीजिए: $E_0 = -1$ पर साम्यावस्थाएँ, $-1 < E_0 < 1$ पर $2\pi$ से $\infty$ तक बढ़ते आवर्तकाल वाले दोलन, $E_0 = 1$ पर विभाजक, और उसके आगे $\infty$ से $0$ तक घटते आवर्तकाल वाले घूर्णन।

हल

हल — समस्या 19.1.

1. $\dot E = yy' + \sin x\cdot x' = -y\sin x + y\sin x = 0$ : ऊर्जा कोई प्रथम समाकल है। किसी महत्तम हल पर $y^2 = 2(E_0 + \cos x) \leq 2(E_0 + 1)$ : अतः $y$ परिबद्ध है; और तब $\abs{x(t)} \leq \abs{x(0)} + t\sup\abs y$ अधिक से अधिक रैखिक रूप से बढ़ता है: अतः किसी भी परिमित समय अंतराल पर प्रक्षेप-पथ $\R^2$ के किसी संहत में रहता है, इसलिए प्रमेय 19.5(2) $T_\pm = \pm\infty$ अनिवार्य कर देती है। साम्यावस्थाएँ $(k\pi, 0)$ ; रैखिकीकरण $-\cos(k\pi) = \mp1$ के साथ $\bigl(\begin{smallmatrix}0&1\\ \mp1&0\end{smallmatrix}\bigr)$ : सम $k$ के लिए अभिलक्षणिक मान $\pm\iu$ (केंद्र प्रकार, अपने आप में अनिर्णायक) और विषम $k$ के लिए $\pm1$ (काठी)।

2. हलों के अनुदिश अचर $E$ प्रत्येक प्रक्षेप-पथ को किसी स्तर समुच्चय $\{y^2 = 2(E_0 + \cos x)\}$ तक सीमित कर देता है। $E_0 = -1$ के लिए: केवल बिंदु $(2k\pi, 0)$ । $-1 < E_0 < 1$ के लिए: $E_0 = -\cos a$ लिखने पर वह समुच्चय $x \in [2k\pi - a, 2k\pi + a]$ पर संवृत वक्रों $y = \pm\sqrt{2(\cos x - \cos a)}$ का असंयुक्त संघ है, प्रत्येक स्थायी साम्यावस्था के चारों ओर एक। $E_0 = 1$ के लिए: क्रमागत काठियों को जोड़ते वक्र $y = \pm2\cos\frac x2$ — अर्थात् विभाजक — स्वयं काठियों के साथ। $E_0 > 1$ के लिए: दो आलेख $y = \pm\sqrt{2(E_0 + \cos x)}$ , जो सभी $x$ के लिए परिभाषित हैं और $y = 0$ को कभी नहीं छूते।

3. $V = E + 1 = \frac{y^2}2 + (1 - \cos x)$ $(0,0)$ पर लुप्त होता है, किसी छिद्रित प्रतिवेश पर धनात्मक है ( $\abs x < 2\pi$ ), और $\dot V = 0 \leq 0$ : अतः प्रमेय 19.11 स्थायित्व दे देती है। अनंतस्पर्शी नहीं: $(a, 0)$ ( $0 < a$ छोटा) से होकर जाता हल स्तर वक्र $E = -\cos a$ पर बना रहता है, जिसकी मूल बिंदु से दूरी धनात्मक है (वक्र $x$ -अक्ष से केवल $\pm a$ पर मिलता है): $\varphi_t(a, 0) \not\to (0,0)$ ।

4. स्तर वक्र $C_a$ पर: कोई साम्यावस्था नहीं ( $y = 0$ $0 < a < \pi$ के लिए $\sin(\pm a) \neq 0$ के साथ $x = \pm a$ अनिवार्य कर देता है), अतः चाल $\norm{(y, -\sin x)}$ का संहत $C_a$ पर कोई धनात्मक निम्निष्ठ $m$ है। $(a, 0)$ से हल का अनुसरण कीजिए: निचले अर्ध समतल में $x' = y < 0$ , अतः $x$ परिमित समय में $a$ से $-a$ तक घटता है (चौथाई/आधे आवर्त के समाकल अभिसरित होते हैं: प्रश्न 5 का विश्लेषण), और $(-a, 0)$ तक पहुँच जाता है; और समीकरण की सममिति $(x, y) \mapsto (x, -y)$ , $t \mapsto -t$ से ऊपरी आधा उसी समय $\frac T2$ में वापस पार होता है: अतः हल समय $T$ पर $(a, 0)$ पर लौट आता है। तब अद्वितीयता (उपप्रमेय 19.4) प्रसारित हो जाती है: सभी $t$ के लिए $x(t + T) = x(t)$ : अर्थात् आवर्ती।

5. उस शाखा पर जहाँ $y > 0$ : $y = \sqrt{2(\cos x - \cos a)}$ और $\dd t = \frac{\dd x}{y}$ ; $-a$ से $a$ तक $x$ के समाकलन से आधा आवर्त मिलता है, और सममिति $x \mapsto -x$ समाकल को फिर आधा कर देती है:

T(a) = 4\int_0^a\frac{\dd x}{\sqrt{2(\cos x - \cos a)}} .

$x = a^-$ पर अभिसरण: $\sin a > 0$ के साथ $\cos x - \cos a = \sin(a)(a - x) + O((a-x)^2)$ : अतः समाकल्य $\bigl(2\sin a\,(a - x)\bigr)^{-1/2}$ की भाँति व्यवहार करता है, जो समाकलनीय है।

6. $\sin\frac x2 = k\sin\varphi$ , $k = \sin\frac a2$ के साथ: $\cos x - \cos a = 2(k^2 - \sin^2\frac x2) = 2k^2\cos^2\varphi$ और $\frac12\cos\frac x2\,\dd x = k\cos\varphi\,\dd\varphi$ , अतः

T(a) = 4\int_0^{\pi/2} \frac{\dd\varphi}{\sqrt{1 - k^2\sin^2\varphi}} .

$a \to 0^+$ पर $k \to 0$ : $k \leq k_0 < 1$ के लिए समाकल्य पर $(1 - k_0^2\sin^2\varphi)^{-1/2}$ का प्रभुत्व है, जो $\intcc0{\pi/2}$ पर संतत है: अतः प्रभावी अभिसरण प्रमेय $T \to 4\cdot\frac\pi2 = 2\pi$ दे देती है। $u = k^2\sin^2\varphi$ ( $k < 1$ के लिए प्रसामान्य अभिसरण) और $\int_0^{\pi/2}\sin^2 = \frac\pi4$ के साथ $(1 - u)^{-1/2} = 1 + \frac u2 + \frac{3u^2}8 + \cdots$ का प्रसार करने पर:

T(a) = 2\pi\Bigl(1 + \frac{k^2}{4} + O(k^4)\Bigr) :

समकालिकता केवल प्रथम कोटि तक लागू है; आवर्त आयाम के साथ बढ़ता है।

7. $k \uparrow 1$ पर समाकल्य बढ़कर $(1 - \sin^2\varphi)^{-1/2} = \frac1{\cos\varphi}$ तक जाते हैं, जिसका समाकल अपसारित होता है: अतः एकदिष्ट अभिसरण से $a \to \pi^-$ पर $T(a) \to +\infty$ ।

8. शाखा $y = 2\cos\frac x2$ ( $\abs x < \pi$ ) पर: $\frac{\dd x}{2\cos(x/2)} = \dd t$ ; और $u = \frac x2$ , $\int\frac{\dd u}{\cos u} = \ln\tan\bigl(\frac u2 + \frac\pi4\bigr)$ के साथ $t = \ln\tan\bigl(\frac x4 + \frac\pi4\bigr)$ , अर्थात्

x(t) = 4\arctan(\eu^t) - \pi, \qquad y(t) = x'(t) = \frac{4\eu^t}{1 + \eu^{2t}} = \frac{2}{\cosh t} .

ऊर्जा से सत्यापन: $\theta = \arctan\eu^t$ के साथ $\sin2\theta = \frac1{\cosh t}$ , अतः $\cos x = -\cos4\theta = -1 + \frac{2}{\cosh^2t}$ और $E = \frac{y^2}2 - \cos x = \frac2{\cosh^2t} + 1 - \frac2{\cosh^2t} = 1$ : अर्थात् प्रक्षेप-पथ विभाजक पर है, और जहाँ $y > 0$ हो वहाँ $y^2 = 2(1 + \cos x)$ का अवकलन $y' = -\sin x$ पुनरुत्पन्न कर देता है। सीमाएँ: $t \to \pm\infty$ पर $x \to \pm\pi$ और $y \to 0$ ।

9. कक्षा अग्र दिशा में काठी $(\pi, 0)$ की ओर और पश्च दिशा में $(-\pi, 0)$ की ओर जाती है पर कभी पहुँचती नहीं: यदि वह किसी परिमित समय $t^*$ पर $(\pi, 0)$ तक पहुँच जाती, तो दो भिन्न महत्तम हल — विभाजक हल और काठी पर अचर हल — एक ही बिंदु $(t^*, (\pi, 0))$ से होकर जाते, जो उपप्रमेय 19.4 का खंडन करता है। काठियों तक केवल अनंतस्पर्शी रूप से ही पहुँचा जाता है।

10. $E_0 > 1$ के लिए: $y^2 = 2(E_0 + \cos x) \geq 2(E_0 - 1) > 0$ : $y$ अपना चिह्न बनाए रखता है, और $\abs{x'} = \abs y \geq \sqrt{2(E_0 - 1)}$ : अतः $x$ कड़ाई से एकदिष्ट, वैश्विक (प्रश्न 1) है, जिसमें $x(t) \to \pm\infty$ । चूँकि $y(t) = \pm\sqrt{2(E_0 + \cos x(t))}$ और $\cos$ $2\pi$ -आवर्ती है, अतः जब-जब $x$ $2\pi$ भर आगे बढ़ता है तब-तब $y$ अपने मान पर लौट आता है; और इसके लिए आवश्यक समय

\tau(E_0) = \int_{x_0}^{x_0 + 2\pi}\frac{\dd x}{\sqrt{2(E_0 + \cos x)}} = \int_{-\pi}^{\pi}\frac{\dd x}{\sqrt{2(E_0 + \cos x)}}

है (प्रतिस्थापन; आवर्तिता): अतः $y$ $\tau$ -आवर्ती है — अर्थात् बड़ी ऊर्जाओं के लिए लोलक अनंतस्पर्शी रूप से अचर घूर्णन दर $2\pi/\tau \approx \sqrt{2E_0}$ के साथ चक्कर काटता है।

11. विधि, क्रम से: ऊर्जा ( $\dot E = 0$ ) द्वि-विमीय प्रवाह को एक-विमीय स्तर वक्रों तक ढहा देती है; प्रत्येक स्तर पर $y$ की परिबद्धता और संहतों-से-पलायन वैश्विक अस्तित्व दे देते हैं; संवृत स्तरों की संहतता चाल परिबंध और इसलिए आवर्तिता देती है; अद्वितीयता प्रथम-प्रत्यागमन को यथार्थ आवर्तिता में बदल देती है, काठियों पर परिमित-समय आगमन मना करती है, और कक्षा प्रकारों को पृथक करती है; रैखिकीकरण और ल्यापुनोव साम्यावस्थाओं का वर्गीकरण करते हैं; और आवर्त समाकल का विश्लेषण अध्याय 10 की अभिसरण प्रमेयों से होता है। किसी भी बिंदु पर हमारे पास कोई संवृत-रूप व्यापक हल न था — और न उसकी आवश्यकता थी: गुणात्मक सिद्धांत ने गति की प्रत्येक विशेषता स्वयं समीकरण से निकाल ली।

12. खंडशः: $W_n = \int_0^{\pi/2}\sin^{2n-1}\varphi \cdot\sin\varphi\,\dd\varphi = (2n-1)\int_0^{\pi/2} \sin^{2n-2}\varphi\cos^2\varphi\,\dd\varphi = (2n-1)(W_{n-1} - W_n)$ , अतः $W_n = \frac{2n-1}{2n}W_{n-1}$ ; और $W_0 = \frac\pi2$ तथा $\prod_{j=1}^n\frac{2j-1}{2j} = \frac{(2n)!}{4^n(n!)^2}$ ( $(2n)! = 2^nn!\prod(2j-1)$ विभाजित कीजिए) के साथ आगमन दिखाया गया मान दे देता है। द्विपद श्रेणी: $c_n = \frac{(2n)!}{4^n(n!)^2} \in \intoc01$ के साथ $(1 - u)^{-1/2} = \sum_{n\geq0}c_nu^n$ , त्रिज्या $1$ । $k \leq k_0 < 1$ और $u = k^2\sin^2\varphi$ के लिए श्रेणी $\sum c_nk^{2n}\sin^{2n}\varphi$ $\varphi$ में प्रसामान्य रूप से अभिसरित होती है ( $c_nk^{2n} \leq k_0^{2n}$ ), अतः प्रश्न 6 के सूत्र में पदशः समाकलन वैध है:

T(a) = 4\sum_{n\geq0}c_nk^{2n}W_n = 4\cdot\frac\pi2\sum_{n\geq0}c_n^2\,k^{2n} = 2\pi\sum_{n\geq0} \Bigl(\frac{(2n)!}{4^n(n!)^2}\Bigr)^{\!2}k^{2n} .

$c_0 = 1$ , $c_1 = \frac12$ , $c_2 = \frac38$ के साथ: $T(a) = 2\pi\bigl(1 + \frac{k^2}4 + \frac{9k^4}{64} + O(k^6)\bigr)$ , जिसका शेषफल $k \leq k_0$ के लिए एकसमान है (पुच्छ पर किसी ज्यामितीय श्रेणी का प्रभुत्व)।

13. $k = \sin\frac a2 = \frac a2 - \frac{a^3}{48} + O(a^5)$ , अतः

k^2 = \frac{a^2}4 - \frac{a^4}{48} + O(a^6), \qquad k^4 = \frac{a^4}{16} + O(a^6) ,

और

\frac{T(a)}{2\pi} = 1 + \frac14\Bigl(\frac{a^2}4 - \frac{a^4}{48}\Bigr) + \frac9{64}\cdot\frac{a^4}{16} + O(a^6) = 1 + \frac{a^2}{16} + \frac{11\,a^4}{3072} + O(a^6) ,

क्योंकि $-\frac1{192} + \frac9{1024} = \frac{-16 + 27}{3072} = \frac{11}{3072}$ ।

14. प्रश्न 6 के दीर्घवृत्तीय रूप में $a \mapsto k = \sin\frac a2$ $\intoo0\pi$ से $\intoo01$ पर कोई संतत कड़ाई से वर्धमान एकैकी आच्छादन है, और प्रत्येक $\varphi \in \intoc0{\pi/2}$ के लिए समाकल्य $(1 - k^2\sin^2\varphi)^{-1/2}$ $k$ में कड़ाई से वर्धमान है: अतः $T$ कड़ाई से वर्धमान है। सांतत्य: $k \leq k_0 < 1$ पर समाकल्य पर संतत $(1 - k_0^2\sin^2\varphi)^{-1/2}$ का प्रभुत्व है, अतः $k' \to k$ के अनुदिश प्रभावी अभिसरण लागू होता है। $a \to 0^+$ पर $T \to 2\pi$ (प्रश्न 6) और $a \to \pi^-$ पर $T \to +\infty$ (प्रश्न 7) सीमाओं के साथ, कड़ी एकदिष्टता और मध्यवर्ती मान प्रमेय $T$ को $\intoo0\pi$ से $\intoo{2\pi}{+\infty}$ पर एकैकी आच्छादन बना देती हैं।

15. कोई घड़ी दोलन गिनती है; लुप्त होते आयाम पर नियमित की गई घड़ी प्रति दोलन प्रसंवादी आवर्त $2\pi$ दर्ज करती है (लोलक के समय मात्रक में)। आयाम $a$ पर चलने पर वास्तविक आवर्त $T(a) = 2\pi\bigl(1 + \frac{a^2}{16} + O(a^4)\bigr)$ है: घड़ी $2\pi$ दर्ज करती है जबकि सचमुच $T(a)$ बीत जाता है, अतः वह

\frac{T(a) - 2\pi}{T(a)} = \frac{a^2}{16} + O(a^4) .

अंश भर पिछड़ जाती है। $a = 0.2$ रेडियन (लगभग $11.5$ अंश) के लिए: $\frac{a^2}{16} = \frac{0.04}{16} = \frac1{400}$ , और एक दिन में $86400$ सेकंड होते हैं: अतः घड़ी प्रति दिन $86400/400 = 216$ सेकंड — लगभग साढ़े तीन मिनट — खो देती है। और यहीं से दोनों ऐतिहासिक उपचार आते हैं: कोई नन्हा अचर आयाम लागू कीजिए (निर्गमक), अथवा प्रतिबंध को ऐसा मोड़ दीजिए कि आवर्त ठीक-ठीक आयाम-मुक्त हो जाए (हाइगेंस के चक्रज गाल, 1657)।

16. $\tau(E_0) = \int_{-\pi}^{\pi}\frac{\dd x}{\sqrt{2(E_0 + \cos x)}}$ में समाकल्य प्रत्येक स्थिर $x$ के लिए $E_0$ में कड़ाई से ह्रासमान है: अतः $\tau$ कड़ाई से ह्रासमान है। $E_0 \downarrow 1$ पर समाकल्य बिंदुशः बढ़कर $\bigl(2(1 + \cos x)\bigr)^{-1/2} = \frac1{2\abs{\cos\frac x2}}$ तक जाते हैं, जिसका $\intoo{-\pi}\pi$ पर समाकल अपसारित होता है ( $\cos\frac x2$ $\pm\pi$ पर प्रथम कोटि में लुप्त होता है): अतः एकदिष्ट अभिसरण $\tau(E_0) \to +\infty$ दे देता है। $E_0 \to +\infty$ पर:

\sqrt{2E_0}\,\tau(E_0) = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{\dd x}{\sqrt{1 + \cos x/E_0}} \longrightarrow 2\pi

प्रभावी अभिसरण से ( $E_0 \geq 2$ के लिए समाकल्य अधिक से अधिक $\sqrt2$ है)। अतः $\tau \approx 2\pi/\sqrt{2E_0}$ : अर्थात् एक चक्कर में उतना ही समय लगता है जितना चाल $\sqrt{2E_0}$ पर मुक्त घूर्णन में, और विभव केवल एक लहर भर रह जाता है — जो प्रश्न 10 की घूर्णन दर से मेल खाता है।

17. अक्ष स्पष्ट हल $t \mapsto (x_0\eu^{\alpha t}, 0)$ और $t \mapsto (0, y_0\eu^{-\gamma t})$ ढोते हैं, साथ में साम्यावस्था $(0, 0)$ : अतः वे कक्षाओं के संघ हैं। क्षेत्र $\mathcal C^1$ है, इसलिए स्थानीय रूप से लिपशित्ज़; और $Q$ में आरंभ होकर किसी अक्ष को छूने वाला कोई हल उन कक्षाओं में से किसी के बिंदु से होकर जाता और उपप्रमेय 19.4 से उसी के साथ मेल खा जाता — असंभव, क्योंकि एक अक्ष पर रहता है और दूसरा नहीं। अतः $Q$ दोनों समय दिशाओं में निश्चर है। $Q$ में साम्यावस्थाएँ: $x > 0$ $\alpha - \beta y = 0$ अनिवार्य करता है और $y > 0$ $\delta x - \gamma = 0$ : अर्थात् एकमात्र बिंदु $(x_*, y_*) = \bigl(\frac\gamma\delta, \frac\alpha\beta\bigr)$ ।

18. किसी हल के अनुदिश

\dot H = \Bigl(\delta - \frac\gamma x\Bigr)x' + \Bigl(\beta - \frac\alpha y\Bigr)y' = (\delta x - \gamma)(\alpha - \beta y) + (\beta y - \alpha)(\delta x - \gamma) = 0 .

$f(x) = \delta x - \gamma\ln x$ का $f'' = \gamma/x^2 > 0$ है, $f'$ केवल $x_*$ पर लुप्त होता है, और $0^+$ पर तथा $+\infty$ पर दोनों जगह $f \to +\infty$ : अतः कड़ाई से उत्तल और यथोचित, जिसका निम्निष्ठ $f(x_*)$ है; और इसी प्रकार $g(y) = \beta y - \alpha\ln y$ , निम्निष्ठ $g(y_*)$ । अतः $H \geq h_*$ , जिसमें बराबरी केवल $(x_*, y_*)$ पर, और प्रत्येक अध:स्तर $\{H \leq h\}\cap Q$ संहत है: यथोचितता से $f(x) \leq h - g(y_*)$ $x$ को $\intoo0{+\infty}$ के किसी संहत अंतराल तक सीमित कर देता है, इसी प्रकार $y$ , और वह समुच्चय $\R^2$ में संवृत है क्योंकि $Q$ की परिसीमा पर $H \to +\infty$ । कोई महत्तम हल अपने संहत स्तर समुच्चय पर बना रहता है, अतः वह परिमित समय में प्रत्येक संहत को नहीं छोड़ सकता: इसलिए प्रमेय 19.5 उसे वैश्विक बना देती है।

19. $h > h_*$ स्थिर कीजिए और $c = h - g(y_*) > f(x_*)$ रखिए। चूँकि $f$ $\intoc0{x_*}$ पर $+\infty$ से $f(x_*)$ तक कड़ाई से घटता है और $\intco{x_*}{+\infty}$ पर कड़ाई से बढ़कर $+\infty$ तक लौटता है, अतः समीकरण $f(x) = c$ के ठीक दो मूल $x_- < x_* < x_+$ हैं, और $\{f \leq c\} = \intcc{x_-}{x_+}$ । $x \in \intoo{x_-}{x_+}$ के लिए: $g(y) = h - f(x) > g(y_*)$ के ठीक दो मूल $y_-(x) < y_* < y_+(x)$ हैं, जो $x$ में संतत हैं ( $y_*$ के दोनों ओर $g$ के कड़ाई से एकदिष्ट संतत प्रतिबंधों के प्रतिलोम), जिनमें $x \to x_\pm$ पर $y_\pm(x) \to y_*$ ; और $x = x_\pm$ पर अद्वितीय हल $y = y_*$ है। अतः $\{H = h\}\cap Q$ $\intcc{x_-}{x_+}$ पर $y_+$ और $y_-$ के आलेखों का संघ है, जो $(x_\pm, y_*)$ पर चिपके हुए हैं: अर्थात् $(x_*, y_*)$ के चारों ओर कोई संवृत वक्र — लोलक के अंडाकारों का सादृश्य।

20. $h > h_*$ के साथ $C_h = \{H = h\}\cap Q$ लीजिए: $Q$ की एकमात्र साम्यावस्था $C_h$ से बाहर है, अतः क्षेत्र उस पर कभी लुप्त नहीं होता। चिह्न: $x' = \beta x(y_* - y)$ , $y' = \delta y(x - x_*)$ : अतः गति रेखा $y = y_*$ के नीचे दाईं ओर चलती है, $x = x_*$ के दाईं ओर ऊपर, ऊपर बाईं ओर, और बाईं ओर नीचे — अर्थात् वामावर्त परिसंचरण। विवृत निचली शाखा के किसी बिंदु $(x_0, y_-(x_0))$ से हल का अनुसरण कीजिए, जहाँ $x' > 0$ : दाएँ कोने $B = (x_+, y_*)$ तक पहुँचने का समय

\int_{x_0}^{x_+}\frac{\dd x}{\beta x\,\bigl(y_* - y_-(x)\bigr)} .

है। $x_+$ के निकट $x' \in \intoo{x_*}{x_+}$ चुनिए; $x \in \intcc{x'}{x_+}$ के लिए $f(x_+) - f(x) \geq f'(x')\,(x_+ - x)$ ( $f'$ $x_*$ के आगे वर्धमान और धनात्मक है), जबकि स्तर संबंध और टेलर असमिका $C_h$ के संहत $y$ -परास पर $g(y_-(x)) - g(y_*) \leq \frac12\,\bigl(\max g''\bigr)\,(y_* - y_-(x))^2$ दे देते हैं: अतः $c > 0$ के साथ $y_* - y_-(x) \geq c\,\sqrt{x_+ - x}$ , और समाकल्य $O\bigl((x_+ - x)^{-1/2}\bigr)$ है: समाकलनीय — अर्थात् प्रश्न 5 का अभिसरण, स्थानांतरित। शाखा पर अन्यत्र समाकल्य संतत है। अतः $B$ तक परिमित समय में पहुँचा जाता है; वहाँ $y' = \delta y_*(x_+ - x_*) > 0$ , कक्षा क्षेत्र $x > x_*$ , $y > y_*$ में प्रवेश करती है, सममित आकलन से ( $f$ और $g$ की भूमिकाएँ बदलकर) ऊपरी कोने $(x_*, y_+)$ तक चढ़ती है, और इसी प्रकार चारों चापों के चारों ओर: अतः परिमित समय $T > 0$ के बाद हल अपने आरंभ बिंदु पर लौट आता है। उपप्रमेय 19.4 से वह $T$ -आवर्ती है — प्रश्न 4 का तर्क, अक्षरशः।

21. $Q$ में किसी $T$ -आवर्ती कक्षा पर $t \mapsto \ln x(t)$ $\mathcal C^1$ और $T$ -आवर्ती है, अतः

0 = \int_0^T(\ln x)'\,\dd t = \int_0^T(\alpha - \beta y)\,\dd t = \alpha T - \beta\int_0^Ty\,\dd t ,

जिससे $\frac1T\int_0^Ty = \frac\alpha\beta$ ; और इसी प्रकार $0 = \int_0^T(\ln y)' = \delta\int_0^Tx\,\dd t - \gamma T$ $\frac1T\int_0^Tx = \frac\gamma\delta$ देता है। समय औसत आयाम की परवाह किए बिना प्रत्येक कक्षा के लिए साम्यावस्था मान हैं — कोई संरक्षण नियम जिसे किसी ने हाथ से नहीं डाला।

22. कटाई के साथ निकाय फिर से लोत्का–वोल्तेरा रूप का है, जिसके प्राचल $\alpha - \varepsilon$ , $\beta$ , $\gamma + \varepsilon$ , $\delta$ हैं (आंतरिक साम्यावस्था बनी रहती है क्योंकि $\varepsilon < \alpha$ )। नए निकाय पर लगाया गया प्रश्न 21:

\bar x = \frac{\gamma + \varepsilon}{\delta} \ \ (\text{शिकार औसत बढ़ता है}), \qquad \bar y = \frac{\alpha - \varepsilon}{\beta} \ \ (\text{परभक्षी औसत गिरता है}) :

अर्थात् अंधाधुंध कटाई संतुलन को शिकार के पक्ष में हटा देती है। दांकोना के आँकड़े इसे उल्टा पढ़ते हैं: युद्ध ने मछली पकड़ना घटा दिया, $\varepsilon$ गिरा, अतः परभक्षी औसत $(\alpha - \varepsilon)/\beta$ बढ़ा और शिकार औसत गिरा — अर्थात् पकड़ में शार्क का बड़ा अंश, ठीक वही जो एड्रियाटिक मछली बाज़ारों ने दर्ज किया। यही वोल्तेरा का सिद्धांत है, और कीटनाशक विरोधाभासों के पीछे भी वही क्रियाविधि: दोनों पोषण स्तरों की कटाई उस स्तर को लाभ पहुँचाती है जिसे खाया जा रहा है।

23. विधि, दोनों बार: (क) कोई प्रथम समाकल — लोलक के लिए $E$ , और यहाँ $H$ , जो $\dd y/\dd x$ को पृथक करके मिलता है — समतल को वक्रों पर ढहा देता है; (ख) स्तर समुच्चयों की यथोचितता और संहतता प्रमेय 19.5 के माध्यम से वैश्विक अस्तित्व देती हैं; (ग) स्तरों की ज्यामिति — वहाँ $\cos$ के आकार से और यहाँ $f$ तथा $g$ की कड़ी उत्तलता से बने अंडाकार — समाकल से पढ़ी जाती है, प्रवाह से नहीं; (घ) किसी संहत अंडाकार पर अलुप्त क्षेत्र और साथ में समाकलनीय कोने एकलताएँ परिमित प्रत्यागमन समय अनिवार्य कर देती हैं; (ङ) अद्वितीयता (उपप्रमेय 19.4) प्रत्यागमन को आवर्तिता में बदल देती है और साम्यावस्थाओं पर परिमित-समय आगमन मना कर देती है; (च) और लाभांश — आवर्त प्रसार, औसतों के नियम — परिणामी समाकलों पर लगाई गई अभिसरण प्रमेयों से आते हैं। न $x'' = -\sin x$ कोई प्रारंभिक संवृत-रूप हल स्वीकार करता है न लोत्का–वोल्तेरा (एक में दीर्घवृत्तीय समाकल, दूसरे में अतिक्रांत स्तर वक्र), और किसी भी बिंदु पर उसकी आवश्यकता न पड़ी: स्वयं समीकरण ने, गुणात्मक रूप से पूछे जाने पर, समूची गति सौंप दी।

24. किसी ऊर्जा स्तर $E_0 > 1$ पर $y^2 = 2(E_0 + \cos x) > 0$ : अतः $\cos x = \pm1$ पर $y^2$ के चरम, जो कहे गए परिबंध देते हैं और $x \equiv 0, \pi$ पर प्राप्त होते हैं। एक आवर्त $\tau = \tau(E_0)$ पर समय औसत: $x$ ठीक $2\pi$ भर आगे बढ़ता है, अतः

\frac1\tau\int_0^\tau y\,\dd t = \frac{x(\tau) - x(0)}{\tau} = \frac{2\pi}\tau .

चरम चालों का अनुपात $\sqrt{\frac{E_0 + 1}{E_0 - 1}} = 1 + O(E_0^{-1}) \to 1$ है: उच्च ऊर्जा पर विभव की $\pm1$ लहर $E_0$ के सामने नगण्य है, और लोलक लगभग एकसमान रूप से घूमता है — सिलवटी पट्टी चपटी हो जाती है।

25. $E_0 \geq 1 + \delta$ पर $\tau(E_0) = \int_{-\pi}^{\pi}\frac{\dd x}{\sqrt{2(E_0 + \cos x)}}$ के समाकल्य पर $(2\delta)^{-1/2}$ का और उसके $E_0$ -अवकलज

\partial_{E_0}\frac1{\sqrt{2(E_0 + \cos x)}} = -\frac{1}{\bigl(2(E_0 + \cos x)\bigr)^{3/2}}

पर $(2\delta)^{-3/2}$ का प्रभुत्व है, और दोनों संहत $\intcc{-\pi}\pi$ पर समाकलनीय हैं: अतः समाकल के भीतर अवकलन (प्रमेय 10.15) लागू होता है और $\tau'(E_0) < 0$ दे देता है (समाकल्य कड़ाई से ऋणात्मक है): अर्थात् कड़ाई से ह्रासमान, $\mathcal C^1$ । सीमाएँ: $E_0 \to \infty$ पर $\tau \leq \frac{2\pi}{\sqrt{2(E_0 - 1)}} \to 0$ ; और $E_0 \to 1^+$ पर: $E_0 + \cos x = (E_0 - 1) + 2\cos^2\frac x2$ लिखिए; $E_0$ के घटने पर समाकल्य बढ़ता है, अतः एकदिष्ट अभिसरण से

\tau(E_0) \;\nearrow\; \int_{-\pi}^{\pi}\frac{\dd x}{2\,\abs{\cos\frac x2}} = +\infty,

जिसमें सीमा समाकल $x = \pm\pi$ पर अपसारित होता है (वहाँ $\abs{\cos\frac x2} \sim \frac{\abs{x \mp \pi}}2$ , कोई असमाकलनीय $\frac1{\abs\cdot}$ ): अतः विभाजक के पास आवर्त फट जाता है, जो दोलन की ओर से भाग II के $T(a) \to \infty$ से मेल खाता है। ऊर्जा अक्ष यों पढ़ी जाती है: $E_0 = -1$ पर विश्राम; $\intoo{-1}1$ पर दोलन, $2\pi \nearrow \infty$ ; $E_0 = 1$ पर अनंत रूप से धीमा विभाजक; और उसके परे घूर्णन, $\infty \searrow 0$ । एक ही समाकल, और लोलक का समूचा जीवन।

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