कथन, संयोजक क्या है? — गणित

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परिभाषा 1.1 विश्वविद्यालय गणित — स्नातक वर्ष 1 · অধ্যায় 1 — तर्क, समुच्चय और प्रतिचित्रण

कथन (या प्रतिज्ञप्ति) ऐसा वाक्य है जो या तो सत्य (स) है या असत्य (अ) — ठीक इनमें से एक। कथनों $P$ और $Q$ से बनते हैं:

निषेध $\lnot P$ (“ $P$ नहीं”), जो ठीक तब सत्य है जब $P$ असत्य हो;
संयोजन $P \land Q$ (“ $P$ और $Q$ ”), जो ठीक तब सत्य है जब दोनों सत्य हों;
वियोजन $P \lor Q$ (“ $P$ या $Q$ ”), जो ठीक तब सत्य है जब कम से कम एक सत्य हो (यह “या” समावेशी है);
निहितार्थ $P \implies Q$ , जो ठीक तब असत्य है जब $P$ सत्य हो और $Q$ असत्य;
तुल्यता $P \iff Q$ , जो ठीक तब सत्य है जब $P$ और $Q$ का सत्य-मान समान हो।

উদাহরণ

उदाहरण 1.6 (रोज़मर्रा के गणितीय वाक्यों का निषेध)

मान लीजिए $f \colon \R \to \R$ । वाक्य “ $f$ वर्धमान है” इस प्रकार पढ़ा जाता है

\forall x \in \R,\ \forall y \in \R,\quad x \leq y \implies f(x) \leq f(y) ,

और प्रतिज्ञप्ति 1.5 तथा नियम $\lnot(P \implies Q) \iff P \land \lnot Q$ से इसका निषेध:

\exists x \in \R,\ \exists y \in \R,\quad x \leq y \ \text{ और }\ f(x) > f(y) :

एक ही साक्षी युग्म पर्याप्त है। इसी प्रकार “ $f$ परिबद्ध है” का अर्थ है $\exists M \in \R,\ \forall x \in \R,\ \abs{f(x)} \leq M$ , जिसका निषेध

\forall M \in \R,\ \exists x \in \R,\quad \abs{f(x)} > M :

कोई भी परिबंध प्रस्तावित किया जाए, कोई-न-कोई बिंदु उससे आगे निकल जाता है। सार: सही निषेध में “नहीं” कभी किसी परिमाणित खंड पर नहीं लगता — वह एक नया धनात्मक कथन होता है, जिसमें भूमिकाएँ बदल जाती हैं: जो साक्षी पहले मिलते थे, अब उन्हें स्वयं प्रस्तुत करना पड़ता है।

उदाहरण 1.7 (परिमाणकों का क्रम)

भिन्न परिमाणकों का क्रम महत्त्व रखता है:

\forall x \in \R,\ \exists y \in \R,\ y > x \quad\text{सत्य है (लीजिए } y = x+1\text{),}

\exists y \in \R,\ \forall x \in \R,\ y > x \quad\text{असत्य है (कोई वास्तविक संख्या सभी वास्तविक संख्याओं से बड़ी नहीं होती)।}

पहले कथन में $y$ का $x$ पर निर्भर होना संभव है; दूसरे में एक ही $y$ को सभी $x$ के लिए काम करना होगा। दूसरी ओर, दो समान परिमाणक सदैव आपस में स्थान बदल सकते हैं।

उदाहरण 1.13 (अद्वितीय अस्तित्व सिद्ध करना)

कथन $\exists!\,x,\ P(x)$ वस्तुतः दो कथन हैं, जिन्हें अलग-अलग सिद्ध किया जाता है: अस्तित्व (कोई $x_0$ प्रस्तुत या निर्मित कीजिए जिसके लिए $P(x_0)$ ) और अद्वितीयता ( $P(x)$ तथा $P(x')$ मानकर $x = x'$ निकालिए)। नमूना: ऐसा अद्वितीय वास्तविक $x$ है जिसके लिए $x^3 + x = 2$ । अस्तित्व: $x_0 = 1$ काम करता है, क्योंकि $1 + 1 = 2$ । अद्वितीयता: यदि $x^3 + x = x'^3 + x'$ , तो

0 = (x^3 - x'^3) + (x - x') = (x - x')\,\bigl(x^2 + xx' + x'^2 + 1\bigr),

और दूसरा गुणनखंड धनात्मक है (वह $\bigl(x + \tfrac{x'}2\bigr)^2 + \tfrac34 x'^2 + 1 \geq 1$ के बराबर है), अतः $x = x'$ । श्रम-विभाजन पर ध्यान दीजिए: अस्तित्व के लिए एक सौभाग्यपूर्ण अनुमान काम आया, जबकि अद्वितीयता के लिए स्वेच्छ हलों पर वैध बीजगणित। कोई भी तर्क दूसरे का काम नहीं करता, और एक हल मिल जाने के बाद दूसरे आधे को भूल जाना सदा बना रहने वाला प्रलोभन है।

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