सांतत्य क्या है?

उदाहरण 21.17

समीकरण $x^3 + x = 1$ का ठीक एक वास्तविक हल है। सचमुच $f(x) = x^3 + x$ $\R$ पर संतत और निरंतर वर्धमान है (निरंतर वर्धमान फलनों के योग के रूप में), $\lim_{-\infty} f = -\infty$ और $\lim_{+\infty} f = +\infty$, इसलिए $k = 1$ के साथ एकैकी आच्छादन प्रमेय लागू होती है। चूँकि $f(0.6) = 0.816 < 1$ और $f(0.7) = 1.043 > 1$ हैं, इसलिए हल $\intoo{0.6}{0.7}$ में है।

उदाहरण 13.7 (असांतत्यों का वर्गीकरण)

किसी बिंदु पर विफल होने के तीन तरीके, बढ़ती गंभीरता के क्रम में। हटाने योग्य: $\R^*$ पर $f(x) = \frac{\sin x}{x}$ की $0$ पर सीमा $1$ है; $f(0) = 1$ परिभाषित कर देने से वह सुधर जाता है — वह असांतत्य एक छेद था, कोई विशेषता नहीं। कूद: किसी पूर्णांक पर $\lfloor x \rfloor$ की एकपक्षीय सीमाएँ भिन्न हैं ($n - 1$ और $n$); कोई भी मान उनमें मेल नहीं करा सकता, पर दोनों अर्ध-सीमाएँ विद्यमान हैं। अनिवार्य: $0$ पर $\sin\frac1x$ की कोई एकपक्षीय सीमा है ही नहीं (अभ्यास 13.1) — अर्थात् बिना ठहराव का दोलन। एकदिष्ट फलन केवल बीच वाला प्रकार उत्पन्न कर सकते हैं (उनकी एकपक्षीय सीमाएँ सदा विद्यमान होती हैं, क्योंकि वे उच्चतम और निम्नतम हैं), और इसीलिए उनके असांतत्य समुच्चय अधिकतम गणनीय होते हैं — प्रति कूद एक परिमेय संख्या। इसके विपरीत, डार्बू की प्रमेय (अभ्यास 14.10) से अवकलज केवल अंतिम प्रकार उत्पन्न कर सकते हैं: कूद वाले असांतत्य वाला फलन कभी किसी का अवकलज नहीं होता।

उदाहरण 13.9 (संतत फलनों के अधिकतम और न्यूनतम)

यदि $f, g$ संतत हैं, तो $\max(f, g)$ और $\min(f, g)$ भी संतत हैं: और इसके लिए किसी स्थिति-विश्लेषण की आवश्यकता नहीं, क्योंकि सर्वसमिकाएँ

तथा योगों और $\abs{\,\cdot\,}$ (प्रतिज्ञप्ति 13.8) की सांतत्य पर्याप्त हैं। विशेष रूप से $f^+ = \max(f, 0)$ और $f^- = \max(-f, 0)$ संतत हैं और $f = f^+ - f^-$: अर्थात् श्रेणियों (अध्याय 17) में और, पूरे पैमाने पर, स्नातक वर्ष 3 के खंड के समाकलन सिद्धांत में प्रयुक्त चिह्न-विभाजन नियमितता की दृष्टि से मुफ़्त पड़ता है।

उदाहरण 13.11 (एक समीकरण, पूरा प्रोटोकॉल)

$\R$ पर $\eu^x = 3 - x$ हल कीजिए: अस्तित्व, अद्वितीयता, स्थान। $g(x) = \eu^x + x - 3$ रखिए, जो संतत है। स्थान और अस्तित्व: $g(0) = -2 < 0$ और $g(1) = \eu - 2 > 0$, अतः मध्यवर्ती मान प्रमेय $\intoo{0}{1}$ में एक हल रोप देती है। अद्वितीयता: $g$ कठोरतः वर्धमान $\eu^x$ और $x - 3$ का योग है, अतः $\R$ पर कठोरतः वर्धमान; और कठोरतः एकदिष्ट फलन हर मान अधिक से अधिक एक बार लेता है, इसलिए हल पूरे $\R$ पर अद्वितीय है (केवल जाँचे गए अंतराल में नहीं)। यह प्रोटोकॉल — $g = 0$ के रूप में पुनर्व्यवस्था, अस्तित्व के लिए चिह्न-परिवर्तन, अद्वितीयता के लिए एकदिष्टता — “कितने हल” वाले अधिकांश प्रश्न तीन पंक्तियों में निपटा देता है, और अध्याय 14 की विचरण सारणियाँ $\R$ को एकदिष्ट शाखाओं में काटकर उसे अ-एकदिष्ट $g$ तक बढ़ा देती हैं।