system क्या है? — गणित

परिभाषा 22.13 विश्वविद्यालय गणित — स्नातक वर्ष 1 · अध्याय 22 — सारणिक और रैखिक निकाय

$p$ अज्ञातों में $n$ समीकरणों का रैखिक निकाय $AX = B$ है, जहाँ $A \in \mathcal{M}_{n,p}(K)$ , $B \in K^n$ ; और वह समघातीय तब कहलाता है जब $B = 0$ । उसका हल-समुच्चय, यदि रिक्त न हो, $X_0 + \ker A$ है: एक विशिष्ट हल जमा व्यापक समघातीय हल — अर्थात् विमा $p - \operatorname{rk} A$ की कोई एफ़ीन उपसमष्टि (कोटि–शून्यता)।

उदाहरण

उदाहरण 22.14 (एफ़ीन संरचना, दिखाई देती हुई)

हल कीजिए

\begin{cases} x + y + z = 3\\ x - y + 2z = 2 . \end{cases}

समीकरणों को घटाने पर: $2y - z = 1$ , अतः $z = 2y - 1$ और $x = 3 - y - z = 4 - 3y$ । हल यह रेखा बनाते हैं

(x, y, z) = (4,\ 0,\ -1) + y\,(-3,\ 1,\ 2) \qquad (y \in \R):

अर्थात् विशिष्ट हल $X_0 = (4, 0, -1)$ (चुनाव $y = 0$ ) जमा संबद्ध समघातीय निकाय की अष्टि-रेखा $\ker A = \operatorname{Vect}(-3, 1, 2)$ — जाँचिए: $(-3) + 1 + 2 = 0$ और $(-3) - 1 + 4 = 0$ । ज्यामितीय रूप से $\R^3$ के दो असमांतर समतल किसी रेखा के अनुदिश काटते हैं, और विमा-गिनती $p - \operatorname{rk} A = 3 - 2 = 1$ यह हमारे कुछ भी हल करने से पहले ही जानती थी। विशिष्ट हल बदल देने से (जैसे $y = 1$ : $X_0' = (1, 1, 1)$ ) वर्णन बदलता है, रेखा नहीं: किसी एफ़ीन उपसमष्टि के अनेक मूल बिंदु होते हैं और एक ही दिशा।

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