Wat is system? — Wiskunde

Definitie 22.13 Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 1 · Hoofdstuk 22 — Determinanten en lineaire stelsels

Een lineair stelsel van $n$ vergelijkingen in $p$ onbekenden is $AX = B$ met $A \in \mathcal{M}_{n,p}(K)$ , $B \in K^n$ ; het is homogeen wanneer $B = 0$ . Zijn oplossingsverzameling is, indien niet leeg, gelijk aan $X_0 + \ker A$ : een bijzondere oplossing plus de algemene homogene oplossing — een affiene deelruimte van dimensie $p - \operatorname{rk} A$ (dimensiestelling).

Voorbeelden

Voorbeeld 22.14 (De affiene structuur, zichtbaar gemaakt)

Los op:

\begin{cases} x + y + z = 3\\ x - y + 2z = 2 . \end{cases}

Aftrekken van de vergelijkingen geeft $2y - z = 1$ , dus $z = 2y - 1$ en $x = 3 - y - z = 4 - 3y$ . De oplossingen vormen de rechte

(x, y, z) = (4,\ 0,\ -1) + y\,(-3,\ 1,\ 2) \qquad (y \in \R):

de bijzondere oplossing $X_0 = (4, 0, -1)$ (de keuze $y = 0$ ) plus de kernrechte $\ker A = \operatorname{Vect}(-3, 1, 2)$ van het bijbehorende homogene stelsel — controle: $(-3) + 1 + 2 = 0$ en $(-3) - 1 + 4 = 0$ . Meetkundig snijden twee niet-evenwijdige vlakken van $\R^3$ elkaar langs een rechte, en de dimensietelling $p - \operatorname{rk} A = 3 - 2 = 1$ wist dat al voordat wij iets oplosten. De bijzondere oplossing veranderen (zeg $y = 1$ : $X_0' = (1, 1, 1)$ ) verandert de beschrijving, niet de rechte: een affiene deelruimte heeft vele oorsprongen en één richting.

Lees in het hoofdstuk →

Voorbeelden

Verwante begrippen