Qu'est-ce que « system » ? — Mathématiques

Définition 22.13 Mathématiques universitaires — Licence 1 · Chapitre 22 — Déterminants et systèmes linéaires

Un système linéaire de $n$ équations à $p$ inconnues est $AX = B$ avec $A \in \mathcal{M}_{n,p}(K)$ , $B \in K^n$ ; il est homogène lorsque $B = 0$ . Son ensemble de solutions, lorsqu’il est non vide, est $X_0 + \ker A$ : une solution particulière plus la solution générale du système homogène — un sous-espace affine de dimension $p - \operatorname{rk} A$ (théorème du rang).

Exemples

Exemple 22.14 (La structure affine, rendue visible)

Résolvons

\begin{cases} x + y + z = 3\\ x - y + 2z = 2 . \end{cases}

En soustrayant les équations : $2y - z = 1$ , donc $z = 2y - 1$ et $x = 3 - y - z = 4 - 3y$ . Les solutions forment la droite

(x, y, z) = (4,\ 0,\ -1) + y\,(-3,\ 1,\ 2) \qquad (y \in \R):

la solution particulière $X_0 = (4, 0, -1)$ (le choix $y = 0$ ) plus la droite noyau $\ker A = \operatorname{Vect}(-3, 1, 2)$ du système homogène associé — vérification : $(-3) + 1 + 2 = 0$ et $(-3) - 1 + 4 = 0$ . Géométriquement, deux plans non parallèles de $\R^3$ se coupent selon une droite, et le compte des dimensions $p - \operatorname{rk} A = 3 - 2 = 1$ le savait avant que nous ayons résolu quoi que ce soit. Changer de solution particulière (disons $y = 1$ : $X_0' = (1, 1, 1)$ ) change la description, pas la droite : un sous-espace affine a plusieurs origines et une seule direction.

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Exemples

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