¿Qué es system? — Matemáticas

Definición 22.13 Matemáticas universitarias — Grado 1 · Capítulo 22 — Determinantes y sistemas lineales

Un sistema lineal de $n$ ecuaciones con $p$ incógnitas es $AX = B$ con $A \in \mathcal{M}_{n,p}(K)$ , $B \in K^n$ ; es homogéneo cuando $B = 0$ . Su conjunto de soluciones, cuando es no vacío, es $X_0 + \ker A$ : una solución particular más la solución general homogénea — un subespacio afín de dimensión $p - \operatorname{rk} A$ (teorema del rango).

Ejemplos

Ejemplo 22.14 (La estructura afín, hecha visible)

Resuélvase

\begin{cases} x + y + z = 3\\ x - y + 2z = 2 . \end{cases}

Restando las ecuaciones: $2y - z = 1$ , luego $z = 2y - 1$ y $x = 3 - y - z = 4 - 3y$ . Las soluciones forman la recta

(x, y, z) = (4,\ 0,\ -1) + y\,(-3,\ 1,\ 2) \qquad (y \in \R):

la solución particular $X_0 = (4, 0, -1)$ (la elección $y = 0$ ) más la recta núcleo $\ker A = \operatorname{Vect}(-3, 1, 2)$ del sistema homogéneo asociado — compruébese: $(-3) + 1 + 2 = 0$ y $(-3) - 1 + 4 = 0$ . Geométricamente, dos planos no paralelos de $\R^3$ se cortan en una recta, y el recuento de dimensiones $p - \operatorname{rk} A = 3 - 2 = 1$ ya lo sabía antes de resolver nada. Cambiar la solución particular (digamos $y = 1$ : $X_0' = (1, 1, 1)$ ) cambia la descripción, no la recta: un subespacio afín tiene muchos orígenes y una sola dirección.

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