Um sistema linear de n equações em p incógnitas é AX=B com A∈Mn,p(K), B∈Kn; ele é homogêneo quando B=0. O seu conjunto de soluções, quando não vazio, é X0+kerA: uma solução particular mais a solução geral do homogêneo — um subespaço afim de dimensão p−rkA (teorema do núcleo e da imagem).
Exemplos
Exemplo 22.14 (A estrutura afim, tornada visível)
Resolva
{x+y+z=3x−y+2z=2.
Subtraindo as equações: 2y−z=1, logo z=2y−1 e x=3−y−z=4−3y. As soluções formam a reta
(x,y,z)=(4, 0, −1)+y(−3, 1, 2)(y∈R):
a solução particular X0=(4,0,−1) (a escolha y=0) mais a reta núcleo kerA=Vect(−3,1,2) do sistema homogêneo associado — verificação: (−3)+1+2=0 e (−3)−1+4=0. Geometricamente, dois planos não paralelos de R3 intersectam-se ao longo de uma reta, e a contagem de dimensões p−rkA=3−2=1 já sabia disso antes de resolvermos coisa alguma. Mudar a solução particular (digamos y=1: X0′=(1,1,1)) muda a descrição, não a reta: um subespaço afim tem muitas origens e uma só direção.
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