O que é system? — Matemática

Definição 22.13 Matemática universitária — Graduação 1 · Capítulo 22 — Determinantes e Sistemas Lineares

Um sistema linear de $n$ equações em $p$ incógnitas é $AX = B$ com $A \in \mathcal{M}_{n,p}(K)$ , $B \in K^n$ ; ele é homogêneo quando $B = 0$ . O seu conjunto de soluções, quando não vazio, é $X_0 + \ker A$ : uma solução particular mais a solução geral do homogêneo — um subespaço afim de dimensão $p - \operatorname{rk} A$ (teorema do núcleo e da imagem).

Exemplos

Exemplo 22.14 (A estrutura afim, tornada visível)

Resolva

\begin{cases} x + y + z = 3\\ x - y + 2z = 2 . \end{cases}

Subtraindo as equações: $2y - z = 1$ , logo $z = 2y - 1$ e $x = 3 - y - z = 4 - 3y$ . As soluções formam a reta

(x, y, z) = (4,\ 0,\ -1) + y\,(-3,\ 1,\ 2) \qquad (y \in \R):

a solução particular $X_0 = (4, 0, -1)$ (a escolha $y = 0$ ) mais a reta núcleo $\ker A = \operatorname{Vect}(-3, 1, 2)$ do sistema homogêneo associado — verificação: $(-3) + 1 + 2 = 0$ e $(-3) - 1 + 4 = 0$ . Geometricamente, dois planos não paralelos de $\R^3$ intersectam-se ao longo de uma reta, e a contagem de dimensões $p - \operatorname{rk} A = 3 - 2 = 1$ já sabia disso antes de resolvermos coisa alguma. Mudar a solução particular (digamos $y = 1$ : $X_0' = (1, 1, 1)$ ) muda a descrição, não a reta: um subespaço afim tem muitas origens e uma só direção.

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