विश्वविद्यालय गणित — स्नातक वर्ष 1 · Bachelor Year 1

22सारणिक और रैखिक निकाय

सारणिक “क्या ये $n$ सदिश कोई आधार हैं?” का उत्तर एक ही अदिश में समेट देता है — और ज्यामितीय रूप से वह उनसे जनित आयतन नापता है। हम उसे उसके गुणों से अभिलक्षित करते हैं (बहुरैखिक, एकांतरक, प्रसामान्यित), उसे विमा $2$ और $3$ में तथा व्यापक रूप से सहगुणनखंड-प्रसार से संगणित करते हैं, और उसे रैखिक निकायों पर काम पर लगाते हैं — साथ ही सर्वकार्य कलनविधि: गाउसीय विलोपन।

22.1 सारणिक

प्रमेय 22.1 (अभिलक्षण)

ठीक एक ही प्रतिचित्रण $\det \colon \mathcal{M}_n(K) \to K$ है, जिसे $n$ स्तंभों के फलन के रूप में देखा जाए, और जो:

हर स्तंभ में रैखिक हो (शेष नियत रखते हुए);
एकांतरक हो: दो स्तंभों की अदला-बदली चिह्न बदल देती है (अतः दो बराबर स्तंभ $0$ देते हैं);
प्रसामान्यित हो: $\det I_n = 1$ ।

$n = 2$ और $3$ के लिए:

\begin{vmatrix} a & b\\ c & d\end{vmatrix} = ad - bc, \qquad \begin{vmatrix} a & b & c\\ d & e & f\\ g & h & i\end{vmatrix} = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh

( $3 \times 3$ के लिए सारुस का नियम: अवरोही विकर्णों के गुणनफल घटा आरोही विकर्णों के)।

उपपत्ति. इस स्तर पर स्वीकृत। ∎

टिप्पणी 22.2

$n = 2$ के लिए: विहित स्तंभों पर द्विरैखिकता से प्रसार करने पर वही सूत्र मिल जाता है, जो विलोमतः अभिगृहीत संतुष्ट करता है — अर्थात् एक पूरी उपपत्ति; $n = 3$ वही है, बस अधिक पदों के साथ। व्यापक स्थिति (क्रमचयों पर योग के द्वारा अस्तित्व, उसी प्रसार से अद्वितीयता) किसी क्रमचय के चिह्न की माँग करती है और द्वितीय वर्ष के लिए टाल दी गई है; हम नीचे अभिगृहीतों और उनके परिणामों का स्वतंत्र रूप से प्रयोग करते हैं।

$n = 2$ वाला प्रसार पूरा-पूरा, क्योंकि वही प्रतिमान है: स्तंभों $C_1 = a\,e_1 + c\,e_2$ और $C_2 = b\,e_1 + d\,e_2$ के साथ द्विरैखिकता देती है

\det(C_1, C_2) = ab\det(e_1, e_1) + ad\det(e_1, e_2) + cb\det(e_2, e_1) + cd\det(e_2, e_2),

और एकांतरकता दोहराई गई जोड़ियों को मार देती है तथा $\det(e_2, e_1) = -\det(e_1, e_2)$ का चिह्न पलट देती है: प्रसामान्यन से पूरा प्रतिचित्रण ढहकर $(ad - bc)\det(e_1, e_2) = ad - bc$ रह जाता है। अद्वितीयता स्वयं इसी संगणना में दिखाई देती है — अभिगृहीतों ने किसी भी चरण पर कोई विकल्प छोड़ा ही नहीं — और नीचे गुणनफल-नियम की उपपत्ति में ठीक यही मापित-अद्वितीयता वाला तथ्य काम आता है।

प्रमेय 22.3 (गुण)

$A, B \in \mathcal{M}_n(K)$ के लिए:

किसी स्तंभ में दूसरे का गुणज जोड़ने से सारणिक नहीं बदलता; किसी स्तंभ को $\lambda$ से गुणा करने पर वह $\lambda$ से गुणित हो जाता है (अतः $\det(\lambda A) = \lambda^n \det A$ );
$\det(AB) = \det A\, \det B$ ;
$A$ व्युत्क्रमणीय है $\iff$ $\det A \neq 0$ $\iff$ स्तंभ $K^n$ का आधार बनाते हैं; और तब $\det(A^{-1}) = (\det A)^{-1}$ ;
$\det(A^{\mathsf T}) = \det A$ — अतः हर स्तंभ-नियम पंक्ति-नियम भी है;
किसी त्रिभुजाकार आव्यूह का सारणिक उसकी विकर्ण प्रविष्टियों का गुणनफल होता है।

उपपत्ति. (1) रैखिकता से $\det(\dots, C_i + \lambda C_j, \dots) = \det A + \lambda\det(\dots, C_j, \dots)$ , जहाँ दूसरे सारणिक के दो स्तंभ बराबर हैं: अतः शून्य।

(2) $A$ नियत कीजिए और $\varphi(B) = \det(AB)$ को $B$ के स्तंभों के फलन के रूप में देखिए: चूँकि $AB$ के स्तंभ $AB_j$ हैं, अतः $\varphi$ $B_j$ में बहुरैखिक और एकांतरक है। हम प्रमेय 22.1 के साथ उसका अद्वितीयता-कथन मापित रूप में मान लेते हैं: स्तंभों का हर बहुरैखिक एकांतरक प्रतिचित्रण $\varphi$ $\varphi(I_n) \cdot \det$ के बराबर है। यहाँ $\varphi(I_n) = \det A$ , अतः $\det(AB) = \det A \cdot \det B$ ।

(3) यदि $A$ व्युत्क्रमणीय है: तो $\det A\,\det A^{-1} = \det I = 1$ , अतः $\det A \neq 0$ और प्रतिलोम वाला सूत्र लागू होता है। यदि $A$ व्युत्क्रमणीय नहीं है, तो उसके स्तंभ परतंत्र हैं (उपप्रमेय 20.9 और प्रतिज्ञप्ति 20.2); किसी एक स्तंभ को शेष के द्वारा व्यक्त करके रैखिकता से प्रसार करने पर ऐसे सारणिक बचते हैं जिनके दो स्तंभ बराबर हैं: $\det A = 0$ । आधार वाला कथन प्रतिज्ञप्ति 19.8 है।

(4) व्यापक रचना के साथ मान लिया गया (क्रमचय-सूत्र पर यह तुरंत दिखता है); हम उसे इसलिए दर्ज करते हैं कि पंक्ति संक्रियाएँ प्रयोग कर सकें।

(5) यदि कोई विकर्ण प्रविष्टि शून्य हो, तो किसी $k$ के लिए पहले $k$ स्तंभ परतंत्र हैं (कोटि के विचार से) और $\det = 0 =$ गुणनफल। अन्यथा, प्रकार (1) की संक्रियाओं से हर स्तंभ को नीचे-और-बाएँ साफ़ कीजिए — त्रिभुजाकार रूप में यह संभव है — और विकर्ण आव्यूह तक पहुँचिए, जिसका सारणिक $I_n$ से बहुरैखिकता के कारण प्रविष्टियों का गुणनफल है। ∎

उदाहरण 22.4 (नियम, संख्याओं पर जाँचे हुए)

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4\end{pmatrix}$ ( $\det A = -2$ ) और $B = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 1\end{pmatrix}$ ( $\det B = -1$ ) लीजिए। तब

AB = \begin{pmatrix} 2 & 3\\ 4 & 7\end{pmatrix}, \quad \det(AB) = 14 - 12 = 2 = (-2)(-1) ; \qquad \det(A^{\mathsf T}) = \begin{vmatrix} 1 & 3\\ 2 & 4 \end{vmatrix} = -2 = \det A .

गुणात्मकता और परिवर्त-अपरिवर्तिता की पुष्टि हो गई — जबकि झूठी योज्यता उसी जोड़ी पर विफल हो जाती है:

\det(A + B) = \begin{vmatrix} 1 & 3\\ 4 & 5\end{vmatrix} = -7 \neq \det A + \det B = -3 .

किसी भी सारणिक-सर्वसमिका का सहारा लेने के बाद इस तरह का तीस सेकंड का अंकगणित उपलब्ध सबसे सस्ता त्रुटि-बीमा है।

उदाहरण 22.5 (सारणिक क्षेत्रफल के रूप में)

$u = (2, 0)$ और $v = (1, 3)$ से जनित समांतर चतुर्भुज का आधार $2$ और ऊँचाई $3$ है: क्षेत्रफल $6$ । और

\begin{vmatrix} 2 & 1\\ 0 & 3\end{vmatrix} = 6 :

$2\times2$ सारणिक अपने स्तंभों वाले समांतर चतुर्भुज का चिह्नित क्षेत्रफल है। अभिगृहीत यही ज्यामिति दोहराते हैं: एक स्तंभ का गुणज दूसरे में जोड़ना एक अपरूपण है, जो समांतर चतुर्भुज को किसी भुजा के समांतर सरका देता है, बिना आधार या ऊँचाई बदले (प्रमेय 22.3 की संक्रिया (1)); किसी स्तंभ का मापन क्षेत्रफल को मापित करता है; स्तंभों की अदला-बदली दिक्विन्यास पलट देती है, जिससे चिह्न आता है, $\det(v, u) = -6$ । $\R^3$ में यही पाठ चिह्नित आयतन देता है, और $\abs{\det}$ रैखिक प्रतिचित्रणों का सार्वत्रिक आयतन-मापन गुणक बन जाता है — यही तथ्य स्नातक वर्ष 2 के खंड में बहु-समाकलों के चर-परिवर्तन सूत्र के पीछे है।

प्रमेय 22.6 (सहगुणनखंड-प्रसार)

मान लीजिए $A \in \mathcal{M}_n(K)$ , और $\Delta_{ij}$ $A$ का वह सारणिक है जिसमें पंक्ति $i$ और स्तंभ $j$ हटा दिए गए हों। तब किसी भी नियत स्तंभ $j$ के लिए (अथवा पंक्ति के लिए, परिवर्त से):

\det A = \sum_{i=1}^{n} (-1)^{i+j}\, a_{ij}\, \Delta_{ij} .

उपपत्ति. इस स्तर पर स्वीकृत। ∎

उदाहरण 22.7

पहले स्तंभ के अनुदिश प्रसार करने पर:

\begin{vmatrix} 2 & 1 & 0\\ 1 & 2 & 1\\ 0 & 1 & 2 \end{vmatrix} = 2\begin{vmatrix} 2 & 1\\ 1 & 2\end{vmatrix} - 1\begin{vmatrix} 1 & 0\\ 1 & 2\end{vmatrix} = 2 \times 3 - 2 = 4 .

रणनीति: पहले शून्य बनाइए (पंक्ति/स्तंभ संक्रियाएँ), फिर सबसे ख़ाली रेखा के अनुदिश प्रसार कीजिए।

उदाहरण 22.8 (सहगुणनखंड वाला प्रतिलोम, एक बार हाथ से)

$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 1\end{pmatrix}$ के लिए: $\det A = 1(1) - 1(-1) + 0 = 2$ । नौ सहगुणनखंड $(-1)^{i+j}\Delta_{ij}$ मिलकर बनाते हैं

\operatorname{Com}(A) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1\\ -1 & 1 & 1\\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}, \qquad A^{-1} = \frac{1}{\det A}\operatorname{Com}(A)^{\mathsf T} = \frac12\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1\\ 1 & 1 & -1\\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix},

अर्थात् वही सूत्र जो अभ्यास 22.8 में उद्धृत है। एक पंक्ति-स्तंभ जोड़ी जाँचिए: ( $A$ की पंक्ति $1$ )( $A^{-1}$ का स्तंभ $1$ ) $= \frac12(1 + 1 + 0) = 1$ , और स्तंभ $2$ के सामने: $\frac12(-1 + 1 + 0) = 0$ । एक $3\times3$ प्रतिलोम के लिए नौ $2\times2$ सारणिक: इसी आकार पर ही पंक्ति-लघुकरण (अभ्यास 22.3) सस्ता पड़ता है — सहगुणनखंड-सूत्र का मूल्य सैद्धांतिक है (अभ्यास 22.8 में पूर्णांकता, आगे के खंडों में प्रतिलोम की अवकलनीयता), संगणनात्मक नहीं।

उदाहरण 22.9 (खंड-त्रिभुजाकार नियम, आकार $4$ में)

दावा: $2\times2$ खंडों के लिए $\det\begin{pmatrix} M & N\\ 0 & P\end{pmatrix} = \det M\,\det P$ । स्तंभ संक्रियाओं से $N$ -खंड साफ़ कीजिए: स्तंभों $3, 4$ में स्तंभों $1, 2$ के उपयुक्त संयोजन जोड़ने पर $N$ हट जाता है जब $M$ व्युत्क्रमणीय हो (संयोजन-गुणांकों $\Lambda$ के लिए $M\Lambda = -N$ हल कीजिए), और $\det\begin{pmatrix} M & 0\\ 0 & P\end{pmatrix}$ बच जाता है; फिर पहले स्तंभ के अनुदिश दो बार सहगुणनखंड-प्रसार इस खंड-विकर्ण आकार के लिए $\det M\det P$ दे देता है। यदि $M$ व्युत्क्रमणीय नहीं है, तो उसके स्तंभ परतंत्र हैं, अतः बड़े आव्यूह के पहले दो स्तंभ भी परतंत्र हैं (उनके निचले आधे भाग शून्य हैं): दोनों पक्ष शून्य हो जाते हैं। यही दो-स्थिति वाला तर्क नियम को किसी भी खंड-आकार तक बढ़ा देता है — और यही अभ्यास 22.10 को चलाने वाला यंत्र है।

उदाहरण 22.10 ( $4 \times 4$ सारणिक, रणनीति के साथ)

\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & 4\\ 2 & 3 & 4 & 1\\ 3 & 4 & 1 & 2\\ 4 & 1 & 2 & 3 \end{vmatrix}.

हर पंक्ति का योग $10$ है: संक्रिया $C_1 \leftarrow C_1 + C_2 + C_3 + C_4$ पहले स्तंभ को अचर बना देती है, और $10$ का गुणनखंडन करने पर इकाइयाँ बच जाती हैं। फिर $L_i \leftarrow L_i - L_1$ ( $i \geq 2$ ) पहला स्तंभ साफ़ कर देता है:

\Delta = 10\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & 4\\ 0 & 1 & 1 & -3\\ 0 & 2 & -2 & -2\\ 0 & -1 & -1 & -1 \end{vmatrix} = 10\begin{vmatrix} 1 & 1 & -3\\ 2 & -2 & -2\\ -1 & -1 & -1 \end{vmatrix} = 10 \times 16 = 160,

अंतिम $3\times3$ सारणिक अपनी पहली पंक्ति के अनुदिश प्रसारित होकर: $1(2 - 2) - 1(-2 - 2) + (-3)(-2 - 2) = 0 + 4 + 12 = 16$ । सीख: एक सुचुनी संक्रिया (पंक्ति-योग के अचर होने को पहचान लेना) सोलह सहगुणनखंडों पर भारी पड़ती है।

विधि 22.11 (सारणिक की रणनीति चुनना)

कुछ भी संगणित करने से पहले आव्यूह पर नज़र दौड़ाइए।

अचर पंक्ति- या स्तंभ-योग: सब कुछ एक ही रेखा में जोड़ दीजिए और उभयनिष्ठ मान का गुणनखंडन कीजिए (उदाहरण 22.10, अभ्यास 22.7)।
दोहराव वाली संरचना: शून्य बनाने के लिए पड़ोसी पंक्तियाँ या स्तंभ घटाइए; सीढ़ीनुमा प्रतिरूप त्रिभुजाकार रूप की ओर ढह जाते हैं, जिसका सारणिक विकर्ण पर पढ़ लिया जाता है।
छिटपुट शून्य: सबसे ख़ाली रेखा के अनुदिश प्रसार कीजिए (उदाहरण 22.7); और पुनरावर्ती कुल (त्रिविकर्ण, अभ्यास 22.6) इसी तरह पुनरावृत्तियाँ दे देते हैं।
कोई प्राचल: सारणिक उसमें एक बहुपद है; अपभ्रष्ट मान पहचानकर (बराबर पंक्तियाँ, अनुपाती स्तंभ) उसके मूल खोजिए, फिर घात और अग्र गुणांक से बहुपद को कील दीजिए। अभ्यास 22.7 के आव्यूह के लिए: $m = 1$ तीन बराबर पंक्तियाँ देता है (कोटि $1$ , एक दुहरा मूल), $m = -2$ पंक्तियों का योग शून्य कर देता है (एक और मूल); सारणिक की $m$ में घात $3$ है और अग्र पद $-m^3$ (प्रति-विकर्ण गुणनफल $m\cdot m\cdot m$ , जिसका सारुस-चिह्न $-1$ है), अतः वह $-(m+2)(m-1)^2$ ही होना चाहिए — किसी प्रसार की आवश्यकता नहीं, और दोनों विधियाँ एक-दूसरे को जाँच लेती हैं।

उदाहरण 22.12 (वांडरमोंड सारणिक)

अदिशों $x_1, \dots, x_n$ के लिए:

V(x_1, \dots, x_n) = \begin{vmatrix} 1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^{n-1}\\ 1 & x_2 & x_2^2 & \cdots & x_2^{n-1}\\ \vdots & & & & \vdots\\ 1 & x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^{n-1} \end{vmatrix} = \prod_{1 \leq i < j \leq n} (x_j - x_i) .

उपपत्ति की रूपरेखा (अभ्यास 22.5 में विस्तार से): दाईं ओर से स्तंभ संक्रियाएँ $C_k \leftarrow C_k - x_1 C_{k-1}$ पहली पंक्ति साफ़ कर देती हैं, और शेष हर पंक्ति का गुणनखंडन करने पर बात $V(x_2, \dots, x_n)$ तक घट जाती है। यह अशून्य है तभी जब $x_i$ युग्मशः भिन्न हों — यही लाग्रांज अंतर्वेशन (उदाहरण 20.10) के पीछे का सारणिक है।

22.2 रैखिक निकाय

परिभाषा 22.13

$p$ अज्ञातों में $n$ समीकरणों का रैखिक निकाय $AX = B$ है, जहाँ $A \in \mathcal{M}_{n,p}(K)$ , $B \in K^n$ ; और वह समघातीय तब कहलाता है जब $B = 0$ । उसका हल-समुच्चय, यदि रिक्त न हो, $X_0 + \ker A$ है: एक विशिष्ट हल जमा व्यापक समघातीय हल — अर्थात् विमा $p - \operatorname{rk} A$ की कोई एफ़ीन उपसमष्टि (कोटि–शून्यता)।

उदाहरण 22.14 (एफ़ीन संरचना, दिखाई देती हुई)

हल कीजिए

\begin{cases} x + y + z = 3\\ x - y + 2z = 2 . \end{cases}

समीकरणों को घटाने पर: $2y - z = 1$ , अतः $z = 2y - 1$ और $x = 3 - y - z = 4 - 3y$ । हल यह रेखा बनाते हैं

(x, y, z) = (4,\ 0,\ -1) + y\,(-3,\ 1,\ 2) \qquad (y \in \R):

अर्थात् विशिष्ट हल $X_0 = (4, 0, -1)$ (चुनाव $y = 0$ ) जमा संबद्ध समघातीय निकाय की अष्टि-रेखा $\ker A = \operatorname{Vect}(-3, 1, 2)$ — जाँचिए: $(-3) + 1 + 2 = 0$ और $(-3) - 1 + 4 = 0$ । ज्यामितीय रूप से $\R^3$ के दो असमांतर समतल किसी रेखा के अनुदिश काटते हैं, और विमा-गिनती $p - \operatorname{rk} A = 3 - 2 = 1$ यह हमारे कुछ भी हल करने से पहले ही जानती थी। विशिष्ट हल बदल देने से (जैसे $y = 1$ : $X_0' = (1, 1, 1)$ ) वर्णन बदलता है, रेखा नहीं: किसी एफ़ीन उपसमष्टि के अनेक मूल बिंदु होते हैं और एक ही दिशा।

प्रमेय 22.15 (वर्ग क्रामर निकाय)

यदि $A \in GL_n(K)$ , तो निकाय $AX = B$ का अद्वितीय हल $X = A^{-1}B$ है, जिसके निर्देशांक हैं

x_j = \frac{\det A_j}{\det A}, \qquad A_j = A \text{ में स्तंभ } j \text{ के स्थान पर } B \text{ रखने से बना आव्यूह} .

उपपत्ति. अद्वितीयता और अस्तित्व व्युत्क्रमणीयता ही हैं। सूत्र के लिए: $B = \sum_k x_k C_k$ लिखिए ( $A$ के स्तंभ); तब बहुरैखिकता और एकांतरकता से,

\det A_j = \det\Bigl(C_1, \dots, \sum_k x_k C_k, \dots, C_n\Bigr) = \sum_k x_k \det(C_1, \dots, C_k, \dots, C_n) = x_j \det A ,

क्योंकि $k = j$ को छोड़कर हर पद में कोई स्तंभ दोहराया हुआ है। ∎

उदाहरण 22.16 (प्राचल के साथ क्रामर, पूरा)

$m \in \R$ के लिए हल कीजिए

\begin{cases} x + m y = 1\\ m x + y = 2 . \end{cases}

सारणिक $1 - m^2$ है। सामान्य स्थिति $m \neq \pm1$ : क्रामर देता है

x = \frac{\begin{vmatrix} 1 & m\\ 2 & 1\end{vmatrix}}{1 - m^2} = \frac{1 - 2m}{1 - m^2}, \qquad y = \frac{\begin{vmatrix} 1 & 1\\ m & 2\end{vmatrix}}{1 - m^2} = \frac{2 - m}{1 - m^2},

अर्थात् हर अनुमत $m$ के लिए एक साफ़ हल ( $m = 0$ पर जाँचिए: $(1, 2)$ , जो स्पष्टतः सही है)। अपभ्रष्ट स्थितियाँ: $m = 1$ पर समीकरण $x + y = 1$ और $x + y = 2$ कहते हैं: असंगत; $m = -1$ पर वे $x - y = 1$ और $-x + y = 2$ कहते हैं, अर्थात् $x - y = 1$ और $x - y = -2$ : फिर से असंगत। सारणिक का शून्य होना यह घोषित करता है कि कुछ अपभ्रष्ट हो रहा है, पर यह कभी नहीं बताता कि क्या — रिक्त या अनंत, यह दाएँ पक्ष को देखकर ही तय करना पड़ता है। यह भी ध्यान दीजिए कि सूत्र स्वयं अपनी सीमाओं का संकेत दे देते हैं: $m \to 1^{-}$ होने पर $x = \frac{1 - 2m}{1 - m^2} \to -\infty$ ; अर्थात् जैसे-जैसे दोनों रेखाएँ समांतर होती जाती हैं, हल-बिंदु भागता चला जाता है।

विधि 22.17 (निकायों पर गाउसीय विलोपन)

संवर्धित आव्यूह $(A \mid B)$ का पंक्ति-लघुकरण करके सोपानिक रूप तक लाइए।

यदि अंतिम स्तंभ में कोई धुरी आ जाए ( $0 = 1$ वाली पंक्ति): तो कोई हल नहीं।
अन्यथा अज्ञात धुरी-अज्ञातों और मुक्त अज्ञातों (प्राचलों) में बँट जाते हैं; और पश्च-प्रतिस्थापन पहलों को दूसरों में व्यक्त कर देता है: हल-समुच्चय एक एफ़ीन उपसमष्टि है जिसकी विमा $=$ मुक्त अज्ञातों की संख्या।

क्रामर के सूत्र सिद्धांत और छोटे निकायों के लिए हैं; व्यावहारिक कलनविधि विलोपन ही है।

उदाहरण 22.18 (प्राचल के साथ एक विवेचन)

$m \in \R$ के लिए विचार कीजिए

\begin{cases} x + y + mz = 1\\ x + my + z = 1\\ mx + y + z = 1 . \end{cases}

आव्यूह का सारणिक $-(m+2)(m-1)^2$ है (अभ्यास 22.7 में सभी स्तंभ पहले में जोड़कर संगणित)। $m \neq 1, -2$ के लिए: अद्वितीय हल $x = y = z = \frac{1}{m+2}$ (सममिति से)। $m = 1$ के लिए: एक ही समीकरण तीन बार दोहराया हुआ, अतः हलों का एक समतल। $m = -2$ के लिए: तीनों समीकरण जोड़ने पर $0 = 3$ मिलता है, अतः कोई हल नहीं।

टिप्पणी 22.19 (सामान्य भूलें)

सारणिक आव्यूह में रैखिक नहीं है: $\det(A + B) \neq \det A + \det B$ (पहले से ही $\det(I_2 + I_2) = 4 \neq 2$ ); वह हर स्तंभ में अलग-अलग रैखिक है, जो बिलकुल अलग बात है। मापन: $\det(\lambda A) = \lambda^n\det A$ , $\lambda\det A$ नहीं — $n$ स्तंभों में से हर एक मापित होता है। सभी पंक्ति संक्रियाएँ मुफ़्त नहीं हैं: $L_i \leftarrow L_i + \lambda L_j$ सारणिक सुरक्षित रखता है, पर अदला-बदली चिह्न बदल देती है और $L_i \leftarrow \lambda L_i$ उसे $\lambda$ से गुणा कर देता है — यहाँ के हिसाब-किताब की चूकें विलोपन-आधारित संगणनाओं में ग़लत चिह्नों का शास्त्रीय स्रोत हैं। शून्य सारणिक आरंभ है, अंत नहीं: वह कहता है “कोटि $< n$ ”, पर यह नहीं कि कौन-सी कोटि; उसका स्थान केवल आगे का काम बताता है (सोपानिक रूप, अथवा अभ्यास 22.12 के उपसारणिक) — उदाहरण 22.18 में $m = 1$ बनाम $m = -2$ वाली स्थिति देखिए। क्रामर को व्युत्क्रमणीयता चाहिए: जब $\det A = 0$ , तब सूत्र $x_j = \det A_j/\det A$ निरर्थक हैं, और फिर भी निकाय के (अनंत कितने) हल भली-भाँति हो सकते हैं। सारणिक केवल वर्ग आव्यूहों के होते हैं: किसी आयताकार निकाय के लिए विलोपन ही एकमात्र औज़ार है।

टिप्पणी 22.20 (सारणिक कहाँ जाते हैं)

इस अदिश की आगे तीन ज़िंदगियाँ हैं। ज्यामितीय: $\abs{\det}$ संबद्ध प्रतिचित्रण का क्षेत्रफल- अथवा आयतन-मापन गुणक है — जिसे समतल के लिए अध्याय 23 में यथार्थ किया गया है, और चर-परिवर्तन के याकोबी के रूप में स्नातक वर्ष 2 के खंड के बहु-समाकलों में। बीजगणितीय: $\det(A - \lambda I)$ , अर्थात् अभिलक्षणिक बहुपद, स्नातक वर्ष 2 में अभिलक्षणिक-मान सिद्धांत खोल देता है — और अध्याय 21 की सप्ताहांत समस्या की सर्वसमिका $A^2 - (\operatorname{tr} A)A + (\det A)I = 0$ उसकी पहली छाया है। विश्लेषणात्मक: विशेष आव्यूहों (वांडरमोंड, कोशी, ग्राम) के सारणिक तय करते हैं कि अंतर्वेशन, विघटन और प्रक्षेप की समस्याएँ कब सुप्रस्तुत हैं; और नीचे की सप्ताहांत समस्या पहले दोनों कुलों का पूरा मूल्यांकन कर देती है।

टिप्पणी 22.21 (पुस्तक 3 के भीतर के परिदृश्य)

यह अध्याय इस खंड की रैखिक-बीजगणित वाली रीढ़ बंद कर देता है, और शेष दो अध्याय लाभांश भुनाते हैं। अध्याय 23 में: ग्राम आव्यूह $\bigl(\langle v_i, v_j\rangle\bigr)$ किसी सारणिक से स्वतंत्रता की जाँच कर लेता है (अभ्यास 23.11), और समतल के समदूरक अपने सारणिक के चिह्न के अनुसार घूर्णनों और परावर्तनों में बँट जाते हैं — वहाँ की सप्ताहांत समस्या का वर्गीकरण इसी पर चलता है। अध्याय 25 में: मोंज राशि $rt - s^2$ द्वितीय अवकलजों के सममित आव्यूह का सारणिक है, और न्यूनतम वर्गों के प्रसामान्य समीकरण एक ऐसा क्रामर निकाय हैं जिसका आव्यूह ग्राम (अतः आघूर्ण) आव्यूह है — और वह ठीक यहीं स्थापित वांडरमोंड-स्वाद वाली कसौटियों से व्युत्क्रमणीय होता है। जब वे अध्याय “व्युत्क्रमणीय” या “धनात्मक” कहते हैं, तो उसकी रसीदें इसी अध्याय में हैं।

22.3 अभ्यास

अभ्यास 22.1 ★

संगणित कीजिए:

\begin{vmatrix} 3 & 1\\ 5 & 2 \end{vmatrix}, \qquad \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9\end{vmatrix}, \qquad \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 4\\ 1 & 3 & 9\end{vmatrix}.

हल

हल — अभ्यास 22.1.

$3 \times 2 - 1 \times 5 = 1$ .

दूसरा: $L_2 \leftarrow L_2 - L_1$ , $L_3 \leftarrow L_3 - L_2$ (मूल पंक्तियों पर) पंक्तियाँ $(1,2,3), (3,3,3), (3,3,3)$ देते हैं: दो बराबर पंक्तियाँ, अतः सारणिक $0$ । (सारुस पुष्टि करता है: $45 + 84 + 96 - 105 - 48 - 72 = 0$ ।)

तीसरा: यह $x = 1, 2, 3$ वाला वांडरमोंड है (उदाहरण 22.12): $(2-1)(3-1)(3-2) = 2$ ।

अभ्यास 22.2 ★

किन $\lambda \in \R$ के लिए कुल $\bigl((1, 1, \lambda), (1, \lambda, 1), (\lambda, 1, 1)\bigr)$ $\R^3$ का आधार है?

हल

हल — अभ्यास 22.2.

सारणिक (सभी स्तंभ पहले में जोड़कर, फिर गुणनखंडन करके) $(\lambda + 2)$ गुणा है

\begin{vmatrix} 1 & 1 & \lambda\\ 1 & \lambda & 1\\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = -(\lambda - 1)^2

( $L_1 \leftarrow L_1 - L_3$ , $L_2 \leftarrow L_2 - L_3$ से साफ़ कीजिए और प्रसार कीजिए), जिससे $\det = -(\lambda+2)(\lambda-1)^2$ मिलता है। आधार $\iff \det \neq 0 \iff \lambda \notin \{1, -2\}$ ।

अभ्यास 22.3 ★

क्रामर के नियम से हल कीजिए:

\begin{cases} 2x + y = 5\\ 3x - 2y = 4 , \end{cases} \qquad\text{फिर}\qquad \begin{cases} x + y + z = 6\\ x - y + z = 2\\ 2x + y - z = 1 . \end{cases}

हल

हल — अभ्यास 22.3.

पहला निकाय: $\det = -7$ ; $x = \frac{1}{-7}\begin{vmatrix} 5 & 1\\ 4 & -2\end{vmatrix} = \frac{-14}{-7} = 2$ , $y = \frac{1}{-7}\begin{vmatrix} 2 & 5\\ 3 & 4\end{vmatrix} = \frac{-7}{-7} = 1$ । जाँच: $2(2) + 1 = 5$ ; $3(2) - 2 = 4$ ।

दूसरा निकाय: $L_2 - L_1$ और $L_3 - 2L_1$ के बाद पंक्तियाँ $(1,1,1)$ , $(0,-2,0)$ , $(0,-1,-3)$ हो जाती हैं, अतः

\det A = \begin{vmatrix} 1&1&1\\ 1&-1&1\\ 2&1&-1\end{vmatrix} = 1 \times \begin{vmatrix} -2 & 0\\ -1 & -3\end{vmatrix} = 6 .

क्रामर, स्तंभों के स्थान पर $(6,2,1)^{\mathsf T}$ रखकर:

x = \frac{6}{6} = 1, \qquad y = \frac{12}{6} = 2, \qquad z = \frac{18}{6} = 3

(अंश उसी तरह संगणित)। जाँच: $1 + 2 + 3 = 6$ ; $1 - 2 + 3 = 2$ ; $2 + 2 - 3 = 1$ ।

अभ्यास 22.4 ★

गाउसीय विलोपन से हल कीजिए, और हल-समुच्चय का वर्णन कीजिए:

\begin{cases} x + 2y - z + t = 1\\ 2x + 4y + z - t = 5\\ x + 2y + 2z - 2t = 4 . \end{cases}

हल

हल — अभ्यास 22.4.

संवर्धित आव्यूह का लघुकरण: $L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1$ , $L_3 \leftarrow L_3 - L_1$ :

\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 3 & -3 & 3\\ 0 & 0 & 3 & -3 & 3 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1 & -1 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

धुरी-अज्ञात $x, z$ ; मुक्त अज्ञात $y, t$ । पश्च-प्रतिस्थापन: $z = 1 + t$ , $x = 1 - 2y + z - t = 2 - 2y$ । हल-समुच्चय:

\{(2 - 2y,\; y,\; 1 + t,\; t) : y, t \in \R\} = (2, 0, 1, 0) + \operatorname{Vect}\bigl((-2,1,0,0),\, (0,0,1,1)\bigr),

अर्थात् $\R^4$ का एक एफ़ीन समतल (विमा $2 = 4 - \operatorname{rk} 2$ )।

अभ्यास 22.5 ★★

उदाहरण 22.12 का वांडरमोंड सूत्र $n$ पर आगमन से सिद्ध कीजिए, और स्तंभ संक्रियाएँ $C_k \leftarrow C_k - x_1 C_{k-1}$ $k = n$ से $k = 2$ तक नीचे की ओर कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 22.5.

आगमन; $n = 1$ रिक्त गुणनफल $= 1$ है। चरण के लिए $k = n, n-1, \dots, 2$ हेतु $C_k \leftarrow C_k - x_1 C_{k-1}$ कीजिए (इसी क्रम में, ताकि हर संक्रिया अब तक अनछुए स्तंभ का प्रयोग करे)। पहली पंक्ति $(1, 0, \dots, 0)$ हो जाती है; और पंक्ति $i \geq 2$ में $k$ -वीं प्रविष्टि $x_i^{k-1} - x_1 x_i^{k-2} = x_i^{k-2}(x_i - x_1)$ हो जाती है। पहली पंक्ति के अनुदिश प्रसार करके और हर पंक्ति $i$ से $(x_i - x_1)$ का गुणनखंडन करके:

V(x_1, \dots, x_n) = \prod_{i=2}^{n} (x_i - x_1)\cdot V(x_2, \dots, x_n),

और आगमन-परिकल्पना गुणनफल $\prod_{i<j}(x_j - x_i)$ पूरा कर देती है।

अभ्यास 22.6 ★★

(त्रिविकर्ण) मान लीजिए $D_n$ वह $n \times n$ सारणिक है जिसके विकर्ण पर $2$ , दोनों निकटवर्ती विकर्णों पर $1$ , और अन्यत्र $0$ है। पहली पंक्ति के अनुदिश प्रसार करके $D_n = 2D_{n-1} - D_{n-2}$ सिद्ध कीजिए और $D_n$ संगणित कीजिए ( $D_1 = 2$ , $D_2 = 3$ )।

हल

हल — अभ्यास 22.6.

$D_n$ का पहली पंक्ति के अनुदिश प्रसार: $D_n = 2 D_{n-1} - 1\cdot\begin{vmatrix} 1 & \ast\\ 0 & D_{n-2}\text{-खंड} \end{vmatrix}$ ; और दूसरा सारणिक, अपने पहले स्तंभ के अनुदिश प्रसारित होकर, $D_{n-2}$ है। अतः $D_n = 2D_{n-1} - D_{n-2}$ , अर्थात् $D_n - D_{n-1} = D_{n-1} - D_{n-2}$ : अंतर अचर हैं और $D_2 - D_1 = 1$ के बराबर। इस प्रकार $D_n = D_1 + (n - 1) = n + 1$ । (जाँच: $D_2 = 3$ , और $3\times3$ वाली स्थिति उदाहरण 22.7 है: $D_3 = 4$ ।)

अभ्यास 22.7 ★★

उदाहरण 22.18 को पूरा कीजिए: संक्रिया $C_1 \leftarrow C_1 + C_2 + C_3$ से सारणिक $\begin{vmatrix} 1 & 1 & m\\ 1 & m & 1\\ m & 1 & 1\end{vmatrix}$ संगणित कीजिए, और निकाय का पूरा विवेचन कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 22.7.

$C_1 \leftarrow C_1 + C_2 + C_3$ पहले स्तंभ को अचर $(m+2)$ बना देता है; उसका गुणनखंडन कीजिए:

\det = (m+2)\begin{vmatrix} 1 & 1 & m\\ 1 & m & 1\\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} \overset{L_1 - L_3,\ L_2 - L_3}{=} (m+2)\begin{vmatrix} 0 & 0 & m-1\\ 0 & m-1 & 0\\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = (m+2)\cdot\bigl(-(m-1)^2\bigr)

(पहले स्तंभ के अनुदिश प्रसार कीजिए: अकेली प्रविष्टि $1$ का चिह्न $+$ है, और शेष $2 \times 2$ सारणिक $0 \cdot 0 - (m-1)(m-1) = -(m-1)^2$ है)।

विवेचन। $m \notin \{1, -2\}$ : क्रामर निकाय; समीकरणों की सममिति से $x = y = z$ , और हर समीकरण $(m + 2)x = 1$ देता है: अद्वितीय हल $\bigl(\frac{1}{m+2}, \frac{1}{m+2}, \frac{1}{m+2}\bigr)$ । $m = 1$ : तीनों समीकरण एक ही बात $x + y + z = 1$ कहते हैं: अतः हल एफ़ीन समतल $x + y + z = 1$ बनाते हैं। $m = -2$ : तीनों समीकरण जोड़ने पर $0 = 3$ मिलता है: अतः हल-समुच्चय रिक्त।

अभ्यास 22.8 ★★

मान लीजिए $A \in \mathcal{M}_n(\R)$ , जिसकी प्रविष्टियाँ पूर्णांक हैं। सिद्ध कीजिए कि $A$ का पूर्णांक प्रविष्टियों वाला प्रतिलोम है तभी जब $\det A = \pm 1$ । (सीधी दिशा के लिए सारणिक लीजिए; विलोम के लिए यह मान लीजिए — अथवा $n \leq 3$ के लिए सहगुणनखंडों से सिद्ध कीजिए — कि $A^{-1} = \frac{1}{\det A}\,\operatorname{Com}(A)^{\mathsf T}$ , जहाँ सहगुणनखंड आव्यूह पूर्णांक वाला है।)

हल

हल — अभ्यास 22.8.

( $\Rightarrow$ ) यदि $A^{-1}$ की प्रविष्टियाँ पूर्णांक हैं: तो $\det A \cdot \det A^{-1} = 1$ , जहाँ दोनों सारणिक पूर्णांक हैं (प्रविष्टियों के गुणनफलों के योग): और जिन दो पूर्णांकों का गुणनफल $1$ हो, वे दोनों $\pm1$ हैं।

( $\Leftarrow$ ) सहगुणनखंड-सूत्र $A^{-1} = \frac{1}{\det A}\operatorname{Com}(A)^{\mathsf T}$ ( $n \leq 3$ के लिए सीधे प्रसार से जाँचा गया, व्यापक रूप से मान लिया गया) में $\operatorname{Com}(A)$ की प्रविष्टियाँ पूर्णांक हैं (हर सहगुणनखंड एक पूर्णांक सारणिक है); और $\det A = \pm 1$ से भाग देने पर भी वे पूर्णांक बने रहते हैं।

अभ्यास 22.9 ★★★

आव्यूह $aI + bJ$ (अभ्यास 21.9) का $n \times n$ सारणिक संगणित कीजिए, अर्थात् जिसके विकर्ण पर $a + b$ और अन्यत्र $b$ हो। (सभी स्तंभ पहले में जोड़िए, गुणनखंडन कीजिए, फिर साफ़ कीजिए।) व्युत्क्रमणीयता की शर्त $a \neq 0$ , $a + nb \neq 0$ फिर से प्राप्त कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 22.9.

सभी स्तंभ पहले में जोड़िए: नए पहले स्तंभ की हर प्रविष्टि $a + nb$ है; उसका गुणनखंडन कीजिए, ताकि पहला स्तंभ पूरा इकाइयों का हो जाए। फिर पंक्ति संक्रियाएँ $L_i \leftarrow L_i - L_1$ ( $i \geq 2$ ) ऊपर-बाएँ $1$ के नीचे की हर प्रविष्टि साफ़ कर देती हैं और उन पंक्तियों में विकर्ण पर $a$ तथा अन्यत्र $0$ छोड़ देती हैं: अतः आव्यूह ऊपरी त्रिभुजाकार है, जिसका विकर्ण $(1, a, \dots, a)$ है। इस प्रकार

\det(aI + bJ) = (a + nb)\, a^{\,n-1} ,

जो अशून्य है तभी जब $a \neq 0$ और $a + nb \neq 0$ : अर्थात् अभ्यास 21.9 वाली शर्त।

अभ्यास 22.10 ★★★

मान लीजिए $A, B \in \mathcal{M}_n(\R)$ । सिद्ध कीजिए कि

\det\begin{pmatrix} A & B\\ B & A \end{pmatrix} = \det(A + B)\,\det(A - B),

इसके लिए खंड-स्तंभ और खंड-पंक्ति संक्रियाओं का प्रयोग कीजिए (खंड-रूप में $C_1 \leftarrow C_1 + C_2$ , फिर $L_2 \leftarrow L_2 - L_1$ ), और स्वाभाविक खंड-त्रिभुजाकार नियम $\det\begin{pmatrix} M & N\\ 0 & P\end{pmatrix} = \det M \det P$ मान लीजिए — जो उदाहरण 22.9 में $2 \times 2$ खंडों के लिए सिद्ध है।

हल

हल — अभ्यास 22.10.

खंड संक्रियाएँ (हर एक तदनुरूप $n$ अदिश संक्रियाओं का संयोजन, जिसकी अनुमति प्रमेय 22.3 (1) देता है):

\begin{vmatrix} A & B\\ B & A\end{vmatrix} \overset{C_1 \leftarrow C_1 + C_2}{=} \begin{vmatrix} A + B & B\\ A + B & A\end{vmatrix} \overset{L_2 \leftarrow L_2 - L_1}{=} \begin{vmatrix} A + B & B\\ 0 & A - B\end{vmatrix} = \det(A+B)\,\det(A-B),

अंतिम चरण के लिए खंड-त्रिभुजाकार नियम का प्रयोग करते हुए।

अभ्यास 22.11 ★★

(कोटि $3$ का चक्रीय आव्यूह) मान लीजिए $a, b, c \in \C$ और

\Delta = \begin{vmatrix} a & b & c\\ c & a & b\\ b & c & a \end{vmatrix}.

सिद्ध कीजिए कि $\Delta = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)$ , और $j = \eu^{2\iu\pi/3}$ का प्रयोग करके $\C$ पर पूरा गुणनखंडन कीजिए:

\Delta = (a + b + c)(a + jb + j^2c)(a + j^2b + jc) .

( $C_1 \leftarrow C_1 + C_2 + C_3$ से आरंभ कीजिए; सम्मिश्र रूप के लिए ध्यान दीजिए कि स्तंभ $(1, j, j^2)^{\mathsf T}$ लगभग किसी अभिलक्षणिक सदिश की तरह व्यवहार करता है।)

हल

हल — अभ्यास 22.11.

$C_1 \leftarrow C_1 + C_2 + C_3$ पहले स्तंभ को अचर $(a + b + c)$ बना देता है; उसका गुणनखंडन कीजिए, फिर $L_2 \leftarrow L_2 - L_1$ , $L_3 \leftarrow L_3 - L_1$ :

\Delta = (a+b+c)\begin{vmatrix} 1 & b & c\\ 0 & a - b & b - c\\ 0 & c - b & a - c \end{vmatrix} = (a+b+c)\bigl[(a-b)(a-c) + (b-c)^2\bigr],

और प्रसार करने पर $(a-b)(a-c) + (b-c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca$ । $\C$ पर, $j^3 = 1$ और $1 + j + j^2 = 0$ के साथ:

\begin{align*} (a + jb + j^2c)(a + j^2b + jc) &= a^2 + b^2 + c^2 + (j + j^2)(ab + bc + ca)\\ &= a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca , \end{align*}

जिससे पूरा गुणनखंडन मिल जाता है। (संरचनात्मक रूप से: स्तंभ $(1, j, j^2)^{\mathsf T}$ $M\,(1, j, j^2)^{\mathsf T} = (a + jb + j^2c)(1, j, j^2)^{\mathsf T}$ संतुष्ट करता है, और इसी प्रकार $j^2$ तथा $1$ भी: तीनों गुणनखंड उस चक्रीय आव्यूह के तीन “अभिलक्षणिक मान” हैं — यह कथा स्नातक वर्ष 2 के खंड में व्यवस्थित की गई है।)

अभ्यास 22.12 ★★★

(कोटि और उपसारणिक) मान लीजिए $A \in \mathcal{M}_{n,p}(K)$ । सिद्ध कीजिए कि $\operatorname{rk} A$ $A$ के किसी व्युत्क्रमणीय $r \times r$ उपआव्यूह के अधिकतम आकार $r$ के बराबर है (उपआव्यूह $r$ चुनी हुई पंक्तियों और $r$ चुने हुए स्तंभों के कटान-बिंदुओं की प्रविष्टियाँ रखता है)। (यदि $\operatorname{rk} A = r$ , तो $r$ स्वतंत्र स्तंभ चुनिए, फिर प्राप्त $n \times r$ खंड की $r$ स्वतंत्र पंक्तियाँ; विलोमतः कोई व्युत्क्रमणीय उपआव्यूह $A$ के तदनुरूप स्तंभों को स्वतंत्र होने पर बाध्य कर देता है।)

हल

हल — अभ्यास 22.12.

$r = \operatorname{rk} A$ लिखिए।

कोई व्युत्क्रमणीय $r \times r$ उपआव्यूह है। $A$ के $r$ स्वतंत्र स्तंभ चुनिए और मान लीजिए $B \in \mathcal{M}_{n,r}$ उनसे बना आव्यूह है: $\operatorname{rk} B = r$ । चूँकि पंक्ति-कोटि स्तंभ-कोटि के बराबर है (प्रमेय 21.13), अतः $B$ की $r$ पंक्तियाँ स्वतंत्र हैं; उन्हीं पंक्तियों को रखने पर $A$ का $r \times r$ उपआव्यूह मिलता है जिसकी कोटि $r$ है, अर्थात् वह व्युत्क्रमणीय है।

इससे बड़ा कोई नहीं। मान लीजिए $S$ कोई व्युत्क्रमणीय $s \times s$ उपआव्यूह है, जो $A$ के स्तंभों $j_1, \dots, j_s$ और पंक्तियों $i_1, \dots, i_s$ से लिया गया है। यदि तदनुरूप पूरे स्तंभों का कोई संयोजन $\sum_k \lambda_k C_{j_k} = 0$ शून्य हो जाए, तो केवल पंक्तियाँ $i_1, \dots, i_s$ पढ़ने पर $S$ के स्तंभों पर $\sum_k \lambda_k S_k = 0$ मिलता है, अतः सभी $\lambda_k = 0$ ( $S$ व्युत्क्रमणीय है): इस प्रकार $A$ के स्तंभ $C_{j_1}, \dots, C_{j_s}$ स्वतंत्र हैं, और $s \leq \operatorname{rk} A = r$ ।

अतः $\operatorname{rk} A$ ठीक किसी व्युत्क्रमणीय उपआव्यूह का अधिकतम आकार है।

22.4 समस्या: कोशी का दुहरा एकांतरक

समस्या 22.1

इस अध्याय के अनुप्रयोगों पर दो सारणिक राज करते हैं: वांडरमोंड सारणिक, जिसका मूल्यांकन अभ्यास 22.5 में हुआ, और कोशी सारणिक $\det\bigl(\frac{1}{a_i + b_j}\bigr)$ , जिसका मूल्यांकन यहाँ है। उन्हीं के इर्द-गिर्द यह समस्या एकांतरक का औज़ार-बक्सा इकट्ठा करती है: बहुपदीय स्तंभ-चालें, क्रामर से अंतर्वेशन, हिल्बर्ट आव्यूह, किसी त्रिघातीय का विविक्तकर, और एकांतरक बहुपदों की विधि। सर्वत्र $V(x_1, \dots, x_n) = \prod_{i < j}(x_j - x_i)$ वांडरमोंड मान को दर्शाता है।

भाग I — वांडरमोंड का औज़ार-बक्सा।

$V(1, 2, 3, 4)$ संगणित कीजिए, और स्मरण कीजिए कि $n$ युग्मशः भिन्न गाँठों पर अंतर्वेशन क्रामर निकाय क्यों है।
(बहुपदीय एकांतरक) मान लीजिए $P_0, \dots, P_{n-1}$ इकाई-अग्र हैं और $\deg P_k = k$ । सिद्ध कीजिए

$\det\bigl(P_{j-1}(x_i)\bigr)_{1 \leq i, j \leq n} = V(x_1, \dots, x_n) :$

अर्थात् स्तंभ संक्रियाएँ हर घात-स्तंभ को किसी भी इकाई-अग्र सीढ़ी से मुफ़्त में बदल देती हैं।
प्रश्न 2 को द्विपद बहुपदों $B_k = \frac{X(X-1)\cdots(X-k+1)}{k!}$ पर लगाइए: सिद्ध कीजिए कि पूर्णांकों $m_1 < m_2 < \dots < m_n$ के लिए,

$\frac{V(m_1, \dots, m_n)}{0!\,1!\,2!\cdots(n-1)!} \in \N :$

अर्थात् $n$ पूर्णांकों के सभी युग्मशः अंतरों का गुणनफल अधिक्रमगुणित $0!\,1!\cdots(n-1)!$ से विभाज्य होता है।
$\det\bigl(x_i^{\,j}\bigr)_{1 \leq i, j \leq n} = x_1 x_2 \cdots x_n\, V(x_1, \dots, x_n)$ सिद्ध कीजिए (अब घातें $1$ से आरंभ होती हैं)।
(आघूर्ण आव्यूह) मान लीजिए $S = \bigl(p_{i+j-2}\bigr)_{1 \leq i, j \leq n}$ , जहाँ $p_k = x_1^k + \dots + x_n^k$ । सिद्ध कीजिए कि आव्यूह $W = (x_i^{\,j-1})_{ij}$ के लिए $S = W^{\mathsf T} W$ , और निकालिए

$\det S = V(x_1, \dots, x_n)^2 ,$

और निष्कर्ष निकालिए: $n$ वास्तविक संख्याएँ युग्मशः भिन्न हैं तभी जब उनका आघूर्ण आव्यूह व्युत्क्रमणीय हो, और $\det S \geq 0$ सदा।

भाग II — अंतर्वेशन, फिर से। गाँठें $x_1 < \dots < x_n$ , मान $y_1, \dots, y_n$ ।

शर्तों “ $P = c_0 + c_1X + \dots + c_{n-1}X^{n-1}$ अंतर्वेशन करता है” को $c_k$ में आव्यूह $W$ वाले रैखिक निकाय के रूप में लिखिए, और $\det W = V \neq 0$ से अंतर्वेशक का अस्तित्व तथा अद्वितीयता फिर से प्राप्त कीजिए (पहले की दोनों उपपत्तियों प्रमेय 8.23 और उदाहरण 20.10 से तुलना कीजिए)।
क्रामर के नियम से और संबंधित सारणिक के अंतिम स्तंभ के अनुदिश सहगुणनखंड-प्रसार से सिद्ध कीजिए कि अंतर्वेशक का अग्र गुणांक है

$c_{n-1} = \sum_{i=1}^{n} \frac{y_i}{\prod_{j \neq i}(x_i - x_j)} .$
(संगामी वांडरमोंड) संगणित कीजिए

$\begin{vmatrix} 1 & x_1 & x_1^2\\ 0 & 1 & 2x_1\\ 1 & x_2 & x_2^2 \end{vmatrix} = (x_2 - x_1)^2 ,$

और व्याख्या कीजिए: $x_1 \neq x_2$ होने पर आँकड़े $\bigl(P(x_1), P'(x_1), P(x_2)\bigr)$ एक अद्वितीय $P \in \R_2[X]$ तय कर देते हैं (एरमीट अंतर्वेशन)।
$P(0) = 1$ , $P'(0) = 0$ , $P(1) = 2$ वाला अद्वितीय $P \in \R_2[X]$ खोजिए, और अपना उत्तर प्रश्न 8 के सामने जाँचिए।

भाग III — कोशी सारणिक। मान लीजिए $a_1, \dots, a_n$ और $b_1, \dots, b_n$ ऐसे अदिश हैं कि सभी $i, j$ के लिए $a_i + b_j \neq 0$ , और

C_n = \det\Bigl(\frac{1}{a_i + b_j}\Bigr)_{1 \leq i, j \leq n} .

$C_2$ हाथ से संगणित कीजिए और उसे “अंतरों के गुणनफल बटा योगों के गुणनफल” के रूप में रखिए।
$n \geq 2$ के लिए $L_i \leftarrow L_i - L_n$ कीजिए ( $i < n$ ) और पंक्तियों तथा स्तंभों का गुणनखंडन करके सिद्ध कीजिए

$C_n = \frac{\prod_{i<n}(a_n - a_i)}{\prod_{j}(a_n + b_j)}\;\det M,$

जहाँ $M$ पंक्तियों $i < n$ पर कोशी आव्यूह से मेल खाता है और उसकी अंतिम पंक्ति $(1, 1, \dots, 1)$ है।
$M$ पर $C_j \leftarrow C_j - C_n$ कीजिए ( $j < n$ ), फिर से गुणनखंडन कीजिए, और आगमन से कोशी का दुहरा एकांतरक निष्कर्ष निकालिए:

$C_n = \frac{\prod_{1 \leq i < j \leq n}(a_j - a_i)(b_j - b_i)}{\prod_{i, j}(a_i + b_j)} .$
व्युत्क्रमणीयता की कसौटी निकालिए ( $a_i$ युग्मशः भिन्न और $b_j$ युग्मशः भिन्न)। हिल्बर्ट आव्यूह $H_n = \bigl(\frac{1}{i + j - 1}\bigr)$ के लिए: सूत्र से $\det H_2$ और $\det H_3$ संगणित कीजिए, और सत्यापित कीजिए कि $H_2^{-1}$ की प्रविष्टियाँ पूर्णांक हैं।
दिखाइए कि युग्मशः भिन्न $b_j$ और किसी भी दाएँ पक्ष के लिए निकाय $\sum_j \frac{c_j}{a_i + b_j} = y_i$ ( $i = 1, \dots, n$ ) का अद्वितीय हल है, और इसे सरल ध्रुवों वाले आंशिक भिन्न-विघटनों के अस्तित्व तथा अद्वितीयता से जोड़िए (प्रमेय 9.5)।

भाग IV — त्रिघातीय का विविक्तकर। मान लीजिए $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$ $X^3 + pX + q$ के ( $\C$ में) मूल हैं, और $p_k = \lambda_1^k + \lambda_2^k + \lambda_3^k$ ।

हर मूल पर $\lambda^3 = -p\lambda - q$ का और वियेत ( $p_1 = 0$ ) का प्रयोग करके $p_2 = -2p$ , $p_3 = -3q$ तथा $p_4 = 2p^2$ संगणित कीजिए।
प्रश्न 5 के साथ ( $\C$ पर, $\det S = V^2$ रखते हुए) संगणित कीजिए

$\operatorname{disc} = V(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3)^2 = \begin{vmatrix} 3 & 0 & -2p\\ 0 & -2p & -3q\\ -2p & -3q & 2p^2 \end{vmatrix} = -4p^3 - 27q^2 .$
निष्कर्ष निकालिए: $X^3 + pX + q$ का कोई दोहराया मूल है तभी जब $4p^3 + 27q^2 = 0$ ; $X^3 - 3X + 2 = (X - 1)^2(X + 2)$ पर जाँचिए।
मान लीजिए $p, q$ वास्तविक हैं। सिद्ध कीजिए कि त्रिघातीय के तीन भिन्न वास्तविक मूल हैं तभी जब $\operatorname{disc} > 0$ , और एक वास्तविक तथा दो अवास्तविक संयुग्मी मूल हैं तभी जब $\operatorname{disc} < 0$ । (यदि $\lambda_3 = \conj{\lambda_2} \neq \lambda_2$ और $\lambda_1 \in \R$ , तो दिखाइए कि $V$ विशुद्ध काल्पनिक है।)

भाग V — लाभांश, और एकांतरक विधि।

$0 < a_1 < a_2 < \dots < a_n$ के लिए दिखाइए $\det\bigl(\frac{1}{a_i + a_j}\bigr) > 0$ ।
$(m_1, m_2, m_3) = (2, 4, 7)$ के लिए $\det\bigl(\binom{m_i}{j-1}\bigr)_{1 \leq i, j \leq 3}$ संगणित कीजिए, पहले प्रश्न 2–3 से, फिर सीधे प्रसार से।
मान लीजिए $\lambda_1, \dots, \lambda_n$ युग्मशः भिन्न और अशून्य हैं। किसी व्युत्क्रमणीय वांडरमोंड आव्यूह का प्रयोग करके फिर से सिद्ध कीजिए कि गुणोत्तर अनुक्रम $\bigl((\lambda_i^{\,k})_{k \geq 0}\bigr)_{1 \leq i \leq n}$ अनुक्रमों की समष्टि का स्वतंत्र कुल बनाते हैं।
दुहरे एकांतरक से $\det\bigl(\frac{1}{i + j}\bigr)_{1 \leq i, j \leq 3}$ संगणित कीजिए।
(एकांतरक बहुपद) $x_1, \dots, x_n$ में किसी बहुपद $F$ को एकांतरक कहिए जब किन्हीं दो चरों की अदला-बदली उसका चिह्न बदल दे। दिखाइए कि $x_i = x_j$ होते ही एकांतरक $F$ शून्य हो जाता है ( $i \neq j$ ), और — गुणनखंड प्रमेय से एक-एक चर लेकर — निष्कर्ष निकालिए कि $F$ $\prod_{i<j}(x_j - x_i)$ से विभाज्य है।
प्रश्न 23 का प्रयोग करके वांडरमोंड सूत्र बिना किसी आगमन के फिर से सिद्ध कीजिए: सारणिक $\det(x_i^{\,j-1})$ कुल घात $\binom n2$ का एकांतरक बहुपद है, अतः $\prod_{i<j}(x_j - x_i)$ का कोई अचर गुणज; और एक एकपदी की तुलना करके वह अचर पहचानिए।
संश्लेषण, चार वाक्यों में: सारणिक का कौन-सा अकेला गुण (कौन-सा अभिगृहीत) इस समस्या के सभी गुणनखंडन पैदा करता है; प्रश्न 5 की आघूर्ण-आव्यूह सर्वसमिका सम्मिश्र भिन्नता के कथन को संगणनीय वास्तविक चिह्न-परीक्षा में क्यों बदल देती है; यहाँ कौन-से दो शास्त्रीय आव्यूहों का पूरा मूल्यांकन हुआ और वे कौन-सी रैखिक समस्याओं पर शासन करते हैं; और प्रश्न 23–24 की एकांतरक विधि एक ही झटके में यह क्यों समझा देती है कि $\prod_{i<j}(x_j - x_i)$ बार-बार क्यों आता रहता है। भाग III की प्रमेय का नाम बताइए।

हल

हल — समस्या 22.1.

1. $V(1,2,3,4) = (2-1)(3-1)(4-1)(3-2)(4-2)(4-3) = 1 \cdot 2\cdot 3\cdot 1\cdot 2\cdot 1 = 12$ । भिन्न गाँठों पर अंतर्वेशन $P$ के उन गुणांकों की माँग करता है जो $W = (x_i^{\,j-1})$ के साथ $W c = y$ हल करें, और $\det W = V \neq 0$ : अर्थात् एक क्रामर निकाय।

2. स्तंभों पर बाएँ से दाएँ काम कीजिए। $C_1$ अचर स्तंभ $P_0(x_i) = 1$ है ( $P_0$ $0$ घात का इकाई-अग्र है)। मान लीजिए स्तंभ $1, \dots, j-1$ पहले ही शुद्ध घातों $1, x_i, \dots, x_i^{\,j-2}$ तक घटाए जा चुके हैं। चूँकि $P_{j-1} = X^{j-1} + \sum_{k < j-1}\alpha_k X^k$ , अतः $C_j$ में से संयोजन $\sum_k \alpha_k\,(\text{स्तंभ } x_i^k)$ घटाने पर — यह संक्रिया सारणिक नहीं बदलती — शुद्ध घात-स्तंभ $x_i^{\,j-1}$ बच जाता है। अंतिम स्तंभ के बाद आव्यूह वांडरमोंड आव्यूह है: $\det = V(x_1, \dots, x_n)$ ।

3. बहुपद $(j-1)!\,B_{j-1}$ $j - 1$ घात के इकाई-अग्र हैं, अतः प्रश्न 2 देता है

\det\bigl(B_{j-1}(m_i)\bigr) = \frac{V(m_1, \dots, m_n)}{0!\,1!\cdots(n-1)!} .

बायाँ पक्ष पूर्णांक प्रविष्टियों वाले किसी आव्यूह का सारणिक है ( $B_k$ $\Z$ पर पूर्णांक-मान है: सप्ताहांत समस्या समस्या 18.1 के प्रश्न 16–17), अतः वह एक पूर्णांक है; और वह धनात्मक है, क्योंकि $m_1 < \dots < m_n$ के लिए $V(m_1, \dots, m_n) > 0$ । इस प्रकार अधिक्रमगुणित सभी युग्मशः अंतरों के गुणनफल को विभाजित करता है।

4. हर पंक्ति $i$ से $x_i$ का गुणनखंडन कीजिए: $\det(x_i^{\,j})_{j = 1..n} = x_1\cdots x_n\, \det(x_i^{\,j-1}) = x_1\cdots x_n\,V$ ।

5. $(W^{\mathsf T}W)_{ij} = \sum_k x_k^{\,i-1} x_k^{\,j-1} = p_{i+j-2}$ : $S = W^{\mathsf T}W$ । अतः $\det S = \det(W^{\mathsf T})\det W = V^2$ (प्रमेय 22.3 (2),(4))। वास्तविक $x_i$ के लिए: $\det S = V^2 \geq 0$ , और $S$ व्युत्क्रमणीय है तभी जब $V \neq 0$ , अर्थात् तभी जब $x_i$ युग्मशः भिन्न हों — यह एक चिह्न-निश्चित परीक्षा है जो अकेले घात-योगों से संगणित हो जाती है।

6. अंतर्वेशन-शर्तें $\sum_{k} c_k\,x_i^{\,k} = y_i$ निकाय $Wc = y$ बनाती हैं; और $\det W = V \neq 0$ अस्तित्व तथा अद्वितीयता एक ही साथ दे देता है। यह पुस्तक की तीसरी उपपत्ति है: प्रमेय 8.23 में स्पष्ट सूत्र, उदाहरण 20.10 में अष्टि-तर्क, और यहाँ क्रामर।

7. क्रामर: $c_{n-1} = \det W'/\det W$ , जहाँ $W'$ वही $W$ है जिसके अंतिम स्तंभ के स्थान पर $y$ रख दिया गया है। उस स्तंभ के अनुदिश $\det W'$ का प्रसार करने पर:

\det W' = \sum_{i=1}^n (-1)^{i+n} y_i\,V(x_1, \dots, \widehat{x_i}, \dots, x_n) .

अब $V = V(\setminus i)\cdot\prod_{j<i}(x_i - x_j)\prod_{j>i} (x_j - x_i)$ , और दूसरे गुणनफल को बदलने की क़ीमत $(-1)^{n-i}$ है:

(-1)^{i+n}\,\frac{V(\setminus i)}{V} = \frac{(-1)^{i+n}(-1)^{n-i}}{\prod_{j\neq i}(x_i - x_j)} = \frac{1}{\prod_{j\neq i}(x_i - x_j)} ,

जिससे $c_{n-1} = \sum_i y_i/\prod_{j \neq i}(x_i - x_j)$ — अर्थात् फिर से वही विभाजित-अंतर वाला सूत्र।

8. $L_3 \leftarrow L_3 - L_1$ पंक्तियाँ $(1, x_1, x_1^2)$ , $(0, 1, 2x_1)$ , $(0,\ x_2 - x_1,\ (x_2-x_1)(x_2+x_1))$ देता है; पहले स्तंभ के अनुदिश प्रसार करके और $(x_2 - x_1)$ का गुणनखंडन करके:

(x_2 - x_1)\begin{vmatrix} 1 & 2x_1\\ 1 & x_2 + x_1 \end{vmatrix} = (x_2 - x_1)(x_2 - x_1) = (x_2 - x_1)^2 .

$x_1 \neq x_2$ के लिए यह अशून्य है: $P \in \R_2[X]$ के गुणांकों पर $P(x_1) = u$ , $P'(x_1) = v$ , $P(x_2) = w$ को व्यक्त करने वाला रैखिक निकाय क्रामर है — अर्थात् दुहरी गाँठ वाला एरमीट अंतर्वेशन सुप्रस्तुत है।

9. $a = P(0) = 1$ , $b = P'(0) = 0$ , $a + b + c = P(1) = 2$ के साथ $P = a + bX + cX^2$ : $c = 1$ , अतः $P = 1 + X^2$ , और वह अद्वितीय है। संगति: यहाँ $x_1 = 0$ , $x_2 = 1$ , और प्रश्न 8 का सारणिक $(1 - 0)^2 = 1 \neq 0$ है।

10. सीधी संगणना:

C_2 = \frac{1}{(a_1+b_1)(a_2+b_2)} - \frac{1}{(a_1+b_2)(a_2+b_1)} = \frac{(a_1+b_2)(a_2+b_1) - (a_1+b_1)(a_2+b_2)} {\prod_{i,j}(a_i+b_j)} ,

और अंश प्रसारित होकर $a_1b_1 + a_2b_2 - a_1b_2 - a_2b_1 = (a_2 - a_1)(b_2 - b_1)$ हो जाता है: अर्थात् अंतर बटा योग।

11. $i < n$ के लिए पंक्ति $i$ की नई प्रविष्टि है

\frac{1}{a_i + b_j} - \frac{1}{a_n + b_j} = \frac{a_n - a_i}{(a_i + b_j)(a_n + b_j)} .

हर पंक्ति $i < n$ से $(a_n - a_i)$ और फिर हर स्तंभ $j$ से $\frac1{a_n + b_j}$ का गुणनखंडन कीजिए: जो बचता है उसकी पंक्तियों $i < n$ में प्रविष्टियाँ $\frac1{a_i + b_j}$ हैं और पंक्ति $n$ में अचर $1$ — अर्थात् आव्यूह $M$ , और साथ में वही घोषित पूर्व-गुणक।

12. $M$ पर, $j < n$ के लिए संक्रिया $C_j \leftarrow C_j - C_n$ पंक्ति $n$ को $(0, \dots, 0, 1)$ में बदल देती है, और पंक्ति $i < n$ में,

\frac{1}{a_i + b_j} - \frac{1}{a_i + b_n} = \frac{b_n - b_j}{(a_i + b_j)(a_i + b_n)} .

हर स्तंभ $j < n$ से $(b_n - b_j)$ और हर पंक्ति $i < n$ से $\frac1{a_i + b_n}$ का गुणनखंडन कीजिए, फिर अंतिम पंक्ति के अनुदिश प्रसार कीजिए (चिह्न $(-1)^{n+n} = +1$ ): शेष सारणिक $C_{n-1}$ है। प्रश्न 11–12 के गुणनखंड इकट्ठे करने पर:

C_n = \frac{\prod_{i<n}(a_n - a_i)\,\prod_{j<n}(b_n - b_j)} {\prod_{j}(a_n + b_j)\,\prod_{i<n}(a_i + b_n)}\;C_{n-1},

और आगमन (आधार $C_1 = \frac1{a_1+b_1}$ ) ठीक कोशी का दुहरा एकांतरक जोड़ देता है: सभी जोड़ियों के लिए गुणनखंड $(a_j - a_i)(b_j - b_i)$ , बटा सभी योग $(a_i + b_j)$ ।

13. सूत्र शून्य होता है तभी जब कोई $a_j = a_i$ अथवा $b_j = b_i$ : अर्थात् कोशी आव्यूह व्युत्क्रमणीय है तभी जब दोनों कुल युग्मशः भिन्न हों। हिल्बर्ट: $a_i = i$ , $b_j = j - 1$ । $n = 2$ के लिए: अंश $(2-1)(1-0) = 1$ , हर $1\cdot2\cdot2\cdot3 = 12$ : $\det H_2 = \frac1{12}$ । $n = 3$ के लिए: अंश $\bigl[(1)(2)(1)\bigr]^2 = 4$ , हर $(1\cdot2\cdot3) (2\cdot3\cdot4)(3\cdot4\cdot5) = 6\cdot24\cdot60 = 8640$ : $\det H_3 = \frac{4}{8640} = \frac1{2160}$ । $n = 2$ के लिए प्रतिलोम:

H_2^{-1} = 12\begin{pmatrix} \frac13 & -\frac12\\[2pt] -\frac12 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & -6\\ -6 & 12 \end{pmatrix},

सभी पूर्णांक (यह परिघटना हर $n$ के लिए सत्य है)।

14. निकाय का आव्यूह कोशी आव्यूह है, जो प्रश्न 13 से तब व्युत्क्रमणीय है जब $b_j$ (और $a_i$ ) युग्मशः भिन्न हों: अतः अद्वितीय हल। व्याख्या: सरल ध्रुवों वाला कोई परिमेय फलन $R = \sum_j \frac{c_j}{X + b_j}$ अपने $n$ मानों $R(a_1), \dots, R(a_n)$ से तय हो जाता है, और विलोमतः ऐसा हर आँकड़ा-पत्रक ठीक एक बार साकार होता है — यह आंशिक भिन्नों के अस्तित्व और अद्वितीयता प्रमेय (प्रमेय 9.5) का प्रतिचयन वाला समकक्ष है।

15. $X^3 + pX + q$ के लिए वियेत: $\lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3 = 0$ , $\sum_{i<j}\lambda_i\lambda_j = p$ , अतः $p_1 = 0$ और $p_2 = p_1^2 - 2p = -2p$ । हर मूल $\lambda^3 = -p\lambda - q$ संतुष्ट करता है; योग करने पर: $p_3 = -p\,p_1 - 3q = -3q$ । $\lambda$ से गुणा करके योग करने पर: $p_4 = -p\,p_2 - q\,p_1 = 2p^2$ ।

16. प्रश्न 5 से (सर्वसमिका $S = W^{\mathsf T}W$ और $\det S = V^2$ $\C$ पर मान्य हैं),

V^2 = \begin{vmatrix} 3 & 0 & -2p\\ 0 & -2p & -3q\\ -2p & -3q & 2p^2 \end{vmatrix} = 3\bigl(-4p^3 - 9q^2\bigr) + (-2p)\bigl(0 - 4p^2\bigr) = -4p^3 - 27q^2 ,

पहली पंक्ति के अनुदिश प्रसार करते हुए।

17. दोहराए गए मूल का अर्थ है दो बराबर $\lambda_i$ , अर्थात् $V = 0$ , यानी $\operatorname{disc} = -4p^3 - 27q^2 = 0$ । $X^3 - 3X + 2$ के लिए: $4(-3)^3 + 27\cdot4 = -108 + 108 = 0$ , जो $(X-1)^2(X+2)$ के दुहरे मूल $1$ से मेल खाता है।

18. किसी वास्तविक त्रिघातीय के अवास्तविक मूल संयुग्मी जोड़ियों में आते हैं, अतः $\operatorname{disc} \neq 0$ होने पर ठीक दो स्थितियाँ बनती हैं। तीन भिन्न वास्तविक मूल: $V$ वास्तविक और अशून्य है, अतः $\operatorname{disc} = V^2 > 0$ । एक वास्तविक मूल $\lambda_1$ तथा $\lambda_3 = \conj{\lambda_2} \notin \R$ : तब

(\lambda_2 - \lambda_1)(\lambda_3 - \lambda_1) = \abs{\lambda_2 - \lambda_1}^2 > 0, \qquad \lambda_3 - \lambda_2 = -2\iu\,\operatorname{Im}\lambda_2 \neq 0,

अतः $V$ एक अशून्य विशुद्ध काल्पनिक संख्या है और $\operatorname{disc} = V^2 < 0$ । दोनों चिह्न दोनों स्थितियों का अभिलक्षण कर देते हैं।

19. दुहरे एकांतरक में $b_i = a_i$ लीजिए: अंश $\prod_{i<j}(a_j - a_i)^2 > 0$ है और हर $\prod_{i,j}(a_i + a_j) > 0$ (सभी प्रविष्टियाँ धनात्मक): अतः सारणिक धनात्मक है। (आगे की भाषा में: नाभिक $\frac1{x+y}$ धन-निश्चित है।)

20. प्रश्न 2–3 से सारणिक $V(2,4,7)/(0!\,1!\,2!) = \frac{(4-2)(7-2)(7-4)}{2} = \frac{30}{2} = 15$ के बराबर है। सीधे देखें तो आव्यूह है

\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1\\ 1 & 4 & 6\\ 1 & 7 & 21 \end{pmatrix}, \qquad \det = (84 - 42) - 2(21 - 6) + (7 - 4) = 42 - 30 + 3 = 15 .

21. मान लीजिए अनुक्रम के रूप में $\sum_i c_i\,(\lambda_i^{\,k})_{k} = 0$ । $k = 0, 1, \dots, n-1$ पढ़ लेने पर $W^{\mathsf T}c = 0$ मिलता है, जहाँ $W = (\lambda_i^{\,j-1})$ व्युत्क्रमणीय है ( $\det = V \neq 0$ , भिन्न $\lambda_i$ ): अतः $c = 0$ । इस प्रकार गुणोत्तर अनुक्रम स्वतंत्र हैं।

22. $a = b = (1, 2, 3)$ : अंश $\bigl[(2-1)(3-1) (3-2)\bigr]^2 = 4$ ; हर $\prod_{i,j}(i + j) = (2\cdot3\cdot4)(3\cdot4\cdot5)(4\cdot5\cdot6) = 24\cdot60\cdot120 = 172800$ । अतः $\det\bigl(\frac1{i+j}\bigr) = \frac{4}{172800} = \frac1{43200}$ ।

23. यदि $x_i = x_j$ , तो दोनों चरों की अदला-बदली उस बिंदु को अचल रखती है पर $F$ का चिह्न बदल देनी ही चाहिए: $F = -F$ , अतः वहाँ $F = 0$ । विभाज्यता: $F$ को अकेले चर $x_n$ में एक बहुपद मानिए जिसके गुणांक शेष चरों में हैं; वह $n - 1$ “मानों” $x_1, \dots, x_{n-1}$ पर शून्य होता है, अतः बार-बार गुणनखंडन (प्रमेय 8.7) से $F = \prod_{i<n}(x_n - x_i)\cdot G$ मिलता है, जहाँ $G$ बहुपद है। पूर्व-गुणक दो सूचकांकों $i, j < n$ की अदला-बदली के अंतर्गत अपरिवर्तित है, अतः $G$ $x_1, \dots, x_{n-1}$ में एकांतरक है, और आगमन काम पूरा कर देता है: $\prod_{i<j}(x_j - x_i)$ $F$ को विभाजित करता है।

24. $D = \det(x_i^{\,j-1})$ $x_i$ में एक बहुपद है; दो चरों की अदला-बदली दो पंक्तियों की अदला-बदली है, अतः $D$ एकांतरक है, और प्रश्न 23 से किसी बहुपद $c$ के लिए $D = c\,\prod_{i<j}(x_j - x_i)$ । कुल घातें: $D$ की घात $\leq 0 + 1 + \dots + (n-1) = \binom n2$ है, और गुणनफल की घात ठीक $\binom n2$ : अतः $c$ एक अचर है। एकपदी $x_2\,x_3^2\cdots x_n^{\,n-1}$ का गुणांक $D$ में $1$ है (विकर्ण गुणनफल) और गुणनफल में $1$ (हर गुणनखंड में बड़े सूचकांक वाला चर चुनिए): अतः $c = 1$ , और वांडरमोंड सूत्र बिना किसी आगमन के निकल आता है।

25. (क) एकांतरकता — अर्थात् वह अभिगृहीत कि “दो बराबर स्तंभ सारणिक को मार देते हैं” — ही यंत्र है: उसी ने इस समस्या का हर गुणनखंड $(x_j - x_i)$ , $(a_j - a_i)$ , $(b_j - b_i)$ पैदा किया। (ख) सर्वसमिका $\det S = V^2$ व्यक्तिगत रूप से सम्मिश्र और अगम्य मूलों के स्थान पर उनके घात-योग रख देती है, जो गुणांकों में वास्तविक बहुपद हैं, अतः भिन्नता किसी संगणनीय वास्तविक संख्या का चिह्न बन जाती है। (ग) वांडरमोंड सारणिक बहुपदीय अंतर्वेशन पर शासन करता है, और कोशी सारणिक आंशिक भिन्नों तथा प्रतिचयित परिमेय फलनों पर (जिसकी सबसे प्रसिद्ध विशेष स्थिति हिल्बर्ट आव्यूह है)। (घ) कोई भी एकांतरक बहुपद $\prod_{i<j}(x_j - x_i)$ से विभाज्य होता है, और फिर घात की गिनती ऐसे बहुपद को किसी अचर तक कील देती है — और इसीलिए यह गुणनफल वहीं-वहीं फिर से आता रहता है जहाँ कोई सारणिक संपातों पर शून्य होता है। भाग III की प्रमेय कोशी का दुहरा एकांतरक है।