Qu'est-ce que « Le corps des nombres complexes » ?

Exemple 3.3 (Un entraînement complet aux modules et arguments)

Mettons $w = \dfrac{3 + 4\iu}{1 - 2\iu}$ sous forme algébrique et calculons son module de deux façons. En multipliant par le conjugué du dénominateur :

Directement : $\abs w = \sqrt{1 + 4} = \sqrt5$. Par la règle du quotient (Proposition 3.2 (3)) : $\abs w = \frac{\abs{3 + 4\iu}}{\abs{1 - 2\iu}} = \frac5{\sqrt5} = \sqrt5$ — même réponse, sans passer par la forme algébrique. La leçon se généralise : modules et arguments passent bien aux produits et aux quotients, parties réelle et imaginaire passent bien aux sommes. On choisit la représentation adaptée aux opérations en jeu, et l’on ne convertit que lorsqu’on y est contraint.

Exemple 3.4 (Équations faisant intervenir le conjugué)

Résolvons dans $\C$ : $\;z + 2\conj z = 6 + 2\iu$. Une équation mêlant $z$ et $\conj z$ n’est pas polynomiale en $z$ ; le réflexe fiable est de passer aux coordonnées réelles. Avec $z = x + \iu y$ :

de sorte que l’équation s’écrit $3x = 6$ et $-y = 2$ : l’unique solution est $z = 2 - 2\iu$. (Vérification : $(2 - 2\iu) + 2(2 + 2\iu) = 6 + 2\iu$.) On peut aussi conjuguer l’équation tout entière, ce qui donne $\conj z + 2z = 6 - 2\iu$, et résoudre le système linéaire d’inconnues $z, \conj z$ — même réponse, et une astuce utile lorsque les coefficients sont complexes. Les équations en $z$ et $\conj z$ sont en réalité des systèmes de deux équations réelles ; l’attente « degré $1$, une solution » est ici sans danger, mais $z\conj z = -1$ (sans solution) montre l’intuition polynomiale tomber en défaut dès que des produits apparaissent.

Exemple 3.15 (Racines cubiques de $-27$)

Résolvons $z^3 = -27$. Forme exponentielle du second membre : $-27 = 27\,\eu^{\iu\pi}$, si bien que les trois racines sont

Deux vérifications. D’abord, la racine réelle $-3$ est la racine évidente, et les deux autres en sont les images par les rotations d’angles $\pm\frac{2\pi}3$ — autrement dit $-3j$ et $-3j^2$. Ensuite, l’algèbre confirme : $z^3 + 27 = (z + 3)(z^2 - 3z + 9)$, et le trinôme a pour discriminant $9 - 36 = -27 < 0$, de racines $\frac{3 \pm 3\iu\sqrt3}2 = z_0, \conj{z_0}$. L’idée à retenir : pour un second membre réel, les racines non réelles vont toujours par paires de conjuguées, de sorte que la figure de l’ensemble des solutions est symétrique par rapport à l’axe réel — un avant-goût du théorème de factorisation réelle du Chapitre 8.