¿Qué es El cuerpo de los complejos? — Matemáticas

Definición 3.1 Matemáticas universitarias — Grado 1 · Capítulo 3 — Números complejos

$\C = \{a + \iu b : a, b \in \R\}$ con la suma usual y la multiplicación determinada por $\iu^2 = -1$ . Todo $z = a + \iu b$ no nulo tiene inverso: $z^{-1} = \frac{a - \iu b}{a^2 + b^2}$ — en el lenguaje del Capítulo 7, $\C$ es un cuerpo. Se escribe $a = \Re(z)$ , $b = \Im(z)$ , $\conj{z} = a - \iu b$ (el conjugado) y $\abs{z} = \sqrt{a^2 + b^2}$ (el módulo).

Ejemplos

Ejemplo 3.3 (Un ejercicio completo de módulo y argumento)

Póngase $w = \dfrac{3 + 4\iu}{1 - 2\iu}$ en forma algebraica y calcúlese su módulo de dos maneras. Multiplicando por el conjugado del denominador:

w = \frac{(3 + 4\iu)(1 + 2\iu)}{(1 - 2\iu)(1 + 2\iu)} = \frac{3 + 6\iu + 4\iu - 8}{1 + 4} = \frac{-5 + 10\iu}{5} = -1 + 2\iu .

Directamente: $\abs w = \sqrt{1 + 4} = \sqrt5$ . Por la regla del cociente (Proposición 3.2 (3)): $\abs w = \frac{\abs{3 + 4\iu}}{\abs{1 - 2\iu}} = \frac5{\sqrt5} = \sqrt5$ — la misma respuesta, sin necesidad de forma algebraica. La lección se generaliza: módulos y argumentos viajan bien a través de productos y cocientes; las partes real e imaginaria, a través de sumas. Elíjase la representación que se ajuste a las operaciones en juego y conviértase solo cuando no quede más remedio.

Ejemplo 3.4 (Ecuaciones con el conjugado)

Resuélvase en $\C$ : $\;z + 2\conj z = 6 + 2\iu$ . Una ecuación que mezcla $z$ y $\conj z$ no es polinómica en $z$ ; lo fiable es separar en coordenadas reales. Con $z = x + \iu y$ :

z + 2\conj z = 3x - \iu y ,

la ecuación se lee $3x = 6$ y $-y = 2$ : la única solución es $z = 2 - 2\iu$ . (Comprobación: $(2 - 2\iu) + 2(2 + 2\iu) = 6 + 2\iu$ .) Alternativamente, se conjuga toda la ecuación para obtener $\conj z + 2z = 6 - 2\iu$ y se resuelve el sistema lineal en las incógnitas $z, \conj z$ — la misma respuesta, y un truco útil cuando los coeficientes son complejos. Las ecuaciones en $z$ y $\conj z$ son en realidad sistemas de dos ecuaciones reales; esperar «grado $1$ , una solución» es seguro aquí, pero $z\conj z = -1$ (sin solución) muestra que la intuición polinómica falla en cuanto aparecen productos.

Ejemplo 3.15 (Raíces cúbicas de $-27$ )

Resuélvase $z^3 = -27$ . Forma exponencial del miembro derecho: $-27 = 27\,\eu^{\iu\pi}$ , así que las tres raíces son

z_k = 3\,\eu^{\iu(\frac\pi3 + \frac{2k\pi}3)}, \quad k = 0, 1, 2 : \qquad z_0 = 3\eu^{\iu\pi/3} = \frac32 + \frac{3\sqrt3}2\,\iu, \quad z_1 = -3, \quad z_2 = \conj{z_0} .

Dos comprobaciones. Primera: la raíz real $-3$ es la evidente, y las otras dos son sus rotaciones de $\pm\frac{2\pi}3$ — equivalentemente, $-3j$ y $-3j^2$ . Segunda: el álgebra lo confirma, $z^3 + 27 = (z + 3)(z^2 - 3z + 9)$ , y la cuadrática tiene discriminante $9 - 36 = -27 < 0$ con raíces $\frac{3 \pm 3\iu\sqrt3}2 = z_0, \conj{z_0}$ . La idea clave: para miembros derechos reales, las raíces no reales vienen siempre en pares conjugados, de modo que el dibujo del conjunto de soluciones es simétrico respecto del eje real — un anticipo del teorema de factorización real del Capítulo 8.

Leer en el capítulo →