विश्वविद्यालय गणित — स्नातक वर्ष 1 · Bachelor Year 1

3सम्मिश्र संख्याएँ

सम्मिश्र संख्याएँ उच्चतर माध्यमिक खंड में द्विघात समीकरणों की संगणना की एक युक्ति के रूप में मिली थीं। यह अध्याय उन्हें एक केंद्रीय वस्तु मानता है: चरघातांकी रूप और उसके परिणाम (दे मॉयवर, $n$ -वें मूल, इकाई के मूल), $\C$ और समतल ज्यामिति के बीच व्यवस्थित अनुवाद, तथा त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ सिद्ध करने की मशीन के रूप में $\eu^{\iu\theta}$ का प्रयोग।

3.1 क्षेत्र $\C$ , मापांक और संयुग्मी

परिभाषा 3.1 (सम्मिश्र क्षेत्र)

$\C = \{a + \iu b : a, b \in \R\}$ , जिसमें सामान्य योग है और गुणन $\iu^2 = -1$ से निर्धारित होता है। प्रत्येक अशून्य $z = a + \iu b$ का प्रतिलोम है: $z^{-1} = \frac{a - \iu b}{a^2 + b^2}$ — अध्याय 7 की भाषा में, $\C$ एक क्षेत्र है। लिखा जाता है $a = \Re(z)$ , $b = \Im(z)$ , $\conj{z} = a - \iu b$ (संयुग्मी) और $\abs{z} = \sqrt{a^2 + b^2}$ (मापांक)।

प्रतिज्ञप्ति 3.2 (संयुग्मी और मापांक के नियम)

$z, w \in \C$ के लिए:

$\conj{z + w} = \conj z + \conj w$ , $\conj{zw} = \conj z\, \conj w$ , $\conj{\conj z} = z$ ;
$z \conj z = \abs z^2$ ; $\;\Re(z) = \frac{z + \conj z}{2}$ , $\Im(z) = \frac{z - \conj z}{2\iu}$ ;
$\abs{zw} = \abs z\, \abs w$ , और $z \neq 0$ के लिए $\abs{z^{-1}} = \abs{z}^{-1}$ ;
(त्रिभुज असमिका) $\abs{z + w} \leq \abs z + \abs w$ , जहाँ समता यदि और केवल यदि $z$ और $w$ $0$ से निकलने वाली एक ही किरण पर हों ( $w = \lambda z$ , या $\lambda \geq 0$ के साथ $z = \lambda w$ );
(विलोम त्रिभुज असमिका) $\bigl|\abs z - \abs w\bigr| \leq \abs{z - w}$ ।

उपपत्ति. (1) और (2) वास्तविक तथा काल्पनिक भागों पर सीधी संगणनाएँ हैं। (3): $\abs{zw}^2 = zw\,\conj{zw} = z\conj z\, w \conj w = \abs z^2 \abs w^2$ , फिर वर्गमूल लीजिए; प्रतिलोम के लिए $z \cdot z^{-1} = 1$ पर लगाइए।

(4) दोनों पक्ष ऋणेतर हैं, अतः वर्गों की तुलना कीजिए:

\abs{z+w}^2 = (z+w)(\conj z + \conj w) = \abs z^2 + \abs w^2 + 2\,\Re(z \conj w),

और $\Re(z\conj w) \leq \abs{z \conj w} = \abs z \abs w$ से $\abs{z+w}^2 \leq (\abs z + \abs w)^2$ मिलता है। समता के लिए $\Re(z \conj w) = \abs{z \conj w}$ आवश्यक है, अर्थात् $z \conj w \in \R_+$ ; यदि $w \neq 0$ , तो इससे $\lambda \geq 0$ के साथ $z = \frac{z\conj w}{\abs w^2}\, w = \lambda w$ मिलता है (और स्थिति $w = 0$ तुच्छ है)।

(5) $\abs z = \abs{(z - w) + w} \leq \abs{z-w} + \abs w$ से $\abs z - \abs w \leq \abs{z - w}$ मिलता है; दूसरे चिह्न के लिए $z$ और $w$ की अदला-बदली कीजिए। ∎

उदाहरण 3.3 (मापांक और कोणांक का पूरा अभ्यास)

$w = \dfrac{3 + 4\iu}{1 - 2\iu}$ को बीजीय रूप में लिखिए और उसका मापांक दो बार संगणित कीजिए। हर के संयुग्मी से गुणा करने पर:

w = \frac{(3 + 4\iu)(1 + 2\iu)}{(1 - 2\iu)(1 + 2\iu)} = \frac{3 + 6\iu + 4\iu - 8}{1 + 4} = \frac{-5 + 10\iu}{5} = -1 + 2\iu .

सीधे: $\abs w = \sqrt{1 + 4} = \sqrt5$ । भागफल के नियम (प्रतिज्ञप्ति 3.2 (3)) से: $\abs w = \frac{\abs{3 + 4\iu}}{\abs{1 - 2\iu}} = \frac5{\sqrt5} = \sqrt5$ — वही उत्तर, और बीजीय रूप की कोई आवश्यकता नहीं। यह शिक्षा सामान्य है: मापांक और कोणांक गुणनफल तथा भागफल से होकर अच्छी तरह जाते हैं, और वास्तविक तथा काल्पनिक भाग योगों से होकर। जो निरूपण सामने की संक्रियाओं से मेल खाता हो उसे चुनिए, और बदलिए तभी जब विवश होना पड़े।

उदाहरण 3.4 (संयुग्मी वाले समीकरण)

$\C$ में हल कीजिए: $\;z + 2\conj z = 6 + 2\iu$ । $z$ और $\conj z$ को मिलाने वाला समीकरण $z$ में बहुपद नहीं है; भरोसेमंद चाल है वास्तविक निर्देशांकों में तोड़ देना। $z = x + \iu y$ के साथ:

z + 2\conj z = 3x - \iu y ,

अतः समीकरण $3x = 6$ और $-y = 2$ कहता है: अद्वितीय हल $z = 2 - 2\iu$ है। (जाँच: $(2 - 2\iu) + 2(2 + 2\iu) = 6 + 2\iu$ ।) वैकल्पिक रूप से, पूरे समीकरण का संयुग्मी लेकर $\conj z + 2z = 6 - 2\iu$ प्राप्त कीजिए और अज्ञातों $z, \conj z$ में रैखिक निकाय हल कीजिए — वही उत्तर, और गुणांकों के सम्मिश्र होने पर यह उपयोगी युक्ति है। $z$ और $\conj z$ वाले समीकरण वस्तुतः दो वास्तविक समीकरणों के निकाय हैं; यहाँ “घात $1$ , एक हल” की अपेक्षा सुरक्षित है, पर $z\conj z = -1$ (कोई हल नहीं) दिखाता है कि गुणनफल आते ही बहुपदीय अंतर्ज्ञान विफल हो जाता है।

3.2 चरघातांकी रूप

परिभाषा 3.5 (काल्पनिक प्रांतिक का सम्मिश्र चरघातांकी)

$\theta \in \R$ के लिए परिभाषित कीजिए

\eu^{\iu\theta} = \cos\theta + \iu \sin\theta .

प्रत्येक $z \neq 0$ को $r = \abs z > 0$ के साथ $z = r\,\eu^{\iu\theta}$ लिखा जा सकता है; $\theta$ $z$ का एक कोणांक है, जो $2\pi$ का गुणज जोड़ने तक निर्धारित है। $\intoc{-\pi}{\pi}$ में स्थित मान मुख्य कोणांक है, जिसे $\arg z$ लिखते हैं।

उदाहरण 3.6 (पहले मान, और एक प्रसिद्ध सर्वसमिका)

मुख्य कोणों पर परिभाषा पढ़ने से:

\eu^{\iu\pi/2} = \iu, \qquad \eu^{\iu\pi} = -1, \qquad \eu^{2\iu\pi} = 1, \qquad \eu^{\iu\pi/4} = \frac{\sqrt2}2\,(1 + \iu) .

इनमें दूसरी, $\eu^{\iu\pi} + 1 = 0$ के रूप में पुनर्व्यवस्थित करने पर, $\eu$ , $\iu$ , $\pi$ , $1$ और $0$ को जोड़ने वाली ऑयलर की प्रसिद्ध सर्वसमिका है; पुस्तक के इस पड़ाव पर वह प्रमेय से अधिक एक परिभाषा का खुलना है, और उसकी असली सामग्री — अध्याय 4 का विश्लेषणात्मक चरघातांकी फलन, काल्पनिक प्रांतिकों तक विस्तारित होकर, उसी नाम का अधिकारी क्यों है — अध्याय 17 की घात श्रेणी से तय होती है। इस बीच ऊपर का प्रदर्शन एक रूपांतरण-सारणी के रूप में कंठस्थ करने योग्य है: जब भी चित्र से कोई कोणांक पढ़ा जाता है, वह मौन रूप से प्रयुक्त होता है।

प्रमेय 3.7 (फलनीय समीकरण)

सभी $\theta, \varphi \in \R$ के लिए:

\eu^{\iu\theta}\, \eu^{\iu\varphi} = \eu^{\iu(\theta + \varphi)}, \qquad \abs{\eu^{\iu\theta}} = 1, \qquad \conj{\eu^{\iu\theta}} = \eu^{-\iu\theta} = (\eu^{\iu\theta})^{-1}.

फलस्वरूप $\abs{zw} = \abs z \abs w$ कोणांकों को भी ले चलता है: $\arg(zw) \equiv \arg z + \arg w \pmod{2\pi}$ ।

उपपत्ति. गुणनफल का प्रसार कीजिए और योग-सूत्र प्रयोग कीजिए:

(\cos\theta + \iu\sin\theta)(\cos\varphi + \iu\sin\varphi) = (\cos\theta\cos\varphi - \sin\theta\sin\varphi) + \iu\,(\sin\theta\cos\varphi + \cos\theta\sin\varphi),

जो $\cos(\theta+\varphi) + \iu\sin(\theta+\varphi)$ है। मापांक $\sqrt{\cos^2\theta + \sin^2\theta} = 1$ है, और संयुग्मी का सूत्र कोज्या तथा ज्या की सम-विषमता है; वह $\eu^{\iu\theta}$ का प्रतिलोम कर देता है, क्योंकि $\eu^{\iu\theta}\eu^{-\iu\theta} = \eu^0 = 1$ । ∎

उपप्रमेय 3.8 (दे मॉयवर का सूत्र)

$\theta \in \R$ और $n \in \Z$ के लिए: $\;(\cos\theta + \iu\sin\theta)^n = \cos(n\theta) + \iu\sin(n\theta)$ ।

उपपत्ति. $n \geq 0$ के लिए आगमन कीजिए। स्थिति $n = 0$ $1 = 1$ कहती है। $n$ के लिए सूत्र मानने पर फलनीय समीकरण (प्रमेय 3.7) देता है

\bigl(\eu^{\iu\theta}\bigr)^{n+1} = \bigl(\eu^{\iu\theta}\bigr)^{n}\,\eu^{\iu\theta} = \eu^{\iu n\theta}\,\eu^{\iu\theta} = \eu^{\iu(n+1)\theta} ,

जो कोटि $n + 1$ पर सूत्र है। $n < 0$ के लिए $m > 0$ के साथ $n = -m$ लिखिए: चूँकि $\eu^{\iu m\theta}$ का प्रतिलोम $\eu^{-\iu m\theta}$ है (फिर प्रमेय 3.7),

\bigl(\eu^{\iu\theta}\bigr)^{-m} = \bigl(\eu^{\iu m\theta}\bigr)^{-1} = \eu^{\iu(-m)\theta} . \qedhere

∎

उदाहरण 3.9 (दे मॉयवर से $\cos 3\theta$ का प्रसार)

$c = \cos\theta$ , $s = \sin\theta$ लिखिए। दे मॉयवर और द्विपद प्रमेय देते हैं

\cos 3\theta + \iu \sin 3\theta = (c + \iu s)^3 = c^3 - 3cs^2 + \iu\,(3c^2 s - s^3),

और वास्तविक भागों की पहचान करके, फिर $s^2 = 1 - c^2$ प्रतिस्थापित करके:

\cos 3\theta = c^3 - 3c(1 - c^2) = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta .

काल्पनिक भाग $\sin 3\theta = 3\sin\theta - 4\sin^3\theta$ मुफ़्त में दे देता है: एक सम्मिश्र सर्वसमिका सदा दो वास्तविक सर्वसमिकाएँ साथ लाती है। उलटी दिशा में पढ़ने पर, बॉक्स वाली सर्वसमिका चिरपरिचित त्रिभाजन समीकरण की कुंजी है: $\cos\theta$ से $\cos(\theta/3)$ की रचना का अर्थ है त्रिघात $4x^3 - 3x = \cos\theta$ हल करना, और वहीं से अध्याय 8 का बीजगणित काम सँभाल लेता है।

प्रतिज्ञप्ति 3.10 (ऑयलर के सूत्र)

\cos\theta = \frac{\eu^{\iu\theta} + \eu^{-\iu\theta}}{2}, \qquad \sin\theta = \frac{\eu^{\iu\theta} - \eu^{-\iu\theta}}{2\iu}.

उपपत्ति. $\eu^{\iu\theta} = \cos\theta + \iu\sin\theta$ और $\eu^{-\iu\theta} = \cos\theta - \iu\sin\theta$ को क्रमशः जोड़िए और घटाइए। ∎

विधि 3.11 (चरघातांकी के द्वारा त्रिकोणमिति)

$\cos^p\theta \sin^q\theta$ का रैखिकीकरण कीजिए (घातों को $\cos k\theta$ , $\sin k\theta$ के योग में बदलिए): ऑयलर के सूत्र प्रतिस्थापित कीजिए, द्विपद प्रमेय (प्रमेय 2.16) से प्रसार कीजिए, और संयुग्मी पदों को समूहबद्ध कीजिए।
$\cos n\theta$ का $\cos\theta$ में बहुपद के रूप में प्रसार कीजिए: $\cos n\theta = \Re\bigl((\cos\theta + \iu\sin\theta)^n\bigr)$ लिखिए, प्रसार कीजिए, और $\sin$ की सम घातों को $\sin^2 = 1 - \cos^2$ से बदल दीजिए।
$\sum_k \cos k\theta$ जैसी त्रिकोणमितीय श्रेणियों का योग कीजिए: उसमें गुणोत्तर योग $\sum_k (\eu^{\iu\theta})^k$ का वास्तविक भाग पहचानिए।
अर्ध-कोण गुणनखंडन: सभी $p, q$ के लिए,

$\eu^{\iu p} + \eu^{\iu q} = 2 \cos\tfrac{p - q}{2}\; \eu^{\iu \frac{p+q}{2}}, \qquad \eu^{\iu p} - \eu^{\iu q} = 2\iu \sin\tfrac{p - q}{2}\; \eu^{\iu \frac{p+q}{2}} .$

उदाहरण 3.12 (रैखिकीकरण)

\cos^3\theta = \Bigl(\frac{\eu^{\iu\theta} + \eu^{-\iu\theta}}{2}\Bigr)^{\!3} = \frac{\eu^{3\iu\theta} + 3\eu^{\iu\theta} + 3\eu^{-\iu\theta} + \eu^{-3\iu\theta}}{8} = \frac{\cos 3\theta + 3\cos\theta}{4}.

यह रूप तुरंत समाकलित हो जाता है — यही कारण है कि अध्याय 15 में रैखिकीकरण महत्त्व रखता है। मिश्रित गुणनफल भी उसी प्रकार काम करता है, केवल दोनों ऑयलर सूत्र एक साथ लगते हैं:

\sin^2\theta\cos^2\theta = \Bigl(\frac{\sin2\theta}2\Bigr)^{\!2} = \frac{1}{4}\cdot \Bigl(\frac{\eu^{2\iu\theta} - \eu^{-2\iu\theta}}{2\iu} \Bigr)^{\!2} = \frac{2 - \eu^{4\iu\theta} - \eu^{-4\iu\theta}}{16} = \frac{1 - \cos4\theta}{8} ,

जहाँ पहले पद में द्विगुण-कोण के संक्षेप ने एक द्विपद प्रसार बचा दिया — यंत्रवत् काम करने से पहले ऐसा कुछ ढूँढ़ लेना सदा लाभदायक है।

उदाहरण 3.13 (एक द्विपद त्रिकोणमितीय योग)

$n \in \N$ और $\theta \in \R$ के लिए $S = \sum_{k=0}^{n}\binom nk \cos k\theta$ का मान निकालिए। उसमें द्विपद प्रसार का वास्तविक भाग पहचानिए:

S = \Re\sum_{k=0}^n \binom nk \bigl(\eu^{\iu\theta}\bigr)^k = \Re\bigl(1 + \eu^{\iu\theta}\bigr)^n ,

फिर अर्ध-कोण गुणनखंडन (विधि 3.11 (4)) कीजिए: $1 + \eu^{\iu\theta} = 2\cos\frac\theta2\,\eu^{\iu\theta/2}$ , अतः

S = \Re\Bigl(2^n\cos^n\frac\theta2\;\eu^{\iu n\theta/2}\Bigr) = 2^n \cos^n\frac\theta2\,\cos\frac{n\theta}2 .

काल्पनिक भाग $\sum_k\binom nk\sin k\theta = 2^n\cos^n\frac\theta2\sin\frac{n\theta}2$ मुफ़्त में दे देता है। जाँच: $\theta = 0$ से $\sum\binom nk = 2^n$ वापस मिलता है, और $\theta = \pi$ से $n \geq 1$ के लिए $S = 0$ मिलता है (प्रत्येक गुणनखंड $\cos\frac\pi2$ लुप्त हो जाता है), अर्थात् उदाहरण 2.17 का एकांतरित पंक्ति-योग। यह विधि — “कोज्या के योग को किसी सम्मिश्र घात की छाया के रूप में देखिए, फिर अर्ध-कोण गुणनखंडन कीजिए” — ठीक अभ्यास 3.6 वाली है, बस गुणोत्तर श्रेणी की जगह द्विपद प्रमेय आ जाता है।

3.3 सम्मिश्र संख्याओं के मूल

प्रमेय 3.14 ( $n$ -वें मूल)

मान लीजिए $a = r\,\eu^{\iu\alpha} \neq 0$ और $n \in \N^*$ । समीकरण $z^n = a$ के ठीक $n$ हल हैं:

z_k = r^{1/n}\, \eu^{\iu\left(\frac{\alpha}{n} + \frac{2k\pi}{n}\right)}, \qquad k = 0, 1, \dots, n - 1 .

उपपत्ति. $z = \rho\,\eu^{\iu\theta}$ ( $\rho > 0$ ) लिखिए। तब $z^n = \rho^n \eu^{\iu n\theta} = r \eu^{\iu\alpha}$ यदि और केवल यदि $\rho^n = r$ (मापांक) और $n\theta \equiv \alpha \pmod{2\pi}$ (कोणांक), अर्थात् किसी $k \in \Z$ के लिए $\rho = r^{1/n}$ और $\theta = \frac{\alpha}{n} + \frac{2k\pi}{n}$ । अब देखना यह है कि दो पूर्णांक $k, k'$ एक ही संख्या कब देते हैं: यह ठीक तब होता है जब कोण $2\pi$ के गुणज से भिन्न हों,

\frac{2k\pi}n - \frac{2k'\pi}n \in 2\pi\Z \iff \frac{k - k'}n \in \Z \iff n \mid k - k' .

यूक्लिडीय भाग से प्रत्येक $k \in \Z$ $n$ के सापेक्ष $\{0, 1, \dots, n-1\}$ के ठीक एक अवयव के सर्वांगसम है, अतः यह परास प्रत्येक हल को एक बार सूचीबद्ध करता है और गणना ठीक $n$ है। (यही तर्क $\mathbb U_n$ के भीतर चलाने पर दिखता है कि मूल एक सम $n$ -भुज बनाते हैं: $k$ के क्रमागत मान नियत कोण $\frac{2\pi}n$ से घुमा देते हैं।) ∎

उदाहरण 3.15 ( $-27$ के घनमूल)

$z^3 = -27$ हल कीजिए। दाएँ पक्ष का चरघातांकी रूप: $-27 = 27\,\eu^{\iu\pi}$ , अतः तीनों मूल हैं

z_k = 3\,\eu^{\iu(\frac\pi3 + \frac{2k\pi}3)}, \quad k = 0, 1, 2 : \qquad z_0 = 3\eu^{\iu\pi/3} = \frac32 + \frac{3\sqrt3}2\,\iu, \quad z_1 = -3, \quad z_2 = \conj{z_0} .

दो जाँच। पहली, वास्तविक मूल $-3$ स्पष्ट है, और शेष दो $\pm\frac{2\pi}3$ से उसके घूर्णन हैं — समतुल्य रूप से $-3j$ और $-3j^2$ । दूसरी, बीजगणित पुष्टि करता है: $z^3 + 27 = (z + 3)(z^2 - 3z + 9)$ , और द्विघात का विविक्तकर $9 - 36 = -27 < 0$ है, जिसके मूल $\frac{3 \pm 3\iu\sqrt3}2 = z_0, \conj{z_0}$ हैं। सार: वास्तविक दाएँ पक्षों के लिए अवास्तविक मूल सदा संयुग्मी जोड़ों में आते हैं, अतः हल-समुच्चय का चित्र वास्तविक अक्ष के सापेक्ष सममित होता है — अध्याय 8 की वास्तविक गुणनखंडन प्रमेय की एक झलक।

उदाहरण 3.16 (अवास्तविक दायाँ पक्ष)

$z^4 = -8 + 8\iu\sqrt3$ हल कीजिए। दाएँ पक्ष का चरघातांकी रूप: मापांक $\sqrt{64 + 192} = 16$ , कोणांक $\theta$ , जहाँ $\cos\theta = -\frac12$ , $\sin\theta = \frac{\sqrt3}2$ , अर्थात् $\theta = \frac{2\pi}3$ । चारों मूल हैं

z_k = 2\,\eu^{\iu(\frac\pi6 + \frac{k\pi}2)}, \quad k = 0, 1, 2, 3 : \qquad z_0 = \sqrt3 + \iu,\quad z_1 = \iu z_0 = -1 + \iu\sqrt3,

z_2 = -z_0 = -\sqrt3 - \iu,\qquad z_3 = -\iu z_0 = 1 - \iu\sqrt3 .

(जाँच: $z_0^2 = 2 + 2\iu\sqrt3$ , अतः $z_0^4 = (2 + 2\iu\sqrt3)^2 = 4 - 12 + 8\iu\sqrt3 = -8 + 8\iu\sqrt3$ ।) एक बार कोई एक मूल मिल जाए तो शेष तीन मुफ़्त में मिल जाते हैं: वे $\frac\pi2$ से उसके क्रमिक घूर्णन हैं, अर्थात् इकाई के चौथे मूलों से उसके गुणनफल — प्रमेय 3.14 के पीछे की सामान्य संरचना, जिसका उपयोग हर मूल को नए सिरे से संगणित करने से पहले कर लेना चाहिए। इस बार संयुग्मी सममिति नहीं है: दायाँ पक्ष वास्तविक नहीं है।

परिभाषा 3.17 (इकाई के मूल)

इकाई के $n$ -वें मूल $z^n = 1$ के हल हैं:

\mathbb{U}_n = \bigl\{\, \omega^k : k = 0, \dots, n-1 \,\bigr\}, \qquad \omega = \eu^{2\iu\pi/n}.

वे गुणन के अंतर्गत एक समूह बनाते हैं (अध्याय 7) और इकाई वृत्त में अंतर्निहित सम $n$ -भुज के शीर्षों पर बैठते हैं।

इकाई के पाँचवें मूल, = 2 π/5: इकाई वृत्त पर एक सम पंचभुज। — इकाई के पाँचवें मूल, $\omega = \eu^{2\iu\pi/5}$ : इकाई वृत्त पर एक सम पंचभुज।

प्रतिज्ञप्ति 3.18 (इकाई के मूलों का योग)

$n \geq 2$ के लिए इकाई के $n$ -वें मूलों का योग शून्य है: $\sum_{k=0}^{n-1} \omega^k = 0$ ।

उपपत्ति. अनुपात $\omega \neq 1$ वाला गुणोत्तर योग: $\sum_{k=0}^{n-1} \omega^k = \frac{\omega^n - 1}{\omega - 1} = 0$ , क्योंकि $\omega^n = 1$ । ∎

उदाहरण 3.19 (वास्तविक और काल्पनिक भाग पढ़ना)

$\sum_{k=0}^{n-1}\omega^k = 0$ को वास्तविक और काल्पनिक भागों में तोड़ने से दो त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ मुफ़्त में मिलती हैं:

\sum_{k=0}^{n-1}\cos\frac{2k\pi}n = 0, \qquad \sum_{k=0}^{n-1}\sin\frac{2k\pi}n = 0 \qquad (n \geq 2).

ज्यामितीय रूप से: इकाई वृत्त में अंतर्निहित सम $n$ -भुज का केंद्रक उसका केंद्र है — शीर्ष ठीक-ठीक संतुलित हो जाते हैं। $n = 5$ के लिए पहली सर्वसमिका $1 + 2\cos\frac{2\pi}5 + 2\cos\frac{4\pi}5 = 0$ देती है ( $k$ को $n - k$ के साथ युग्मित करके), जो $\cos\frac{2\pi}5$ की अभ्यास 3.8 वाली संगणना का आरंभ-बिंदु है।

उदाहरण 3.20 (बीजीय रूप में वर्गमूल)

त्रिकोणमिति के बिना $z^2 = 3 + 4\iu$ हल करने के लिए $z = x + \iu y$ रखिए:

x^2 - y^2 = 3, \qquad 2xy = 4, \qquad x^2 + y^2 = \abs{3 + 4\iu} = 5 .

पहले और अंतिम को जोड़ने पर $x^2 = 4$ , अतः $x = \pm 2$ , फिर उसी चिह्न-युग्मन ( $xy = 2 > 0$ ) के साथ $y = 2/x = \pm 1$ : $z = \pm(2 + \iu)$ । सामान्य सूत्र के साथ मिलाकर यह सम्मिश्र गुणांकों वाला हर द्विघात समीकरण हल कर देता है (अभ्यास 3.7)।

3.4 सम्मिश्र संख्याएँ और समतल ज्यामिति

प्रतिज्ञप्ति 3.21 (ज्यामितीय शब्दकोश)

समतल के बिंदु $M(x, y)$ की पहचान उसके सम्मिश्र निर्देशांक $z = x + \iu y$ से कीजिए। सम्मिश्र निर्देशांकों $a, b, c$ वाले भिन्न बिंदुओं $A, B, C$ के लिए:

$\abs{b - a}$ दूरी $AB$ है;
$\arg\dfrac{c - a}{b - a}$ सदिशों $\vect{AB}$ और $\vect{AC}$ के बीच का कोण है ( $2\pi$ के सापेक्ष);
$A, B, C$ संरेख हैं यदि और केवल यदि $\dfrac{c - a}{b - a} \in \R$ ; रेखाएँ $AB$ और $AC$ लंब हैं यदि और केवल यदि $\dfrac{c - a}{b - a} \in \iu\R$ ।

उपपत्ति. (1) $\vect{AB}$ के सम्मिश्र निर्देशांक $b - a$ पर मापांक की परिभाषा ही है। (2): $b - a = r\eu^{\iu\theta}$ , $c - a = s\eu^{\iu\varphi}$ लिखिए; तब $\frac{c-a}{b-a} = \frac sr \eu^{\iu(\varphi - \theta)}$ का कोणांक $\varphi - \theta$ है, जो $\vect{AB}$ से $\vect{AC}$ तक का कोण है। (3): संरेखता का अर्थ है कोण $0$ या $\pi$ , अर्थात् कोणांक $\pi\Z$ में, अर्थात् भागफल वास्तविक; लंबता का अर्थ है कोण $\pm\frac\pi2$ , अर्थात् भागफल शुद्ध काल्पनिक। (भागफल अशून्य है, क्योंकि $C \neq A$ ।) ∎

टिप्पणी 3.22 (मध्यांतर: $\C$ गुणन से युक्त समतल है)

इस अध्याय को संभव बनाने वाली बात पर ठहरना उचित है: समतल $\R^2$ में हर दिशा में योग हैं, पर कोई ईश्वरप्रदत्त गुणन नहीं — और $\C$ वही समतल है, एक गुणन से युक्त, जिसमें किसी नियत संख्या से गुणा करना घुमाता और मापता है। इसी एक संरचना को इस खंड में तीन बार और दुहा जाएगा। अध्याय 21 में $a + \iu b$ से गुणन पंक्तियों $(a, -b)$ और $(b, a)$ वाले $2 \times 2$ आव्यूह के रूप में फिर प्रकट होता है: सम्मिश्र अंकगणित आव्यूह गुणनफलों का पहला, पूर्णतः मूर्त परिवार है। अध्याय 23 में सूत्र $\Re(\conj z\,w)$ अदिश गुणन निकलता है और $\abs z$ यूक्लिडीय मानक: यहाँ सिद्ध त्रिभुज असमिका वहाँ की कोशी–श्वार्ज़ कथा का आदर्श है। और अध्याय 24 में गतिशील बिंदु को $t \mapsto z(t)$ लिखना सबसे अच्छा रहता है, जिससे वेग और त्वरण सम्मिश्र-मान वाले अवकलज बन जाते हैं — उदाहरण के लिए वृत्तीय गति सीधे-सीधे $z(t) = R\,\eu^{\iu\omega t}$ है। एक अच्छा गुणन, और चार अध्यायों का लाभांश।

प्रतिज्ञप्ति 3.23 (प्रतिचित्रण $z \mapsto az + b$ )

मान लीजिए $a \in \C^*$ , $b \in \C$ । समतल का रूपांतरण $f(z) = az + b$ :

$a = 1$ होने पर स्थानांतरण है;
अन्यथा उसका अद्वितीय अचल बिंदु $\zeta = \frac{b}{1-a}$ है, और $f(z) - \zeta = a\,(z - \zeta)$ : अर्थात् $f$ केंद्र $\zeta$ और कोण $\arg a$ वाले घूर्णन का, केंद्र $\zeta$ और अनुपात $\abs a$ वाले अनुमापन के साथ संयोजन है।

विशेष रूप से $z \mapsto \eu^{\iu\theta} z$ मूलबिंदु के परितः कोण $\theta$ का घूर्णन है, और $\conj z$ वास्तविक अक्ष में परावर्तन है।

उपपत्ति. यदि $a = 1$ , तो $f(z) = z + b$ सम्मिश्र निर्देशांक $b$ वाले सदिश से स्थानांतरण करता है। यदि $a \neq 1$ , तो अचल-बिंदु समीकरण $z = az + b$ का अद्वितीय हल $\zeta = \frac{b}{1-a}$ है, और तब $f(z) - \zeta = az + b - (a\zeta + b) = a(z - \zeta)$ । $a = \abs a\, \eu^{\iu\arg a}$ लिखने पर, $a$ से गुणा करना $\zeta$ तक की दूरियों को $\abs a$ से मापता है और $\zeta$ पर के कोणों में $\arg a$ जोड़ देता है, जो घोषित संयोजन ही है। ∎

उदाहरण 3.24 (प्रतिचित्रण $z \mapsto az+b$ का वर्गीकरण)

$f(z) = \iu z + 1$ लीजिए। यहाँ $a = \iu \neq 1$ : अचल बिंदु है

\zeta = \frac{b}{1 - a} = \frac1{1 - \iu} = \frac{1 + \iu}{2},

और चूँकि $\abs a = 1$ , कोई अनुमापन है ही नहीं: $f$ केंद्र $\frac{1+\iu}2$ और कोण $\arg \iu = \frac\pi2$ का शुद्ध घूर्णन है। जाँच: $f(\zeta) = \iu\,\frac{1+\iu}2 + 1 = \frac{\iu - 1}2 + 1 = \frac{1 + \iu}2 = \zeta$ , तथा $f(0) = 1$ , $f(1) = 1 + \iu$ , $f(1 + \iu) = \iu\,(1 + \iu) + 1 = \iu$ : इकाई वर्ग के चारों बिंदु $0, 1, 1+\iu, \iu$ अपने केंद्र $\zeta$ के चारों ओर, एक बार में एक चौथाई घुमाव, चक्कर लगाते हैं — ठीक वही जो वर्ग के केंद्र के परितः $\frac\pi2$ का घूर्णन करेगा।

का प्रतिचित्रण f(z) = z + 1: अचल बिंदु = 1+ 2 के परितः एक चौथाई घुमाव का घूर्णन। इकाई वर्ग के शीर्ष 0 1 1+ 0 चक्कर लगाते हैं; कोई भी बिंदु सरल रेखा पर नहीं चलता, फिर भी पूरा वर्ग दृढ़ता से घूम जाता है। — उदाहरण 3.24 का प्रतिचित्रण $f(z) = \iu z + 1$ : अचल बिंदु $\zeta = \frac{1+\iu}2$ के परितः एक चौथाई घुमाव का घूर्णन। इकाई वर्ग के शीर्ष $0 \to 1 \to 1{+}\iu \to \iu \to 0$ चक्कर लगाते हैं; कोई भी बिंदु सरल रेखा पर नहीं चलता, फिर भी पूरा वर्ग दृढ़ता से घूम जाता है।

टिप्पणी 3.25 (मापांक और कोणांक की सामान्य भूलें)

$\C$ में कोई असमिका नहीं। अवास्तविक संख्याओं के लिए $z \leq w$ लिखना निरर्थक है; केवल मापांक, वास्तविक भाग और काल्पनिक भाग की तुलना की जा सकती है।
$\sqrt{\phantom z}$ केवल $\R_+$ के लिए सुरक्षित है। प्रत्येक अशून्य सम्मिश्र संख्या के दो वर्गमूल होते हैं और किसी को वरीयता प्राप्त नहीं है: लिखिए “मान लीजिए $\delta$ $\Delta$ का एक वर्गमूल है” (उदाहरण 3.20 की भाँति संगणित), कभी $\sqrt\Delta$ नहीं — नियम $\sqrt{ab} = \sqrt a\sqrt b$ तो $a = b = -1$ पर ही विफल हो जाता है।
कोणांक $2\pi$ के सापेक्ष रहते हैं। $\eu^{\iu\alpha} = \eu^{\iu\beta}$ से $\alpha \equiv \beta \pmod{2\pi}$ निकालिए, $\alpha = \beta$ नहीं; $2k\pi$ भूल जाना ही वह कारण है जिससे $z^n = a$ के हल-समुच्चय अपने $n$ अवयवों में से $n - 1$ खो देते हैं।
$\abs{z + w}$ $\abs z + \abs w$ नहीं है। त्रिभुज असमिका में समता संरेख होने वाली अपवादिक स्थिति है (प्रतिज्ञप्ति 3.2 (4)); सामान्यतः योग के मापांक का आकलन करना पड़ता है, उसे संगणित नहीं किया जा सकता।

उदाहरण 3.26

$A, B, C$ (सम्मिश्र निर्देशांक $a, b, c$ , जोड़ों में भिन्न) उस समबाहु त्रिभुज को बनाते हैं जिसके शीर्ष प्रत्यक्ष (वामावर्त) क्रम में हैं, यदि और केवल यदि $\frac{c - a}{b - a} = \eu^{\iu\pi/3}$ : केंद्र $A$ और कोण $\frac\pi3$ का घूर्णन $B$ को $C$ पर भेजता है। दोनों दिशाएँ एक साथ सममित समीकरण $a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ca$ (अभ्यास 3.10) से पकड़ी जाती हैं।

टिप्पणी 3.27 (यह अध्याय कहाँ काम आता है)

चरघातांकी रूप इस खंड की सबसे अधिक पुनःप्रयुक्त संगणना-युक्ति है। इकाई के मूल अध्याय 7 में चक्रीय समूह का मानक उदाहरण बन जाते हैं और अध्याय 8 में $X^n - 1$ का गुणनखंडन चलाते हैं; वहाँ संयुग्मी मूलों को समूहबद्ध करने से वे वास्तविक गुणनखंडन बनते हैं जिनका प्रयोग अध्याय 9 में आंशिक भिन्नें करती हैं। रैखिकीकरण (विधि 3.11) अध्याय 15 में त्रिकोणमितीय घातों के समाकलन की मानक तैयारी है, और अध्याय 5 के अभिलक्षणिक समीकरणों के सम्मिश्र मूलों के वास्तविक तथा काल्पनिक भाग दोलायमान हल $\eu^{\lambda t}\cos\omega t$ उत्पन्न करते हैं। ज्यामितीय शब्दकोश आव्यूह के वेश में लौटता है: घूर्णन और समरूपताएँ अध्याय 21 और 23 के लांबिक आव्यूह बन जाते हैं, और अध्याय 24 के प्राचलित वक्र प्रायः प्रतिचित्रण $t \mapsto z(t) \in \C$ के रूप में लिखना सबसे अच्छा रहता है।

3.5 अभ्यास

अभ्यास 3.1 ★

चरघातांकी रूप में लिखिए: $1 + \iu$ ; $\;\sqrt 3 - \iu$ ; $\;-5$ ; $\;\dfrac{1 + \iu}{\sqrt 3 - \iu}$ । उससे $\cos\frac{5\pi}{12}$ और $\sin\frac{5\pi}{12}$ निकालिए।

हल

हल — अभ्यास 3.1.

$1 + \iu = \sqrt 2\, \eu^{\iu\pi/4}$ ; $\;\sqrt 3 - \iu = 2\, \eu^{-\iu\pi/6}$ ; $\;-5 = 5\, \eu^{\iu\pi}$ ;

\frac{1 + \iu}{\sqrt 3 - \iu} = \frac{\sqrt 2}{2}\, \eu^{\iu(\pi/4 + \pi/6)} = \frac{\sqrt 2}{2}\, \eu^{5\iu\pi/12}.

वही भागफल बीजगणितीय रूप से संगणित करना (संयुग्मी से गुणा कीजिए):

\frac{(1 + \iu)(\sqrt 3 + \iu)}{4} = \frac{(\sqrt 3 - 1) + \iu(\sqrt 3 + 1)}{4}.

$\frac{\sqrt 2}{2}(\cos\frac{5\pi}{12} + \iu\sin\frac{5\pi}{12})$ से पहचान करने पर:

\cos\frac{5\pi}{12} = \frac{\sqrt 6 - \sqrt 2}{4}, \qquad \sin\frac{5\pi}{12} = \frac{\sqrt 6 + \sqrt 2}{4}.

अभ्यास 3.2 ★

$(1 + \iu)^{20}$ की संगणना कीजिए। किन $n \in \N$ के लिए $(1 + \iu)^n$ वास्तविक संख्या है?

हल

हल — अभ्यास 3.2.

$(1+\iu)^2 = 2\iu$ , अतः $(1+\iu)^{20} = (2\iu)^{10} = 2^{10}\,\iu^{10} = 1024 \times (-1) = -1024$ ।

चरघातांकी रूप में $(1+\iu)^n = 2^{n/2}\, \eu^{\iu n\pi/4}$ , जो वास्तविक है यदि और केवल यदि $\sin\frac{n\pi}{4} = 0$ , अर्थात् $4 \mid n$ । अतः $(1+\iu)^n \in \R$ ठीक $4$ के गुणजों के लिए (मान $(-4)^{n/4}$ )।

अभ्यास 3.3 ★

ऐसे $z \in \C$ के समुच्चय का ज्यामितीय वर्णन कीजिए कि: $\abs{z - 2} = \abs{z + \iu}$ ; $\;\abs{z - 1} = 2$ ; $\;\dfrac{z - 1}{z + 1} \in \iu\R$ ( $z \neq -1$ के लिए)।

हल

हल — अभ्यास 3.3.

$\abs{z - 2} = \abs{z + \iu}$ : बिंदुओं $2$ और $-\iu$ से समदूरी — अर्थात् $(2, 0)$ और $(0, -1)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड का लंब समद्विभाजक।

$\abs{z - 1} = 2$ : केंद्र $1$ और त्रिज्या $2$ वाला वृत्त।

$\frac{z-1}{z+1} \in \iu\R$ : प्रतिज्ञप्ति 3.21 (3) से, बिंदु $M(z)$ , $A(1)$ , $B(-1)$ यह संतुष्ट करते हैं: रेखाएँ $MA$ और $MB$ लंब हैं (अथवा $z = 1$ , जहाँ भागफल $0 \in \iu\R$ है)। समुच्चय व्यास $[-1, 1]$ वाला वृत्त (अर्थात् इकाई वृत्त) है, जिसमें से वह बिंदु $-1$ हटा दिया गया है जहाँ भागफल अपरिभाषित है। संगणना से जाँच: $z = \eu^{\iu\theta}$ से $\frac{z-1}{z+1} = \frac{\eu^{\iu\theta/2}(\eu^{\iu\theta/2} - \eu^{-\iu\theta/2})}{\eu^{\iu\theta/2}(\eu^{\iu\theta/2} + \eu^{-\iu\theta/2})} = \iu\tan\frac\theta2 \in \iu\R$ मिलता है।

अभ्यास 3.4 ★

$\sin^4\theta$ का रैखिकीकरण कीजिए, और $\cos 4\theta$ का $\cos\theta$ में बहुपद के रूप में प्रसार कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 3.4.

रैखिकीकरण:

\sin^4\theta = \Bigl(\frac{\eu^{\iu\theta} - \eu^{-\iu\theta}}{2\iu}\Bigr)^{\!4} = \frac{\eu^{4\iu\theta} - 4\eu^{2\iu\theta} + 6 - 4\eu^{-2\iu\theta} + \eu^{-4\iu\theta}}{16} = \frac{\cos 4\theta - 4\cos 2\theta + 3}{8}.

प्रसार: दे मॉयवर से $\cos 4\theta = \Re\bigl((c + \iu s)^4\bigr) = c^4 - 6c^2 s^2 + s^4$ , जहाँ $c = \cos\theta$ , $s = \sin\theta$ ; $s^2 = 1 - c^2$ प्रतिस्थापित करने पर:

\cos 4\theta = c^4 - 6c^2(1 - c^2) + (1 - c^2)^2 = 8c^4 - 8c^2 + 1 .

अभ्यास 3.5 ★

$z^3 = 8\iu$ हल कीजिए और हलों को एक चित्र पर रखिए। $z^4 = -4$ हल कीजिए और $X^4 + 4$ का दो वास्तविक द्विघात बहुपदों में गुणनखंडन कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 3.5.

$8\iu = 8\,\eu^{\iu\pi/2}$ , अतः घनमूल $2\,\eu^{\iu(\pi/6 + 2k\pi/3)}$ , $k = 0, 1, 2$ हैं:

z_0 = 2\eu^{\iu\pi/6} = \sqrt 3 + \iu,\quad z_1 = 2\eu^{5\iu\pi/6} = -\sqrt 3 + \iu,\quad z_2 = 2\eu^{3\iu\pi/2} = -2\iu :

त्रिज्या $2$ वाले वृत्त पर एक समबाहु त्रिभुज।

$-4 = 4\eu^{\iu\pi}$ , अतः $z^4 = -4$ के हल $\sqrt 2\, \eu^{\iu(\pi/4 + k\pi/2)}$ हैं: $\;1 + \iu$ , $-1 + \iu$ , $-1 - \iu$ , $1 - \iu$ । संयुग्मी मूलों को युग्मित करने पर:

X^4 + 4 = \bigl(X^2 - 2X + 2\bigr)\bigl(X^2 + 2X + 2\bigr),

क्योंकि $(X - (1+\iu))(X - (1-\iu)) = X^2 - 2X + 2$ , और दूसरे युग्म के लिए भी इसी प्रकार। (जाँचने के लिए प्रसार कीजिए।)

अभ्यास 3.6 ★★

$\eu^{\iu\theta} \neq 1$ और $n \in \N$ वाले $\theta \in \R$ के लिए

C_n = \sum_{k=0}^{n} \cos k\theta \qquad\text{और}\qquad S_n = \sum_{k=0}^{n} \sin k\theta

की संगणना, गुणोत्तर श्रेणी $\sum_k \eu^{\iu k\theta}$ का योग करके और अर्ध-कोण गुणनखंडन का प्रयोग करके, कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 3.6.

$C_n + \iu S_n = \sum_{k=0}^{n} \eu^{\iu k\theta} = \frac{\eu^{\iu(n+1)\theta} - 1}{\eu^{\iu\theta} - 1}$ (गुणोत्तर योग, अनुपात $\eu^{\iu\theta} \neq 1$ )। अंश और हर पर अर्ध-कोण गुणनखंडन (विधि 3.11 (4)):

\frac{2\iu\sin\frac{(n+1)\theta}{2}\, \eu^{\iu(n+1)\theta/2}} {2\iu\sin\frac{\theta}{2}\, \eu^{\iu\theta/2}} = \frac{\sin\frac{(n+1)\theta}{2}}{\sin\frac{\theta}{2}}\, \eu^{\iu n\theta/2}.

वास्तविक और काल्पनिक भाग लेने पर:

C_n = \frac{\sin\frac{(n+1)\theta}{2}}{\sin\frac{\theta}{2}} \cos\frac{n\theta}{2}, \qquad S_n = \frac{\sin\frac{(n+1)\theta}{2}}{\sin\frac{\theta}{2}} \sin\frac{n\theta}{2}.

अभ्यास 3.7 ★★

$\C$ में हल कीजिए: $z^2 - (3 + 4\iu) z + (-1 + 5\iu) = 0$ । (विविक्तकर संगणित कीजिए और उदाहरण 3.20 की भाँति उसके वर्गमूल निकालिए।)

हल

हल — अभ्यास 3.7.

विविक्तकर: $\Delta = (3 + 4\iu)^2 - 4(-1 + 5\iu) = 9 + 24\iu - 16 + 4 - 20\iu = -3 + 4\iu$ । $-3 + 4\iu$ के वर्गमूल: $x^2 - y^2 = -3$ , $2xy = 4$ , $x^2 + y^2 = 5$ हल कीजिए; फिर $x^2 = 1$ , $y = 2/x$ , वही चिह्न: $\delta = \pm(1 + 2\iu)$ । अतः

z = \frac{(3 + 4\iu) \pm (1 + 2\iu)}{2} \in \{\, 2 + 3\iu,\; 1 + \iu \,\}.

जाँच: योग $= 3 + 4\iu$ और गुणनफल $(2+3\iu)(1+\iu) = -1 + 5\iu$ , जैसा गुणांक चाहते हैं।

अभ्यास 3.8 ★★

मान लीजिए $\omega = \eu^{2\iu\pi/5}$ ।

$1 + \omega + \omega^2 + \omega^3 + \omega^4 = 0$ को न्यायसंगत ठहराइए।
$u = \omega + \omega^4$ और $v = \omega^2 + \omega^3$ रखिए। $u + v$ और $uv$ संगणित कीजिए, और उससे निकालिए कि $u$ और $v$ $X^2 + X - 1$ के मूल हैं।
निष्कर्ष निकालिए कि $\cos\frac{2\pi}{5} = \frac{\sqrt 5 - 1}{4}$ ।

हल

हल — अभ्यास 3.8.

$n = 5$ के साथ प्रतिज्ञप्ति 3.18।
(1) से $u + v = \omega + \omega^2 + \omega^3 + \omega^4 = -1$ । गुणनफल के लिए प्रसार कीजिए और घातांकों को $5$ के सापेक्ष घटाइए:

$uv = (\omega + \omega^4)(\omega^2 + \omega^3) = \omega^3 + \omega^4 + \omega^6 + \omega^7 = \omega^3 + \omega^4 + \omega + \omega^2 = -1 .$

अतः $u$ और $v$ का योग $-1$ और गुणनफल $-1$ है: वे $X^2 + X - 1$ के दोनों मूल हैं।
$u = \omega + \conj\omega = 2\cos\frac{2\pi}{5} > 0$ (कोण न्यून है), और $X^2 + X - 1$ का धनात्मक मूल $\frac{-1 + \sqrt 5}{2}$ है। अतः $\cos\frac{2\pi}{5} = \frac{\sqrt 5 - 1}{4}$ ।

अभ्यास 3.9 ★★

सिद्ध कीजिए कि सभी $z, w \in \C$ के लिए (समांतर चतुर्भुज सर्वसमिका):

\abs{z + w}^2 + \abs{z - w}^2 = 2\abs z^2 + 2\abs w^2 ,

और शीर्षों $0, z, w, z + w$ वाले समांतर चतुर्भुज में इसकी ज्यामितीय व्याख्या कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 3.9.

प्रतिज्ञप्ति 3.2 (4) की उपपत्ति की भाँति दोनों वर्गों का प्रसार कीजिए:

\abs{z + w}^2 = \abs z^2 + \abs w^2 + 2\Re(z\conj w), \qquad \abs{z - w}^2 = \abs z^2 + \abs w^2 - 2\Re(z\conj w),

और जोड़ दीजिए। ज्यामितीय रूप से, $\abs{z+w}$ और $\abs{z-w}$ शीर्षों $0, z, z+w, w$ वाले समांतर चतुर्भुज के दोनों विकर्णों की लंबाइयाँ हैं, जबकि $\abs z$ और $\abs w$ भुजाओं की लंबाइयाँ हैं: विकर्णों के वर्गों का योग चारों भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर है।

अभ्यास 3.10 ★★★

सिद्ध कीजिए कि सम्मिश्र निर्देशांकों $a, b, c$ वाले जोड़ों में भिन्न तीन बिंदु समबाहु त्रिभुज (किसी भी दिशा में) बनाते हैं यदि और केवल यदि

a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ca .

संकेत: प्रत्यक्ष स्थिति $\frac{c-a}{b-a} = -j^2$ है और अप्रत्यक्ष स्थिति $\frac{c-a}{b-a} = -j$ , जहाँ $j = \eu^{2\iu\pi/3}$ $j^2 + j + 1 = 0$ को संतुष्ट करता है; अथवा $a + jb + j^2c$ और $a + j^2 b + jc$ का गुणनखंडन कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 3.10.

मान लीजिए $j = \eu^{2\iu\pi/3}$ , अतः $j^2 + j + 1 = 0$ और $\eu^{\iu\pi/3} = -j^2$ , $\eu^{-\iu\pi/3} = -j$ । त्रिभुज प्रत्यक्ष समबाहु है यदि और केवल यदि $c - a = -j^2 (b - a)$ , और अप्रत्यक्ष समबाहु यदि और केवल यदि $c - a = -j(b - a)$ (उदाहरण 3.26)।

$P = a + jb + j^2 c$ और $Q = a + j^2 b + jc$ पर विचार कीजिए। $1 + j^2 = -j$ और $j^3 = 1$ का प्रयोग करते हुए:

c - a + j^2(b - a) = c + j^2 b - (1 + j^2)\,a = c + j^2 b + ja = j\,(a + jb + j^2 c) = jP,

अतः प्रत्यक्ष स्थिति $jP = 0 \iff P = 0$ कहती है; $j^2$ के स्थान पर $j$ रखकर वही संगणना $c - a + j(b - a) = j^2 Q$ देती है, अतः अप्रत्यक्ष स्थिति $Q = 0$ कहती है। अतः: समबाहु (किसी भी दिशा में) $\iff PQ = 0$ । $j + j^2 = -1$ के साथ प्रसार करने पर:

PQ = a^2 + b^2 + c^2 + (j + j^2)(ab + bc + ca) = a^2 + b^2 + c^2 - (ab + bc + ca).

अतः त्रिभुज समबाहु है यदि और केवल यदि $a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ca$ ।

अभ्यास 3.11 ★★★

$n \in \N^*$ के लिए $P = \prod_{k=1}^{n-1} \bigl(1 - \omega^k\bigr)$ का मान निकालिए, जहाँ $\omega = \eu^{2\iu\pi/n}$ । संकेत: $X^n - 1 = \prod_{k=0}^{n-1} (X - \omega^k)$ ; $X - 1$ से भाग दीजिए और $X = 1$ पर मान लीजिए। $\prod_{k=1}^{n-1} \sin\frac{k\pi}{n} = \dfrac{n}{2^{n-1}}$ निकालिए।

हल

हल — अभ्यास 3.11.

चूँकि $\omega^k$ , $k = 0, \dots, n-1$ , ठीक $X^n - 1$ के $n$ मूल हैं (प्रमेय 3.14), और बहुपद एकैकी अग्रणी गुणांक वाला है:

X^n - 1 = \prod_{k=0}^{n-1} (X - \omega^k) = (X - 1) \prod_{k=1}^{n-1} (X - \omega^k).

$X - 1$ से भाग देने पर: $\;1 + X + \dots + X^{n-1} = \prod_{k=1}^{n-1} (X - \omega^k)$ । $X = 1$ पर मान लेने से $P = n$ मिलता है।

अब $1 - \omega^k = -\eu^{\iu k\pi/n}\bigl(\eu^{\iu k\pi/n} - \eu^{-\iu k\pi/n}\bigr) = -2\iu\,\eu^{\iu k\pi/n} \sin\frac{k\pi}{n}$ , अतः $P = n$ में मापांक लेने पर (प्रत्येक $1 \leq k \leq n-1$ के लिए $\sin\frac{k\pi}n > 0$ ):

n = \abs P = \prod_{k=1}^{n-1} 2\sin\frac{k\pi}{n} = 2^{n-1} \prod_{k=1}^{n-1} \sin\frac{k\pi}{n}, \qquad\text{अतः}\qquad \prod_{k=1}^{n-1} \sin\frac{k\pi}{n} = \frac{n}{2^{n-1}} .

अभ्यास 3.12 ★★

मान लीजिए $n \geq 2$ । $\C$ में समीकरण $(z + 1)^n = (z - 1)^n$ हल कीजिए: दिखाइए कि उसके ठीक $n - 1$ हल हैं, जो सभी शुद्ध काल्पनिक हैं, अर्थात्

z_k = -\iu\,\frac{\cos\frac{k\pi}{n}}{\sin\frac{k\pi}{n}}, \qquad k = 1, \dots, n - 1 .

संकेत: $z = 1$ हल नहीं है, अतः भाग दीजिए और इकाई के मूल प्रयोग कीजिए; फिर विधि 3.11 का अर्ध-कोण गुणनखंडन लगाइए।

हल

हल — अभ्यास 3.12.

$z = 1$ हल नहीं है ( $2^n \neq 0$ ), अतः समीकरण $\bigl(\frac{z+1}{z-1}\bigr)^n = 1$ के तुल्य है, अर्थात् $\omega = \eu^{2\iu\pi/n}$ और $k \in \{0, \dots, n-1\}$ के साथ $\frac{z+1}{z-1} = \omega^k$ । मान $k = 0$ वर्जित है ( $z + 1 = z - 1$ असंभव है)। $1 \leq k \leq n - 1$ के लिए $z + 1 = \omega^k(z - 1)$ हल करने पर $z(1 - \omega^k) = -1 - \omega^k$ मिलता है, अतः $\varphi = \frac{2k\pi}{n}$ और अर्ध-कोण गुणनखंडनों $1 + \eu^{\iu\varphi} = 2\cos\frac\varphi2\, \eu^{\iu\varphi/2}$ , $\eu^{\iu\varphi} - 1 = 2\iu\sin\frac\varphi2 \,\eu^{\iu\varphi/2}$ के साथ:

z_k = \frac{1 + \omega^k}{\omega^k - 1} = \frac{2\cos\frac{k\pi}{n}}{2\iu\,\sin\frac{k\pi}{n}} = -\iu\,\frac{\cos\frac{k\pi}{n}}{\sin\frac{k\pi}{n}} ,

जो दावे के अनुसार शुद्ध काल्पनिक है। प्रतिचित्रण $t \mapsto \cos t/\sin t$ $\intoo0\pi$ पर एकैकी है (वह कठोरतः ह्रासमान है), अतः $n - 1$ मान $z_k$ जोड़ों में भिन्न हैं: प्रसार करने पर घात $n - 1$ वाले समीकरण ( $z^n$ पद कट जाते हैं) के ठीक यही $n - 1$ हल हैं।

3.6 समस्या: नेपोलियन की प्रमेय

समस्या 3.1

किसी स्वेच्छ त्रिभुज की प्रत्येक भुजा पर बाहर की ओर एक समबाहु त्रिभुज खड़ा कीजिए: उन त्रिभुजों के तीनों केंद्र सदा एक समबाहु त्रिभुज बनाते हैं। यह नेपोलियन की प्रमेय है — ऐसा कथन जिसके सत्य होने का कोई दृश्य कारण नहीं है, और जिसे $j = \eu^{2\iu\pi/3}$ का बीजगणित तीन पंक्तियों की संगणना में सिद्ध कर देता है। यह समस्या पूरा औज़ार-संदूक (घूर्णन, प्रत्यक्ष समरूपताएँ, अभ्यास 3.10 की $j$ -कसौटी) खड़ा करती है, नेपोलियन की प्रमेय भीतरी और बाहरी दोनों रूपों में सिद्ध करती है, अपकर्षी स्थिति ढूँढ़ती है, और उसी घराने के एक दूसरे रत्न पर समाप्त होती है: समबाहु त्रिभुजों पर वान स्कूटन की प्रमेय और टॉलेमी असमिका। आगे सर्वत्र समतल के बिंदुओं की पहचान उनके सम्मिश्र निर्देशांकों से की गई है।

भाग I — संख्या $j$ और घूर्णन।

$j$ का बीजीय रूप संगणित कीजिए, फिर $j^2$ , $j^3$ , $1 + j + j^2$ , $\conj j$ और $j^{-1}$ । $1$ , $j$ , $j^2$ को इकाई वृत्त के एक रेखाचित्र पर रखिए।
दिखाइए कि केंद्र $a$ और कोण $\theta$ का घूर्णन $r(z) = a + \eu^{\iu\theta}(z - a)$ है, और यह कि कोणों $\theta$ तथा $\theta'$ वाले दो घूर्णनों का संयोजन $\theta + \theta' \notin 2\pi\Z$ होने पर कोण $\theta + \theta'$ का घूर्णन है, और अन्यथा स्थानांतरण। (प्रतिज्ञप्ति 3.23 का प्रयोग कीजिए।)
मान लीजिए $b \neq c$ । दिखाइए कि ठीक दो बिंदु $p$ ऐसे हैं जो $(b, c, p)$ को समबाहु बनाते हैं, अर्थात् $p = b + \eu^{\pm\iu\pi/3}(c - b)$ । किसी प्रत्यक्ष त्रिभुज $(a, b, c)$ के लिए उदाहरण $a = 0$ , $b = 1$ , $c = \iu$ पर जाँचिए कि चयन $\eu^{-\iu\pi/3}$ वही है जो रेखा $BC$ के $a$ से परली ओर स्थित है — अर्थात् बाहरी शीर्ष।
अभ्यास 3.10 के हल से $(a, b, c)$ प्रत्यक्ष समबाहु है यदि और केवल यदि $a + jb + j^2c = 0$ । दोनों घूर्णन सर्वसमिकाएँ सिद्ध कीजिए

$b + jc + j^2a = j^2\,(a + jb + j^2c), \qquad c + ja + j^2b = j\,(a + jb + j^2c),$

और उससे निकालिए कि यह कसौटी $(a, b, c)$ के चक्रीय क्रमचय के अंतर्गत अपरिवर्ती है।
दिखाइए कि यदि $a + jb + j^2c = 0$ हो और तीनों बिंदुओं में से दो संपाती हों, तो तीनों संपाती हैं। (अतः कसौटी ठीक-ठीक यही अभिलक्षित करती है: प्रत्यक्ष समबाहु त्रिभुज, या एक ही बिंदु।)

भाग II — प्रत्यक्ष समरूपताएँ।

दिखाइए कि $a \in \C^*$ वाले प्रतिचित्रण $f(z) = az + b$ (प्रत्यक्ष समरूपताएँ) संयोजन और प्रतिलोमन के अंतर्गत स्थायी हैं: उनमें से दो का संयोजन, और किसी का भी प्रतिलोम, फिर इसी रूप का है। (अध्याय 7 की भाषा में: वे एक समूह बनाती हैं।)
$z_1 \neq z_2$ और $w_1 \neq w_2$ दिए हों, तो दिखाइए कि $f(z_1) = w_1$ और $f(z_2) = w_2$ वाली अद्वितीय प्रत्यक्ष समरूपता $f$ है, और $a$ तथा $b$ स्पष्ट रूप से दीजिए।
दिखाइए कि प्रत्यक्ष समरूपता $f(z) = az + b$ सभी दूरियों को $\abs a$ से गुणा करती है और किसी भी त्रिभुज $(a', b', c')$ की आकृति $\frac{c - a'}{b' - a'}$ सुरक्षित रखती है (अंश और हर दोनों $a$ से गुणित होते हैं)। उससे निकालिए कि दो त्रिभुज ठीक तब प्रत्यक्ष रूप से समरूप हैं जब उनकी आकृतियाँ बराबर हों।
$f(0) = 1$ और $f(1) = \iu$ वाली प्रत्यक्ष समरूपता पूर्णतः निर्धारित कीजिए: $a$ , $b$ , अचल बिंदु, अनुपात और कोण दीजिए।
मान लीजिए $\alpha + \beta = 1$ । दिखाइए कि “भारित बिंदु” $g(a', b') = \alpha a' + \beta b'$ प्रत्येक प्रत्यक्ष समरूपता के साथ क्रम-विनिमेय है: $f(\alpha a' + \beta b') = \alpha f(a') + \beta f(b')$ । उससे निकालिए कि केंद्रक, मध्यबिंदु और नीचे आने वाले नेपोलियन केंद्र सब समरूपताओं द्वारा ले जाए जाते हैं — यही वह बीजीय अनुमति है जो हर “व्यापकता खोए बिना, परिवृत्त को इकाई वृत्त पर रख लीजिए” वाले तर्क के पीछे है।

भाग III — नेपोलियन की प्रमेय। मान लीजिए $(a, b, c)$ एक प्रत्यक्ष त्रिभुज है। प्रत्येक भुजा पर बाहर की ओर समबाहु त्रिभुज खड़ा कीजिए (प्रश्न 3) और मान लीजिए $n_a$ , $n_b$ , $n_c$ क्रमशः $[b, c]$ , $[c, a]$ , $[a, b]$ पर खड़े त्रिभुजों के केंद्र (केंद्रक) हैं।

दिखाइए कि

$n_a = \alpha b + \beta c, \qquad n_b = \alpha c + \beta a, \qquad n_c = \alpha a + \beta b, \qquad\text{जहाँ}\quad \alpha = \frac{3 + \iu\sqrt3}{6},\ \beta = \conj\alpha .$
$\alpha + \beta = 1$ जाँचिए, और उससे निकालिए कि त्रिभुज $(n_a, n_b, n_c)$ का केंद्रक $(a, b, c)$ के केंद्रक के समान है।
प्रश्न 4 की सर्वसमिकाओं का प्रयोग करते हुए दिखाइए कि

$n_a + j\,n_b + j^2 n_c = (\alpha j^2 + \beta j)\,(a + jb + j^2c) .$
$\alpha j + \beta$ संगणित कीजिए और निष्कर्ष निकालिए: $\alpha j^2 + \beta j = j(\alpha j + \beta) = 0$ , अतः प्रत्येक त्रिभुज के लिए $n_a + j n_b + j^2 n_c = 0$ : बाहरी नेपोलियन त्रिभुज प्रत्यक्ष समबाहु है (अथवा एक बिंदु)। नेपोलियन की प्रमेय सिद्ध हो गई।
इसके बदले समबाहु त्रिभुज भीतर की ओर खड़े कीजिए (प्रश्न 3 में चयन $\eu^{+\iu\pi/3}$ ) और मान लीजिए $m_a, m_b, m_c$ उनके केंद्र हैं। दिखाइए $m_a = \beta b + \alpha c$ (और चक्रीय रूप से), फिर सिद्ध कीजिए $m_a + j^2 m_b + j\,m_c = 0$ : भीतरी नेपोलियन त्रिभुज भी समबाहु है, पर विपरीत दिशा वाला।
अपकर्ष ढूँढ़िए: दिखाइए कि $n_a = n_b = n_c$ ठीक तब होता है जब $a + j^2 b + jc = 0$ , अर्थात् जब $(a, b, c)$ एक अप्रत्यक्ष समबाहु त्रिभुज हो। (प्रश्न 5 से $n_a, n_b, n_c$ में दो बिंदु तभी संपाती हैं जब तीनों हों; फिर $n_a + j^2 n_b + j n_c = j(\alpha + \beta j)(a + j^2b + jc)$ का प्रयोग कीजिए और $\alpha + \beta j \neq 0$ जाँचिए।)
पूरी संगणना त्रिभुज $a = 0$ , $b = 1$ , $c = \iu$ पर कीजिए: $n_a, n_b, n_c$ यथार्थ रूप से दीजिए, और तीनों भुजाओं की वर्ग-लंबाइयों की सीधी संगणना से सत्यापित कीजिए कि त्रिभुज समबाहु है, जिसकी वर्ग-भुजा $\frac{2 + \sqrt3}{3}$ है।

भाग IV — टॉलेमी और वान स्कूटन।

सभी सम्मिश्र $a, b, c, d$ के लिए वैध यह सर्वसमिका सिद्ध कीजिए:

$(a - b)(c - d) + (a - d)(b - c) = (a - c)(b - d) .$
उससे टॉलेमी असमिका निकालिए: किन्हीं चार बिंदुओं $A, B, C, D$ के लिए

$AC \cdot BD \;\leq\; AB \cdot CD + AD \cdot BC ,$

जहाँ समता यदि और केवल यदि $(a-b)(c-d)$ और $(a-d)(b-c)$ $0$ से निकलने वाली एक ही किरण पर हों।
दिखाइए कि $\theta, \varphi \in \R$ के लिए $\abs{\eu^{\iu\theta} - \eu^{\iu\varphi}} = 2\,\abs{\sin\frac{\theta - \varphi}2}$ ।
(वान स्कूटन की प्रमेय) मान लीजिए $(a, b, c) = (1, j, j^2)$ — भाग II से प्रत्यक्ष समबाहु त्रिभुजों में यह व्यापकता नहीं खोता — और मान लीजिए $\theta \in \intoo{2\pi/3}{4\pi/3}$ के साथ $p = \eu^{\iu\theta}$ , जो परिवृत्त के उस चाप $BC$ का बिंदु है जिसमें $A$ नहीं है। सिद्ध कीजिए

$PA = PB + PC .$

(तीनों दूरियाँ प्रश्न 20 से व्यक्त कीजिए और योग-से-गुणनफल सूत्र का प्रयोग कीजिए।)
$p = -1$ पर सत्यापित कीजिए कि यह चक्रीय क्रम $A, B, P, C$ के लिए टॉलेमी असमिका की समता-स्थिति ही है: $(a - b)(p - c)$ और $(a - c)(b - p)$ संगणित कीजिए और जाँचिए कि उनका अनुपात धनात्मक वास्तविक है।

भाग V — संश्लेषण।

समबाहु त्रिभुज $(1, j, j^2)$ का अपना बाहरी नेपोलियन त्रिभुज संगणित कीजिए, और परिणाम का ज्यामितीय वर्णन कीजिए।
इस समस्या में ठीक कहाँ प्रयोग हुआ: (क) गुणन का घूर्णन के रूप में होना; (ख) समरूपताओं की समूह संरचना और आकृति-अपरिवर्त्य; (ग) विधि 3.11 का अर्ध-कोण गुणनखंडन? प्रत्येक के लिए एक वाक्य।
एक छोटे अनुच्छेद में इस समस्या का उपदेश स्पष्ट कीजिए: समतल ज्यामिति और $\C$ के बीजगणित के बीच का शब्दकोश क्या देता है, क्या लेता है, और आपकी दृष्टि में दोनों उपपत्ति-चरणों में से कौन — सर्वसमिका $\alpha j + \beta = 0$ या चिरपरिचित चित्र — नेपोलियन की प्रमेय को बेहतर समझाता है? एक ऐसा स्थान बताइए जहाँ यह शब्दकोश इस खंड में आगे आव्यूह के रूप में फिर प्रकट होगा।

हल

हल — समस्या 3.1.

1. $j = \cos\frac{2\pi}3 + \iu\sin\frac{2\pi}3 = -\frac12 + \iu\frac{\sqrt3}2$ ; $j^2 = \eu^{4\iu\pi/3} = -\frac12 - \iu\frac{\sqrt3}2 = \conj j$ ; $j^3 = 1$ ; $1 + j + j^2 = 0$ (इकाई के घनमूलों का योग, प्रतिज्ञप्ति 3.18); $j^{-1} = j^2$ (क्योंकि $j \cdot j^2 = 1$ )। इकाई वृत्त पर $1$ , $j$ , $j^2$ प्रत्यक्ष समबाहु त्रिभुज के शीर्ष हैं।

2. केंद्र $a$ और कोण $\theta$ का घूर्णन $a$ को अचल रखता है और $a$ से निकलने वाले प्रत्येक सदिश को $\theta$ से घुमा देता है: $r(z) - a = \eu^{\iu\theta}(z - a)$ , अर्थात् $r(z) = a + \eu^{\iu\theta}(z - a)$ । $r(z) = a + \eu^{\iu\theta}(z-a)$ और $r'(z) = a' + \eu^{\iu\theta'}(z-a')$ का संयोजन करने पर:

r' \circ r\,(z) = \eu^{\iu(\theta + \theta')} z + \text{अचर},

जो $Az + B$ रूप का प्रतिचित्रण है, जहाँ $A = \eu^{\iu(\theta+\theta')}$ का मापांक $1$ है। प्रतिज्ञप्ति 3.23 से वह $A \neq 1$ होने पर कोण $\arg A = \theta + \theta'$ का घूर्णन है, और $A = 1$ होने पर, अर्थात् $\theta + \theta' \in 2\pi\Z$ होने पर, स्थानांतरण।

3. $(b, c, p)$ समबाहु है यदि और केवल यदि $\abs{p - b} = \abs{c - b} = \abs{p - c}$ । $q = \frac{p - b}{c - b}$ लिखने पर पहली समता $\abs q = 1$ कहती है और दूसरी $\abs{q - 1} = 1$ ; दोनों मिलकर $q = \eu^{\pm\iu\pi/3}$ (वृत्तों $\abs q = 1$ और $\abs{q - 1} = 1$ के दोनों प्रतिच्छेद बिंदु $\frac12 \pm \iu\frac{\sqrt3}2$ हैं)। अतः $p = b + \eu^{\pm\iu\pi/3}(c - b)$ । $a = 0$ , $b = 1$ , $c = \iu$ (प्रत्यक्ष त्रिभुज) के लिए चयन $\eu^{-\iu\pi/3}$ देता है

p = 1 + \Bigl(\tfrac12 - \iu\tfrac{\sqrt3}2\Bigr)(\iu - 1) = \tfrac{1 + \sqrt3}2\,(1 + \iu) \approx 1.37 + 1.37\,\iu ,

जो रेखा $BC$ ( $x + y = 1$ ) के $a = 0$ से परली ओर स्थित है: बाहर की ओर। चयन $\eu^{+\iu\pi/3}$ $p \approx -0.37 - 0.37\,\iu$ देता है, जो $a$ की ही ओर है: भीतर की ओर।

4. $P = a + jb + j^2c$ को $j^2$ से गुणा कीजिए: $j^2 P = j^2 a + j^3 b + j^4 c = b + jc + j^2 a$ ( $j^3 = 1$ , $j^4 = j$ का प्रयोग करते हुए); और $j$ से: $jP = ja + j^2 b + c$ । ये दोनों सर्वसमिकाएँ हैं। यदि $P = 0$ , तो $j^2 P = jP = 0$ : कसौटी $(b, c, a)$ और $(c, a, b)$ के लिए भी सत्य है — अर्थात् चक्रीय अपरिवर्त्यता (जो होनी ही चाहिए: समबाहु त्रिभुज को इससे कोई मतलब नहीं कि पहले कौन-सा शीर्ष लिखा गया)।

5. यदि $a = b$ : $0 = a(1 + j) + j^2 c = -j^2 a + j^2 c$ ( $1 + j = -j^2$ का प्रयोग करते हुए), अतः $c = a$ । यदि $b = c$ : $0 = a + b(j + j^2) = a - b$ , अतः $a = b$ । यदि $a = c$ : $0 = a(1 + j^2) + jb = -ja + jb$ , अतः $a = b$ । हर स्थिति में तीनों बिंदु संपाती हो जाते हैं।

6. $(a'z + b') \circ (az + b) = a'a\,z + (a'b + b')$ , जहाँ $a'a \neq 0$ : वही रूप। $z \mapsto az + b$ का प्रतिलोम $z \mapsto \frac1a z - \frac ba$ है, जो फिर उसी रूप का है। तत्समक प्रतिचित्रण को उदासीन अवयव मानने पर प्रत्यक्ष समरूपताएँ संयोजन के अंतर्गत एक समूह बनाती हैं।

7. $f(z) = az + b$ $f(z_1) = w_1$ , $f(z_2) = w_2$ को संतुष्ट करता है यदि और केवल यदि $a z_1 + b = w_1$ और $a z_2 + b = w_2$ ; घटाने पर $a(z_2 - z_1) = w_2 - w_1$ , अतः

a = \frac{w_2 - w_1}{z_2 - z_1} \;(\neq 0), \qquad b = w_1 - a z_1

अनिवार्य हो जाते हैं, और विलोमतः यह चयन काम करता है: अस्तित्व और अद्वितीयता।

8. $\abs{f(z) - f(w)} = \abs{a(z - w)} = \abs a\,\abs{z - w}$ : सभी दूरियाँ $\abs a$ से गुणित हो जाती हैं। आकृति के लिए:

\frac{f(c') - f(a')}{f(b') - f(a')} = \frac{a(c' - a')}{a(b' - a')} = \frac{c' - a'}{b' - a'} .

यदि दो त्रिभुजों $(a', b', c')$ और $(a'', b'', c'')$ की आकृतियाँ बराबर हों, तो मान लीजिए $f$ वह अद्वितीय प्रत्यक्ष समरूपता है जिसके लिए $f(a') = a''$ और $f(b') = b''$ (प्रश्न 7); तब $(a'', b'', f(c'))$ की आकृति $(a', b', c')$ की आकृति के बराबर है, अतः $(a'', b'', c'')$ की आकृति के भी, और आकृति पहले दो शीर्षों से तीसरा निर्धारित कर देती है: $f(c') = c''$ । विलोमतः, बराबर आकृतियाँ ऊपर दिखाई गई अपरिवर्त्यता से निकलती हैं।

9. $b = f(0) = 1$ ; $a + b = f(1) = \iu$ से $a = \iu - 1$ मिलता है। अनुपात $\abs a = \sqrt2$ , कोण $\arg(\iu - 1) = \frac{3\pi}4$ । अचल बिंदु:

\zeta = \frac{b}{1 - a} = \frac1{2 - \iu} = \frac{2 + \iu}5 .

अतः $f$ केंद्र $\frac{2+\iu}5$ , अनुपात $\sqrt2$ और कोण $\frac{3\pi}4$ वाली प्रत्यक्ष समरूपता है।

10. $\alpha + \beta = 1$ और $f(z) = az + b$ के साथ:

f(\alpha a' + \beta b') = a\alpha a' + a\beta b' + b = \alpha(a a' + b) + \beta(a b' + b) = \alpha f(a') + \beta f(b') ,

जिसकी कुंजी $b = (\alpha + \beta)b$ है। अतः मध्यबिंदु ( $\alpha = \beta = \frac12$ ), केंद्रक (दोहराइए) और नीचे आने वाले नेपोलियन केंद्र $\alpha b + \beta c$ समतुल्यवर्ती हैं: त्रिभुज का रूपांतरण उन्हें भी उसी अनुसार रूपांतरित कर देता है। अतः समरूपता-अपरिवर्ती कथन को एक सुस्थापित त्रिभुज के लिए सिद्ध कर देना सबके लिए सिद्ध कर देता है — यही अनुमति प्रश्न 21 में प्रयुक्त हुई।

11. $[b, c]$ पर बाहरी शीर्ष $p_a = b + \eu^{-\iu\pi/3}(c - b)$ है (प्रश्न 3), अतः केंद्र है

n_a = \frac{b + c + p_a}3 = \frac{2b + c + \frac{1 - \iu\sqrt3}2\,(c - b)}3 = \frac{(3 + \iu\sqrt3)\,b + (3 - \iu\sqrt3)\,c}6 = \alpha b + \beta c ,

जहाँ $\alpha = \frac{3 + \iu\sqrt3}6$ और $\beta = \frac{3 - \iu\sqrt3}6 = \conj\alpha$ । भुजाओं $[c, a]$ और $[a, b]$ पर वही संगणना $n_b = \alpha c + \beta a$ और $n_c = \alpha a + \beta b$ देती है (भूमिकाओं का चक्रीय विस्थापन)।

12. $\alpha + \beta = \frac{3 + \iu\sqrt3 + 3 - \iu\sqrt3}6 = 1$ । अतः

\frac{n_a + n_b + n_c}3 = \frac{(\alpha + \beta)(a + b + c)}3 = \frac{a + b + c}3 :

दोनों त्रिभुजों का केंद्रक एक ही है।

13. $\alpha$ और $\beta$ के अनुसार समूहबद्ध कीजिए और $P = a + jb + j^2c$ पर प्रश्न 4 की सर्वसमिकाएँ लगाइए:

n_a + j n_b + j^2 n_c = \alpha\,(b + jc + j^2 a) + \beta\,(c + ja + j^2 b) = \alpha\,j^2 P + \beta\,j P = (\alpha j^2 + \beta j)\,P .

14. $j = \frac{-1 + \iu\sqrt3}2$ के साथ:

\alpha j = \frac{(3 + \iu\sqrt3)(-1 + \iu\sqrt3)}{12} = \frac{-3 + 3\iu\sqrt3 - \iu\sqrt3 - 3}{12} = \frac{-3 + \iu\sqrt3}6 = -\beta ,

अतः $\alpha j + \beta = 0$ , इसलिए $\alpha j^2 + \beta j = j(\alpha j + \beta) = 0$ , और प्रश्न 13 प्रत्येक त्रिभुज $(a, b, c)$ के लिए $n_a + jn_b + j^2n_c = 0$ दे देता है। कसौटी (प्रश्न 4–5) से केंद्र एक प्रत्यक्ष समबाहु त्रिभुज या एक ही बिंदु बनाते हैं: यही नेपोलियन की प्रमेय है।

15. भीतरी शीर्ष $b + \eu^{+\iu\pi/3}(c - b)$ है, और $\eu^{+\iu\pi/3} = \frac{1 + \iu\sqrt3}2$ के साथ प्रश्न 11 की संगणना $\alpha$ और $\beta$ की अदला-बदली कर देती है: $m_a = \beta b + \alpha c$ , $m_b = \beta c + \alpha a$ , $m_c = \beta a + \alpha b$ । $Q = a + j^2b + jc$ के लिए अनुरूप सर्वसमिकाओं $b + j^2c + ja = j\,Q$ और $c + j^2a + jb = j^2 Q$ का प्रयोग करते हुए:

m_a + j^2 m_b + j m_c = \beta(b + j^2 c + ja) + \alpha(c + j^2 a + jb) = (\beta j + \alpha j^2)\, Q = j(\beta + \alpha j)\,Q = 0 ,

क्योंकि $\alpha j = -\beta$ (प्रश्न 14)। अतः भीतरी केंद्र अप्रत्यक्ष समबाहु कसौटी को संतुष्ट करते हैं: समबाहु, पर विपरीत दिशा वाला (अथवा एक बिंदु)।

16. त्रिकी $(n_a, n_b, n_c)$ (जो प्रत्यक्ष कसौटी संतुष्ट करती है) पर प्रश्न 5 लगाने से, दो केंद्र तभी संपाती होते हैं जब तीनों हों; और तीनों तभी संपाती होते हैं जब दोनों कसौटियाँ सत्य हों, अर्थात् जब अतिरिक्त रूप से $n_a + j^2 n_b + j n_c = 0$ भी हो। सर्वसमिकाओं $b + j^2c + ja = jQ$ , $c + j^2a + jb = j^2Q$ के साथ प्रश्न 13 की भाँति संगणना कीजिए:

n_a + j^2 n_b + j n_c = \alpha\,jQ + \beta\,j^2 Q = j(\alpha + \beta j)\,Q .

सीधे: $\beta j = \frac{(3 - \iu\sqrt3)(-1 + \iu\sqrt3)}{12} = \frac{-3 + 3\iu\sqrt3 + \iu\sqrt3 + 3}{12} = \frac{\iu\sqrt3}3$ , अतः $\alpha + \beta j = \frac{3 + \iu\sqrt3 + 2\iu\sqrt3}6 = \frac{1 + \iu\sqrt3}2 \neq 0$ । अतः बाहरी नेपोलियन त्रिभुज तभी अपकर्षित होता है जब $Q = a + j^2b + jc = 0$ , अर्थात् जब $(a, b, c)$ अप्रत्यक्ष समबाहु त्रिभुज हो — उस स्थिति में सभी “बाहरी” रचनाएँ त्रिभुज के परिबद्ध क्षेत्र की ओर मुड़ जाती हैं और उनका केंद्र एक ही हो जाता है।

17. $a = 0$ , $b = 1$ , $c = \iu$ के साथ:

n_a = \alpha + \beta\iu = \frac{(3 + \sqrt3)(1 + \iu)}6, \qquad n_b = \alpha\iu = \frac{-\sqrt3 + 3\iu}6, \qquad n_c = \beta = \frac{3 - \iu\sqrt3}6 .

वर्ग-भुजाएँ: $n_a - n_b = \frac{(3 + 2\sqrt3) + \iu\sqrt3}6$ से $\abs{n_a - n_b}^2 = \frac{(3 + 2\sqrt3)^2 + 3}{36} = \frac{24 + 12\sqrt3}{36} = \frac{2 + \sqrt3}3$ मिलता है; $n_b - n_c = \frac{(3 + \sqrt3)(-1 + \iu)}6$ से $\abs{n_b - n_c}^2 = \frac{2(3 + \sqrt3)^2}{36} = \frac{24 + 12\sqrt3}{36}$ ; $n_c - n_a = \frac{-\sqrt3 - \iu(3 + 2\sqrt3)}6$ से फिर वही मान। तीनों वर्ग-भुजाएँ $\frac{2 + \sqrt3}3$ के बराबर हैं: समबाहु, जैसा वादा था।

18. प्रसार कीजिए:

(a - b)(c - d) + (a - d)(b - c) = (ac - ad - bc + bd) + (ab - ac - bd + cd) = ab - ad - bc + cd ,

और $(a - c)(b - d) = ab - ad - bc + cd$ : बराबर।

19. प्रश्न 18 में मापांक लीजिए और त्रिभुज असमिका (प्रतिज्ञप्ति 3.2 (4)) लगाइए:

AC \cdot BD = \abs{(a-b)(c-d) + (a-d)(b-c)} \leq \abs{a-b}\,\abs{c-d} + \abs{a-d}\,\abs{b-c} = AB \cdot CD + AD \cdot BC ,

जहाँ समता तभी जब दोनों योज्य $0$ से निकलने वाली एक ही किरण पर हों (त्रिभुज असमिका की समता-स्थिति)।

20. अर्ध-कोण गुणनखंडन (विधि 3.11 (4)): $\eu^{\iu\theta} - \eu^{\iu\varphi} = 2\iu\,\sin\frac{\theta - \varphi}2\;\eu^{\iu(\theta + \varphi)/2}$ , और मापांक लेने पर एकांक मापांक वाले गुणनखंड समाप्त हो जाते हैं: $\abs{\eu^{\iu\theta} - \eu^{\iu\varphi}} = 2\,\abs{\sin\frac{\theta - \varphi}2}$ ।

21. $p = \eu^{\iu\theta}$ , $\theta \in \intoo{2\pi/3}{4\pi/3}$ के साथ प्रश्न 20 देता है

PA = 2\,\abs{\sin\tfrac\theta2}, \quad PB = 2\,\abs{\sin\bigl(\tfrac\theta2 - \tfrac\pi3\bigr)}, \quad PC = 2\,\abs{\sin\bigl(\tfrac\theta2 - \tfrac{2\pi}3\bigr)} .

चाप पर $\frac\theta2 \in \intoo{\pi/3}{2\pi/3}$ : तब $\sin\frac\theta2 > 0$ ; $\frac\theta2 - \frac\pi3 \in \intoo0{\pi/3}$ , अतः दूसरी ज्या धनात्मक है; $\frac\theta2 - \frac{2\pi}3 \in \intoo{-\pi/3}0$ , अतः तीसरी ऋणात्मक है और $PC = 2\sin\bigl(\frac{2\pi}3 - \frac\theta2\bigr)$ । योग से गुणनफल:

\sin\Bigl(\frac\theta2 - \frac\pi3\Bigr) + \sin\Bigl(\frac{2\pi}3 - \frac\theta2\Bigr) = 2\,\sin\frac\pi6\,\cos\Bigl(\frac\theta2 - \frac\pi2\Bigr) = \sin\frac\theta2 ,

अतः $PB + PC = 2\sin\frac\theta2 = PA$ : यही वान स्कूटन की प्रमेय है।

22. $p = -1$ पर: $PA = 2$ , $PB = PC = 1$ , और समबाहु त्रिभुज की सभी भुजाओं की लंबाई $\sqrt3$ है, अतः टॉलेमी के दोनों पक्ष $2\sqrt3$ कहते हैं। बीजगणितीय रूप से, $-1 - j^2 = j$ और $1 + j = -j^2$ का प्रयोग करते हुए:

(a - b)(p - c) = (1 - j)\,(-1 - j^2) = (1 - j)j = j - j^2 = \iu\sqrt3 ,

(a - c)(b - p) = (1 - j^2)(j + 1) = 1 + j - j^2 - j^3 = j - j^2 = \iu\sqrt3 .

दोनों पद बराबर हैं, अतः उनका अनुपात $1 \in \R_{>0}$ है: यही प्रश्न 19 की समता-स्थिति है, जो $PA \cdot BC = PB \cdot AC + PC \cdot AB$ से ठीक मेल खाती है।

23. $(a, b, c) = (1, j, j^2)$ के लिए: $n_a = \alpha j + \beta j^2 = -\beta + \beta j^2$ (प्रश्न 14) $= \beta(j^2 - 1)$ ; संख्यात्मक रूप से $\beta(j^2 - 1) = \frac{(3 - \iu\sqrt3)}6 \cdot \bigl(-\frac32 - \iu\frac{\sqrt3}2\bigr) = -1$ । इसी प्रकार $n_b = \alpha j^2 + \beta = -j$ और $n_c = \alpha + \beta j = -j^2$ । $(1, j, j^2)$ का बाहरी नेपोलियन त्रिभुज $(-1, -j, -j^2)$ है: अर्थात् मूल त्रिभुज, अपने केंद्रक $0$ से परावर्तित — वही आकार, आधा घुमाव घूमा हुआ। समबाहु त्रिभुज नेपोलियन रचना की एक अचल आकृति है, कोई सिकुड़ती हुई सीमा नहीं।

24. (क) एकांक मापांक वाली संख्या से गुणन का घूर्णन होना शीर्षों और केंद्रों की रचना करता है (प्रश्न 2–3, 11) और वृत्तीय दूरियों को ज्याओं में बदल देता है (प्रश्न 20)। (ख) समूह संरचना और आकृति-अपरिवर्त्य ने, प्रश्न 10 की समतुल्यवर्तिता के द्वारा, प्रश्न 21 में परिवृत्त को इकाई वृत्त और त्रिभुज को $(1, j, j^2)$ तक मानकीकृत करना न्यायसंगत ठहराया। (ग) अर्ध-कोण गुणनखंडन ने प्रश्न 20 और वान स्कूटन को पूरा करने वाले योग-से-गुणनफल पद, दोनों को शक्ति दी।

25. यह शब्दकोश ज्यामितीय कथनों को ऐसी बहुपदीय सर्वसमिकाओं में बदल देता है जिनमें हर परिकल्पना एक समीकरण है: इससे मिलता है यंत्रीकरण — नेपोलियन की प्रमेय $\alpha j + \beta = 0$ तक सिमट गई, $\Q(\iu\sqrt3)$ में अंकगणित की एक ही पंक्ति; और इसकी कीमत है ज्यामितीय दृश्यता — संगणना प्रमाणित तो कर देती है पर यह नहीं दिखाती कि केंद्र समबाहु त्रिभुज में क्यों बँध जाते हैं। एक न्यायसंगत उत्तर यह है कि सर्वसमिका प्रमेय की अनिवार्यता समझाती है (वह $a, b, c$ में तत्समक रूप से सत्य है, अतः विन्यास की कोई चतुराई इसमें नहीं है), जबकि चित्र उसकी सामग्री समझाता है। यही शब्दकोश आव्यूह के रूप में तब लौटता है जब घूर्णन अध्याय 21 और अध्याय 23 के लांबिक $2 \times 2$ आव्यूह बन जाते हैं, जहाँ “ $\eu^{\iu\theta}$ से गुणन” रैखिक सममिति का आदिरूप है।