Wat is Het complexe lichaam? — Wiskunde

Definitie 3.1 Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 1 · Hoofdstuk 3 — Complexe getallen

$\C = \{a + \iu b : a, b \in \R\}$ met de gewone optelling en de vermenigvuldiging die door $\iu^2 = -1$ vastligt. Elke $z = a + \iu b$ ongelijk aan nul heeft een inverse: $z^{-1} = \frac{a - \iu b}{a^2 + b^2}$ — in de taal van Hoofdstuk 7 is $\C$ een lichaam. Men schrijft $a = \Re(z)$ , $b = \Im(z)$ , $\conj{z} = a - \iu b$ (de toegevoegde) en $\abs{z} = \sqrt{a^2 + b^2}$ (de modulus).

Voorbeelden

Voorbeeld 3.3 (Een volledige oefening met modulus en argument)

Breng $w = \dfrac{3 + 4\iu}{1 - 2\iu}$ in algebraïsche vorm en bereken haar modulus tweemaal. Vermenigvuldigen met de toegevoegde van de noemer geeft

w = \frac{(3 + 4\iu)(1 + 2\iu)}{(1 - 2\iu)(1 + 2\iu)} = \frac{3 + 6\iu + 4\iu - 8}{1 + 4} = \frac{-5 + 10\iu}{5} = -1 + 2\iu .

Rechtstreeks: $\abs w = \sqrt{1 + 4} = \sqrt5$ . Via de quotiëntregel (Propositie 3.2 (3)): $\abs w = \frac{\abs{3 + 4\iu}}{\abs{1 - 2\iu}} = \frac5{\sqrt5} = \sqrt5$ — hetzelfde antwoord, zonder algebraïsche vorm. De les veralgemeent: moduli en argumenten reizen goed door producten en quotiënten, reële en imaginaire delen reizen goed door sommen. Kies de voorstelling die bij de voorliggende bewerkingen past, en zet pas om wanneer het niet anders kan.

Voorbeeld 3.4 (Vergelijkingen met de toegevoegde)

Los op in $\C$ : $\;z + 2\conj z = 6 + 2\iu$ . Een vergelijking waarin $z$ en $\conj z$ door elkaar lopen is geen veeltermvergelijking in $z$ ; de betrouwbare zet is opsplitsen in reële coördinaten. Met $z = x + \iu y$ is

z + 2\conj z = 3x - \iu y ,

zodat de vergelijking $3x = 6$ en $-y = 2$ zegt: de unieke oplossing is $z = 2 - 2\iu$ . (Controle: $(2 - 2\iu) + 2(2 + 2\iu) = 6 + 2\iu$ .) Je kunt ook de hele vergelijking toevoegen, wat $\conj z + 2z = 6 - 2\iu$ oplevert, en het lineaire stelsel in de onbekenden $z, \conj z$ oplossen — hetzelfde antwoord, en een handige truc zodra de coëfficiënten complex zijn. Vergelijkingen in $z$ en $\conj z$ zijn in werkelijkheid stelsels van twee reële vergelijkingen; hier mag je gerust op “graad $1$ , één oplossing” rekenen, maar $z\conj z = -1$ (geen oplossing) laat zien dat de veeltermintuïtie het begeeft zodra er producten opduiken.

Voorbeeld 3.15 (Derdemachtswortels van $-27$ )

Los $z^3 = -27$ op. Exponentiële vorm van het rechterlid: $-27 = 27\,\eu^{\iu\pi}$ , zodat de drie wortels

z_k = 3\,\eu^{\iu(\frac\pi3 + \frac{2k\pi}3)}, \quad k = 0, 1, 2 : \qquad z_0 = 3\eu^{\iu\pi/3} = \frac32 + \frac{3\sqrt3}2\,\iu, \quad z_1 = -3, \quad z_2 = \conj{z_0}

zijn. Twee controles. Ten eerste is de reële wortel $-3$ de voor de hand liggende, en de twee andere zijn haar draaiingen over $\pm\frac{2\pi}3$ — equivalent: $-3j$ en $-3j^2$ . Ten tweede bevestigt de algebra het: $z^3 + 27 = (z + 3)(z^2 - 3z + 9)$ , en de vierkantsvergelijking heeft discriminant $9 - 36 = -27 < 0$ met wortels $\frac{3 \pm 3\iu\sqrt3}2 = z_0, \conj{z_0}$ . Het inzicht: bij een reëel rechterlid komen de niet-reële wortels altijd in toegevoegde paren, zodat een tekening van de oplossingsverzameling symmetrisch is om de reële as — een voorproefje van de reële ontbindingsstelling van Hoofdstuk 8.

Lees in het hoofdstuk →