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गणित · शब्दावली

मरोड़ क्या है?

परिभाषा 3.11 विश्वविद्यालय गणित — स्नातक वर्ष 3 · अध्याय 3 — मुख्य आदर्श प्रांत पर मॉड्यूल

मान लीजिए $A$ एक प्रांत है और $M$ एक $A$ -मॉड्यूल। मरोड़ उपमॉड्यूल है

T(M) = \{x \in M : ax = 0 \text{ किसी } a \neq 0 \text{ के लिए}\}

(यह उपमॉड्यूल है: यदि $ax = by = 0$ हो तो $ab(x + y) = 0$ , $ab \ne 0$ )। $M$ मरोड़-मुक्त कहलाता है यदि $T(M) = 0$ हो, और मरोड़ मॉड्यूल यदि $T(M) = M$ हो।

उदाहरण

उदाहरण 3.2

तीन प्रेरक स्थितियाँ।

$A = K$ कोई क्षेत्र: मॉड्यूल सदिश समष्टियाँ हैं।
$A = \Z$ : मॉड्यूल ठीक आबेली समूह हैं ( $nx$ का $x + \dots + x$ होना अनिवार्य है), और उपमॉड्यूल उपसमूह हैं।
$A = K[X]$ : कोई मॉड्यूल एक $K$ -सदिश समष्टि $V$ है जिसके साथ $K$ -रैखिक प्रतिचित्रण $u\colon x \mapsto X\cdot x$ जुड़ा है — विलोमतः, $u \in \mathcal L(V)$ वाला प्रत्येक युग्म $(V, u)$ $P \cdot x = P(u)(x)$ द्वारा $K[X]$ -मॉड्यूल बन जाता है। उपमॉड्यूल ठीक $u$ -स्थिर उपसमष्टियाँ हैं।

$A$ का आदर्श ठीक $A$ का उपमॉड्यूल है; भागफल वलय $A/I$ एक $A$ -मॉड्यूल है। सदिश समष्टियों के विपरीत, मॉड्यूलों में मरोड़ हो सकती है: $\Z/6\Z$ में अवयव $\bar 3 \ne 0$ $2 \neq 0$ से नष्ट हो जाता है।

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