विश्वविद्यालय गणित — स्नातक वर्ष 3 · Bachelor Year 3

3मुख्य आदर्श प्रांत पर मॉड्यूल

क्षेत्र के स्थान पर किसी वलय पर रैखिक बीजगणित: परिकल्पना का यह छोटा-सा परिवर्तन बीजगणित की महान एकीकरण प्रमेयों में से एक को जन्म देता है। $\Z$ पर मॉड्यूल एक आबेली समूह है; $K[X]$ पर मॉड्यूल एक ऐसी सदिश समष्टि है जिसके साथ एक अंतःसमाकारिता जुड़ी है। अतः किसी PID पर परिमिततः जनित मॉड्यूलों की संरचना प्रमेय एक ही आघात में समस्त परिमिततः जनित आबेली समूहों और समरूपता तक समस्त अंतःसमाकारिताओं का वर्गीकरण कर देती है — जॉर्डन अपचयन, जिसे दूसरे वर्ष में नाजुक आगमनों से प्राप्त किया गया था, यहाँ एक उपप्रमेय के रूप में झड़ पड़ता है, और उसके साथ उसका अधिक सूक्ष्म सहोदर भी: परिमेय विहित रूप, जो प्रत्येक क्षेत्र पर मान्य है। परिकलन का यंत्र है स्मिथ प्रसामान्य रूप — आव्यूहों का एक ऐसा अंकगणित जो यूक्लिड के योग्य है।

सर्वत्र $A$ एक क्रमविनिमेय वलय है, और शीघ्र ही एक PID; “मॉड्यूल” से अभिप्राय है $A$ -मॉड्यूल।

3.1 मॉड्यूल, मुक्त मॉड्यूल

परिभाषा 3.1

कोई $A$ -मॉड्यूल एक आबेली समूह $(M, +)$ है जिस पर अदिश गुणन $A \times M \to M$ सदिश-समष्टि स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करता है: $a(x + y) = ax + ay$ , $(a + b)x = ax + bx$ , $(ab)x = a(bx)$ , $1x = x$ । उपमॉड्यूल, भागफल $M/N$ , समाकारिताएँ ( $A$ -रैखिक प्रतिचित्रण), प्रत्यक्ष योग $\bigoplus_i M_i$ और तुल्याकारिता प्रमेय ठीक उसी प्रकार परिभाषित और सिद्ध होते हैं जैसे सदिश समष्टियों और आबेली समूहों के लिए; विशेष रूप से किसी समाकारिता $f$ के लिए $M/\ker f \cong \operatorname{im} f$ ।

उदाहरण 3.2

तीन प्रेरक स्थितियाँ।

$A = K$ कोई क्षेत्र: मॉड्यूल सदिश समष्टियाँ हैं।
$A = \Z$ : मॉड्यूल ठीक आबेली समूह हैं ( $nx$ का $x + \dots + x$ होना अनिवार्य है), और उपमॉड्यूल उपसमूह हैं।
$A = K[X]$ : कोई मॉड्यूल एक $K$ -सदिश समष्टि $V$ है जिसके साथ $K$ -रैखिक प्रतिचित्रण $u\colon x \mapsto X\cdot x$ जुड़ा है — विलोमतः, $u \in \mathcal L(V)$ वाला प्रत्येक युग्म $(V, u)$ $P \cdot x = P(u)(x)$ द्वारा $K[X]$ -मॉड्यूल बन जाता है। उपमॉड्यूल ठीक $u$ -स्थिर उपसमष्टियाँ हैं।

$A$ का आदर्श ठीक $A$ का उपमॉड्यूल है; भागफल वलय $A/I$ एक $A$ -मॉड्यूल है। सदिश समष्टियों के विपरीत, मॉड्यूलों में मरोड़ हो सकती है: $\Z/6\Z$ में अवयव $\bar 3 \ne 0$ $2 \neq 0$ से नष्ट हो जाता है।

परिभाषा 3.3

$M$ परिमिततः जनित कहलाता है यदि किसी $x_i$ के लिए $M = Ax_1 + \dots + Ax_n$ हो। $M$ कोटि $n$ का मुक्त कहलाता है यदि $M \cong A^n$ , अर्थात् यदि उसका कोई आधार हो (ऐसा जनक कुल जो $A$ -रैखिकतः स्वतंत्र है)। प्रत्येक परिमिततः जनित $M$ किसी मुक्त मॉड्यूल का भागफल होता है: $(a_1, \dots, a_n) \mapsto \sum a_ix_i$ $A^n$ को $M$ पर आच्छादित करता है।

प्रतिज्ञप्ति 3.4 (कोटि की अपरिवर्तिता)

यदि $A \neq 0$ और $A^m \cong A^n$ हों, तो $m = n$ ।

उपपत्ति. $A$ का कोई महत्तम आदर्श $\mathfrak m$ चुनिए (प्रमेय 2.8) और $k = A/\mathfrak m$ रखिए, जो एक क्षेत्र है। कोई तुल्याकारिता $f \colon A^m \to A^n$ रैखिकता से $\mathfrak m A^m$ को $\mathfrak m A^n$ में भेजती है, अतः $k$ -सदिश समष्टियों के रूप में भागफलों की तुल्याकारिता

A^m/\mathfrak m A^m \;\cong\; A^n/\mathfrak m A^n, \qquad\text{अर्थात्}\qquad k^m \cong k^n

प्रेरित करती है (भागफल $A^m/\mathfrak m A^m$ $\mathfrak m$ से नष्ट हो जाता है, अतः $A$ की क्रिया $k$ से होकर गुजरती है; मानक आधार के प्रतिबिंब एक $k$ -आधार बनाते हैं)। क्षेत्र $k$ पर विमा सिद्धांत से $m = n$ । ∎

प्रमेय 3.5 (मुक्त मॉड्यूलों के उपमॉड्यूल)

मान लीजिए $A$ एक PID है और $M \subseteq A^n$ एक उपमॉड्यूल। तब $M$ कोटि $\leq n$ का मुक्त मॉड्यूल है।

उपपत्ति. $n$ पर आगमन। $n = 1$ के लिए: $M$ एक आदर्श है, अतः $M = (0)$ (कोटि $0$ का मुक्त) या $M = dA \cong A$ ( $x \mapsto dx$ एकैकी है: प्रांत)। $n > 1$ के लिए: मान लीजिए $\pi \colon A^n \to A$ अंतिम निर्देशांक है। तब $\pi(M)$ एक आदर्श है, $(0)$ या $dA$ । यदि $(0)$ : $M \subseteq A^{n-1} \times \{0\}$ और आगमन लागू हो जाता है। अन्यथा $\pi(x_0) = d$ वाला $x_0 \in M$ चुनिए। प्रत्येक $x \in M$ अद्वितीय रूप से

x = \underbrace{\frac{\pi(x)}{d}}_{\in A}\, x_0 + \Bigl(x - \tfrac{\pi(x)}d x_0\Bigr), \qquad x - \tfrac{\pi(x)}d x_0 \in M \cap \ker\pi

लिखा जाता है ( $\pi(x) \in dA$ , अतः गुणांक $A$ में है)। इस प्रकार $M = Ax_0 \oplus (M \cap \ker \pi)$ : योग प्रत्यक्ष है, क्योंकि $\pi(ax_0) = ad = 0$ से $a = 0$ अनिवार्य हो जाता है। आगमन से $M \cap \ker\pi \subseteq \ker \pi \cong A^{n-1}$ कोटि $\leq n - 1$ का मुक्त मॉड्यूल है; उसमें $x_0$ (जो अभी देखे अनुसार $\ker\pi$ से स्वतंत्र है) जोड़ने पर गणनीयता $\leq n$ वाला $M$ का आधार मिल जाता है। ∎

टिप्पणी 3.6

फलस्वरूप, किसी PID पर प्रत्येक परिमिततः जनित मॉड्यूल $M$ की एक परिमित प्रस्तुति होती है: किसी आच्छादन $\varphi\colon A^n \to M$ की अष्टि मुक्त होती है और उसका आधार $c_1, \dots, c_k$ ( $k \leq n$ ) होता है, तथा $M \cong A^n / \operatorname{im}(C)$ , जहाँ $C \in M_{n,k}(A)$ वह आव्यूह है जिसके स्तंभ $c_j$ हैं। $M$ को समझने का अर्थ है स्रोत और लक्ष्य में आधार-परिवर्तन तक $A$ पर एक आव्यूह को समझना — यही अगले अनुभाग का विषय है।

3.2 स्मिथ प्रसामान्य रूप

परिभाषा 3.7

दो आव्यूह $B, C \in M_{n,k}(A)$ तुल्य कहलाते हैं यदि $Q \in GL_n(A)$ , $P \in GL_k(A)$ ( $A$ पर व्युत्क्रमणीय: सारणिक $A^\times$ में) के साथ $C = QBP$ हो। तुल्य प्रस्तुति आव्यूह तुल्याकारी मॉड्यूल $A^n/ \operatorname{im}$ परिभाषित करते हैं ( $A^n$ और $A^k$ में आधार बदलिए)।

प्रमेय 3.8 (स्मिथ प्रसामान्य रूप)

मान लीजिए $A$ एक PID है और $B \in M_{n,k}(A)$ । तब $B$ एक विकर्ण आव्यूह के तुल्य है

\operatorname{diag}(d_1, d_2, \dots, d_r, 0, \dots, 0), \qquad d_1 \mid d_2 \mid \cdots \mid d_r \neq 0 ,

और $d_i$ सहचारियों तक अद्वितीय हैं: $d_1 \cdots d_i$ $B$ के $i \times i$ उपसारणिकों का महत्तम समापवर्तक है (विशेष रूप से वह समापवर्तक तुल्यता का एक अपरिवर्ती है)। $d_i$ $B$ के अपरिवर्ती गुणनखंड कहलाते हैं।

उपपत्ति. अस्तित्व। यदि $B = 0$ हो, तो काम पूरा। अन्यथा $B$ के तुल्य आव्यूहों की प्रविष्टियों से जनित आदर्शों $(b)$ के समुच्चय पर विचार कीजिए; चूँकि $A$ नोएथरीय है, $B$ के तुल्य ऐसा आव्यूह $B'$ और $B'$ की ऐसी प्रविष्टि $d$ चुनिए जिसके लिए $(d)$ इस समुच्चय में महत्तम हो। पंक्ति और स्तंभ अदला-बदली से $d$ को स्थान $(1,1)$ पर लाइए।

दावा: $d$ $B'$ की प्रत्येक प्रविष्टि को विभाजित करता है। पहले स्तंभ 1: यदि $b_{i1}$ $d$ का गुणज न हो, तो $e = \gcd(d, b_{i1}) = ud + vb_{i1}$ (बेज़ू) लीजिए, अतः $(e) \supsetneq (d)$ । अब $2 \times 2$ आव्यूह की युक्ति: पंक्तियों $1$ और $i$ पर

\begin{pmatrix} u & v \\ -\dfrac{b_{i1}}e & \dfrac de \end{pmatrix} \in GL_2(A) \qquad \Bigl(\det = \tfrac{ud + v b_{i1}}e = 1\Bigr)

द्वारा क्रिया करने से एक तुल्य आव्यूह बनता है जिसकी स्थान $(1,1)$ पर प्रविष्टि $e$ है: यह $(d)$ की महत्तमता का खंडन है। अतः $d$ स्तंभ $1$ को विभाजित करता है, और सममित रूप से पंक्ति $1$ को भी। पंक्ति 1 और स्तंभ 1 के गुणज घटाने पर वे साफ हो जाते हैं: $B'$ $\begin{pmatrix} d & 0\\ 0 & B''\end{pmatrix}$ के तुल्य है। इसके बाद, $d$ $B''$ की प्रत्येक प्रविष्टि $b$ को विभाजित करता है: $b$ की पंक्ति को पंक्ति 1 में जोड़िए (एक प्रारंभिक संक्रिया; नई पहली पंक्ति में $d$ और $b$ -प्रविष्टियाँ हैं) और स्तंभ साफ करने वाला तर्क दोहराइए: कोई अगुणज फिर से $(d)$ को बेहतर बना देता। अब आकार पर आगमन कीजिए: $B''$ , जिसकी सभी प्रविष्टियाँ $d$ से विभाज्य हैं, का कोई स्मिथ रूप $\operatorname{diag}(d_2, \dots)$ है जिसकी प्रविष्टियाँ $d$ से विभाज्य बनी रहती हैं (किसी भी $QB''P$ की प्रत्येक प्रविष्टि $B''$ की प्रविष्टियों का $A$ -संचय है); अब $d_1 = d$ रखिए।

अद्वितीयता। मान लीजिए $D_i(B)$ समस्त $i \times i$ उपसारणिकों का महत्तम समापवर्तक है। पंक्ति और स्तंभ संक्रियाएँ, और अधिक व्यापक रूप से किसी भी आव्यूह से गुणन, इस समापवर्तक को छोटा नहीं कर सकते: $QB$ के $i \times i$ उपसारणिक $B$ के उपसारणिकों के $A$ -संचय होते हैं (कोशी–बिने प्रसार; अथवा सीधे: $QB$ की प्रत्येक पंक्ति $B$ की पंक्तियों का संचय है, और उपसारणिक पंक्तियों में बहुरैखिक होते हैं)। अतः $D_i(QBP)$ और $D_i(B)$ परस्पर विभाजित करते हैं: $D_i$ एक तुल्यता अपरिवर्ती है। विकर्ण रूप पर शून्येतर $i \times i$ उपसारणिक $d_j$ में से $i$ के गुणनफल हैं, और विभाज्यता $d_1 \mid \dots \mid d_r$ से $d_1 \cdots d_i$ ही महत्तम समापवर्तक बन जाता है। अतः इकाइयों तक $d_1 \cdots d_i = D_i(B)$ , और $d_i = D_i/D_{i-1}$ निर्धारित हो जाता है। ∎

विधि 3.9

किसी यूक्लिडीय प्रांत ( $\Z$ , $K[X]$ ) पर स्मिथ अपचयन एक कलनविधि है — यहाँ किसी महत्तमता तर्क की आवश्यकता नहीं: सबसे छोटे यूक्लिडीय आकार वाली प्रविष्टि को स्थान $(1,1)$ पर लाइए; यदि वह अपनी पंक्ति या स्तंभ की किसी प्रविष्टि को विभाजित न करे, तो यूक्लिडीय विभाजन वहाँ कड़ाई से छोटा शेषफल छोड़ देता है — उसे भीतर लाकर फिर से आरंभ कीजिए (समाप्ति: आकार घटते जाते हैं); जब वह अपनी पूरी पंक्ति और स्तंभ को विभाजित करने लगे, तब उन्हें साफ कीजिए; यदि वह किसी भीतरी प्रविष्टि को विभाजित न करे, तो उस पंक्ति को पंक्ति $1$ में जोड़कर फिर से आरंभ कीजिए; और भीतरी खंड पर पुनरावर्तन कीजिए। पूर्णांक आव्यूहों पर व्यवहार में: प्रविष्टियों का $D_1 = \gcd$ , फिर $D_2$ , … छोटे आकारों के लिए उपसारणिकों से परिकलित कीजिए, अथवा कलनविधि चलाइए।

उदाहरण 3.10 (एक पूर्ण स्मिथ अपचयन)

$\Z$ पर $M = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$ का अपचयन कीजिए। कोने की प्रविष्टि $1$ सब कुछ विभाजित करती है: उसकी पंक्ति और स्तंभ साफ कीजिए ( $L_2 \leftarrow L_2 - 4L_1$ , $L_3 \leftarrow L_3 - 7L_1$ , फिर $C_2 \leftarrow C_2 - 2C_1$ , $C_3 \leftarrow C_3 - 3C_1$ ):

M \sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & -3 & -6\\ 0 & -6 & -12 \end{pmatrix} .

भीतरी खंड में कोने की प्रविष्टि $-3$ सभी प्रविष्टियों को विभाजित करती है: $L_3 \leftarrow L_3 - 2L_2$ और $C_3 \leftarrow C_3 - 2C_2$ उसे $\operatorname{diag}(-3, 0)$ तक साफ कर देते हैं। चिह्न समायोजित करने पर (किसी पंक्ति को $-1$ से गुणा कीजिए, जो वैध संक्रिया है):

M \sim \operatorname{diag}(1, 3, 0), \qquad \Z^3/M\Z^3 \cong \Z/3\Z \times \Z .

सारणिक भाजकों से जाँच: $D_1 = \gcd(\text{प्रविष्टियाँ}) = 1$ ; $M$ का प्रत्येक $2\times2$ उपसारणिक $3$ का गुणज है (उदाहरणार्थ $\det\bigl(\begin{smallmatrix}1 & 2\\ 4 & 5\end{smallmatrix}\bigr) = -3$ ) और एक $-3$ के बराबर है: $D_2 = 3$ ; $D_3 = \det M = 0$ । अतः $d_1 = 1$ , $d_2 = 3$ , $d_3 = 0$ : वही उत्तर। दो शिक्षाएँ: शून्य अपरिवर्ती गुणनखंड कोटि की गिरावट दर्ज करता है (सह-अष्टि एक मुक्त $\Z$ योज्यांश उठा लेती है), और विभाज्यता शृंखला $1 \mid 3 \mid 0$ ही स्मिथ का प्रमाणपत्र है — ऐसा विकर्ण अपचयन जो इस शृंखला का उल्लंघन करता हो (मान लीजिए $\operatorname{diag}(2, 3)$ , जिसे असावधान पाठक $\bigl(\begin{smallmatrix}2 & 0\\ 0 & 3\end{smallmatrix}\bigr)$ से बहुत जल्दी रुककर उत्पन्न कर सकता है: सही स्मिथ रूप $\operatorname{diag}(1, 6)$ है, क्योंकि यहाँ $D_1 = 1$ !) अभी पूरा नहीं हुआ है।

ℤ2 का उपजालक L = ℤ(2,0) + ℤ(1,3) (लाल बिंदु)। ( smallmatrix 2 & 1\\ 0 & 3 smallmatrix ) का स्मिथ प्रसामान्य रूप diag(1, 6) है: ℤ2 के अनुकूलित आधार f_1 = (1,3), f_2 = (0,1) में L = ℤ f_1 ℤ\,6f_2 होता है, अतः ℤ2/L ℤ/6ℤ — सूचकांक | | = 6 के बराबर है, अर्थात् छायांकित मूल प्रांत के क्षेत्रफल के। — $\Z^2$ का उपजालक $L = \Z(2,0) + \Z(1,3)$ (लाल बिंदु)। $\bigl(\begin{smallmatrix} 2 & 1\\ 0 & 3\end{smallmatrix}\bigr)$ का स्मिथ प्रसामान्य रूप $\operatorname{diag}(1, 6)$ है: $\Z^2$ के अनुकूलित आधार $f_1 = (1,3)$ , $f_2 = (0,1)$ में $L = \Z f_1 \oplus \Z\,6f_2$ होता है, अतः $\Z^2/L \cong \Z/6\Z$ — सूचकांक $\abs{\det} = 6$ के बराबर है, अर्थात् छायांकित मूल प्रांत के क्षेत्रफल के।

3.3 संरचना प्रमेय

परिभाषा 3.11

मान लीजिए $A$ एक प्रांत है और $M$ एक $A$ -मॉड्यूल। मरोड़ उपमॉड्यूल है

T(M) = \{x \in M : ax = 0 \text{ किसी } a \neq 0 \text{ के लिए}\}

(यह उपमॉड्यूल है: यदि $ax = by = 0$ हो तो $ab(x + y) = 0$ , $ab \ne 0$ )। $M$ मरोड़-मुक्त कहलाता है यदि $T(M) = 0$ हो, और मरोड़ मॉड्यूल यदि $T(M) = M$ हो।

प्रमेय 3.12 (किसी PID पर परिमिततः जनित मॉड्यूलों की संरचना)

मान लीजिए $A$ एक PID है और $M$ एक परिमिततः जनित $A$ -मॉड्यूल। तब एक अद्वितीय $r \in \N$ और सहचारियों तक अद्वितीय शून्येतर अनैकिक अवयव $d_1 \mid d_2 \mid \cdots \mid d_s$ ऐसे विद्यमान हैं कि

M \;\cong\; A^r \,\oplus\, A/(d_1) \oplus \cdots \oplus A/(d_s).

इसके अतिरिक्त $T(M) \cong A/(d_1)\oplus\dots\oplus A/(d_s)$ और $M/T(M) \cong A^r$ : किसी PID पर परिमिततः जनित मरोड़-मुक्त मॉड्यूल मुक्त होता है।

उपपत्ति. अस्तित्व। $M \cong A^n/\operatorname{im}(C)$ प्रस्तुत कीजिए (टिप्पणी 3.6) और $C$ को स्मिथ रूप में लाइए: दोनों आधार-परिवर्तनों के बाद $M \cong A^n / (d_1A \times \dots \times d_rA \times 0 \times \dots \times 0) \cong A/(d_1) \oplus \dots \oplus A/(d_r) \oplus A^{\,n - r}$ । जिन गुणनखंडों में $d_i$ इकाई है उन्हें छोड़ दीजिए ( $A/(d_i) = 0$ ); विभाज्यता शृंखला बनी रहती है।

मरोड़ की पहचान। इस विघटन में $A^r$ मरोड़-मुक्त है (प्रांत में कोई शून्य भाजक नहीं) और प्रत्येक $A/(d_i)$ मरोड़ है ( $d_i \ne 0$ से नष्ट); प्रत्यक्ष योग मरोड़ को उसी के अनुसार विभाजित कर देता है: $T(M) = \bigoplus_i A/(d_i)$ और $M/T(M) \cong A^r$ ।

$r$ की अद्वितीयता: $M/T(M) \cong A^r$ केवल $M$ पर निर्भर करता है, और प्रतिज्ञप्ति 3.4 से $r$ निश्चित हो जाता है।

$d_i$ की अद्वितीयता: केवल मरोड़ मॉड्यूल $T = T(M)$ की स्थिति देखनी पर्याप्त है। प्रत्येक $d_i$ को अभाज्यों में विघटित कीजिए और चीनी शेषफल प्रमेय से विभाजित कीजिए (प्रमेय 2.9; भिन्न अभाज्य सह-महत्तम आदर्श जनित करते हैं):

A/(d) \cong \bigoplus_{p \mid d} A/\bigl(p^{v_p(d)}\bigr): \qquad T \cong \bigoplus_{p} \bigoplus_{j} A/\bigl(p^{k_{p,j}}\bigr),

और प्रारंभिक भाजक $p^{k_{p,j}}$ मिलते हैं। विलोमतः $d_i$ को प्रारंभिक भाजकों के बहुसमुच्चय से पुनर्निर्मित किया जा सकता है ( $d_s$ = प्रत्येक अभाज्य की उच्चतम घात का गुणनफल, इत्यादि), अतः केवल यह सिद्ध करना पर्याप्त है कि प्रत्येक अभाज्य $p$ के लिए बहुसमुच्चय $\{k_{p,j}\}_j$ $T$ से निर्धारित हो जाता है। $p$ स्थिर कीजिए; $j \geq 1$ के लिए $A/(p)$ -सदिश समष्टियों $p^{j-1}T/p^jT$ पर विचार कीजिए। किसी चक्रीय गुणनखंड $A/(p^k)$ पर:

p^{j-1}\bigl(A/(p^k)\bigr)\big/p^{j}\bigl(A/(p^k)\bigr) \cong \begin{cases} A/(p) & \text{यदि } j \leq k,\\ 0 & \text{यदि } j > k, \end{cases}

और किसी गुणनखंड $A/(q^k)$ , $q \neq p$ , पर $p$ से गुणन वहाँ एकैकी आच्छादक है ( $q^k$ के सापेक्ष $p$ व्युत्क्रमणीय है: बेज़ू), अतः भागफल $0$ है। प्रत्यक्ष योग इनसे होकर गुजरते हैं: $\dim_{A/(p)} p^{j-1}T/p^jT = \#\{i : k_{p,i} \geq j\}$ । ये अंतर्जात विमाएँ घातांकों के बहुसमुच्चय को निर्धारित कर देती हैं। ∎

उपप्रमेय 3.13 (परिमिततः जनित आबेली समूह)

प्रत्येक परिमिततः जनित आबेली समूह $d_1 \mid \dots \mid d_s$ के साथ अद्वितीय रूप से $\Z^r \times \Z/d_1\Z\times\dots\times\Z/d_s\Z$ होता है। प्रत्येक परिमित आबेली समूह अभाज्य-घात क्रम के चक्रीय समूहों का गुणन है, जो बहुसमुच्चय के रूप में अद्वितीय है।

उदाहरण 3.14

क्रम $p^n$ के आबेली समूह $n$ के विभाजनों के अनुरूप हैं: $p^4$ के लिए $\Z/p^4$ , $\Z/p^3\times\Z/p$ , $(\Z/p^2)^2$ , $\Z/p^2 \times (\Z/p)^2$ , $(\Z/p)^4$ — पाँच समूह, क्योंकि $4$ के पाँच विभाजन हैं। मिश्रित क्रमों में गणनाएँ अभाज्य-दर-अभाज्य गुणा हो जाती हैं (चीनी शेषफल प्रमेय): क्रम $2^4 \cdot 3^2 = 144$ के $5 \times 2$ आबेली समूह हैं।

3.4 अनुप्रयोग: अंतःसमाकारिताओं के विहित रूप

मान लीजिए $K$ एक क्षेत्र है, $V$ परिमित विमा $n$ की एक $K$ -सदिश समष्टि, और $u \in \mathcal L(V)$ ; $P \cdot x = P(u)(x)$ (उदाहरण 3.2) द्वारा $V$ को $K[X]$ -मॉड्यूल बना दीजिए। यह मॉड्यूल परिमिततः जनित है (कोई भी $K$ -आधार उसे जनित करता है) और मरोड़ है: प्रत्येक $x$ के लिए $n+1$ सदिश $x, u(x), \dots, u^n(x)$ $K$ -आश्रित होते हैं, जिससे एक शून्येतर विनाशक बहुपद मिल जाता है।

परिभाषा 3.15

मोनिक $P = X^m + a_{m-1}X^{m-1} + \dots + a_0$ के लिए सहचर आव्यूह है

C_P = \begin{pmatrix} 0 & & & -a_0\\ 1 & \ddots & & -a_1\\ & \ddots & 0 & \vdots\\ & & 1 & -a_{m-1} \end{pmatrix} :

अर्थात् आधार $1, \bar X, \dots, \bar X^{m-1}$ में $K[X]/(P)$ पर “ $X$ से गुणन” का आव्यूह।

प्रमेय 3.16 (फ्रोबेनियस: परिमेय विहित रूप)

मोनिक अनचर बहुपदों का एक अद्वितीय अनुक्रम $P_1 \mid P_2 \mid \dots \mid P_s$ ( $u$ के समरूपता अपरिवर्ती) ऐसा विद्यमान है कि $K[X]$ -मॉड्यूलों के रूप में

V \cong K[X]/(P_1) \oplus \cdots \oplus K[X]/(P_s):

और किसी उपयुक्त आधार में $u$ का आव्यूह खंड-विकर्ण $\operatorname{diag}(C_{P_1}, \dots, C_{P_s})$ होता है। इसके अतिरिक्त:

$P_s = \mu_u$ (न्यूनतम बहुपद) और $P_1\cdots P_s = \chi_u$ (अभिलक्षणिक बहुपद); विशेष रूप से $\mu_u \mid \chi_u$ (केली–हैमिल्टन की पुनः उपपत्ति) तथा $\chi_u \mid \mu_u^{\,s}$ , अतः $\chi_u$ और $\mu_u$ के अखंडनीय गुणनखंड एक ही हैं।
दो अंतःसमाकारिताएँ (या वर्ग आव्यूह) समरूप हैं तभी और केवल तभी जब उनके समरूपता अपरिवर्ती एक ही हों।

उपपत्ति. PID $K[X]$ पर संरचना प्रमेय (प्रमेय 3.12) लगाइए: मरोड़ मॉड्यूल $V$ अपरिवर्ती गुणनखंडों $P_i$ के साथ विघटित होता है, जिन्हें मोनिक मानकीकृत किया गया है ( $K[X]$ की इकाइयाँ $K^\times$ हैं); कोई मुक्त भाग नहीं आता ( $V$ मरोड़ है)। प्रत्येक चक्रीय गुणनखंड $K[X]/(P_i)$ पर $X$ से गुणन का आव्यूह $\bar X$ की घातों के आधार में $C_{P_i}$ है: आधारों को जोड़ने पर खंड रूप मिल जाता है।

(1) $V = \bigoplus K[X]/(P_i)$ का विनाशक $(P_1)\cap \dots\cap(P_s) = (P_s)$ है (विभाज्यता शृंखला: $P_s$ एक उभयनिष्ठ गुणज है, और अंतिम गुणनखंड में $1$ का वर्ग ठीक $(P_s)$ से ही नष्ट होता है): अतः $\mu_u = P_s$ । $\chi_u$ के लिए: किसी चक्रीय गुणनखंड पर $m = \deg P$ पर आगमन द्वारा $\chi_{C_P} = P$ । $\det(XI_m - C_P)$ को पहली पंक्ति के अनुदिश प्रसारित कीजिए (जिसकी प्रविष्टियाँ $X$ , फिर शून्य, फिर अंतिम स्तंभ में $a_0$ हैं):

\det(XI_m - C_P) = X\,\det\bigl(XI_{m-1} - C_{\tilde P}\bigr) + (-1)^{1+m}\,a_0\,\det L ,

जहाँ $\tilde P = X^{m-1} + a_{m-1}X^{m-2} + \dots + a_1$ (वही आकृति, एक आकार छोटी) और $L$ त्रिभुजाकार है जिसका विकर्ण $(-1, \dots, -1)$ है, अतः $\det L = (-1)^{m-1}$ । आगमन से पहला पद $X\tilde P$ है और दूसरा $a_0$ : कुल मिलाकर $X\tilde P + a_0 = P$ (आधार स्थिति $m=1$ : $\det(X + a_0) = P$ )। सारणिक खंडों पर गुणा होते हैं: $\chi_u = \prod P_i$ । केली–हैमिल्टन: $\chi_u \in (\mu_u)$ , क्योंकि प्रत्येक $P_s \mid$ …विलोमतः प्रत्येक $P_i \mid P_s$ , अतः $\chi_u = \prod P_i$ $P_s^{\,s} = \mu_u^s$ को विभाजित करता है; और $\mu_u = P_s$ $\chi_u$ को उसके एक गुणनखंड के रूप में विभाजित करता है।

(2) समरूप अंतःसमाकारिताएँ संयुग्म मॉड्यूल संरचनाएँ हैं, अतः उनके अपरिवर्ती समान होते हैं (प्रमेय 3.12 में अद्वितीयता); विलोमतः समान अपरिवर्ती तुल्याकारी $K[X]$ -मॉड्यूल देते हैं, और मॉड्यूल तुल्याकारिता ठीक वही रैखिक एकैकी आच्छादक प्रतिचित्रण है जो दोनों अंतःसमाकारिताओं को आपस में गूँथता है: अर्थात् एक समरूपता। ∎

उपप्रमेय 3.17 (समरूपता क्षेत्र विस्तार के प्रति असंवेदी है)

मान लीजिए $K \subseteq L$ क्षेत्र हैं और $M, N \in M_n(K)$ । यदि $M$ और $N$ $L$ पर समरूप हों, तो वे $K$ पर भी समरूप हैं।

उपपत्ति. $M$ के समरूपता अपरिवर्ती $K[X]$ पर प्रस्तुति आव्यूह $XI_n - M$ पर स्मिथ के उपसारणिक सूत्र (प्रमेय 3.8) से परिकलित होते हैं — वस्तुतः $K[X]$ -मॉड्यूल $V_M = K^n$ की प्रस्तुति $XI_n - M$ है: प्रतिचित्रण $K[X]^n \to V_M$ , $(Q_i) \mapsto \sum Q_i(M)e_i$ , आच्छादक है और उसकी अष्टि $XI_n - M$ के स्तंभों से जनित है (सीधा सत्यापन: उन स्तंभों के सापेक्ष $K[X]^n$ का प्रत्येक अवयव किसी अचर सदिश तक अपचयित हो जाता है, और अचर सदिश एकैकी आच्छादक रूप से जाते हैं; सप्ताहांत समस्या इसे विस्तार से लिखती है)। बहुपदों के महत्तम समापवर्तक क्षेत्र विस्तार से नहीं बदलते: यदि $d$ किसी कुल $(f_j)$ का $K[X]$ में मोनिक महत्तम समापवर्तक हो, तो बेज़ू से $u_j \in K[X]$ के साथ $d = \sum u_jf_j$ मिलता है, अतः $L[X]$ में $f_j$ का प्रत्येक उभयनिष्ठ भाजक $d$ को विभाजित करता है; और चूँकि $d$ स्वयं एक उभयनिष्ठ भाजक है, वह $L[X]$ में भी महत्तम समापवर्तक है। अतः $XI_n - M$ के अपरिवर्ती गुणनखंड, जो क्रमागत उपसारणिक समापवर्तकों के भागफल हैं, $K$ पर और $L$ पर एक ही रहते हैं: अर्थात् $M, N$ के $L$ पर समरूपता अपरिवर्ती वही हैं जो $K$ पर; अब प्रमेय 3.16(2) से निष्कर्ष निकालिए। ∎

प्रमेय 3.18 (जॉर्डन रूप, पुनः व्युत्पन्न)

मान लीजिए $\chi_u$ $K$ पर विभाजित हो जाता है (उदाहरणार्थ $K = \C$ )। अपरिवर्ती गुणनखंडों के स्थान पर $V$ पर प्रारंभिक-भाजक विघटन (प्रमेय 3.12 की उपपत्ति) लगाने पर

V \cong \bigoplus_{\lambda, j} K[X]\big/\bigl((X - \lambda)^{k_{\lambda,j}}\bigr),

और प्रत्येक गुणनखंड के आधार $\bigl(\overline{(X-\lambda)^{k-1}}, \dots, \overline{(X - \lambda)}, \bar 1\bigr)$ में $u$ जॉर्डन खंड $J_k(\lambda)$ की तरह क्रिया करता है: अर्थात् विभाजित अभिलक्षणिक बहुपद वाली प्रत्येक अंतःसमाकारिता का कोई जॉर्डन आधार होता है, और खंडों का बहुसमुच्चय $(\lambda, k)$ अद्वितीय है।

उपपत्ति. मरोड़ मॉड्यूल $V$ के प्रारंभिक भाजक $(X - \lambda)^k$ हैं, जहाँ $X - \lambda$ $\mu_u$ के अखंडनीय गुणनखंडों में विचरता है (और वह विभाजित हो जाता है, क्योंकि $\chi_u$ विभाजित होता है और दोनों के अखंडनीय गुणनखंड एक ही हैं, प्रमेय 3.16)। $W = K[X]/((X-\lambda)^k)$ में $j = 1, \dots, k$ के लिए $f_j = \overline{(X - \lambda)^{k-j}}$ रखिए: तब $(X - \lambda)f_j = f_{j-1}$ (जहाँ $f_0 = 0$ ), अर्थात् $u(f_j) = \lambda f_j + f_{j-1}$ : $(f_1, \dots, f_k)$ पर $u$ का आव्यूह ठीक $J_k(\lambda)$ है (विकर्ण के ऊपर एक)। प्रारंभिक भाजकों के बहुसमुच्चय की अद्वितीयता प्रमेय 3.12 है। ∎

टिप्पणी 3.19

विहित रूपों का क्रम अब पारदर्शी है: परिमेय रूप प्रत्येक क्षेत्र पर विद्यमान है और समरूपता को निरपेक्ष रूप से पकड़ लेता है (उपप्रमेय 3.17); जॉर्डन रूप उसका परिष्कार है, जब $\chi_u$ विभाजित हो जाता है। दूसरे वर्ष की विमा-गणना वाली जॉर्डन उपपत्तियाँ इसी में समा जाती हैं: वह सारी संचयिकी वस्तुतः PID $K[X]$ का अंकगणित थी।

3.5 अभ्यास

अभ्यास 3.1 ★

(क) दर्शाइए कि $\Q$ $\Z$ -मॉड्यूल के रूप में परिमिततः जनित नहीं है। (ख) दर्शाइए कि $\Q$ मरोड़-मुक्त है पर मुक्त नहीं। (ग) दोनों में से कोई भी कथन प्रमेय 3.12 का खंडन क्यों नहीं करता?

हल

हल — अभ्यास 3.1.

(क) यदि $\Q = \Z q_1 + \dots + \Z q_k$ हो, तो मान लीजिए $d$ $q_i$ का कोई उभयनिष्ठ हर है: तब प्रत्येक संचय $\frac1d\Z$ में होता है, पर $\frac1{2d} \notin \frac1d\Z$ । विरोधाभास।

(ख) मरोड़-मुक्त: $n \neq 0$ के साथ $nq = 0$ से $\Q$ में $q = 0$ अनिवार्य है। मुक्त नहीं: कोई भी दो शून्येतर परिमेय $\frac ab, \frac cd$ अतुच्छ संबंध $(bc)\frac ab - (ad)\frac cd = 0$ संतुष्ट करते हैं, अतः किसी आधार में अधिक से अधिक एक अवयव होता है; और $\Q \cong \Z$ से $\Q = \Z q$ चक्रीय हो जाता, पर $\frac q2 \notin \Z q$ । (और $\Q \neq 0$ ।)

(ग) प्रमेय 3.12 परिमित जनन मानकर चलती है, जिसका (क) खंडन करता है: अतः कोई विरोधाभास नहीं — बल्कि $\Q$ दिखा देता है कि “मरोड़-मुक्त $\Rightarrow$ मुक्त” कथन में वह परिकल्पना आवश्यक है।

अभ्यास 3.2 ★

तुल्याकारिता तक क्रम $360$ के आबेली समूहों को प्रारंभिक-भाजक और अपरिवर्ती-गुणनखंड दोनों रूपों में सूचीबद्ध कीजिए। क्रम $p^5$ के कितने आबेली समूह हैं?

हल

हल — अभ्यास 3.2.

$360 = 2^3\cdot3^2\cdot5$ । विभाजन: $3$ के: $(3), (2,1), (1,1,1)$ ; $2$ के: $(2), (1,1)$ ; $1$ के: $(1)$ । अतः $3 \times 2 \times 1 = 6$ समूह। प्रारंभिक-भाजक $\to$ अपरिवर्ती गुणनखंड:

$\Z/8 \times \Z/9 \times \Z/5$	$\Z/360$
$\Z/8 \times \Z/3 \times \Z/3 \times \Z/5$	$\Z/3 \times \Z/120$
$\Z/4 \times \Z/2 \times \Z/9 \times \Z/5$	$\Z/2 \times \Z/180$
$\Z/4 \times \Z/2 \times \Z/3 \times \Z/3 \times \Z/5$	$\Z/6 \times \Z/60$
$(\Z/2)^3 \times \Z/9 \times \Z/5$	$\Z/2 \times \Z/2 \times \Z/90$
$(\Z/2)^3 \times \Z/3 \times \Z/3 \times \Z/5$	$\Z/2 \times \Z/6 \times \Z/30$

(अपरिवर्ती गुणनखंडों पर जाने के लिए: सबसे बड़ा $d_s$ प्रत्येक अभाज्य की सर्वोच्च अभाज्य घात इकट्ठी करता है, और इसी प्रकार नीचे तक।) क्रम $p^5$ के: उतने ही जितने $5$ के विभाजन, अर्थात् $7$ ।

अभ्यास 3.3 ★

$\Z$ पर

B = \begin{pmatrix} 2 & 4\\ 6 & 8 \end{pmatrix}, \qquad C = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 0\\ 0 & 0 & 12 \end{pmatrix},

का स्मिथ प्रसामान्य रूप परिकलित कीजिए, और आबेली समूहों $\Z^2/B\Z^2$ तथा $\Z^3/C\Z^3$ की पहचान कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 3.3.

$B$ : $D_1 = \gcd(2,4,6,8) = 2$ ; $D_2 = \abs{\det B} = \abs{16 - 24} = 8$ । अपरिवर्ती गुणनखंड $d_1 = 2$ , $d_2 = 8/2 = 4$ : स्मिथ रूप $\operatorname{diag}(2, 4)$ , और $\Z^2/B\Z^2 \cong \Z/2\Z \times \Z/4\Z$ ।

$C$ : विकर्ण है पर स्मिथ नहीं ( $2 \nmid 3$ )। $D_1 = \gcd(2,3,12) = 1$ ; $D_2 = \gcd(2\cdot3,\, 2\cdot12,\, 3\cdot12) = \gcd(6, 24, 36) = 6$ ; $D_3 = 72$ । अतः $d = (1, 6, 12)$ और $\Z^3/C\Z^3 \cong \Z/6\Z\times\Z/12\Z$ — जो चीनी शेषफल प्रमेय के संगत है: $\Z/2\times\Z/3\times\Z/12 \cong \Z/6\times\Z/12$ ।

अभ्यास 3.4 ★★

मान लीजिए $L \subseteq \Z^n$ कोटि $n$ का उपसमूह है, जिसका आधार $B \in M_n(\Z)$ , $\det B \neq 0$ , के स्तंभ हैं। दर्शाइए कि $\Z^n/L$ परिमित है और उसकी गणनीयता $\abs{\det B}$ है, तथा $B$ के अपरिवर्ती गुणनखंडों $d_i$ के लिए $\Z^n/L \cong \prod_i \Z/d_i\Z$ । $L = \Z(2,0) + \Z(1,3)$ से उदाहरण दीजिए।

हल

हल — अभ्यास 3.4.

$Q, P \in GL_n(\Z)$ के साथ $B = Q\,\operatorname{diag}(d_1, \dots, d_n)\,P$ लिखिए (प्रमेय 3.8; कोई शून्य $d_i$ नहीं, क्योंकि $\det B \neq 0$ )। तब $\Z^n/B\Z^n \cong \Z^n/ \operatorname{diag}(d)\Z^n = \prod_i \Z/d_i\Z$ ( $\Z^n$ की संयोजित तुल्याकारिता $x \mapsto Q^{-1}x$ $B\Z^n$ को $\operatorname{diag}(d)P\Z^n = \operatorname{diag}(d)\Z^n$ पर भेजती है)। उसकी गणनसंख्या $\prod \abs{d_i} = \abs{\det \operatorname{diag}(d)} = \abs{\det B}$ है, क्योंकि $\det Q, \det P = \pm 1$ । $L = \Z(2,0) + \Z(1,3)$ के लिए: $B = \bigl(\begin{smallmatrix}2 & 1\\ 0 & 3\end{smallmatrix}\bigr)$ , $D_1 = 1$ , $D_2 = 6$ : अतः $\Z^2/L \cong \Z/6\Z$ , जिसकी गणनसंख्या $\abs{\det B} = 6$ है।

अभ्यास 3.5 ★★

मान लीजिए $A$ एक प्रांत है। (क) सत्यापित कीजिए कि $T(M)$ एक उपमॉड्यूल है और $M/T(M)$ मरोड़-मुक्त है। (ख) दर्शाइए कि $K[X,Y]$ का आदर्श $(X, Y)$ , $K[X,Y]$ -मॉड्यूल के रूप में, मरोड़-मुक्त है पर मुक्त नहीं: संरचना प्रमेय को PID परिकल्पना की वास्तव में आवश्यकता है।

हल

हल — अभ्यास 3.5.

(क) उपमॉड्यूल: परिभाषा 3.11 में किया जा चुका। यदि $a \neq 0$ के साथ $M/T(M)$ में $a(x + T(M)) = 0$ हो, तो $ax \in T(M)$ : किसी $b \neq 0$ के लिए $bax = 0$ , और $ba \neq 0$ (प्रांत), अतः $x \in T(M)$ : वर्ग शून्य है। इसलिए $M/T(M)$ मरोड़-मुक्त है।

(ख) $(X, Y) \subseteq K[X,Y]$ मरोड़-मुक्त है (अपने ही ऊपर क्रिया करते प्रांत $K[X,Y]$ का उपमॉड्यूल)। मान लीजिए वह मुक्त होता; कोई भी दो अवयव $P, Q$ $Q\cdot P - P \cdot Q = 0$ संतुष्ट करते हैं, जो $P \ne Q$ के शून्येतर होने पर अतुच्छ संबंध है, अतः किसी आधार में एक ही अवयव होता: अर्थात् $(X, Y) = (P)$ मुख्य — जो अभ्यास 2.6(क) का खंडन करता है। मरोड़-मुक्त और परिमिततः जनित ( $X, Y$ जनित करते हैं), फिर भी मुक्त नहीं: अ-PID $K[X,Y]$ पर संरचना प्रमेय विफल हो जाती है।

अभ्यास 3.6 ★★

(क) दर्शाइए कि $\Z$ -मॉड्यूल $\Z$ में $2\Z$ का कोई प्रत्यक्ष पूरक नहीं है: मुक्त मॉड्यूलों के उपमॉड्यूल मुक्त होते हैं (प्रमेय 3.5), पर उनका प्रत्यक्ष योज्यांश होना आवश्यक नहीं। (ख) दर्शाइए कि यदि $M \subseteq A^n$ ( $A$ एक PID) इस शर्त को संतुष्ट करे कि $A^n/M$ मरोड़-मुक्त है, तो $M$ प्रत्यक्ष योज्यांश होता है।

हल

हल — अभ्यास 3.6.

(क) यदि $\Z = 2\Z \oplus C$ हो, तो प्रक्षेप $\Z \to \Z/2\Z$ प्रतिबंधित होकर तुल्याकारिता $C \cong \Z/2\Z$ बन जाता: तब $C$ $\Z$ का ऐसा उपसमूह होता जिसका शून्येतर अवयव $x$ $2x \in C \cap 2\Z = 0$ संतुष्ट करता। पर $\Z$ मरोड़-मुक्त है: $C = 0$ , जिससे $\Z = 2\Z$ अनिवार्य हो जाता — असत्य।

(ख) $A^n/M$ परिमिततः जनित और मरोड़-मुक्त है, अतः मुक्त (प्रमेय 3.12): आधार $f_1, \dots, f_r$ के साथ $A^n/M \cong A^r$ । $f_i$ के पूर्व-प्रतिबिंब $y_i \in A^n$ चुनिए और $F = Ay_1 + \dots + Ay_r$ रखिए। प्रत्येक $x \in A^n$ के लिए $\pi(x) = \sum a_if_i$ , अतः $x - \sum a_iy_i \in M$ : इसलिए $A^n = M + F$ । यदि $\sum a_iy_i \in M$ हो, तो $\pi$ लगाने पर $\sum a_if_i = 0$ मिलता है, अतः सभी $a_i = 0$ (आधार): इसलिए $M \cap F = 0$ । अतः $A^n = M \oplus F$ ।

अभ्यास 3.7 ★★

अभ्यास 3.3 के स्मिथ रूप का उपयोग करते हुए (दोनों ओर चरों के व्युत्क्रमणीय परिवर्तन) $\Z^2$ में निकाय

\begin{cases} 2x + 4y \equiv b_1 \pmod{20},\\ 6x + 8y \equiv b_2 \pmod{20}, \end{cases}

हल कीजिए: किन युग्मों $(b_1, b_2)$ के लिए हल विद्यमान हैं?

हल

हल — अभ्यास 3.7.

अभ्यास 3.3 का न्यूनीकरण प्रभावी था: यहाँ

L = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ -3 & 1\end{pmatrix}, \qquad R = \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \qquad LBR = \begin{pmatrix} 2 & 0\\ 0 & 4\end{pmatrix}

(पंक्ति संक्रिया $R_2 \leftarrow R_2 - 3R_1$ , स्तंभ संक्रियाएँ पहले $C_2 \leftarrow C_2 - 2C_1$ फिर $C_2 \leftarrow -C_2$ )। $y = R^{-1}x$ रखने पर (जो $(\Z/20\Z)^2$ का एकैकी आच्छादन है, क्योंकि $R$ $\Z$ पर व्युत्क्रमणीय है), निकाय $Bx \equiv b \pmod{20}$

2y_1 \equiv b_1, \qquad 4y_2 \equiv -3b_1 + b_2 \pmod{20}.

के तुल्य है। सर्वांगसमता $ky \equiv c \pmod{20}$ हल-योग्य है तभी और केवल तभी जब $\gcd(k, 20) \mid c$ : अतः हल विद्यमान हैं तभी और केवल तभी जब $2 \mid b_1$ और $4 \mid b_2 - 3b_1$ , अर्थात् $b_1$ सम और $b_2 \equiv 3b_1 \pmod 4$ । हल-योग्य होने पर $20$ के मापांक में $2 \times 4 = 8$ हल होते हैं।

अभ्यास 3.8 ★★

(क) किसी शून्यभावी $4 \times 4$ आव्यूह के समस्त समरूपता अपरिवर्ती और संभव जॉर्डन रूप ज्ञात कीजिए, और उन्हें $4$ के उस विभाजन के अनुसार क्रमबद्ध कीजिए जिसे वे साकार करते हैं। (ख) समान अभिलक्षणिक और न्यूनतम बहुपद वाले दो ऐसे $4\times4$ सम्मिश्र आव्यूह प्रस्तुत कीजिए जो समरूप न हों, और सिद्ध कीजिए कि $n \leq 3$ के लिए ऐसा नहीं हो सकता।

हल

हल — अभ्यास 3.8.

(क) किसी शून्यभावी $u$ के लिए $\mu_u = X^k$ ; प्रारंभिक-भाजक $X^{k_1} \geq \dots$ हैं, अर्थात् $4$ के किसी विभाजन के प्रत्येक भाग के लिए एक जॉर्डन खंड $J_{k_i}(0)$ :

विभाजन	जॉर्डन रूप	अपरिवर्ती गुणनखंड
$(4)$	$J_4$	$X^4$
$(3,1)$	$J_3 \oplus J_1$	$X,\ X^3$
$(2,2)$	$J_2 \oplus J_2$	$X^2,\ X^2$
$(2,1,1)$	$J_2 \oplus J_1 \oplus J_1$	$X,\ X,\ X^2$
$(1,1,1,1)$	$0$	$X, X, X, X$

(ख) $u = J_2\oplus J_2$ और $v = J_2 \oplus J_1 \oplus J_1$ लीजिए: दोनों के $\chi = X^4$ , $\mu = X^2$ समान हैं, पर अपरिवर्ती गुणनखंड भिन्न — अतः समरूप नहीं (प्रमेय 3.16); कोटियों की तुलना भी की जा सकती है: $\operatorname{rk} u = 2 \neq 1 = \operatorname{rk} v$ । $n \leq 3$ के लिए: $\chi$ और $\mu$ प्रत्येक अभिलक्षणिक मान $\lambda$ (किसी विभाजन क्षेत्र पर) के लिए $\lambda$ -खंडों का कुल आकार $m_\lambda \leq 3$ और सबसे बड़ा खंड $r_\lambda$ निर्धारित कर देते हैं; और $m \leq 3$ का कोई विभाजन अपने सबसे बड़े भाग से निर्धारित हो जाता है ( $m = 3, r = 2$ से $(2,1)$ अनिवार्य है, इत्यादि)। अतः प्रारंभिक-भाजक मेल खाते हैं, और उपप्रमेय 3.17 समरूपता को आधार क्षेत्र तक उतार देती है।

अभ्यास 3.9 ★★★

मान लीजिए $u \in \mathcal L(V)$ , $\dim V = n$ । दर्शाइए कि निम्नलिखित समतुल्य हैं: (क) $V$ एक चक्रीय $K[X]$ -मॉड्यूल है (ऐसा $x$ है जिसके लिए $V = K[u]x$ हो — एक चक्रीय सदिश); (ख) $\mu_u = \chi_u$ ; (ग) प्रमेय 3.16 में $s = 1$ । इससे निष्कर्ष निकालिए कि किसी सहचर आव्यूह का चक्रीय सदिश होता है, और निर्धारित कीजिए कि किसी विकर्ण आव्यूह का कब होता है।

हल

हल — अभ्यास 3.9.

(क) $\Rightarrow$ (ख): यदि $V = K[u]x$ हो, तो $V \cong K[X]/\operatorname{Ann}(x)$ , और $\operatorname{Ann}(x) = (\mu_u)$ (कोई बहुपद $x$ को नष्ट करता है तभी और केवल तभी जब वह समूचे $V = K[u]x$ को नष्ट करे, क्योंकि $P(u)Q(u)x = Q(u)P(u)x$ )। अतः $n = \dim V = \deg \mu_u$ ; और चूँकि $\mu_u \mid \chi_u$ तथा $\deg\chi_u = n$ , मोनिकता से $\mu_u = \chi_u$ ।

(ख) $\Rightarrow$ (ग): $\deg\chi_u = \sum_i \deg P_i$ और $\mu_u = P_s$ (प्रमेय 3.16); और घातों की बराबरी से $s = 1$ अनिवार्य है।

(ग) $\Rightarrow$ (क): $V \cong K[X]/(P_1)$ चक्रीय है, जो $\bar 1$ के पूर्व-प्रतिबिंब से जनित है।

कोई सहचर आव्यूह स्वयं स्थिति $V = K[X]/(P)$ है: $x = \bar 1$ , अर्थात् $e_1$ , चक्रीय है। किसी विकर्ण आव्यूह $\operatorname{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)$ के लिए: $\chi = \prod (X - \lambda_i)$ , $\mu = \prod_{\lambda \text{ भिन्न}} (X - \lambda)$ ; और वे सहमत हैं तभी और केवल तभी जब $\lambda_i$ युग्मशः भिन्न हों: अर्थात् किसी विकर्ण आव्यूह का कोई चक्रीय सदिश होता है तभी और केवल तभी जब उसकी विकर्ण प्रविष्टियाँ युग्मशः भिन्न हों (तब $x = (1, \dots, 1)$ काम करता है: वांडरमोंड)।

अभ्यास 3.10 ★★★

$\Z^n$ की अंतःसमाकारिता के रूप में देखे गए $M \in M_n(\Z)$ के लिए सूचकांक सूत्र सिद्ध कीजिए: यदि $\det M \ne 0$ हो, तो $[\Z^n : M\Z^n] = \abs{\det M}$ , और इससे निष्कर्ष निकालिए कि $M \in GL_n(\Z)$ तभी और केवल तभी जब $\det M = \pm 1$ । अनुप्रयोग: समूह $\Z^2$ के सूचकांक $m$ के ठीक $\sigma_1(m) = \sum_{d \mid m} d$ उपसमूह हैं। (एर्मीत रूप $\bigl(\begin{smallmatrix} a & b\\ 0 & d\end{smallmatrix}\bigr)$ , $ad = m$ , $0 \leq b < d$ के आव्यूह गिनिए।)

हल

हल — अभ्यास 3.10.

स्मिथ: $M = Q\operatorname{diag}(d_1,\dots,d_n)P$ ; अभ्यास 3.4 से $[\Z^n : M\Z^n] = \prod\abs{d_i} = \abs{\det M}$ मिलता है। यदि $\det M = \pm 1$ हो: तो सहगुणक सूत्र $M^{-1} = (\det M)^{-1}\,{}^{t}\!\operatorname{com}(M)$ की प्रविष्टियाँ पूर्णांक हैं, अतः $M \in GL_n(\Z)$ ; और विलोमतः $MM^{-1} = I$ से $\Z$ में $\det M \cdot \det M^{-1} = 1$ मिलता है, अतः $\det M = \pm1$ ।

$\Z^2$ में सूचकांक $m$ के उपसमूह: ऐसे उपसमूह $L$ की कोटि $2$ है (परिमित सूचकांक) और एर्मीत प्रसामान्य रूप $\bigl(\begin{smallmatrix} a & b\\ 0 & d\end{smallmatrix}\bigr)$ में उसका अद्वितीय आधार होता है: $d$ $L \cap (\{0\} \times \Z) = \{0\} \times d\Z$ से और $a$ $\pi_1(L) = a\Z$ से अभिलक्षित होता है (प्रथम निर्देशांक), और तब $b$ $d$ के मापांक में अद्वितीय है; $a, d > 0$ और $0 \leq b < d$ मानकीकृत कीजिए। सूचकांक $ad = m$ है। गणना: प्रत्येक विभाजक $d \mid m$ ( $a = m/d$ ) के लिए $b$ के $d$ चयन हैं: कुल $\sum_{d \mid m} d = \sigma_1(m)$ ।

अभ्यास 3.11 ★★

(आबेली समूहों में समीकरण $x^k = e$ ) मान लीजिए $G$ एक परिमित आबेली समूह है जिसके अपरिवर्ती गुणनखंड $d_1 \mid d_2 \mid \dots \mid d_s$ हैं। (क) दर्शाइए कि प्रत्येक $k \geq 1$ के लिए

\#\{x \in G : x^k = e\} \;=\; \prod_{i=1}^{s}\gcd(k, d_i) .

(ख) निष्कर्ष निकालिए: कोई परिमित आबेली समूह चक्रीय है तभी और केवल तभी जब प्रत्येक $k$ के लिए समीकरण $x^k = e$ के अधिकतम $k$ हल हों। (ग) $K^\times$ ( $K$ एक क्षेत्र, अध्याय 4) के परिमित उपसमूहों की चक्रीयता पुनः प्राप्त कीजिए: बहुपद $X^k - 1$ (ख) की कसौटी की गारंटी क्यों देता है?

हल

हल — अभ्यास 3.11.

(क) संरचना प्रमेय से $G \cong \prod_i\Z/d_i\Z$ , और $x^k = e$ निर्देशांकशः अलग हो जाता है। $\Z/d\Z$ में: $kx \equiv 0 \pmod d$ के ठीक $\gcd(k, d)$ हल हैं ( $x$ को $d/\gcd(k,d)$ का गुणज होना चाहिए, और ऐसे $\gcd(k, d)$ हैं)। गुणनखंडों पर गुणा कीजिए।

(ख) यदि $G = \Z/d_s\Z$ चक्रीय हो ( $s = 1$ ), तो गणना $\gcd(k, d_s) \leq k$ है। यदि $s \geq 2$ हो: $k = d_1$ लीजिए; गणना $\prod_i\gcd(d_1, d_i) = d_1^{\,s} > d_1$ है (विभाज्यता शृंखला से प्रत्येक $\gcd$ $d_1$ के बराबर है): अर्थात् समीकरण $x^{d_1} = e$ के $d_1$ से अधिक हल हैं।

(ग) किसी क्षेत्र में $X^k - 1$ के अधिक से अधिक $k$ मूल होते हैं (अध्याय 2: किसी प्रांत पर घात $k$ का शून्येतर बहुपद), अतः प्रत्येक परिमित उपसमूह $G \leq K^\times$ (ख) की कसौटी संतुष्ट करता है: इसलिए $G$ चक्रीय है — यही $\mathbb F_q^\times$ की चक्रीयता की एक-पंक्ति वाली संरचनात्मक उपपत्ति है, जो अध्याय 4 की गणना-आधारित उपपत्ति की पूरक है।

अभ्यास 3.12 ★★★

(प्रारंभिक आव्यूह जनक हैं) (क) दर्शाइए कि $M \in M_n(\Z)$ $M_n(\Z)$ में व्युत्क्रमणीय है तभी और केवल तभी जब $\det M = \pm1$ । (ख) दर्शाइए कि $SL_2(\Z)$ दो प्रारंभिक आव्यूहों $E = \bigl(\begin{smallmatrix}1 & 1\\ 0 & 1\end{smallmatrix}\bigr)$ और $F = \bigl(\begin{smallmatrix}1 & 0\\ 1 & 1\end{smallmatrix}\bigr)$ से जनित है। ( $E, F$ की घातों से बाएँ गुणन द्वारा $M \in SL_2(\Z)$ के पहले स्तंभ पर यूक्लिडीय कलनविधि चलाइए और $\pm\bigl(\begin{smallmatrix}1 & *\\ 0 & 1\end{smallmatrix}\bigr)$ तक पहुँचिए; शेष हाथ से पूरा कीजिए — ध्यान दीजिए कि $-I = (EF^{-1}E)^2$ ।) (ग) स्मिथ अपचयन से संबंध समझाइए: $\Z$ पर सारणिक $1$ वाली पंक्ति और स्तंभ संक्रियाएँ चिह्नों तक विकर्णन के लिए पर्याप्त हैं।

हल

हल — अभ्यास 3.12.

(क) यदि पूर्णांक $N$ के साथ $MN = I$ हो: तो $\det M\det N = 1$ , जिसमें दोनों पूर्णांक हैं, अतः $\det M = \pm1$ । विलोमतः यदि $\det M = \pm1$ हो, तो सहगुणक सूत्र $M^{-1} = \frac1{\det M}\,{}^t\!\operatorname{com}(M)$ की प्रविष्टियाँ पूर्णांक हैं।

(ख) $E^{-k}$ से बायाँ गुणन पंक्ति $1$ में से पंक्ति $2$ का $k$ गुना घटा देता है; और $F^{-k}$ से पंक्ति $2$ में से पंक्ति $1$ का $k$ गुना। $M = \bigl(\begin{smallmatrix}a & *\\ c & *\end{smallmatrix}\bigr) \in SL_2(\Z)$ दिया हो, तो प्रथम स्तंभ $(a, c)$ कोई एकमापांकी सदिश है ( $\gcd(a, c) = 1$ : वह $\det M = 1$ को विभाजित करता है)। इन्हीं पंक्ति संक्रियाओं से $(a, c)$ पर यूक्लिड चलाइए: परिमित संख्या के चरणों के बाद स्तंभ $(\pm1, 0)$ बन जाता है। अब आव्यूह $\pm \bigl(\begin{smallmatrix}1 & b\\ 0 & 1\end{smallmatrix} \bigr) = \pm E^{b}$ है (सारणिक $1$ ही रहा)। शेष यह लिखना है कि जनकों में $-I$ कैसा है: $(EF^{-1}E)^2 = \bigl(\begin{smallmatrix}0 & 1\\ -1 & 0\end{smallmatrix}\bigr)^2 = -I$ (घूर्णन आव्यूह का वर्ग जाँचिए)। पीछे लौटने पर $M$ $E^{\pm1}, F^{\pm1}$ में कोई शब्द है।

(ग) स्मिथ कलनविधि (विधि 3.9) ठीक ऐसी ही पंक्ति और स्तंभ संक्रियाओं का उपयोग करती है (साथ में अदला-बदलियाँ और चिह्न परिवर्तन, जो स्वयं सारणिक के चिह्न तक प्रारंभिक संक्रियाओं के गुणनफल हैं): $\Z$ पर प्रत्येक आव्यूह $U\,D\,V$ है, जहाँ $U, V$ प्रारंभिक आव्यूहों के गुणनफल हैं और $D$ स्मिथ रूप — और (ख) इस व्यापक तथ्य की $2\times2$ , सारणिक- $1$ वाली स्थिति है कि $E$ -प्रकार के आव्यूह $SL_n(\Z)$ को जनित करते हैं।

3.6 समस्या: क्रमविनिमेयी और द्विक क्रमविनिमेयी

समस्या 3.1

सप्ताहांत समस्या — परिमेय रूप, क्रमविनिमेयी, द्विक क्रमविनिमेयी

मान लीजिए $K$ एक क्षेत्र है, $V$ विमा $n \geq 1$ की एक $K$ -सदिश समष्टि, और $u \in \mathcal L(V)$ । हम क्रमविनिमेयी

\mathcal C(u) = \{v \in \mathcal L(V) : uv = vu\},

का अध्ययन करते हैं, जो $K[u] = \{P(u) : P \in K[X]\}$ को अंतर्विष्ट करने वाला $\mathcal L(V)$ का उपबीजगणित है, और फ्रोबेनियस का विमा सूत्र तथा द्विक क्रमविनिमेयी प्रमेय सिद्ध करते हैं: $\mathcal C(\mathcal C(u)) = K[u]$ । सर्वत्र $V$ $u$ द्वारा परिभाषित $K[X]$ -मॉड्यूल है, जिसके अपरिवर्ती गुणनखंड $P_1 \mid \cdots \mid P_s$ हैं और जिसका चक्रीय विघटन $V = \bigoplus_{i=1}^s V_i$ , $V_i = K[u]\,x_i \cong K[X]/(P_i)$ , $n_i = \deg P_i$ (प्रमेय 3.16) है।

भाग I — प्रस्तुति आव्यूह $XI - M$ , और प्रारंभिक अभ्यास।

मान लीजिए $M \in M_n(K)$ है और $\varphi \colon K[X]^n \to V_M = K^n$ $(Q_1, \dots, Q_n)$ को $\sum_i Q_i(M)e_i$ पर भेजता है। दर्शाइए कि $\varphi$ $K[X]$ -मॉड्यूलों की आच्छादक समाकारिता है और $XI_n - M$ का प्रत्येक स्तंभ $\ker\varphi$ में है।
दर्शाइए कि $XI_n - M$ के स्तंभों के सापेक्ष $K[X]^n$ का प्रत्येक अवयव किसी अचर सदिश के सर्वांगसम है ( $Xe_i \equiv \sum_j m_{ji}e_j$ का उपयोग करके घातें घटाइए), और इससे $\ker\varphi = (XI_n - M)\,K[X]^n$ निष्कर्ष निकालिए: मॉड्यूल $V_M$ का प्रस्तुति आव्यूह $XI_n - M$ है। उपप्रमेय 3.17 का प्रस्थान बिंदु पुनः प्राप्त कीजिए: $M$ के समरूपता अपरिवर्ती $XI_n - M$ के अनैकिक अपरिवर्ती गुणनखंड हैं।
इनके समरूपता अपरिवर्ती परिकलित कीजिए: अदिश आव्यूह $\lambda I_n$ ; भिन्न-भिन्न विकर्ण प्रविष्टियों वाला विकर्ण आव्यूह; $n \times n$ जॉर्डन खंड $J_n(0)$ ; और $n = 3$ के लिए $\operatorname{diag}(J_2(0), J_1(0))$ ।
दर्शाइए कि $\dim K[u] = \deg \mu_u = n_s$ ।

भाग II — चक्रीय मॉड्यूलों के बीच समाकारिताएँ।

मान लीजिए $P, Q$ मोनिक अनचर हैं। दर्शाइए कि कोई $K[X]$ -समाकारिता $f \colon K[X]/(P) \to K[X]/(Q)$ $f(\bar 1)$ से निर्धारित हो जाती है, और यह कि $\bar c \in K[X]/(Q)$ $f(\bar 1)$ का काम कर सकता है तभी और केवल तभी जब $K[X]/(Q)$ में $P\bar c = 0$ ।
इससे निष्कर्ष निकालिए

$\operatorname{Hom}_{K[X]}\bigl(K[X]/(P),\, K[X]/(Q)\bigr) \;\cong\; K[X]\big/\bigl(\gcd(P, Q)\bigr),$

जिसकी $K$ पर विमा $\deg \gcd(P, Q)$ है। (दर्शाइए कि $K[X]/(Q)$ में $P\bar c = 0$ के हल $\bar c$ $\overline{Q/\gcd(P,Q)}$ से जनित चक्रीय उपमॉड्यूल बनाते हैं।)
फ्रोबेनियस का सूत्र सिद्ध कीजिए:

$\dim_K \mathcal C(u) = \sum_{i,j=1}^{s} \deg\gcd(P_i, P_j) = \sum_{i=1}^{s} (2s - 2i + 1)\, n_i .$

(क्रमविनिमेय करने वाला $v$ ठीक $V$ की $K[X]$ -अंतःसमाकारिता है; $\operatorname{End}(\bigoplus_i V_i)$ को समाकारिताओं $V_j \to V_i$ के आव्यूहों के रूप में विघटित कीजिए और विभाज्यता शृंखला का उपयोग कीजिए।)
$\dim \mathcal C(u) \geq n$ निष्कर्ष निकालिए, जिसमें समता तभी और केवल तभी होती है जब $u$ चक्रीय हो ( $s = 1$ ), और $u = \lambda\,\mathrm{id}$ के लिए $\dim\mathcal C(u)$ परिकलित कीजिए: सूत्र के दोनों छोर।
$\operatorname{diag}(J_2(0), J_1(0))$ के लिए क्रमविनिमेयी को $3\times3$ आव्यूहों के रूप में स्पष्ट परिकलित करके फ्रोबेनियस का सूत्र सीधे सत्यापित कीजिए।

भाग III — द्विक क्रमविनिमेयी प्रमेय। मान लीजिए $w \in \mathcal C(\mathcal C(u))$ ; हम $w \in K[u]$ सिद्ध करते हैं।

दर्शाइए कि $K[u] \subseteq \mathcal C(\mathcal C(u))$ , और यह कि प्रत्येक $w \in \mathcal C(\mathcal C(u))$ $u$ के साथ क्रमविनिमेय है — अतः जो अंतर्वेशन सिद्ध करना है, $\mathcal C(\mathcal C(u)) \subseteq K[u]$ , वह $w \in \mathcal C(u)$ का सच्चा परिष्कार है।
पहले मान लीजिए $u$ चक्रीय है, $V = K[u]x$ । सीधे दर्शाइए कि $\mathcal C(u) = K[u]$ (क्रमविनिमेय करने वाले $v$ का $x$ पर मान लीजिए: किसी $P$ के लिए $v(x) = P(u)x$ , और आधार $u^k x$ पर $v$ की $P(u)$ से तुलना कीजिए), और इस स्थिति में प्रमेय का निष्कर्ष निकालिए।
अब व्यापक स्थिति पर लौटिए। प्रत्येक $i$ के लिए मान लीजिए $\pi_i\colon V \to V_i$ अन्य योज्यांशों के अनुदिश प्रक्षेप है। दर्शाइए कि $\pi_i \in \mathcal C(u)$ , और इससे निष्कर्ष निकालिए कि $w$ प्रत्येक $V_i$ को सुरक्षित रखता है और $u_i = u\restriction_{V_i}$ के साथ क्रमविनिमेय है; अब चक्रीय $u_i$ पर प्रश्न 11 लगाकर निष्कर्ष निकालिए: ऐसे बहुपद $Q_i$ हैं जिनके लिए $w\restriction_{V_i} = Q_i(u)\restriction_{V_i}$ ।
अब $Q_i$ को एक ही बहुपद में जोड़ना शेष है। $i \leq j$ (अतः $P_i \mid P_j$ ) के लिए दर्शाइए कि $\eta_{ij} \colon V_j \to V_i$ , $R(u)x_j \mapsto R(u)x_i$ , एक सुपरिभाषित $K[X]$ -समाकारिता है (जाँचने योग्य बात यह है कि $R(u)x_j = 0$ से $R(u)x_i = 0$ निकलता है), और यह कि $\tilde\eta_{ij} = \eta_{ij}\circ\pi_j$ , जिसे अन्य योज्यांशों पर $0$ से विस्तारित किया गया हो, $\mathcal C(u)$ में है।
$w\tilde\eta_{ij} = \tilde\eta_{ij}w$ का उपयोग करके $i \leq j$ के लिए $Q_i \equiv Q_j \pmod{P_i}$ दर्शाइए। इससे निष्कर्ष निकालिए कि $Q = Q_s$ सभी $i$ के लिए $Q \equiv Q_i \pmod {P_i}$ को संतुष्ट करता है, अतः प्रत्येक $V_i$ पर $w = Q(u)$ , और इसलिए $V$ पर भी:

$\boxed{\ \mathcal C(\mathcal C(u)) = K[u].\ }$
(समापन) प्रमेय से निष्कर्ष निकालिए: यदि $v$ $u$ के साथ क्रमविनिमेय प्रत्येक आव्यूह के साथ क्रमविनिमेय हो और $u$ चक्रीय हो, तो $v$ $u$ का एक बहुपद है; और ऐसा उदाहरण दीजिए जो दर्शाए कि $u = \mathrm{id}$ , $n \geq 2$ के लिए $\mathcal C(u) = K[u]$ विफल हो जाता है — चक्रीयता ठीक कहाँ प्रवेश करती है?

भाग IV — समरूपता अपरिवर्तियों का लाभांश। परिमेय विहित रूप एक यंत्र है; यहाँ उसके पाँच शास्त्रीय उत्पाद हैं।

(परिवर्त) दर्शाइए कि प्रत्येक $M \in M_n(K)$ अपने परिवर्त ${}^tM$ के समरूप है। ( $XI - M$ को स्मिथ रूप में लाने वाली संक्रियाएँ, परिवर्त लेने पर, $XI - {}^tM$ को उसी स्मिथ रूप में ले आती हैं: अपरिवर्ती समान।)
(समरूपता का अवरोहण) मान लीजिए $K \subseteq L$ एक क्षेत्र विस्तार है और $M, N \in M_n(K)$ । दर्शाइए कि यदि $M$ और $N$ $L$ पर समरूप हों, तो वे $K$ पर भी समरूप हैं। ( $K[X]$ में परिकलित $XI - M$ का स्मिथ रूप $L[X]$ में भी स्मिथ रूप रहता है — अपरिवर्ती गुणनखंड क्यों नहीं बदलते?) याद रखने योग्य परिणाम: $GL_n(\C)$ में संयुग्म दो वास्तविक आव्यूह $GL_n(\R)$ में भी संयुग्म होते हैं।
(शून्यभावी वर्गीकरण) मान लीजिए $u$ शून्यभावी है। दर्शाइए कि शून्यभावी जॉर्डन खंडों में उसके विघटन में आकार $\geq k$ के खंडों की संख्या $\operatorname{rk}u^{k-1} - \operatorname{rk}u^k$ के बराबर है, और निष्कर्ष निकालिए: किसी भी क्षेत्र $K$ के लिए $M_n(K)$ के शून्यभावी वर्ग $n$ के विभाजनों के साथ एकैकी आच्छादक संगति में हैं। $M_5(K)$ में कितने शून्यभावी वर्ग हैं?
(एक मूर्त युग्म) घात $< n$ के बहुपदों की समष्टि $K_{n-1}[X]$ पर क्रिया करने वाले अवकलन संकारक $D\colon P \mapsto P'$ के समरूपता अपरिवर्ती ज्ञात कीजिए: (क) $K = \Q$ के लिए; (ख) $p < n$ के साथ $K = \mathbb F_p$ के लिए (अभिलक्षण $p$ में $(X^p)' = 0$ : $\ker D^k$ परिकलित कीजिए और प्रश्न 18 का उपयोग कीजिए)।
( $GL_2(\mathbb F_q)$ के संयुग्मन वर्ग) अपरिवर्ती गुणनखंडों का उपयोग करके दर्शाइए कि $GL_2(\mathbb F_q)$ का प्रत्येक वर्ग ठीक चार प्रकारों में से एक का है: केंद्रीय $aI$ ; $\mathbb F_q^\times$ में भिन्न-भिन्न अभिलक्षणिक मानों $a \neq b$ वाला विकर्णनीय; न्यूनतम बहुपद $(X - a)^2$ वाला अनर्धसरल; और अखंडनीय अभिलक्षणिक बहुपद वाला चक्रीय।
प्रत्येक प्रकार के वर्ग गिनिए और निष्कर्ष निकालिए: $GL_2(\mathbb F_q)$ के ठीक $q^2 - 1$ संयुग्मन वर्ग हैं। ( $\mathbb F_q$ पर मोनिक अखंडनीय द्विघात गिनिए; अक्रमित युग्म $\{a, b\}$ ; और स्मरण रखिए कि व्युत्क्रमणीयता अचर पदों को सीमित करती है।)
(चक्रीय होना प्ररूपी है) दर्शाइए कि $M \in M_2(\mathbb F_q)$ चक्रीय होने में विफल होता है तभी और केवल तभी जब $M$ अदिश हो, और इससे निष्कर्ष निकालिए कि $\mathbb F_q$ पर एकसमान यादृच्छिक $2\times2$ आव्यूह $1 - q^{-3}$ प्रायिकता से चक्रीय है। $M_n$ और बड़े $q$ के लिए समरूप अनुमान का कथन दीजिए (उपपत्ति अपेक्षित नहीं): अचक्रीय आव्यूह विरल होते हैं — यही कारण है कि समस्या 3.1 के भाग III में केवल प्ररूपी स्थिति के आगे ही वास्तविक परिश्रम करना पड़ा।

भाग V — पूरक।

(क्रमविनिमेयी का केंद्र) दर्शाइए कि बीजगणित $\mathcal C(u)$ का केंद्र ठीक $K[u]$ है (भाग III के दोनों अंतर्वेशनों को मिलाइए)। इससे निष्कर्ष निकालिए कि $\mathcal C(u)$ क्रमविनिमेय है तभी और केवल तभी जब $u$ चक्रीय हो — इस प्रकार प्रश्न 8 की समता स्थिति विशुद्ध संरचनात्मक मार्ग से पुनः प्राप्त हो जाती है।
(कौन-सी विमाएँ आती हैं?) फ्रोबेनियस के सूत्र से निष्कर्ष निकालिए कि प्रत्येक $u$ के लिए $\dim\mathcal C(u) \equiv n \pmod 2$ । फिर $\dim V = 4$ वाले $\mathcal L(V)$ में $u$ के विचरण पर $\dim \mathcal C(u)$ द्वारा लिए गए मानों का ठीक-ठीक समुच्चय निर्धारित कीजिए: दर्शाइए कि वह $\{4, 6, 8, 10, 16\}$ है ( $4$ में योग देने वाले घात अनुक्रम $n_1 \leq \dots \leq n_s$ गिनिए और प्रत्येक को किसी शून्यभावी आव्यूह से साकार कीजिए)। विशेष रूप से $12$ और $14$ , यद्यपि सही सम-विषमता के हैं, प्राप्त नहीं होते: सम-विषमता की बाधा आवश्यक है पर पर्याप्त नहीं।
( $GL_2(\mathbb F_3)$ का वर्ग समीकरण) $q = 3$ के लिए प्रश्न 20 के प्रत्येक संयुग्मन वर्ग का आकार कक्षा–स्थायीकारी से परिकलित कीजिए: $GL_2(\mathbb F_q)$ में किसी चक्रीय $M$ का केंद्रक $K[M]$ का इकाई समूह है (प्रश्न 11)। तीनों अकेंद्रीय प्रकारों में $K[M]$ की पहचान कीजिए, $\mathbb F_3$ पर तीनों मोनिक अखंडनीय द्विघात सूचीबद्ध कीजिए, और वर्ग समीकरण

$48 = \abs{GL_2(\mathbb F_3)} = 2\cdot1 + 1\cdot12 + 2\cdot8 + 3\cdot6,$

को $2 + 1 + 2 + 3 = 8 = q^2 - 1$ वर्गों के साथ सत्यापित कीजिए, जैसा प्रश्न 21 ने बताया था।

हल

हल — समस्या 3.1.

1. $\varphi$ योगात्मक है, और $K[X]$ -रैखिक भी: $\varphi(X \cdot (Q_i)_i) = \sum_i (XQ_i)(M)e_i = M\sum_i Q_i(M)e_i = X \cdot \varphi\bigl((Q_i)_i\bigr)$ , जहाँ $V_M$ की मॉड्यूल संरचना $X \cdot v = Mv$ है। वह आच्छादक है: अचर सदिश समूचा $K^n$ दे देते हैं। $XI - M$ का स्तंभ $j$ $Xe_j - \sum_i m_{ij}e_i$ है, जिसका प्रतिबिंब $Me_j - \sum_i m_{ij}e_i = 0$ है।

2. स्तंभों के मापांक में $Xe_j \equiv \sum_i m_{ij}e_i$ : बहुपदों का कोई भी सदिश, शीर्ष घात पर आगमन से, किसी अचर सदिश $c \in K^n$ तक सिमट जाता है। यदि मूल सदिश $\ker\varphi$ में हो, तो $\varphi(c) = c = 0$ (अचरों पर $\varphi$ अभिन्नन $K^n = V_M$ है), अतः सदिश स्तंभ-विस्तार में है: इसलिए $\ker\varphi = (XI_n - M)K[X]^n$ । अतः $V_M \cong K[X]^n/(XI - M)K[X]^n$ , और $K[X]$ पर स्मिथ (सभी अपरिवर्ती गुणनखंड शून्येतर, क्योंकि उनका गुणनफल $\det(XI - M) = \chi_M$ है) $V_M \cong \bigoplus_i K[X]/(f_i)$ दे देता है: अनचर $f_i$ ही समरूपता निश्चर हैं, जो उपसारणिकों के महत्तम समापवर्तकों के भागफलों के रूप में परिकलनीय हैं (प्रमेय 3.8)।

3. $\lambda I_n$ : $XI - \lambda I$ पहले से ही स्मिथ है: निश्चर $(X - \lambda, \dots, X - \lambda)$ , जिनकी संख्या $n$ है। भिन्न विकर्ण प्रविष्टियाँ: युग्मशः सहमहत्तम मापांकों के साथ $V \cong \bigoplus_i K[X]/(X - \lambda_i)$ , अतः चीनी शेषफल प्रमेय इसे एकल चक्रीय $K[X]/\bigl(\prod_i(X - \lambda_i)\bigr)$ में संपीड़ित कर देती है: एक निश्चर, $\chi$ । $J_n(0)$ : $\mu = X^n = \chi$ से एकल निश्चर $X^n$ अनिवार्य है। $\operatorname{diag}(J_2(0), J_1(0))$ : प्रारंभिक-भाजक $X^2, X$ : निश्चर $P_1 = X \mid P_2 = X^2$ ।

4. $P \mapsto P(u)$ $K[X]$ को $K[u]$ पर भेजता है, और न्यूनतम बहुपद की परिभाषा से उसकी अष्टि $(\mu_u)$ है: $K[u] \cong K[X]/(\mu_u)$ , जिसकी विमा $\deg\mu_u = \deg P_s = n_s$ है।

5. $K[X]$ -रैखिकता से $f(\bar Q) = f(Q\cdot\bar 1) = Q\,f(\bar 1)$ अनिवार्य है। वर्ग $\bar 1$ $P \bar 1 = 0$ संतुष्ट करता है, अतः $P f(\bar 1) = 0$ आवश्यक है। विलोमतः यदि $P\bar c = 0$ हो, तो $f(\bar Q) = Q\bar c$ सुपरिभाषित ( $Q \equiv Q' \bmod P \Rightarrow (Q - Q')\bar c \in$ $P\bar c = 0$ के गुणज) और $K[X]$ -रैखिक है।

6. मान लीजिए $\gcd(P', Q') = 1$ के साथ $g = \gcd(P, Q)$ , $P = gP'$ , $Q = gQ'$ । $K[X]/(Q)$ में: $P\bar c = 0 \iff Q \mid Pc \iff Q' \mid P'c \iff Q' \mid c$ (यूक्लिड, $\gcd(P', Q') = 1$ )। अतः स्वीकार्य $\bar c$ $\bar{Q'}$ से जनित उपमॉड्यूल बनाते हैं, जिसका विनाशक $\{R : Q \mid RQ'\} = (g)$ है: वह उपमॉड्यूल $\cong K[X]/(g)$ है। प्रश्न 5 के साथ $\operatorname{Hom}(K[X]/(P), K[X]/(Q)) \cong K[X]/(\gcd(P,Q))$ , जिसकी विमा $\deg\gcd(P,Q)$ है।

7. $v$ $u$ के साथ क्रमविनिमेय है तभी और केवल तभी जब $v$ प्रत्येक $P(u)$ के साथ क्रमविनिमेय हो, और तभी जब $v$ $K[X]$ -रैखिक हो: $\mathcal C(u) = \operatorname{End}_{K[X]}(V)$ । $V = \bigoplus_j V_j$ की समाकारिताओं को आव्यूह $(f_{ij})$ , $f_{ij} \in \operatorname{Hom}(V_j, V_i)$ के रूप में लिखने पर (अंतःक्षेपणों और प्रक्षेपों के साथ संयोजित कीजिए), प्रश्न 6 विभाज्यता शृंखला ( $\gcd(P_i, P_j) = P_{\min(i,j)}$ ) का उपयोग करते हुए, और अंतिम चरण के लिए इसका कि $\min(i,j) = k$ ठीक $2(s - k) + 1$ युग्मों $(i, j)$ के लिए होता है,

\dim \mathcal C(u) = \sum_{i,j} \deg\gcd(P_i, P_j) = \sum_{i,j} n_{\min(i,j)} = \sum_{k=1}^{s} \bigl(2(s - k) + 1\bigr)\,n_k ,

दे देता है।

8. चूँकि $2(s-k)+1 \geq 1$ , अतः $\dim\mathcal C(u) \geq \sum_k n_k = n$ , और बराबरी तभी और केवल तभी जब $s = 1$ , अर्थात् तभी जब $u$ चक्रीय हो (अभ्यास 3.9)। $u = \lambda\,\mathrm{id}$ के लिए: $s = n$ , सभी $n_k = 1$ : अतः $\dim = \sum_{k=1}^n (2(n-k)+1) = n^2$ — जो सही है, क्योंकि $\mathcal C(\lambda\,\mathrm{id}) = \mathcal L(V)$ ।

9. सूत्र: निश्चर $(X, X^2)$ , अतः $s = 2$ , $n_1 = 1$ , $n_2 = 2$ : इसलिए $\dim = 3\cdot1 + 1\cdot2 = 5$ । सीधे: $u e_2 = e_1$ , $ue_1 = ue_3 = 0$ वाले आधार $(e_1, e_2, e_3)$ में, $A = (a_{ij})$ के लिए $Au = uA$ लिखने पर शर्तें $a_{21} = a_{23} = a_{31} = 0$ और $a_{11} = a_{22}$ मिलती हैं: अर्थात् पाँच स्वतंत्र प्राचल $a_{11}{=}a_{22}, a_{12}, a_{13}, a_{32}, a_{33}$ ।

10. कोई बहुपद $P(u)$ हर उस चीज़ के साथ क्रमविनिमेय है जो $u$ के साथ क्रमविनिमेय है (वह $u$ की घातों का योग है): $K[u] \subseteq \mathcal C(\mathcal C(u))$ । और $u \in \mathcal C(u)$ , अतः कोई भी $w \in \mathcal C(\mathcal C(u))$ $u$ के साथ क्रमविनिमेय है।

11. मान लीजिए $V = K[u]x$ और $v \in \mathcal C(u)$ । $v(x) = P(u)x$ लिखिए (चक्रीयता)। स्वेच्छ $y = Q(u)x$ के लिए: $v(y) = vQ(u)x = Q(u)v(x) = Q(u)P(u)x = P(u)y$ । अतः $v = P(u)$ : इसलिए $\mathcal C(u) = K[u]$ । तब $\mathcal C(\mathcal C(u)) = \mathcal C(K[u]) = \mathcal C(u) = K[u]$ (समूचे $K[u]$ के साथ क्रमविनिमेय होना $u$ के साथ क्रमविनिमेय होने के ही समान है)। अतः चक्रीय स्थिति में प्रमेय लागू है।

12. $\pi_i$ $K[X]$ -रैखिक है (विघटन उपमॉड्यूलों का प्रत्यक्ष योग है), अतः $\pi_i \in \mathcal C(u)$ , और $w$ उसके साथ क्रमविनिमेय है: $w(V_i) = w\pi_i(V) = \pi_i w(V) \subseteq V_i$ । प्रतिबंध $w_i = w\restriction_{V_i}$ चक्रीय $u_i = u\restriction_{V_i}$ के साथ क्रमविनिमेय है (प्रश्न 10), और $w_i \in \mathcal C(u_i) = K[u_i]$ (प्रश्न 11): अतः किसी $Q_i \in K[X]$ के लिए $w_i = Q_i(u_i) = Q_i(u)\restriction_{V_i}$ ।

13. $\eta_{ij}(R(u)x_j) = R(u)x_i$ की सुपरिभाषितता: यदि $R(u)x_j = 0$ हो, तो $P_j \mid R$ , और $P_i \mid P_j$ से $P_i \mid R$ मिलता है, अतः $R(u)x_i = 0$ ( $\operatorname{Ann}(x_i) = (P_i)$ )। तब $\eta_{ij}$ रचना से $K[X]$ -रैखिक है, और $\tilde\eta_{ij} = \eta_{ij}\pi_j$ $K[X]$ -समाकारिताओं $V \to V$ का संयोजन है: $\tilde\eta_{ij} \in \mathcal C(u)$ ।

14. $w\tilde\eta_{ij} = \tilde\eta_{ij}w$ का $x_j$ पर मान लीजिए: बायाँ पक्ष $w(x_i) = Q_i(u)x_i$ है; दायाँ पक्ष $\eta_{ij}\bigl(Q_j(u)x_j\bigr) = Q_j(u)x_i$ । अतः $(Q_i - Q_j)(u)\,x_i = 0$ : सभी $i \leq j$ के लिए $P_i \mid Q_i - Q_j$ । विशेष रूप से $Q = Q_s$ के साथ: $Q \equiv Q_i \pmod{P_i}$ , अतः $Q(u)$ और $Q_i(u)$ $V_i$ पर सहमत हैं (जिसे $P_i(u)$ नष्ट कर देता है)। इसलिए प्रत्येक $V_i$ पर, अतः $V$ पर, $w = Q(u)$ : इसलिए $\mathcal C(\mathcal C(u)) \subseteq K[u]$ , और प्रश्न 10 के साथ $\mathcal C(\mathcal C(u)) = K[u]$ ।

15. पहला दावा प्रश्न 10 से 14 तक है (अथवा चक्रीय $u$ के लिए अकेला प्रश्न 11)। $u = \mathrm{id}$ , $n \geq 2$ के लिए: $\mathcal C(u) = \mathcal L(V)$ की विमा $n^2$ है, जबकि $\dim K[u] = \deg\mu_u = 1$ । अतः $\mathcal C(u) = K[u]$ बुरी तरह विफल हो जाता है; फिर भी द्वि-क्रमविनिमेयी प्रमेय लागू रहती है ( $\mathcal C(\mathcal L(V)) = K\,\mathrm{id} = K[u]$ : आव्यूह बीजगणित का केंद्र अदिश हैं)। चक्रीयता वही है जो एकल क्रमविनिमेयी को पहले से ही बहुपदीय बना देती है; और द्वि क्रमविनिमेयी सदैव बहुपदीय होता है।

16. यदि $P(XI - M)Q = S$ कोई स्मिथ न्यूनीकरण हो ( $P, Q$ $K[X]$ पर व्युत्क्रमणीय), तो पक्षांतरण करने पर ${}^tQ\,(XI - {}^tM)\,{}^tP = {}^tS = S$ : वही स्मिथ रूप, अतः $XI - M$ और $XI - {}^tM$ के अपरिवर्ती गुणनखंड समान हैं, अर्थात् $M$ और ${}^tM$ के समरूपता निश्चर समान हैं (उपप्रमेय 3.17): इसलिए वे समरूप हैं।

17. $L$ पर $M$ के समरूपता निश्चर $L[X]$ में $XI - M$ के अपरिवर्ती गुणनखंड हैं। $K[X]$ पर $XI - M$ का कोई स्मिथ न्यूनीकरण — $K[X]$ पर व्युत्क्रमणीय $P, Q$ , विभाज्यता शृंखला के साथ विकर्ण — $L[X]$ पर भी वैध स्मिथ न्यूनीकरण है ( $P, Q$ व्युत्क्रमणीय बने रहते हैं: उनके सारणिक शून्येतर अचर हैं), और मोनिक अपरिवर्ती गुणनखंड अद्वितीय होते हैं: अतः $K$ पर और $L$ पर परिकलित अपरिवर्ती गुणनखंड मेल खाते हैं। इसलिए $M \sim_L N$ तभी और केवल तभी जब उनके अपरिवर्ती गुणनखंड समान हों, और तभी जब $M \sim_K N$ । विशेष रूप से $\C$ -संयुग्म वास्तविक आव्यूह $\R$ -संयुग्म होते हैं — यह कथन प्रायः विश्लेषणात्मक रूप से सिद्ध किया जाता है (किसी व्युत्क्रमणीय $P + \iu Q$ का विशेषीकरण), और यहाँ संरचनात्मक रूप से।

18. $u = \bigoplus J_{m_t}(0)$ का शून्यभावी जॉर्डन खंडों में विघटन कीजिए। आकार $m$ के किसी एक खंड में $\operatorname{rk}J_m^k = \max(m - k, 0)$ , अतः $m \geq k$ होने पर $\operatorname{rk}J_m^{k-1} - \operatorname{rk}J_m^k = 1$ , और अन्यथा $0$ । खंडों पर योग करने पर: $\operatorname{rk}u^{k-1} - \operatorname{rk}u^k = \#\{t : m_t \geq k\}$ । अतः कोटि अनुक्रम बहुसमुच्चय $(m_t)$ — जो $n$ का कोई विभाजन है — निर्धारित कर देता है; और विलोमतः प्रत्येक विभाजन साकार होता है: अर्थात् प्रत्येक क्षेत्र पर शून्यभावी वर्ग $\leftrightarrow$ $n$ के विभाजन। $M_5$ : $p(5) = 7$ वर्ग ( $5$ ; $4{+}1$ ; $3{+}2$ ; $3{+}1{+}1$ ; $2{+}2{+}1$ ; $2{+}1{+}1{+}1$ ; $1^5$ )।

19. (क) $\Q$ पर (अथवा किसी भी अभिलक्षण- $0$ क्षेत्र पर) $D^n = 0$ , $D^{n-1}(X^{n-1}) = (n-1)!\, \neq 0$ : अतः $D$ किसी $n$ -विमीय समष्टि पर सूचकांक $n$ का शून्यभावी है, इसलिए एकल निश्चर $X^n$ के साथ चक्रीय ( $x = X^{n-1}$ जनित करता है: उसके पुनरावृत्त अवकलज विस्तार बनाते हैं)। (ख) $p < n$ के साथ $\mathbb F_p$ पर: $D^p = 0$ , क्योंकि प्रत्येक एकपदी $X^m$ के $p$ -वें अवकलज में गुणनखंड $m(m-1)\cdots(m-p+1)$ आता है, जो $p$ क्रमागत पूर्णांकों का गुणनफल है, अतः $\equiv 0 \bmod p$ । $n = ap + r$ , $0 \leq r < p$ लिखिए। तब $\ker D^k$ $D^kX^m = 0$ वाली एकपदियों $X^m$ से विस्तारित है; और घातांकों $m < n$ को $p$ मापांक में उनके अवशेष से गिनने पर: $0 \leq k \leq p$ के लिए $\dim\ker D^k = ak + \min(r, k)$ , अतः $\operatorname{rk}D^{k-1} - \operatorname{rk}D^k = \dim\ker D^k - \dim\ker D^{k-1} = a + \mathbf 1_{k \leq r}$ । प्रश्न 18 से विभाजन में ठीक आकार $p$ के $a$ खंड हैं और (यदि $r > 0$ ) आकार $r$ का एक खंड: अर्थात् समरूपता निश्चर $X^r \mid X^p \mid \dots \mid X^p$ । अभिलक्षण गणित के सबसे परिचित संकारक का विहित रूप बदल देता है।

20. $M \in GL_2$ के $s \in \{1, 2\}$ अपरिवर्ती गुणनखंड हैं। यदि $s = 2$ हो: $P_1 = P_2 = X - a$ ( $a \neq 0$ : व्युत्क्रमणीयता), अर्थात् $M = aI$ , केंद्रीय। यदि $s = 1$ हो: $M$ चक्रीय है जिसका अभिलक्षणिक $=$ न्यूनतम बहुपद $\chi$ घात $2$ का है, और वर्ग $\chi(0) \neq 0$ वाले संभव $\chi$ से मेल खाते हैं: $\chi$ भिन्न मूलों $a \neq b$ के साथ विभाजित (सहचर $\sim$ विकर्ण); $\chi = (X - a)^2$ (सहचर, अर्ध-सरल नहीं); $\chi$ अखंडनीय। प्रत्येक का ठीक एक प्रकार — अर्थात् अपरिवर्ती गुणनखंड कोई पूर्ण निश्चर हैं।

21. केंद्रीय: $a$ के $q - 1$ चयन। भिन्न विभाजित अभिलक्षणिक मान: अक्रमित युग्म $\{a, b\} \subseteq \mathbb F_q^\times$ , $a \neq b$ : $\binom{q-1}2$ वर्ग। न्यूनतम $(X-a)^2$ : $q - 1$ वर्ग। शून्येतर अचर पद वाले अखंडनीय द्विघात: सभी अखंडनीय द्विघात योग्य हैं (उनके मूल शून्येतर होते हैं), और मोनिक अखंडनीय द्विघातों की संख्या $\frac{q^2 - q}2$ है ( $q^2$ मोनिक द्विघातों में से $\binom q2 + q = \frac{q^2+q}2$ विभाजित घटाकर)। कुल:

(q - 1) + \frac{(q-1)(q-2)}2 + (q - 1) + \frac{q^2 - q}2 = q^2 - 1 .

22. यदि $M$ चक्रीय न हो, तो $s = 2$ और $M$ अदिश है (प्रश्न 20 का द्विभाजन $M_2$ में लागू रहता है, चाहे व्युत्क्रमणीय हो या नहीं: $P_1 \mid P_2$ और $P_1 = P_2$ के साथ घात $1$ के दो अपरिवर्ती गुणनखंड $M = aI$ अनिवार्य कर देते हैं)। $q^4$ आव्यूहों में से अदिशों की संख्या $q$ है: अतः चक्रीयता की प्रायिकता $1 - q^{-3}$ । व्यापक रूप से $M_n$ का अचक्रीय बिंदुपथ वहाँ है जहाँ $XI - M$ के $(n-1)\times(n-1)$ उपसारणिकों में कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड हो — जो एक उचित बीजीय शर्त है — अतः बड़े $q$ के लिए उसका अनुपात $O(1/q)$ -लघु है: अर्थात् $\chi = \mu$ वाले आव्यूह नियम हैं, और भाग III का जोड़-तोड़ वाला तर्क अपवादों की चुकाई गई क़ीमत है।

23. $\mathcal C(u)$ के केंद्र का कोई अवयव $\mathcal C(u)$ में होता है और $\mathcal C(u)$ के प्रत्येक अवयव के साथ क्रमविनिमेय होता है, अर्थात् $\mathcal C(\mathcal C(u)) = K[u]$ में होता है (प्रश्न 14)। विलोमतः $K[u] \subseteq \mathcal C(u)$ , और प्रत्येक $P(u)$ प्रत्येक $v \in \mathcal C(u)$ के साथ क्रमविनिमेय है (ऐसा $v$ $u$ के साथ क्रमविनिमेय है, अतः $u$ की प्रत्येक घात के साथ भी): इसलिए $K[u]$ $\mathcal C(u)$ में केंद्रीय है। अतः $Z(\mathcal C(u)) = K[u]$ । परिणामतः $\mathcal C(u)$ क्रमविनिमेय है तभी और केवल तभी जब $\mathcal C(u) = Z(\mathcal C(u)) = K[u]$ ; उस स्थिति में $\dim\mathcal C(u) = \dim K[u] = n_s \leq n$ , जबकि प्रश्न 8 $\dim\mathcal C(u) \geq n$ देता है: अतः $n_s = n$ और $s = 1$ , अर्थात् $u$ चक्रीय है। विलोमतः चक्रीय $u$ के लिए प्रश्न 11 $\mathcal C(u) = K[u]$ देता है, जो क्रमविनिमेय है। संरचनात्मक रूप से: अपने ही केंद्र के बराबर कोई आव्यूह बीजगणित ठीक किसी चक्रीय $u$ का बहुपद बीजगणित $K[u]$ ही है।

24. फ्रोबेनियस के सूत्र में प्रत्येक गुणांक $2s - 2i + 1$ विषम है, अतः

\dim\mathcal C(u) = \sum_{i=1}^s(2s - 2i + 1)\,n_i \equiv \sum_{i=1}^s n_i = n \pmod 2 .

$n = 4$ के लिए, अपरिवर्ती गुणनखंडों के संभव घात अनुक्रम $n_1 \leq \dots \leq n_s$ , जिनका योग $4$ है, ये हैं: $(4)$ , $(1, 3)$ , $(2, 2)$ , $(1, 1, 2)$ , $(1, 1, 1, 1)$ ; और हर एक साकार होता है, उदाहरणार्थ $P_i = X^{n_i}$ वाले शून्यभावी से (विभाज्यता शृंखला स्वतः लागू होती है)। सूत्र क्रमशः

1\cdot4 = 4, \quad 3 + 3 = 6, \quad 6 + 2 = 8, \quad 5 + 3 + 2 = 10, \quad 7 + 5 + 3 + 1 = 16 .

देता है। अतः मान समुच्चय $\{4, 6, 8, 10, 16\}$ है: सही सम-विषमता वाली सम संख्याएँ, पर $12$ और $14$ कभी नहीं आते — लगभग-चक्रीय अनुक्रमों और अदिश वाले $n^2$ के बीच एक अंतराल है।

25. $\abs{GL_2(\mathbb F_3)} = (q^2 - 1)(q^2 - q) = 8 \cdot 6 = 48$ । केंद्रीय प्रकार: $I$ और $2I$ , आकार $1$ के दो वर्ग। शेष तीनों प्रकारों में $M$ चक्रीय है (प्रश्न 20), अतः $GL_2$ में उसका केंद्रक $\mathcal C(M) = K[M]$ के व्युत्क्रमणीय अवयवों का समूह है (प्रश्न 11), और कक्षा–स्थायीकारी से वर्ग का आकार $=48/\abs{K[M]^\times}$ । भिन्न विभाजित अभिलक्षणिक मान: केवल युग्म $\{1, 2\}$ , एक वर्ग; $K[M] \cong \mathbb F_3 \times \mathbb F_3$ ( $\chi = (X-1) (X-2)$ पर चीनी शेषफल प्रमेय), इकाइयाँ $2 \cdot 2 = 4$ , आकार $48/4 = 12$ । न्यूनतम $(X - a)^2$ , $a \in \{1, 2\}$ : दो वर्ग; $K[M] \cong \mathbb F_3[X]/((X-a)^2)$ , इकाइयाँ $q^2 - q = 6$ (केंद्रीकरण के बाद इकाई $\neq 0$ का अचर पद), आकार $48/6 = 8$ । अखंडनीय $\chi$ : $\mathbb F_3$ पर मोनिक अखंडनीय द्विघातों की संख्या $(9 - 3)/2 = 3$ है, अर्थात्

X^2 + 1, \qquad X^2 + X + 2, \qquad X^2 + 2X + 2,

( $\mathbb F_3$ में कोई मूल नहीं: $0, 1, 2$ जाँचिए); तीन वर्ग, $K[M] \cong \mathbb F_9$ , इकाइयाँ $q^2 - 1 = 8$ , आकार $48/8 = 6$ । वर्ग समीकरण: $2\cdot1 + 1\cdot12 + 2\cdot8 + 3\cdot6 = 2 + 12 + 16 + 18 = 48$ ; और $2 + 1 + 2 + 3 = 8 = q^2 - 1$ वर्ग, जो प्रश्न 21 से मेल खाते हैं।