O que é torção? — Matemática

Definição 3.11 Matemática universitária — Graduação 3 · Capítulo 3 — Módulos sobre um domínio de ideais principais

Sejam $A$ um domínio e $M$ um $A$ -módulo. O submódulo de torção é

T(M) = \{x \in M : ax = 0 \text{ para algum } a \neq 0\}

(é um submódulo: se $ax = by = 0$ , então $ab(x + y) = 0$ , $ab \ne 0$ ). $M$ é sem torção se $T(M) = 0$ , e é um módulo de torção se $T(M) = M$ .

Exemplos

Exemplo 3.2

Os três casos motivadores.

$A = K$ um corpo: os módulos são os espaços vetoriais.
$A = \Z$ : os módulos são exatamente os grupos abelianos ( $nx$ é obrigado a valer $x + \dots + x$ ), e os submódulos são os subgrupos.
$A = K[X]$ : um módulo é um $K$ -espaço vetorial $V$ munido da aplicação $K$ -linear $u\colon x \mapsto X\cdot x$ — reciprocamente, todo par $(V, u)$ com $u \in \mathcal L(V)$ torna-se um $K[X]$ -módulo por $P \cdot x = P(u)(x)$ . Os submódulos são precisamente os subespaços $u$ -estáveis.

Um ideal de $A$ é exatamente um submódulo de $A$ ; um anel quociente $A/I$ é um $A$ -módulo. Ao contrário dos espaços vetoriais, os módulos podem ter torção: em $\Z/6\Z$ , o elemento $\bar 3 \ne 0$ é aniquilado por $2 \neq 0$ .

Ler no capítulo →

Exemplos

Termos relacionados