मॉड्यूल क्या है? — गणित

परिभाषा 3.1 विश्वविद्यालय गणित — स्नातक वर्ष 3 · अध्याय 3 — मुख्य आदर्श प्रांत पर मॉड्यूल

कोई $A$ -मॉड्यूल एक आबेली समूह $(M, +)$ है जिस पर अदिश गुणन $A \times M \to M$ सदिश-समष्टि स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करता है: $a(x + y) = ax + ay$ , $(a + b)x = ax + bx$ , $(ab)x = a(bx)$ , $1x = x$ । उपमॉड्यूल, भागफल $M/N$ , समाकारिताएँ ( $A$ -रैखिक प्रतिचित्रण), प्रत्यक्ष योग $\bigoplus_i M_i$ और तुल्याकारिता प्रमेय ठीक उसी प्रकार परिभाषित और सिद्ध होते हैं जैसे सदिश समष्टियों और आबेली समूहों के लिए; विशेष रूप से किसी समाकारिता $f$ के लिए $M/\ker f \cong \operatorname{im} f$ ।

उदाहरण

उदाहरण 3.2

तीन प्रेरक स्थितियाँ।

$A = K$ कोई क्षेत्र: मॉड्यूल सदिश समष्टियाँ हैं।
$A = \Z$ : मॉड्यूल ठीक आबेली समूह हैं ( $nx$ का $x + \dots + x$ होना अनिवार्य है), और उपमॉड्यूल उपसमूह हैं।
$A = K[X]$ : कोई मॉड्यूल एक $K$ -सदिश समष्टि $V$ है जिसके साथ $K$ -रैखिक प्रतिचित्रण $u\colon x \mapsto X\cdot x$ जुड़ा है — विलोमतः, $u \in \mathcal L(V)$ वाला प्रत्येक युग्म $(V, u)$ $P \cdot x = P(u)(x)$ द्वारा $K[X]$ -मॉड्यूल बन जाता है। उपमॉड्यूल ठीक $u$ -स्थिर उपसमष्टियाँ हैं।

$A$ का आदर्श ठीक $A$ का उपमॉड्यूल है; भागफल वलय $A/I$ एक $A$ -मॉड्यूल है। सदिश समष्टियों के विपरीत, मॉड्यूलों में मरोड़ हो सकती है: $\Z/6\Z$ में अवयव $\bar 3 \ne 0$ $2 \neq 0$ से नष्ट हो जाता है।

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