Apa itu torsi? — Matematika

Definisi 3.11 Matematika Universitas — Tahun 3 · Bab 3 — Modul atas Daerah Ideal Utama

Misalkan $A$ daerah integral dan $M$ sebuah modul- $A$ . Submodul torsi adalah

T(M) = \{x \in M : ax = 0 \text{ untuk suatu } a \neq 0\}

(sebuah submodul: jika $ax = by = 0$ maka $ab(x + y) = 0$ dengan $ab \ne 0$ ). Modul $M$ disebut bebas torsi jika $T(M) = 0$ , dan modul torsi jika $T(M) = M$ .

Contoh

Contoh 3.2

Berikut tiga kasus yang memotivasinya.

$A = K$ sebuah lapangan: modulnya adalah ruang vektor.
$A = \Z$ : modulnya tepat berupa grup abelian (sebab $nx$ terpaksa sama dengan $x + \dots + x$ ), dan submodulnya adalah subgrup.
$A = K[X]$ : modulnya berupa ruang vektor- $K$ $V$ beserta pemetaan linear- $K$ $u\colon x \mapsto X\cdot x$ — sebaliknya, setiap pasangan $(V, u)$ dengan $u \in \mathcal L(V)$ menjadi modul- $K[X]$ lewat $P \cdot x = P(u)(x)$ . Submodulnya tepat berupa subruang yang stabil terhadap $u$ .

Ideal $A$ tidak lain adalah submodul $A$ ; ring kuosien $A/I$ merupakan modul- $A$ . Berbeda dengan ruang vektor, modul dapat mempunyai torsi: di $\Z/6\Z$ , unsur $\bar 3 \ne 0$ dimatikan oleh $2 \neq 0$ .

Baca dalam konteks →

Contoh

Istilah terkait