Wat is torsie? — Wiskunde

Definitie 3.11 Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 3 · Hoofdstuk 3 — Modulen over een hoofdideaaldomein

Zij $A$ een domein en $M$ een $A$ -moduul. Het torsiedeelmoduul is

T(M) = \{x \in M : ax = 0 \text{ voor zekere } a \neq 0\}

(een deelmoduul: uit $ax = by = 0$ volgt $ab(x + y) = 0$ met $ab \ne 0$ ). $M$ heet torsievrij als $T(M) = 0$ , en een torsiemoduul als $T(M) = M$ .

Voorbeelden

Voorbeeld 3.2

De drie motiverende gevallen.

$A = K$ een lichaam: modulen zijn vectorruimten.
$A = \Z$ : modulen zijn precies de abelse groepen ( $nx$ is gedwongen $x + \dots + x$ ), deelmodulen zijn deelgroepen.
$A = K[X]$ : een moduul is een $K$ -vectorruimte $V$ samen met de $K$ -lineaire afbeelding $u\colon x \mapsto X\cdot x$ — en omgekeerd wordt elk paar $(V, u)$ met $u \in \mathcal L(V)$ een $K[X]$ -moduul via $P \cdot x = P(u)(x)$ . De deelmodulen zijn precies de $u$ -invariante deelruimten.

Een ideaal van $A$ is precies een deelmoduul van $A$ ; een quotiëntring $A/I$ is een $A$ -moduul. Anders dan vectorruimten kunnen modulen torsie hebben: in $\Z/6\Z$ wordt het element $\bar 3 \ne 0$ vernietigd door $2 \neq 0$ .

Lees in het hoofdstuk →