ما معنى التواء؟ — الرياضيات

تعريف 3.11 الرياضيات الجامعية — السنة 3 · الفصل 3 — المقاسات على حلقة مثاليات رئيسية

لتكن $A$ حلقة تامة وليكن $M$ مقاسًا على $A$ . المقاس الجزئي الالتوائي هو

T(M) = \{x \in M : ax = 0 \text{ من أجل } a \neq 0\}

(وهو مقاس جزئي: إذ إن $ax = by = 0$ يعطي $ab(x + y) = 0$ مع $ab \ne 0$ ). ويكون $M$ عديم الالتواء إذا كان $T(M) = 0$ ، ومقاسًا التوائيًا إذا كان $T(M) = M$ .

أمثلة

مثال 3.2

الحالات الثلاث المحرّكة.

$A = K$ حقل: فالمقاسات فضاءات متجهية.
$A = \Z$ : فالمقاسات هي بالضبط الزمر الأبيلية (إذ يُفرض على $nx$ أن يكون $x + \dots + x$ )، والمقاسات الجزئية هي الزمر الجزئية.
$A = K[X]$ : فالمقاس فضاء متجهي $V$ على $K$ مزوَّد بتطبيق خطي على $K$ هو $u\colon x \mapsto X\cdot x$ — وبالعكس، يصير كل زوج $(V, u)$ مع $u \in \mathcal L(V)$ مقاسًا على $K[X]$ بواسطة $P \cdot x = P(u)(x)$ . والمقاسات الجزئية هي بالضبط الفضاءات الجزئية الصامدة تحت $u$ .

والمثالي في $A$ هو بالضبط مقاس جزئي من $A$ ؛ وحلقة القسمة $A/I$ مقاسٌ على $A$ . وخلافًا للفضاءات المتجهية، يمكن أن يكون للمقاسات التواء: ففي $\Z/6\Z$ ، يُبيد العنصرَ $\bar 3 \ne 0$ العنصرُ $2 \neq 0$ .

اقرأ في الفصل ←

أمثلة

مصطلحات ذات صلة