¿Qué es torsión? — Matemáticas

Definición 3.11 Matemáticas universitarias — Grado 3 · Capítulo 3 — Módulos sobre un dominio de ideales principales

Sea $A$ un dominio y sea $M$ un $A$ -módulo. El submódulo de torsión es

T(M) = \{x \in M : ax = 0 \text{ para cierto } a \neq 0\}

(es un submódulo: si $ax = by = 0$ , entonces $ab(x + y) = 0$ , $ab \ne 0$ ). $M$ es sin torsión si $T(M) = 0$ , y un módulo de torsión si $T(M) = M$ .

Ejemplos

Ejemplo 3.2

Los tres casos que motivan la teoría.

$A = K$ un cuerpo: los módulos son los espacios vectoriales.
$A = \Z$ : los módulos son exactamente los grupos abelianos ( $nx$ ha de ser $x + \dots + x$ ) y los submódulos son los subgrupos.
$A = K[X]$ : un módulo es un $K$ -espacio vectorial $V$ junto con la aplicación $K$ -lineal $u\colon x \mapsto X\cdot x$ — recíprocamente, todo par $(V, u)$ con $u \in \mathcal L(V)$ se convierte en un $K[X]$ -módulo mediante $P \cdot x = P(u)(x)$ . Los submódulos son precisamente los subespacios $u$ -estables.

Un ideal de $A$ es exactamente un submódulo de $A$ ; un anillo cociente $A/I$ es un $A$ -módulo. A diferencia de los espacios vectoriales, los módulos pueden tener torsión: en $\Z/6\Z$ , el elemento $\bar 3 \ne 0$ es aniquilado por $2 \neq 0$ .

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Ejemplos

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