परिक्षेपण संबंध; कला वेग क्या है?

उदाहरण 8.2 (परिक्षेपी और अपरिक्षेपी)

(क) प्रत्यास्थ शय्या पर रखा कोई तार (प्रति एकांक लंबाई प्रत्यानयन बल $-Ky$, या लोलकों की कोई शृंखला), $\mu\partial_t^2y = T\partial_x^2y - Ky$: $\omega^2 = \omega_c^2 + c^2k^2$, जहाँ $\omega_c = \sqrt{K/\mu}$ — यही क्लाइन–गॉर्डन संबंध है, जो प्लाज़्मा और तरंग-नलिका का भी है (अध्याय 14 और 16): $v_\varphi = c/\sqrt{1 - \omega_c^2/\omega^2} > c$, और कोई वास्तविक $k$ कटाव $\omega_c$ से नीचे नहीं। (ख) गहरे पानी की गुरुत्व-तरंगें: $\omega^2 = gk$ (स्वीकृत), $v_\varphi = \sqrt{g/k} = \sqrt{g\lambda/2\pi}$: अर्थात् लंबी तरंगें तेज़ — $100\,\mathrm{m}$ के लिए $12.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $1\,\mathrm{km}$ के लिए $40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$। (ग) परमाणुओं की शृंखला, $\omega = 2\omega_0|\sin(ka/2)|$ (अध्याय 6)। (घ) काँच में प्रकाश, $k = n(\omega)\omega/c$, और इसीलिए कोई प्रिज़्म वर्णक्रम फैला देता है।

उदाहरण 8.7 (क्लाइन–गॉर्डन: प्रकाश से तेज़, और फिर भी नहीं)

$\omega^2 = \omega_c^2 + c^2k^2$ के लिए: $v_\varphi = \omega/k$ और $v_g = c^2k/\omega$, अतः $v_\varphi v_g = c^2$: कला वेग $c$ से ऊपर रहता है (आयनमंडल में किसी $10\,\mathrm{MHz}$ तरंग के शिखर प्रकाश से तेज़ चलते हैं), पर समूह वेग, जो संकेत ढोता है, उससे नीचे रहता है। कला वेग न ऊर्जा ढोता है न सूचना — शिखर उस प्रकाश-स्तंभ की धब्बे जैसे हैं जो किसी दूर के बादल पर झाड़ू फेरती है।