Physics · किताब 4 · Bachelor Year 2

विश्वविद्यालय भौतिकी — वर्ष 2

विश्वविद्यालय भौतिकी — वर्ष 2 · Bachelor Year 2

14प्लाज़्मा, चालक और परावैद्युत में विद्युत्चुंबकीय तरंगें

कोई लघुतरंग प्रसारण ऊपरी वायुमंडल से टकराकर किसी महासागर को पार कर जाता है, क्योंकि वह परत उसे दर्पण की तरह लौटा देती है — फिर भी वही परत दूरदर्शन और उपग्रह-संकेतों को पार जाने देती है। धातु का चम्मच चमकीला है, सूक्ष्मतरंग-भट्ठी के दरवाज़े की धातु-जाली तरंगों को भीतर रोके रखती है जबकि आप उसमें से अपना भोजन देखते रहते हैं, और काँच की एक शीट प्रकाश के लिए पारदर्शी है पर पराबैंगनी के लिए अपारदर्शी। हर हाल में कोई तरंग किसी पदार्थ में घुसती है, पदार्थ के आवेश उत्तर देते हैं, और उनका उत्तर तरंग को बदल देता है: उसकी चाल, उसका क्षीणन, यहाँ तक कि वह चलती भी है या नहीं। यह अध्याय किसी माध्यम के तीन मानक प्रतिरूप लेता है — मुक्त इलेक्ट्रॉनों की कोई गैस, कोई ओमीय चालक, और बद्ध इलेक्ट्रॉन — उसी एक विधि के साथ जो तीनों को सँभाल लेती है: प्रेरित धारा को मैक्सवेल के समीकरणों में जोड़िए और परिक्षेपण-संबंध पढ़ लीजिए।

14.1 प्लाज़्मा में तरंगें

परिभाषा 14.1 (प्लाज़्मा; मुक्त-इलेक्ट्रॉन प्रतिरूप)

कोई प्लाज़्मा मुक्त इलेक्ट्रॉनों (घनत्व nn, द्रव्यमान mm, आवेश −e-e) और धनायनों की समग्र रूप से उदासीन कोई गैस है, और आयन, हज़ारों गुना भारी होने के कारण, स्थिर मान लिए जाते हैं। ऊपरी वायुमंडल (आयनमंडल, n∼1011n \sim 10^{11}–101210^{12} m−3^{-3}), कोई विसर्जन नलिका, सौर किरीट, और — प्रकाशिक आवृत्तियों पर — किसी धातु के चालन इलेक्ट्रॉन प्लाज़्मा हैं। टक्करें उपेक्षित हैं (तरंग का आवर्तकाल दो टक्करों के बीच के समय की तुलना में छोटा है)। इसकी अभिलाक्षणिक आवृत्ति है प्लाज़्मा आवृत्ति

ωp=ne2ε0m,fp=ωp2π≈9 Hz×n [m−3]:\omega_p = \sqrt{\frac{ne^2}{\varepsilon_0m}} , \qquad f_p = \frac{\omega_p}{2\pi} \approx 9\,\text{Hz}\times\sqrt{n\,[\text{m}^{-3}]} :

आयनमंडल के लिए 3 MHz3\,\mathrm{MHz} से 9 MHz9\,\mathrm{MHz} तक, और किसी धातु के लिए 2×1015 Hz2 \times 10^{15}\,\mathrm{Hz} (पराबैंगनी)।

प्रमेय 14.2 (प्लाज़्मा का परिक्षेपण-संबंध)

किसी प्लाज़्मा में किसी अनुप्रस्थ PPH तरंग E→‾=E→‾0ei(ωt−kx)\underline{\vect E} = \underline{\vect E}_0\eu^{\iu(\omega t - kx)} के लिए इलेक्ट्रॉन v→‾=−eE→‾/imω\underline{\vect v} = -e\underline{\vect E}/\iu m\omega से दोलन करते हैं और धारा-घनत्व j→‾=γ‾E→‾\underline{\vect j} = \underline\gamma\underline{\vect E} ले चलते हैं, जिसमें γ‾=ne2/imω\underline\gamma = ne^2/\iu m\omega; तब मैक्सवेल के समीकरण देते हैं

k2=ω2−ωp2c2.k^2 = \frac{\omega^2 - \omega_p^2}{c^2} .

ωp\omega_p के ऊपर तरंग चलती है, जिसमें vφ=c/1−ωp2/ω2>cv_\varphi = c/\sqrt{1 - \omega_p^2/\omega^2} > c और vg=c1−ωp2/ω2<cv_g = c\sqrt{1 - \omega_p^2/\omega^2} < c, vφvg=c2v_\varphi v_g = c^2; ωp\omega_p के नीचे k=−iκk = -\iu\kappa, जहाँ κ=ωp2−ω2/c\kappa = \sqrt{\omega_p^2 - \omega^2}/c: तरंग क्षयी है, 1/κ1/\kappa जितना ही घुस पाती है और पूरी तरह परावर्तित हो जाती है (अध्याय 15); तब प्लाज़्मा कोई दर्पण है। ω≫ωp\omega \gg \omega_p पर इलेक्ट्रॉन साथ नहीं दे पाते और प्लाज़्मा पारदर्शी है।

उपपत्ति. गति-समीकरण m  ⁣dv→/ ⁣dt=−eE→m\,\dd\vect v/\dd t = -e\vect E (चुंबकीय बल evB∼evE/cev B \sim evE/c v≪cv \ll c के लिए नगण्य है, और आयनों की गति m/Mm/M गुना छोटी है): imωv→‾=−eE→‾\iu m\omega\underline{\vect v} = -e\underline{\vect E}। फिर j→‾=−nev→‾\underline{\vect j} = -ne\underline{\vect v}। किसी अनुप्रस्थ तरंग के लिए प्लाज़्मा उदासीन बना रहता है (k→⋅E→=0\vect k\cdot\vect E = 0 गाउस से ρ=0\rho = 0 देता है), अतः मैक्सवेल–ऐंपियर बनता है −ik→∧B→‾=μ0γ‾E→‾+iωμ0ε0E→‾-\iu\vect k\wedge\underline{\vect B} = \mu_0\underline\gamma\underline{\vect E} + \iu\omega\mu_0\varepsilon_0\underline{\vect E} और मैक्सवेल–फ़ैराडे B→‾=k→∧E→‾/ω\underline{\vect B} = \vect k \wedge\underline{\vect E}/\omega; जोड़ने पर, k2E→‾=μ0(iωγ‾−ω2ε0)(−1)E→‾k^2\underline{\vect E} = \mu_0(\iu\omega\underline\gamma - \omega^2\varepsilon_0)(-1)\underline{\vect E}, अर्थात् k2=ω2μ0ε0−iωμ0γ‾=(ω2−ne2/ε0m)/c2k^2 = \omega^2\mu_0\varepsilon_0 - \iu\omega\mu_0 \underline\gamma = (\omega^2 - ne^2/\varepsilon_0m)/c^2। वेग वैसे ही निकलते हैं जैसे अध्याय 8 में। ∎

टिप्पणी 14.3 (ऊर्जा कहाँ जाती है)

चालकता काल्पनिक है: ⟨j→⋅E→⟩=0\langle\vect j\cdot\vect E\rangle = 0, अर्थात् इलेक्ट्रॉन आधे चक्र में तरंग से ऊर्जा लेते हैं और अगले आधे में लौटा देते हैं — कोई हानिरहित माध्यम, जिसमें तरंग की ऊर्जा क्षेत्रों और इलेक्ट्रॉनों की गतिज ऊर्जा के बीच बँटी रहती है, और vgv_g से चलती है। टक्करें γ‾\underline\gamma में कोई छोटा वास्तविक भाग और कोई छोटा अवशोषण जोड़ देती हैं: आयनमंडल की D परत दिन में मध्यम तरंगों को सोख लेती है, और इसीलिए दूर के AM केंद्र रात में सुनाई देते हैं।

उदाहरण 14.4 (आयनमंडल और रेडियो)

F परत में n=1×1012 m−3n = 1 \times 10^{12}\,\mathrm{m}^{-3} लेने पर fp=9 MHzf_p = 9\,\mathrm{MHz}: उससे नीचे के लघुतरंग प्रसारण परावर्तित होते हैं (और आयनमंडल तथा ज़मीन के बीच उछलते हुए पृथ्वी का चक्कर लगा सकते हैं), जबकि FM (100 MHz100\,\mathrm{MHz}), दूरदर्शन और उपग्रह-कड़ियाँ पार निकल जाती हैं। 3 MHz3\,\mathrm{MHz} की कोई तरंग परत में लौट पड़ने से पहले केवल 1/κ=c/ωp2−ω2=6 m1/\kappa = c/\sqrt{\omega_p^2 - \omega^2} = 6\,\mathrm{m} तक घुसती है। वायुमंडल में लौटता कोई अंतरिक्ष-यान n∼1018n \sim 10^{18} m−3^{-3}, fp∼10 GHzf_p \sim 10\,\mathrm{GHz} के प्लाज़्मा में लिपट जाता है: रेडियो संपर्क मिनटों तक टूट जाता है।

बाएँ: किसी प्लाज़्मा का परिक्षेपण-संबंध — _p के नीचे कोई संचरण नहीं, ऊपर प्रकाश-रेखा के पास पहुँचता कोई अतिपरवलय। दाएँ: प्लाज़्मा आवृत्ति से नीचे की लघुतरंगें आयनमंडल से परावर्तित होकर पृथ्वी का चक्कर लगाती हैं; ऊँची आवृत्तियाँ अंतरिक्ष में निकल जाती हैं। बाएँ: किसी प्लाज़्मा का परिक्षेपण-संबंध — _p के नीचे कोई संचरण नहीं, ऊपर प्रकाश-रेखा के पास पहुँचता कोई अतिपरवलय। दाएँ: प्लाज़्मा आवृत्ति से नीचे की लघुतरंगें आयनमंडल से परावर्तित होकर पृथ्वी का चक्कर लगाती हैं; ऊँची आवृत्तियाँ अंतरिक्ष में निकल जाती हैं।
बाएँ: किसी प्लाज़्मा का परिक्षेपण-संबंध — ωp\omega_p के नीचे कोई संचरण नहीं, ऊपर प्रकाश-रेखा के पास पहुँचता कोई अतिपरवलय। दाएँ: प्लाज़्मा आवृत्ति से नीचे की लघुतरंगें आयनमंडल से परावर्तित होकर पृथ्वी का चक्कर लगाती हैं; ऊँची आवृत्तियाँ अंतरिक्ष में निकल जाती हैं।

14.2 किसी ओमीय चालक में तरंगें: त्वचा प्रभाव

प्रमेय 14.5 (त्वचा प्रभाव)

किसी ओमीय चालक में (j→=γE→\vect j = \gamma\vect E, γ\gamma वास्तविक, उन आवृत्तियों पर जहाँ ωτ≪1\omega\tau \ll 1 और ε0ω≪γ\varepsilon_0\omega \ll \gamma, अर्थात् ताँबे के लिए ∼1×1016 Hz\sim1 \times 10^{16}\,\mathrm{Hz} से नीचे) विस्थापन धारा नगण्य है और क्षेत्र विसरण समीकरण ΔE→=μ0γ ∂tE→\Delta\vect E = \mu_0\gamma\,\partial_t\vect E मानते हैं। x=0x = 0 पर चालक में घुसती कोई PPH तरंग रखती है

k‾2=−iμ0γω,k‾=1−iδ,δ=2μ0γω,\underline k^2 = -\iu\mu_0\gamma\omega , \qquad \underline k = \frac{1 - \iu}\delta , \qquad \delta = \sqrt{\frac2{\mu_0\gamma\omega}} ,

जिससे E‾=E0 e−x/δei(ωt−x/δ)\underline E = E_0\,\eu^{-x/\delta}\eu^{\iu(\omega t - x/\delta)}: वह त्वचा गहराई δ\delta पर अवमंदित होती है, और उसकी कला भी प्रति δ\delta एक रेडियन घूम जाती है — तरंगदैर्घ्य 2πδ2\pi\delta, कला वेग ωδ≪c\omega\delta \ll c। धारा j→=γE→\vect j = \gamma\vect E सतह के नीचे δ\delta मोटाई की किसी परत तक सिमट जाती है, और B→\vect B E→\vect E से 45∘45{}^{\circ} पीछे रहता है, जहाँ ∣B∣=∣E∣2/ωδ|B| = |E|\sqrt2/\omega\delta। ताँबे के लिए 50 Hz50\,\mathrm{Hz} पर δ=9.2 mm\delta = 9.2\,\mathrm{mm}, 100 kHz100\,\mathrm{kHz} पर 0.21 mm0.21\,\mathrm{mm}, 1 GHz1\,\mathrm{GHz} पर 2.1 µm2.1\,\text{µ}\mathrm{m}।

उपपत्ति. curl→⁡B→=μ0γE→\operatorname{\vect{curl}}\vect B = \mu_0\gamma\vect E (विस्थापन छोड़ा) और curl→⁡E→=−∂tB→\operatorname{\vect{curl}}\vect E = -\partial_t\vect B: दूसरे का कर्ल लेने पर, −ΔE→=−μ0γ∂tE→-\Delta\vect E = -\mu_0\gamma\partial_t\vect E (चालक उदासीन है, div⁡E→=0\operatorname{div} \vect E = 0)। ei(ωt−kx)\eu^{\iu(\omega t - kx)} के लिए: k2=−iμ0γωk^2 = -\iu\mu_0\gamma\omega, और −i=(1−i)/2\sqrt{-\iu} = (1 - \iu)/\sqrt2 देता है k‾=(1−i)/δ\underline k = (1 - \iu)/\delta (वह मूल जो चालक के भीतर क्षय करता है)। फ़ैराडे: B‾=k‾E‾/ω=(1−i)E‾/ωδ\underline B = \underline k\underline E/\omega = (1 - \iu) \underline E/\omega\delta, जिसका मापांक 2E/ωδ\sqrt2E/\omega\delta और कला −π/4-\pi/4 है। ∎

बाएँ: किसी चालक के भीतर का क्षेत्र — कोई अवमंदित दोलन, जो कुछ ही त्वचा गहराइयों में मर जाता है। दाएँ: ताँबे और समुद्री जल की त्वचा गहराई, आवृत्ति के सामने: मुख्य लाइन की आवृत्ति पर मिलीमीटर, गीगाहर्ट्ज़ पर माइक्रोमीटर; समुद्र केवल सबसे लंबी रेडियो तरंगें भीतर आने देता है। बाएँ: किसी चालक के भीतर का क्षेत्र — कोई अवमंदित दोलन, जो कुछ ही त्वचा गहराइयों में मर जाता है। दाएँ: ताँबे और समुद्री जल की त्वचा गहराई, आवृत्ति के सामने: मुख्य लाइन की आवृत्ति पर मिलीमीटर, गीगाहर्ट्ज़ पर माइक्रोमीटर; समुद्र केवल सबसे लंबी रेडियो तरंगें भीतर आने देता है।
बाएँ: किसी चालक के भीतर का क्षेत्र — कोई अवमंदित दोलन, जो कुछ ही त्वचा गहराइयों में मर जाता है। दाएँ: ताँबे और समुद्री जल की त्वचा गहराई, आवृत्ति के सामने: मुख्य लाइन की आवृत्ति पर मिलीमीटर, गीगाहर्ट्ज़ पर माइक्रोमीटर; समुद्र केवल सबसे लंबी रेडियो तरंगें भीतर आने देता है।

उदाहरण 14.6 (त्वचा प्रभाव के परिणाम)

(क) a≫δa \gg \delta त्रिज्या का कोई तार अपनी धारा δ\delta मोटाई के किसी छल्ले में ले चलता है: उसका प्रतिरोध प्रति मीटर 1/γπa21/\gamma\pi a^2 से बढ़कर लगभग 1/γ2πaδ1/\gamma 2\pi a\delta हो जाता है — 1 mm1\,\mathrm{mm} के ताँबे के तार के लिए 1 MHz1\,\mathrm{MHz} पर दिष्ट मान का चौगुना, 1 GHz1\,\mathrm{GHz} पर सौ गुना। उच्च-आवृत्ति कुंडलियाँ "लिट्ज़" तार (बहुत सारी विद्युतरोधी लड़ियाँ) या चाँदी-चढ़े नल काम में लेती हैं; विद्युत्-ग्रिड के चालक ऐलुमिनियम के आवरण के साथ बटे होते हैं। (ख) कोई धातु का बक्सा किसी तरंग को e−d/δ\eu^{-d/\delta} से क्षीण करता है, प्रति मोटाई dd: कोई 1 mm1\,\mathrm{mm} का ऐलुमिनियम आवरण 1 MHz1\,\mathrm{MHz} को 100 dB100\,\mathrm{dB} रोक देता है पर 50 Hz50\,\mathrm{Hz} को लगभग बिलकुल नहीं — कम आवृत्ति के चुंबकीय क्षेत्रों के लिए लोहा चाहिए। (ग) पनडुब्बियाँ केवल बहुत लंबी तरंग वाला रेडियो पाती हैं (समुद्री जल में 10 kHz10\,\mathrm{kHz} पर δ=2.3 m\delta = 2.3\,\mathrm{m}); और बारूदी सुरंगें उन भँवर धाराओं से पकड़ी जाती हैं जो कोई कुंडली उनमें प्रेरित करती है (अध्याय 11, विसरण काल μ0γd2\mu_0\gamma d^2)।

14.3 किसी परावैद्युत में तरंगें: बद्ध इलेक्ट्रॉन

प्रतिज्ञप्ति 14.7 (प्रत्यास्थ रूप से बद्ध इलेक्ट्रॉन; सम्मिश्र अपवर्तनांक)

किसी विद्युतरोधी में हर इलेक्ट्रॉन अपने परमाणु से बँधा है: साम्य से कोई विस्थापन r→\vect r प्रत्यानयन बल −mω02r→-m\omega_0^2\vect r और कोई अवमंदन −mΓ  ⁣dr→/ ⁣dt-m\Gamma\,\dd\vect r/\dd t बुला लेता है (वह ऊर्जा जो विकिरित हुई या जालक को सौंपी गई)। तरंग से चालित होकर, mr→¨=−mω02r→−mΓr→˙−eE→m\ddot{\vect r} = -m\omega_0^2\vect r - m\Gamma\dot{\vect r} - e\vect E; विस्थापित इलेक्ट्रॉन माध्यम को ध्रुवण (प्रति एकांक आयतन द्विध्रुव आघूर्ण) P→=−ner→=ε0χ‾(ω)E→‾\vect P = -ne\vect r = \varepsilon_0\underline\chi(\omega) \underline{\vect E} दे देते हैं, जिसमें विद्युत् प्रवृत्ति

χ‾(ω)=ωp2ω02−ω2+iΓω,ωp2=ne2ε0m,\underline\chi(\omega) = \frac{\omega_p^2}{\omega_0^2 - \omega^2 + \iu\Gamma\omega} , \qquad \omega_p^2 = \frac{ne^2}{\varepsilon_0m} ,

और बद्ध धारा j→=∂tP→\vect j = \partial_t\vect P। तब मैक्सवेल के समीकरण देते हैं

k‾2=ω2c2 (1+χ‾)=ω2c2 n‾2,n‾=n′−in′′,\underline k^2 = \frac{\omega^2}{c^2}\,(1 + \underline\chi) = \frac{\omega^2}{c^2}\,\underline n^2 , \qquad \underline n = n' - \iu n'' ,

जहाँ n′n' अपवर्तनांक है (कला वेग c/n′c/n') और n′′n'' विलोपन (तीव्रता e−2n′′ωx/c\eu^{-2n''\omega x/c} की तरह क्षय करती है)। किसी अनुनाद से बहुत नीचे (ω≪ω0\omega \ll \omega_0, Γ\Gamma नगण्य), n′2≈1+ωp2/ω02+ωp2ω2/ω04n'^2 \approx 1 + \omega_p^2/\omega_0^2 + \omega_p^2\omega^2/\omega_0^4: अपवर्तनांक आवृत्ति के साथ बढ़ता है — सामान्य परिक्षेपण, कौशी का नियम n≈A+B/λ2n \approx A + B/\lambda^2 — और अवशोषण नगण्य है; ω0\omega_0 के पास माध्यम सोखता है, और उससे ज़रा ऊपर n′n' ω\omega के साथ गिरता है (विषम परिक्षेपण)।

उपपत्ति. सम्मिश्र आयाम: (ω02−ω2+iΓω)r→‾=−eE→‾/m(\omega_0^2 - \omega^2 + \iu\Gamma\omega)\underline{\vect r} = -e\underline{\vect E} /m; P→‾=−ner→‾\underline{\vect P} = -ne\underline{\vect r}। फिर, प्लाज़्मा की तरह, k2=ω2μ0ε0−iωμ0γ‾k^2 = \omega^2\mu_0 \varepsilon_0 - \iu\omega\mu_0\underline\gamma जहाँ j→‾=iωP→‾=iωε0χ‾E→‾\underline{\vect j} = \iu\omega\underline{\vect P} = \iu\omega\varepsilon_0 \underline\chi\underline{\vect E}, अर्थात् γ‾=iωε0χ‾\underline\gamma = \iu\omega\varepsilon_0\underline\chi: k2=(ω2/c2)(1+χ‾)k^2 = (\omega^2/c^2) (1 + \underline\chi)। (प्लाज़्मा वही हाल है जहाँ ω0=0\omega_0 = 0, Γ=0\Gamma = 0।) प्रसार: 1/(ω02−ω2)≈(1+ω2/ω02)/ω021/(\omega_0^2 - \omega^2) \approx (1 + \omega^2/\omega_0^2)/\omega_0^2। ∎

बद्ध-इलेक्ट्रॉन (लोरेंत्स) प्रतिरूप: अनुनाद से नीचे अपवर्तनांक का वास्तविक भाग आवृत्ति के साथ बढ़ता है (सामान्य परिक्षेपण: काँच में बैंगनी लाल से धीमा है), काल्पनिक भाग अनुनाद पर शिखर छूता है (अवशोषण), और अपवर्तनांक अनुनाद के पार गिर जाता है (विषम परिक्षेपण)।
बद्ध-इलेक्ट्रॉन (लोरेंत्स) प्रतिरूप: अनुनाद से नीचे अपवर्तनांक का वास्तविक भाग आवृत्ति के साथ बढ़ता है (सामान्य परिक्षेपण: काँच में बैंगनी लाल से धीमा है), काल्पनिक भाग अनुनाद पर शिखर छूता है (अवशोषण), और अपवर्तनांक अनुनाद के पार गिर जाता है (विषम परिक्षेपण)।

उदाहरण 14.8 (काँच, जल, वायु)

काँच के इलेक्ट्रॉनिक अनुनाद पराबैंगनी में हैं (ω0∼1016\omega_0 \sim 10^{16} rad/s): दृश्य में वह पारदर्शी और परिक्षेपी है, 700 nm700\,\mathrm{nm} पर n=1.51n = 1.51, 400 nm400\,\mathrm{nm} पर 1.531.53, इतना कि कोई प्रिज़्म इंद्रधनुष फैला दे और किसी तंतु की स्पंदें फैल जाएँ (अध्याय 8); पराबैंगनी में वह सोख लेता है — खिड़की के पीछे धूप से रंग नहीं चढ़ता। जल में, इसके अलावा, 20 GHz20\,\mathrm{GHz} के पास अपने ध्रुवी अणुओं का कोई घूर्णी अनुनाद है (किसी तीखी रेखा के बजाय कोई डिबाई शिथिलन): वह सूक्ष्मतरंगों को ज़ोर से सोखता है, जिससे भोजन गरम होता है और वर्षा में रडार अंधा हो जाता है, और उसका n′′≈0n'' \approx 0 किसी सँकरी दृश्य खिड़की में है — वही खिड़की जिससे होकर आँखें विकसित हुईं। वायु, जिसका n−1=2.9×10−4n - 1 = 2.9 \times 10^{-4} है, फिर भी डूबते सूर्य को आधी डिग्री मोड़ देती है।

टिप्पणी 14.9 (एक समीकरण, तीन माध्यम)

हर रैखिक माध्यम मैक्सवेल के समीकरणों में अपनी प्रेरित धारा j→‾=γ‾(ω)E→‾\underline{\vect j} = \underline\gamma(\omega)\underline{\vect E} के रास्ते घुसता है, और परिक्षेपण-संबंध सदा k‾2=ω2/c2−iωμ0γ‾(ω)\underline k^2 = \omega^2/c^2 - \iu\omega\mu_0\underline\gamma(\omega) है:

माध्यमγ‾(ω)\underline\gamma(\omega)k‾2\underline k^2
प्लाज़्माne2/imωne^2/\iu m\omega (काल्पनिक)(ω2−ωp2)/c2(\omega^2 - \omega_p^2)/c^2: कटाव
ओमीय चालकγ\gamma (वास्तविक)−iμ0γω-\iu\mu_0\gamma\omega: त्वचा प्रभाव
परावैद्युतiωε0χ‾(ω)\iu\omega\varepsilon_0\underline\chi(\omega)(ω2/c2)(1+χ‾)(\omega^2/c^2)(1 + \underline\chi): अपवर्तनांक

कोई धातु बारी-बारी तीनों है: 1×1013 Hz1 \times 10^{13}\,\mathrm{Hz} से नीचे ओमीय, दृश्य में कोई प्लाज़्मा (परावर्ती), और दूर पराबैंगनी में पारदर्शी।

विधि 14.10 (किसी माध्यम में तरंगें)

(1) आवेशों का गति-समीकरण लिखिए और j→‾=γ‾E→‾\underline{\vect j} = \underline\gamma\underline{\vect E} निकालिए। (2) PPH उपधारणा के साथ उसे मैक्सवेल–ऐंपियर में डालिए: k‾2=ω2/c2−iωμ0γ‾\underline k^2 = \omega^2/c^2 - \iu\omega\mu_0\underline\gamma। (3) वह मूल लीजिए जिसमें Im⁡k≤0\operatorname{Im}k \le 0 हो (चलने की दिशा में क्षय), और उसे वास्तविक (संचरण, vφ=ω/k′v_\varphi = \omega/k') तथा काल्पनिक (क्षीणन) भागों में बाँटिए। (4) आवृत्ति के अनुसार दशाएँ पहचानिए — संचरणशील, क्षयी, अवशोषी — और अभिलाक्षणिक आवृत्ति (ωp\omega_p, 1/μ0γδ21/\mu_0\gamma\delta^2, ω0\omega_0)। (5) फ़ैराडे से B→\vect B निकालिए और, ज़रूरत हो तो, पॉयंटिंग फ्लक्स तथा व्यय शक्ति।

14.4 अभ्यास

अभ्यास 14.1 ★

n=1×1011 m−3n = 1 \times 10^{11}\,\mathrm{m}^{-3} (रात में आयनमंडल), 1×1012 m−31 \times 10^{12}\,\mathrm{m}^{-3} (दिन में), 1×1018 m−31 \times 10^{18}\,\mathrm{m}^{-3} (पुनःप्रवेश आवरण), 8.5×1028 m−38.5 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3} (ताँबा), 1×105 m−31 \times 10^{5}\,\mathrm{m}^{-3} (अंतरतारकीय अंतरिक्ष) के लिए प्लाज़्मा आवृत्तियाँ। हर एक के लिए, इनमें से कौन पार जाता है: 1 MHz1\,\mathrm{MHz} का कोई AM केंद्र, 100 MHz100\,\mathrm{MHz} का कोई FM केंद्र, कोई 1.5 GHz1.5\,\mathrm{GHz} GPS संकेत, दृश्य प्रकाश?

हल

हल — अभ्यास 14.1.

fp≈9nf_p \approx 9\sqrt n Hz: 2.8 MHz2.8\,\mathrm{MHz}, 9 MHz9\,\mathrm{MHz}, 9 GHz9\,\mathrm{GHz}, 2.6×1015 Hz2.6 \times 10^{15}\,\mathrm{Hz} (λp=115 nm\lambda_p = 115\,\mathrm{nm}), 2.8 kHz2.8\,\mathrm{kHz}। 1 MHz1\,\mathrm{MHz} पर AM: केवल अंतरतारकीय अंतरिक्ष से। FM: आयनमंडल से, आवरण से नहीं। GPS: आवरण को छोड़ सब कुछ। प्रकाश: ताँबे को छोड़ सब कुछ।

अभ्यास 14.2 ★

ताँबे (γ=6.0×107 S/m\gamma = 6.0 \times 10^{7}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}) की त्वचा गहराई 50 Hz50\,\mathrm{Hz}, 1 kHz1\,\mathrm{kHz}, 1 MHz1\,\mathrm{MHz}, 1 GHz1\,\mathrm{GHz} पर; ऐलुमिनियम (3.6×107 S/m3.6 \times 10^{7}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}) की 1 MHz1\,\mathrm{MHz} पर; समुद्री जल (5 S/m5\,\mathrm{S}/\mathrm{m}) की 10 kHz10\,\mathrm{kHz} और 1 GHz1\,\mathrm{GHz} पर; गीली मिट्टी (1×10−2 S/m1 \times 10^{-2}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}) की 1 MHz1\,\mathrm{MHz} पर। 10 m10\,\mathrm{m} गहराई पर किसी पनडुब्बी तक कौन-सी रेडियो आवृत्तियाँ पहुँचती हैं?

हल

हल — अभ्यास 14.2.

ताँबा: 9.2 mm9.2\,\mathrm{mm}, 2.1 mm2.1\,\mathrm{mm}, 65 µm65\,\text{µ}\mathrm{m}, 2.1 µm2.1\,\text{µ}\mathrm{m}; 1 MHz1\,\mathrm{MHz} पर ऐलुमिनियम: 84 µm84\,\text{µ}\mathrm{m}; समुद्री जल: 10 kHz10\,\mathrm{kHz} पर 2.3 m2.3\,\mathrm{m}, 1 GHz1\,\mathrm{GHz} पर 7 mm7\,\mathrm{mm}; मिट्टी: 1 MHz1\,\mathrm{MHz} पर 5 m5\,\mathrm{m}। 10 m10\,\mathrm{m} पर किसी पनडुब्बी को चाहिए δ≳10 m\delta \gtrsim 10\,\mathrm{m}: अर्थात् लगभग 500 Hz500\,\mathrm{Hz} से नीचे।

अभ्यास 14.3 ★

कोई काँच n=1.50+4.5×103 nm2/λ2n = 1.50 + 4.5 \times 10^{3}\,\mathrm{nm}^{2}/\lambda^2 मानता है। 400 nm400\,\mathrm{nm}, 550 nm550\,\mathrm{nm}, 700 nm700\,\mathrm{nm} पर अपवर्तनांक; कला वेग; 550 nm550\,\mathrm{nm} पर समूह अपवर्तनांक ng=n−λ  ⁣dn/ ⁣dλn_g = n - \lambda\,\dd n/\dd\lambda; और काँच में 45∘45{}^{\circ} आपतन पर अपवर्तित किसी श्वेत पुंज का कोणीय फैलाव।

हल

हल — अभ्यास 14.3.

n=1.528n = 1.528, 1.5151.515, 1.5091.509; v=1.963v = 1.963, 1.9801.980, 1.987×108 m/s1.987 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}; ng=n+2B/λ2=1.545n_g = n + 2B/\lambda^2 = 1.545। अपवर्तन कोण arcsin⁡(0.707/n)\arcsin(0.707/n): 27.57∘27.57{}^{\circ} और 27.93∘27.93{}^{\circ}: अर्थात् 0.36∘0.36{}^{\circ} का फैलाव।

अभ्यास 14.4 ★

5 MHz5\,\mathrm{MHz} की कोई तरंग n=2×1011 m−3n = 2 \times 10^{11}\,\mathrm{m}^{-3} वाली किसी परत से मिलती है: क्या वह परावर्तित होती है? प्रवेश गहराई; वही 2 MHz2\,\mathrm{MHz} पर; और n=1.5×1012 m−3n = 1.5 \times 10^{12}\,\mathrm{m}^{-3} वाली किसी परत को पार करने वाली न्यूनतम आवृत्ति। लघुतरंग पट्टियाँ घंटे और सौर चक्र के साथ "खुलती" और "बंद" क्यों होती हैं?

हल

हल — अभ्यास 14.4.

fp=4.0 MHzf_p = 4.0\,\mathrm{MHz}: 5 MHz5\,\mathrm{MHz} पार जाता है; 2 MHz2\,\mathrm{MHz} परावर्तित होता है, और c/ωp2−ω2=14 mc/\sqrt{\omega_p^2 - \omega^2} = 14\,\mathrm{m} तक घुसता है। n=1.5×1012 m−3n = 1.5 \times 10^{12}\,\mathrm{m}^{-3} के लिए: 11 MHz11\,\mathrm{MHz}। घनत्व सूर्य के आयनकारी फ्लक्स के पीछे चलता है — घंटा, ऋतु, और ग्यारह-वर्षीय चक्र — अतः सबसे ऊँची काम की आवृत्ति उनके साथ खिसकती है।

अभ्यास 14.5 ★★

प्रत्यावर्ती प्रतिरोध। a=1.0 mma = 1.0\,\mathrm{mm} त्रिज्या का कोई ताँबे का तार। (क) दिष्ट प्रतिरोध प्रति मीटर। (ख) 1 MHz1\,\mathrm{MHz} पर: δ\delta; धारा को δ\delta मोटाई के किसी छल्ले में सीमित मानकर लगभग प्रतिरोध प्रति मीटर; दिष्ट से अनुपात। (ग) 100 MHz100\,\mathrm{MHz} पर। (घ) इस तार के NN फेरों की किसी कुंडली का गुणता गुणक ऊँची आवृत्ति पर NN के साथ सुधरना क्यों बंद कर देता है, और लिट्ज़ तार क्या है?

हल

हल — अभ्यास 14.5.

(क) 1/γπa2=5.3 mΩ/m1/\gamma\pi a^2 = 5.3\,\mathrm{m}\Omega/\mathrm{m}। (ख) δ=65 µm\delta = 65\,\text{µ}\mathrm{m}; R≈1/γ2πaδ=41 mΩ/mR \approx 1/\gamma2\pi a\delta = 41\,\mathrm{m}\Omega/\mathrm{m}, अर्थात् दिष्ट का 7.77.7 गुना। (ग) δ=6.5 µm\delta = 6.5\,\text{µ}\mathrm{m}, 0.41 Ω/m0.41\,\Omega/\mathrm{m}, 7777 गुना। (घ) त्वचा के हावी होते ही R∝fR \propto \sqrt f उतनी ही तेज़ी से बढ़ता है जितना LωL\omega, और हर फेरा प्रतिरोध जोड़ देता है; लिट्ज़ तार δ\delta से पतली बहुत सारी विद्युतरोधी लड़ियाँ बाँध देता है, जिससे पूरा ताँबा चालन करता है।

अभ्यास 14.6 ★★

परिरक्षण। ऐलुमिनियम (γ=3.6×107 S/m\gamma = 3.6 \times 10^{7}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}) का 1.0 mm1.0\,\mathrm{mm} मोटा कोई बक्सा। दीवार पार करते क्षेत्र-आयाम का dB में क्षीणन, 50 Hz50\,\mathrm{Hz}, 10 kHz10\,\mathrm{kHz}, 1 MHz1\,\mathrm{MHz} पर (गुणक e−d/δ\eu^{-d/\delta}, सतहों पर परावर्तन उपेक्षित)। मुख्य लाइन का चुंबकीय क्षेत्र ताँबे के बजाय लोहे (ऊँची पारगम्यता) से क्यों परिरक्षित किया जाता है?

हल

हल — अभ्यास 14.6.

δAl=11.9\delta_{\text{Al}} = 11.9, 0.840.84, 0.084 mm0.084\,\mathrm{mm}: d/δ=0.08d/\delta = 0.08, 1.21.2, 1212: 0.70.7, 1010, 103 dB103\,\mathrm{dB}। 50 Hz50\,\mathrm{Hz} पर चालक पारदर्शी है; ऊँचे μr\mu_r का लोहा फ्लक्स मोड़ लेता है (चुंबकीय परिरक्षण) और δ\delta को μr\sqrt{\mu_r} से घटा भी देता है।

अभ्यास 14.7 ★★

प्लाज़्मा में ऊर्जा। प्रमेय 14.2 की अनुप्रस्थ तरंग के लिए: (क) इलेक्ट्रॉन के वेग का आयाम और गतिज ऊर्जा घनत्व 12nm⟨v2⟩\tfrac12nm\langle v^2\rangle। (ख) माध्य विद्युत् और चुंबकीय ऊर्जा घनत्व। (ग) दिखाइए कि कुल ऊर्जा घनत्व 12ε0E02(1+… )\tfrac12\varepsilon_0E_0^2(1 + \dots) है — कोष्ठक निकालिए — और यह कि ⟨Π⟩\langle\Pi\rangle को उससे भाग देने पर vgv_g मिलता है। (घ) ω=2ωp\omega = 2\omega_p पर ऊर्जा का कितना अंश इलेक्ट्रॉनों में है?

हल

हल — अभ्यास 14.7.

(क) v0=eE0/mωv_0 = eE_0/m\omega; 12nm⟨v2⟩=ne2E02/4mω2=14ε0E02 ωp2/ω2\tfrac12nm\langle v^2\rangle = ne^2E_0^2/4m\omega^2 = \tfrac14\varepsilon_0 E_0^2\,\omega_p^2/\omega^2। (ख) 14ε0E02\tfrac14\varepsilon_0E_0^2 और 14ε0E02(1−ωp2/ω2)\tfrac14\varepsilon_0E_0^2(1 - \omega_p^2/ \omega^2)। (ग) योग 12ε0E02\tfrac12\varepsilon_0E_0^2 है (कोष्ठक 11 है); ⟨Π⟩=E02k/2μ0ω\langle\Pi \rangle = E_0^2k/2\mu_0\omega, और अनुपात c2k/ω=vgc^2k/\omega = v_g है। (घ) 14⋅14/12=1/8\tfrac14\cdot\tfrac14 /\tfrac12 = 1/8।

अभ्यास 14.8 ★★

पल्सार परिक्षेपण। किसी पल्सार से आती रेडियो स्पंदें अंतरतारकीय प्लाज़्मा की LL दूरी पार करती हैं (n≪n \ll कुछ भी, ω≫ωp\omega \gg \omega_p)। (क) दिखाइए कि समूह विलंब t≈(L/c)(1+ωp2/2ω2)t \approx (L/c)(1 + \omega_p^2/2\omega^2) है। (ख) f1f_1 और f2f_2 पर पहुँचने के बीच विलंब Δt=e28π2ε0mc nL(1f12−1f22)\Delta t = \dfrac{e^2}{8\pi^2 \varepsilon_0mc}\,nL\Bigl(\dfrac1{f_1^2} - \dfrac1{f_2^2}\Bigr) है: अचर निकालिए। (ग) L=1 kpc=3.1×1019 mL = 1\,\mathrm{kpc} = 3.1 \times 10^{19}\,\mathrm{m} दूर कोई पल्सार, n=3×104 m−3n = 3 \times 10^{4}\,\mathrm{m}^{-3} से होकर: 400 MHz400\,\mathrm{MHz} और 1.4 GHz1.4\,\mathrm{GHz} के बीच विलंब। (घ) खगोलविद Δt\Delta t मापते हैं और nn जानते हैं: उन्हें क्या मिलता है? (परिक्षेपण माप, पल्सारों के लिए दूरी का मानक पैमाना।)

हल

हल — अभ्यास 14.8.

(क) 1/vg=(1/c)(1−ωp2/ω2)−1/2≈(1+ωp2/2ω2)/c1/v_g = (1/c)(1 - \omega_p^2/\omega^2)^{-1/2} \approx (1 + \omega_p^2/2\omega^2)/c। (ख) Δt=(Lωp2/2c)(1/ω12−1/ω22)\Delta t = (L\omega_p^2/2c)(1/\omega_1^2 - 1/\omega_2^2) जहाँ ωp2=ne2/ε0m\omega_p^2 = ne^2/\varepsilon_0m और ω=2πf\omega = 2\pi f: अचर e2/8π2ε0mc=1.34×10−7 e^2/8\pi^2\varepsilon_0mc = 1.34 \times 10^{-7}\, (SI)। (ग) nL=9.3×1023 m−2nL = 9.3 \times 10^{23}\,\mathrm{m}^{-2}, (1/f12−1/f22)=5.7×10−18 s2(1/f_1^2 - 1/f_2^2) = 5.7 \times 10^{-18}\,\mathrm{s}^{2}: Δt=0.72 s\Delta t = 0.72\,\mathrm{s}। (घ) स्तंभ nLnL (परिक्षेपण माप), और इससे nn के किसी प्रतिरूप के लिए दूरी।

अभ्यास 14.9 ★★

कोई वर्णक्रमी रेखा। किसी विरल गैस में (n‾≈1+χ‾/2\underline n \approx 1 + \underline\chi/2) लोरेंत्स प्रतिरूप n′′=12Im⁡χ‾n'' = \tfrac12\operatorname{Im}\underline\chi देता है। (क) दिखाइए कि ω0\omega_0 के पास n′′≈ωp24ω0 Γ/2(ω0−ω)2+Γ2/4n'' \approx \dfrac{\omega_p^2}{4\omega_0}\,\dfrac{\Gamma/2}{(\omega_0 - \omega)^2 + \Gamma^2/4} है, अर्थात् पूरी चौड़ाई Γ\Gamma का कोई लोरेंत्सी। (ख) केंद्र पर अवशोषण गुणांक α=2n′′ω/c\alpha = 2n''\omega/c। (ग) सोडियम वाष्प, n=1×1017 m−3n = 1 \times 10^{17}\,\mathrm{m}^{-3}, λ0=589 nm\lambda_0 = 589\,\mathrm{nm}, Γ=6×107 s−1\Gamma = 6 \times 10^{7}\,\mathrm{s}^{-1}: केंद्र पर α\alpha और वह मोटाई जो 90%90\% सोख ले (डॉप्लर चौड़ीकरण छोड़ दीजिए, जो असल में रेखा को सौ गुना चौड़ा कर देता है)। (घ) रेखा के पार n′−1n' - 1 का रेखाचित्र बनाइए; परिक्षेपण कहाँ विषम है?

हल

हल — अभ्यास 14.9.

(क) Im⁡χ‾=ωp2Γω/[(ω02−ω2)2+Γ2ω2]\operatorname{Im}\underline\chi = \omega_p^2\Gamma\omega/[(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + \Gamma^2\omega^2], जिसमें ω02−ω2≈2ω0(ω0−ω)\omega_0^2 - \omega^2 \approx 2\omega_0(\omega_0 - \omega): n′′=12Im⁡χ‾n'' = \tfrac12\operatorname{Im}\underline\chi वही बताया गया लोरेंत्सी है। (ख) n′′(ω0)=ωp2/2ω0Γn''(\omega_0) = \omega_p^2/2\omega_0\Gamma, α=2n′′ω0/c=ωp2/Γc\alpha = 2n''\omega_0/c = \omega_p^2/\Gamma c। (ग) ωp2=3.2×1020 s−2\omega_p^2 = 3.2 \times 10^{20}\,\mathrm{s}^{-2}: α=1.8×104 m−1\alpha = 1.8 \times 10^{4}\,\mathrm{m}^{-1}; ln⁡10/α=0.13 mm\ln10/\alpha = 0.13\,\mathrm{mm}। (घ) n′−1∝(ω0−ω)/[(ω0−ω)2+Γ2/4]n' - 1 \propto (\omega_0 - \omega)/[(\omega_0 - \omega)^2 + \Gamma^2/4]: नीचे धनात्मक, ऊपर ऋणात्मक, और रेखा के ±Γ/2\pm\Gamma/2 के भीतर घटता हुआ — वहीं विषम।

अभ्यास 14.10 ★★★

त्वचा में जूल तापन। कोई तरंग E0eiωtE_0\eu^{\iu\omega t} (yy के अनुदिश) x>0x > 0 भरते किसी चालक में घुसती है। (क) E‾(x,t)\underline E(x, t) लिखिए और फ़ैराडे से B‾(x,t)\underline B(x, t) (zz के अनुदिश) निकालिए। (ख) सतह पर माध्य पॉयंटिंग सदिश: दिखाइए ⟨Πx(0)⟩=E02/2μ0ωδ\langle\Pi_x(0)\rangle = E_0^2/2\mu_0\omega\delta। (ग) प्रति एकांक क्षेत्रफल माध्य जूल शक्ति, ∫0∞12γ∣E‾∣2 ⁣dx\int_0^\infty\tfrac12\gamma|\underline E|^2\dd x: दिखाइए कि वह (ख) के बराबर है। (घ) परिणाम को 12RsH02\tfrac12R_sH_0^2 के रूप में लिखिए, जहाँ H0=B0/μ0H_0 = B_0/\mu_0 सतही चुंबकीय क्षेत्र और Rs=1/γδR_s = 1/\gamma\delta सतही प्रतिरोध है; 1 GHz1\,\mathrm{GHz} पर ताँबे के लिए मान, और उस सूक्ष्मतरंग कोटर की हानि जिसकी दीवारें H0=100 A/mH_0 = 100\,\mathrm{A}/\mathrm{m} ले चलती हैं।

हल

हल — अभ्यास 14.10.

(क) E‾=E0e−x/δei(ωt−x/δ)\underline E = E_0\eu^{-x/\delta}\eu^{\iu(\omega t - x/\delta)}, B‾=k‾E‾/ω=(1−i)E‾/ωδ\underline B = \underline k\underline E/\omega = (1 - \iu)\underline E/\omega\delta। (ख) ⟨Πx⟩=12Re⁡(E‾B‾∗)/μ0=E02/2μ0ωδ\langle\Pi_x\rangle = \tfrac12\operatorname{Re}(\underline E \underline B^*)/\mu_0 = E_0^2/2\mu_0\omega\delta, x=0x = 0 पर। (ग) ∫0∞12γE02e−2x/δ ⁣dx=γE02δ/4=E02/2μ0ωδ\int_0^\infty\tfrac12\gamma E_0^2 \eu^{-2x/\delta}\dd x = \gamma E_0^2\delta/4 = E_0^2/2\mu_0\omega\delta, γ=2/μ0ωδ2\gamma = 2/\mu_0\omega\delta^2 लेकर। (घ) H0=2E0/μ0ωδH_0 = \sqrt2E_0/\mu_0\omega\delta, अतः 12RsH02=E02/γμ02ω2δ3=E02/2μ0ωδ\tfrac12R_sH_0^2 = E_0^2/\gamma\mu_0^2\omega^2\delta^3 = E_0^2/2\mu_0\omega\delta। 1 GHz1\,\mathrm{GHz} पर ताँबा: Rs=1/γδ=8 mΩR_s = 1/\gamma\delta = 8\,\mathrm{m}\Omega; 12×8×10−3×104=40 W/m2\tfrac12 \times 8 \times 10^{-3} \times 10^4 = 40\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}।

अभ्यास 14.11 ★★★

धातुएँ क्यों चमकती हैं। चाँदी के चालन इलेक्ट्रॉनों (n=5.9×1028 m−3n = 5.9 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}) को प्रकाशिक आवृत्तियों पर टक्कररहित कोई प्लाज़्मा मानिए। (क) ωp\omega_p और उससे जुड़ा तरंगदैर्घ्य। (ख) 500 nm500\,\mathrm{nm} पर: kk काल्पनिक है — प्रवेश गहराई; तरंग पूरी तरह परावर्तित होती है (इस प्रतिरूप में कोई अवशोषण नहीं): चाँदी कोई दर्पण है। (ग) 200 nm200\,\mathrm{nm} पर? इससे क्षारीय धातुओं की "पराबैंगनी पारदर्शिता"। (घ) असली चाँदी 95%95\% परावर्तित करती है, सोना पीला दिखता है: प्रतिरूप क्या चूक जाता है (टक्करों के बारे में सोचिए, और उन बद्ध इलेक्ट्रॉनों के बारे में जिनके अनुनाद सोने के लिए दृश्य में पड़ते हैं)?

हल

हल — अभ्यास 14.11.

(क) ωp=1.4×1016 rad/s\omega_p = 1.4 \times 10^{16}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}, λp=2πc/ωp=140 nm\lambda_p = 2\pi c/\omega_p = 140\,\mathrm{nm}। (ख) ω=3.8×1015 rad/s<ωp\omega = 3.8 \times 10^{15}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s} < \omega_p: 1/κ=c/ωp2−ω2=23 nm1/\kappa = c/\sqrt{\omega_p^2 - \omega^2} = 23\,\mathrm{nm}, पूर्ण परावर्तन। (ग) अब भी ωp\omega_p से नीचे: परावर्ती; पारदर्शिता केवल 140 nm140\,\mathrm{nm} के परे (सोडियम में 210 nm210\,\mathrm{nm})। (घ) टक्करें γ‾\underline\gamma को कोई वास्तविक भाग और कुछ प्रतिशत अवशोषण दे देती हैं; और दृश्य में पड़ते बद्ध-इलेक्ट्रॉन अनुनाद (सोना, ताँबा) नीले को सोखकर धातु को रंग दे देते हैं।

अभ्यास 14.12 ★★★

सूक्ष्मतरंग में जल। जल के ध्रुवी अणुओं का दिक्-विन्यास कोई प्रवृत्ति χ‾=χs/(1+iωτ)\underline\chi = \chi_s/(1 + \iu\omega\tau) (डिबाई शिथिलन) देता है, जिसमें χs≈80\chi_s \approx 80, τ=8 ps\tau = 8\,\mathrm{ps}, और ऊपर से कोई अचर χ∞≈4\chi_\infty \approx 4। (क) 2.45 GHz2.45\,\mathrm{GHz} और 20 GHz20\,\mathrm{GHz} पर ε‾r=1+χ∞+χ‾\underline\varepsilon_r = 1 + \chi_\infty + \underline\chi के वास्तविक और काल्पनिक भाग। (ख) 2.45 GHz2.45\,\mathrm{GHz} पर सम्मिश्र अपवर्तनांक और तीव्रता की अवशोषण लंबाई 1/(2n′′ω/c)1/(2n''\omega/c): कोई भट्ठी कितनी गहराई तक पकाती है? (ग) जल में किसी क्षेत्र-आयाम E0E_0 के लिए प्रति एकांक आयतन सोखी गई शक्ति: 12ωε0ε′′E02\tfrac12\omega\varepsilon_0\varepsilon''E_0^2; और E0=2 kV/mE_0 = 2\,\mathrm{kV}/\mathrm{m} के लिए मान। (घ) अधिकतम अवशोषण की 20 GHz20\,\mathrm{GHz} के बजाय 2.45 GHz2.45\,\mathrm{GHz} क्यों काम में ली जाती है?

हल

हल — अभ्यास 14.12.

(क) ωτ=0.12\omega\tau = 0.12: ε‾r=84−9.7i\underline\varepsilon_r = 84 - 9.7\iu; 20 GHz20\,\mathrm{GHz} पर ωτ=1\omega\tau = 1: 45−40i45 - 40\iu। (ख) n‾≈9.2−0.53i\underline n \approx 9.2 - 0.53\iu; c/2n′′ω=1.8 cmc/2n''\omega = 1.8\,\mathrm{cm}: भट्ठी बाहरी दो सेंटीमीटर पकाती है, बाक़ी चालन कर देता है। (ग) 12×1.54×1010×8.85×10−12×9.7×4×106=2.6 MW/m3\tfrac12 \times 1.54 \times 10^{10} \times 8.85 \times 10^{-12} \times 9.7 \times 4 \times 10^6 = 2.6\,\mathrm{MW}/\mathrm{m}^{3}। (घ) 20 GHz20\,\mathrm{GHz} पर अवशोषण लंबाई कोई मिलीमीटर होती: केवल त्वचा पकती; 2.45 GHz2.45\,\mathrm{GHz} भीतर घुसता है, और वह कोई मुक्त पट्टी है।

साँझ में कोई लघुतरंग प्रेषण केंद्र: उसकी तरंगें, आयनमंडल की प्लाज़्मा आवृत्ति से कुछ मेगाहर्ट्ज़ नीचे, हज़ार किलोमीटर दूर ज़मीन पर लौट आने ही वाली हैं।
साँझ में कोई लघुतरंग प्रेषण केंद्र: उसकी तरंगें, आयनमंडल की प्लाज़्मा आवृत्ति से कुछ मेगाहर्ट्ज़ नीचे, हज़ार किलोमीटर दूर ज़मीन पर लौट आने ही वाली हैं।
अंतरराष्ट्रीय अंतरिक्ष स्टेशन से खींची गई दक्षिणी ध्रुवप्रभा: सूर्य से आए कण, पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र से निर्देशित होकर, ऊपरी वायुमंडल के प्लाज़्मा को उत्तेजित करते हैं — वही आयनमंडल जिसकी प्लाज़्मा आवृत्ति रेडियो तरंगों को परावर्तित करती है (NASA)।
अंतरराष्ट्रीय अंतरिक्ष स्टेशन से खींची गई दक्षिणी ध्रुवप्रभा: सूर्य से आए कण, पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र से निर्देशित होकर, ऊपरी वायुमंडल के प्लाज़्मा को उत्तेजित करते हैं — वही आयनमंडल जिसकी प्लाज़्मा आवृत्ति रेडियो तरंगों को परावर्तित करती है (NASA)।

14.5 समस्या: आयनमंडल, भट्ठी का दरवाज़ा और प्रिज़्म

समस्या 14.1

सप्ताहांत समस्या — किसी तरंग की नज़र से तीन पदार्थ: वह प्लाज़्मा जो GPS संकेतों को मोड़ता है, वह धातु जो सूक्ष्मतरंगों को भीतर रोके रखती है, और वह काँच जो श्वेत प्रकाश फैला देता है

भाग I — आयनमंडल और GPS। F परत में इलेक्ट्रॉन घनत्व n=1×1012 m−3n = 1 \times 10^{12}\,\mathrm{m}^{-3}; और किसी ऊर्ध्वाधर पथ के अनुदिश इलेक्ट्रॉनों का कुल स्तंभ दिन में NT=∫n  ⁣dz=2×1017 m−2N_T = \int n\,\dd z = 2 \times 10^{17}\,\mathrm{m}^{-2} है। GPS: f1=1575 MHzf_1 = 1575\,\mathrm{MHz}, f2=1228 MHzf_2 = 1228\,\mathrm{MHz}।

  1. F परत की प्लाज़्मा आवृत्ति; क्या GPS पार जाता है? क्या कोई 5 MHz5\,\mathrm{MHz} लघुतरंग?
  2. दिखाइए कि ω≫ωp\omega \gg \omega_p के लिए समूह वेग vg≈c(1−ωp2/2ω2)v_g \approx c(1 - \omega_p^2/2\omega^2) है और कला वेग c(1+ωp2/2ω2)c(1 + \omega_p^2/2\omega^2)।
  3. परत पार करते GPS संकेत का अतिरिक्त समूह विलंब: दिखाइए Δt=e28π2ε0mc NTf2\Delta t = \dfrac{e^2}{8\pi^2\varepsilon_0mc}\,\dfrac{N_T}{f^2} और उसे f1f_1 के लिए निकालिए; और परास त्रुटि c Δtc\,\Delta t।
  4. अभिग्राही दोनों आवृत्तियाँ काम में लेता है: दोनों विलंबों से वह त्रुटि हटा देता है। NTN_T को Δt1−Δt2\Delta t_1 - \Delta t_2 के पदों में लिखिए; विलंब के अंतर पर कितनी परिशुद्धता NTN_T को 1%1\% तक दे देती है?
  5. प्रश्न 3 का विलंब f1f_1 पर कितने अतिरिक्त वाहक चक्रों के बराबर है?
  6. वाहक की कला उतनी ही आगे बढ़ जाती है जितना समूह पीछे पड़ता है: क्यों (दोनों संशोधनों के चिह्न)? वाहक चक्र गिनते किसी अभिग्राही के लिए कौन-सा मायने रखता है?
  7. रात में NTN_T दस गुना घट जाता है: किसी एक-आवृत्ति अभिग्राही के लिए दिन में और रात में त्रुटि।
  8. कोई सौर ज्वाला D परत (80 km80\,\mathrm{km}) में nn को टक्करों की भरमार के साथ 1×1010 m−31 \times 10^{10}\,\mathrm{m}^{-3} तक उठा देती है: कौन-सी रेडियो सेवाएँ चोट खाती हैं, और GPS ज़रा-सा ही क्यों बिगड़ता है?

भाग II — भट्ठी का दरवाज़ा। कोटर की दीवारें और दरवाज़े की जाली इस्पात की हैं (γ=1.0×106 S/m\gamma = 1.0 \times 10^{6}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}); जाली के छेद 1.0 mm1.0\,\mathrm{mm} चौड़े हैं, और शीट 0.5 mm0.5\,\mathrm{mm} मोटी; f=2.45 GHzf = 2.45\,\mathrm{GHz}, P=800 WP = 800\,\mathrm{W}।

  1. 2.45 GHz2.45\,\mathrm{GHz} पर इस्पात में त्वचा गहराई; क्या दीवार "मोटी" है?
  2. सतही प्रतिरोध Rs=1/γδR_s = 1/\gamma\delta; दीवारों (1 m21\,\mathrm{m}^{2}) पर आयाम H0=30 A/mH_0 = 30\,\mathrm{A}/\mathrm{m} के किसी सतही चुंबकीय क्षेत्र के साथ, दीवारों में खोई शक्ति, प्रति एकांक क्षेत्रफल 12RsH02\tfrac12R_sH_0^2; और PP का अंश।
  3. a≪λa \ll \lambda चौड़ाई के किसी छेद में क्षेत्र चल नहीं सकता (वह छेद कटाव से नीचे कोई तरंग-निर्देशिका है, अध्याय 16): वह e−πz/a\eu^{-\pi z/a} की तरह क्षय करता है, जैसे-जैसे मोटाई zz बढ़ती है। 0.5 mm0.5\,\mathrm{mm} की शीट पार करते आयाम का dB में क्षीणन।
  4. आप जाली में से देख क्यों पाते हैं (छेद के आकार के सामने प्रकाश का तरंगदैर्घ्य) जबकि सूक्ष्मतरंगें बाहर नहीं निकल पातीं?
  5. काँच की खिड़की ε‾r=4−0.02i\underline\varepsilon_r = 4 - 0.02\iu वाला कोई परावैद्युत है: अपवर्तनांक, और उसमें तीव्रता की क्षीणन लंबाई; क्या काँच गरम होता है?
  6. भट्ठी में कोई धातु का काँटा: उसकी नोकों पर क्षेत्र बढ़ जाता है; प्रश्न 8 की त्वचा गहराई के साथ, H0=300 A/mH_0 = 300\,\mathrm{A}/\mathrm{m} के लिए सतह पर धारा-घनत्व आँकिए (सतह पर j≈H0/δj \approx H_0/\delta लीजिए) और स्थानीय तापन j2/γj^2/\gamma — चिंगारियाँ क्यों?

भाग III — रेडियो आवृत्ति पर तार। 13.56 MHz13.56\,\mathrm{MHz} की किसी प्रेरण-तापक कुंडली में a=0.5 mma = 0.5\,\mathrm{mm} त्रिज्या का कोई ताँबे का तार (γ=6×107 S/m\gamma = 6 \times 10^{7}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}) 20 A20\,\mathrm{A} वर्ग-माध्य-मूल ले चलता है।

  1. त्वचा गहराई; प्रभावी चालक अनुप्रस्थ काट; और दिष्ट के सामने प्रत्यावर्ती प्रतिरोध प्रति मीटर।
  2. कुंडली के तार के प्रति मीटर व्यय शक्ति; और h=20 W/(m2 K)h = 20\,\mathrm{W}/(\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{K}) की संवहनी शीतलन के साथ तार जिस ताप तक पहुँचेगा।
  3. कुंडली किसी इस्पात के कार्य-खंड में धाराएँ प्रेरित करती है (γ=1×106 S/m\gamma = 1 \times 10^{6}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}, गरम होने पर μr≈1\mu_r \approx 1): वहाँ त्वचा गहराई; प्रेरण-तापन केवल कोई सतही परत क्यों तपाता है, और यह गियरों को कठोर करने में कैसे काम आता है?
  4. कुंडली की हानि घटाने के लिए तार की जगह भीतर पानी वाला कोई 3 mm3\,\mathrm{mm} का ताँबे का नल रख दिया जाता है: नया प्रतिरोध प्रति मीटर; क्या नल का भीतरी भाग धारा ले चलता है?
  5. किस आवृत्ति पर ताँबे में त्वचा गहराई तार की त्रिज्या के बराबर होगी? उससे नीचे "मोटे तार" के सूत्र की जगह कौन-सा सन्निकटन आता है?

भाग IV — प्रिज़्म। किसी काँच का n(λ)=1.500+5.0×103 nm2/λ2n(\lambda) = 1.500 + 5.0 \times 10^{3}\,\mathrm{nm}^{2}/\lambda^2 है, और उसका अनुनाद λ0=100 nm\lambda_0 = 100\,\mathrm{nm} पर है।

  1. जाँचिए कि अनुनाद से बहुत नीचे कौशी रूप लोरेंत्स प्रतिरूप से निकलता है, और यह कि ωp2/ω02=n2(∞)−1\omega_p^2/\omega_0^2 = n^2(\infty) - 1: इस काँच के लिए ωp2/ω02\omega_p^2/\omega_0^2 और प्रभावी nn का मान।
  2. 400 nm400\,\mathrm{nm} और 700 nm700\,\mathrm{nm} पर अपवर्तनांक तथा कला वेग; 550 nm550\,\mathrm{nm} पर समूह अपवर्तनांक; और किसी तंतु में ऐसे काँच के 1 km1\,\mathrm{km} पर दोनों रंगों के बीच विलंब।
  3. 550 nm550\,\mathrm{nm} के लिए न्यूनतम विचलन पर कोई 60∘60{}^{\circ} प्रिज़्म: विचलन (nsin⁡(A/2)=sin⁡((A+D)/2)n\sin(A/2) = \sin((A + D)/2) लीजिए); 400 nm400\,\mathrm{nm} और 700 nm700\,\mathrm{nm} के बीच कोणीय दूरी (अवकलन कीजिए); और 2 m2\,\mathrm{m} दूर किसी पर्दे पर वर्णक्रम की चौड़ाई।
  4. काँच 200 nm200\,\mathrm{nm} पर अपारदर्शी क्यों है, और यदि लोहे का कोई अंश 700 nm700\,\mathrm{nm} पर कोई दुर्बल अनुनाद जोड़ दे तो उसका रंग क्या होगा?
  5. लोरेंत्स चित्र में, प्रिज़्म नीले को लाल से अधिक क्यों मोड़ता है?
  6. एक ही सारणी में, F परत, इस्पात, ताँबे और काँच के लिए, उनकी कार्यकारी आवृत्तियों पर, γ‾\underline\gamma की प्रकृति और तरंग का भाग्य लिखिए।
हल

हल — समस्या 14.1.

1. fp=9 MHzf_p = 9\,\mathrm{MHz}: GPS पार जाता है, लघुतरंग परावर्तित हो जाती है।

2. k=(ω/c)1−ωp2/ω2k = (\omega/c)\sqrt{1 - \omega_p^2/\omega^2}: vφ=ω/k≈c(1+ωp2/2ω2)v_\varphi = \omega/k \approx c(1 + \omega_p^2/ 2\omega^2), vg= ⁣dω/ ⁣dk=c2k/ω≈c(1−ωp2/2ω2)v_g = \dd\omega/\dd k = c^2k/\omega \approx c(1 - \omega_p^2/2\omega^2)।

3. Δt=∫(1/vg−1/c) ⁣dz=∫ωp2 ⁣dz/2cω2=e2NT/2ε0mcω2=(e2/8π2ε0mc)NT/f2=1.34×10−7×2×1017/2.48×1018=11 ns\Delta t = \int(1/v_g - 1/c)\dd z = \int\omega_p^2\dd z/2c\omega^2 = e^2N_T/2\varepsilon_0 mc\omega^2 = (e^2/8\pi^2\varepsilon_0mc)N_T/f^2 = 1.34 \times 10^{-7} \times 2 \times 10^{17}/2.48 \times 10^{18} = 11\,\mathrm{ns}: अर्थात् 3.2 m3.2\,\mathrm{m}।

4. NT=(Δt1−Δt2)/K(1/f12−1/f22)N_T = (\Delta t_1 - \Delta t_2)/K(1/f_1^2 - 1/f_2^2); अंतर 7 ns7\,\mathrm{ns} है: 1%1\% के लिए 0.07 ns0.07\,\mathrm{ns} चाहिए।

5. vφv_\varphi cc से उतना ही ऊपर जाता है जितना vgv_g नीचे रह जाता है: वाहक की कला जल्दी पहुँचती है जबकि मॉडुलन देर से। कोई वाहक-कला अभिग्राही संशोधन उलटे चिह्न से लगाता है।

6. दिन में 3.2 m3.2\,\mathrm{m}, रात में 0.3 m0.3\,\mathrm{m}।

7. टक्करों के साथ fp=0.9 MHzf_p = 0.9\,\mathrm{MHz}: मध्यम और लघु तरंगें सोख ली जाती हैं (कोई रेडियो अंधकार); 1.5 GHz1.5\,\mathrm{GHz} पर GPS को ∝1/ω2\propto 1/\omega^2 अवशोषण मिलता है, जो नगण्य है।

8. f1Δt=1.575×109×1.1×10−8=17f_1\Delta t = 1.575 \times 10^9 \times 1.1 \times 10^{-8} = 17 चक्र।

9. δ=2/μ0γω=10 µm\delta = \sqrt{2/\mu_0\gamma\omega} = 10\,\text{µ}\mathrm{m}: कोई मिलीमीटर की दीवार सौ त्वचा गहराइयाँ है।

10. Rs=1/γδ=0.1 ΩR_s = 1/\gamma\delta = 0.1\,\Omega; 12RsH02=45 W/m2\tfrac12R_sH_0^2 = 45\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}: 45 W45\,\mathrm{W}, 6%6\%।

11. e−π×0.5=0.21\eu^{-\pi \times 0.5} = 0.21: आयाम में −14 dB-14\,\mathrm{dB}, शक्ति में −27 dB-27\,\mathrm{dB} (और नन्हा छेद वैसे भी बहुत कम युग्मित होता है)।

12. प्रकाश, λ=0.5 µm\lambda = 0.5\,\text{µ}\mathrm{m}, छेदों से दो हज़ार गुना छोटा है और पार निकल जाता है; सूक्ष्मतरंग, λ=12 cm\lambda = 12\,\mathrm{cm}, सौ गुना बड़ी है।

13. n‾=2−0.005i\underline n = 2 - 0.005\iu; c/2n′′ω=1.9 mc/2n''\omega = 1.9\,\mathrm{m}: काँच मुश्किल से गरम होता है।

14. किसी दस-माइक्रोमीटर परत में j≈H0/δ=3×107 A/m2j \approx H_0/\delta = 3 \times 10^{7}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}, j2/γ=9×108 W/m3j^2/\gamma = 9 \times 10^{8}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{3}: नोकें मिलीसेकंडों में तपती हैं, इलेक्ट्रॉन उगलती हैं, हवा को आयनित कर देती हैं — चिंगारियाँ।

15. δ=18 µm\delta = 18\,\text{µ}\mathrm{m}; अनुप्रस्थ काट 2πaδ=5.6×10−8 m22\pi a\delta = 5.6 \times 10^{-8}\,\mathrm{m}^{2} के सामने πa2=7.9×10−7 m2\pi a^2 = 7.9 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}^{2}: Rप्रत्यावर्ती=0.30 Ω/mR_{\text{प्रत्यावर्ती}} = 0.30\,\Omega/\mathrm{m}, अर्थात् दिष्ट का चौदह गुना।

16. RI2=120 W/mRI^2 = 120\,\mathrm{W}/\mathrm{m}; प्रति मीटर सतह πd=3.1×10−3 m2\pi d = 3.1 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{2}: ΔT≈1900 K\Delta T \approx 1900\,\mathrm{K} — वह पिघल जाता; ऐसी कुंडलियाँ जल-शीतित नल होती हैं।

17. δ=0.14 mm\delta = 0.14\,\mathrm{mm}: प्रेरित धारा, और गर्मी, दसवें मिलीमीटर में ही रह जाती है; कोई छोटी स्पंद और उसके बाद कोई शमन गियर की सतह कठोर कर देता है जबकि भीतर का भाग सख़्तजान बना रहता है।

18. R=1/γ2πaδ=0.10 Ω/mR = 1/\gamma2\pi a\delta = 0.10\,\Omega/\mathrm{m}, अर्थात् तीन गुना कम; भीतरी भाग कुछ नहीं ले चलता — इसीलिए कोई नल, जहाँ ताँबा बेकार जाता वहाँ शीतक भर दिया गया।

19. δ=a\delta = a तब जब f=1/πμ0γa2=17 Hzf = 1/\pi\mu_0\gamma a^2 = 17\,\mathrm{Hz}; उससे नीचे धारा एकसमान है और दिष्ट सूत्र चलता है।

20. n2≈1+ωp2/ω02+(ωp2/ω02)(λ0/λ)2n^2 \approx 1 + \omega_p^2/\omega_0^2 + (\omega_p^2/\omega_0^2)(\lambda_0/\lambda)^2: कौशी का रूप, जिसमें n(∞)2−1=ωp2/ω02=1.25n(\infty)^2 - 1 = \omega_p^2/\omega_0^2 = 1.25 जब n(∞)=1.5n(\infty) = 1.5।

21. n=1.531n = 1.531 और 1.5101.510, v=1.96v = 1.96 और 1.99×108 m/s1.99 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}; ng(550)=1.550n_g(550) = 1.550; ng(400)−ng(700)=0.063n_g(400) - n_g(700) = 0.063: किलोमीटर भर पर 210 ns210\,\mathrm{ns}।

22. sin⁡((A+D)/2)=1.5165×0.5\sin((A + D)/2) = 1.5165 \times 0.5: D=38.6∘D = 38.6{}^{\circ};  ⁣dD=2sin⁡(A/2) ⁣dn/cos⁡((A+D)/2)=1.53  ⁣dn\dd D = 2\sin (A/2)\dd n/\cos((A + D)/2) = 1.53\,\dd n: ΔD=1.85∘\Delta D = 1.85{}^{\circ}, 2 m2\,\mathrm{m} पर 6.5 cm6.5\,\mathrm{cm}।

23. 200 nm200\,\mathrm{nm} पर आवृत्ति अनुनाद के पास पहुँच जाती है और n′′n'' बढ़ जाता है: अपारदर्शी। 700 nm700\,\mathrm{nm} पर कोई दुर्बल अनुनाद लाल सोख लेता है: हरा काँच।

24. नीला पराबैंगनी अनुनाद के अधिक पास है: बद्ध इलेक्ट्रॉन अधिक उत्तर देते हैं, nn बड़ा होता है, और विचलन भी।

25. 1.5 GHz1.5\,\mathrm{GHz} पर F परत: काल्पनिक γ‾\underline\gamma, और किसी छोटे समूह विलंब के साथ संचरण। 2.45 GHz2.45\,\mathrm{GHz} पर इस्पात: वास्तविक γ‾\underline\gamma, त्वचा प्रभाव, परावर्तन। 13.56 MHz13.56\,\mathrm{MHz} पर ताँबा: वही, और 18 µm18\,\text{µ}\mathrm{m} की कोई त्वचा। दृश्य में काँच: iωε0χ\iu\omega\varepsilon_0\chi, कोई वास्तविक अपवर्तनांक, कोई पारदर्शी परिक्षेपी माध्यम।

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