Apa itu nilai eigen? — Matematika

Definisi 3.1 Matematika Universitas — Tahun 2 · Bab 3 — Reduksi Endomorfisma

$\lambda \in K$ disebut nilai eigen bagi $u$ apabila $u(x) = \lambda x$ untuk suatu $x \neq 0$ (vektor semacam itu disebut vektor eigen); ruang eigennya adalah $E_\lambda(u) = \ker(u - \lambda\,\mathrm{id})$ . Himpunan semua nilai eigen disebut spektrum $\operatorname{Sp}(u)$ . Sebuah subruang $F$ disebut stabil apabila $u(F) \subseteq F$ ; ruang eigen bersifat stabil, dan subruang stabil memungkinkan endomorfisma imbasan $u|_F$ .

Matriks A = psmallmatrix2 & 1\\ 1 & 2 psmallmatrix yang bekerja pada bidang: vektor umum e_1 terpental dari garisnya, sedangkan arah eigen v_1 = (1,1) dan v_2 = (1,-1) sekadar diregangkan — masing-masing oleh 3 dan oleh 1 (jadi Av_2 = v_2: peta putus-putusnya berimpit dengan v_2). Diagonalisasi tak lain pergantian ke basis (v_1, v_2), tempat A menjadi diag(3, 1). — Matriks $A = \left(\begin{smallmatrix}2 & 1\\ 1 & 2\end{smallmatrix}\right)$ yang bekerja pada bidang: vektor umum $e_1$ terpental dari garisnya, sedangkan arah eigen $v_1 = (1,1)$ dan $v_2 = (1,-1)$ sekadar diregangkan — masing-masing oleh $3$ dan oleh $1$ (jadi $Av_2 = v_2$ : peta putus-putusnya berimpit dengan $v_2$ ). Diagonalisasi tak lain pergantian ke basis $(v_1, v_2)$ , tempat $A$ menjadi $\operatorname{diag}(3, 1)$ .

Contoh

Contoh 3.4 ( $\chi$ yang sama, geometri yang berbeda)

Kedua matriks

\begin{pmatrix}2 & 0\\ 0 & 2\end{pmatrix} \qquad\text{dan}\qquad \begin{pmatrix}2 & 1\\ 0 & 2\end{pmatrix}

berbagi polinomial karakteristik $(X - 2)^2$ , trace, determinan, dan spektrum — namun keduanya tidak serupa: yang pertama punya $E_2$ berdimensi $2$ (multiplisitas geometrik $2$ ), yang kedua berdimensi $1$ . Polinomial karakteristik hanya melihat multiplisitas aljabar; dimensi ruang eigen adalah invarian yang lebih halus, dan polinomial minimal yang memutuskan ( $X - 2$ lawan $(X - 2)^2$ ). Pelajaran bagi semua pembahasan tentang keterdiagonalan: $\chi$ menyaring calonnya, tetapi kernel yang memberikan suara.

Contoh 3.8 (Diagonalisasi dalam kerja)

Ambil $A = I + J = \left(\begin{smallmatrix}2 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 1\\ 1 & 1 & 2\end{smallmatrix}\right)$ , dengan $J$ matriks yang semua unsurnya satu: dari $\operatorname{Sp}(J) = \{3, 0\}$ (Contoh 2.19) diperoleh $\operatorname{Sp}(A) = \{4, 1\}$ , dengan ruang eigen $\R(1,1,1)$ dan bidang $\{x + y + z = 0\}$ : dimensinya $1 + 2 = 3$ , jadi dapat didiagonalkan (Teorema 3.6 (2)). Pangkatnya pun terhitung tanpa matriks pergantian basis: dengan $\Pi = J/3$ sebagai proyektor pada $\R(1,1,1)$ ,

A = 4\,\Pi + 1\cdot(I - \Pi) \quad\Longrightarrow\quad A^k = 4^k\,\Pi + (I - \Pi) = \frac{4^k - 1}{3}\,J + I .

(Periksa $k = 1$ : $\frac{4-1}3 J + I = A$ .) Pelajaran penutupnya: ketika ruang eigennya kasatmata, proyektor spektral menghitung pangkat lebih cepat daripada $PDP^{-1}$ mana pun — dan rumusnya memperlihatkan dinamikanya: $A^k$ tumbuh seperti $4^k$ sepanjang $(1,1,1)$ dan diam saja pada bidang ortogonalnya.

Contoh 3.10 (Mentrigonalkan dengan tangan)

Ambil $B = \begin{pmatrix}3 & -1\\ 1 & 1\end{pmatrix}$ : di sini $\chi_B = X^2 - 4X + 4 = (X - 2)^2$ , dan $\ker(B - 2I) = \ker\left(\begin{smallmatrix}1 & -1\\ 1 & -1\end{smallmatrix}\right)$ adalah garis yang direntang $e_1' = (1, 1)$ : satu nilai eigen dengan ruang eigen berdimensi satu — jadi tidak dapat didiagonalkan, tetapi dapat ditrigonalkan (Teorema 3.9). Lengkapi basisnya dengan $e_2' = (1, 0)$ lalu hitung:

u(e_1') = (2, 2) = 2e_1', \qquad u(e_2') = (3, 1) = 1\cdot e_1' + 2\, e_2' ,

sehingga pada basis $(e_1', e_2')$ matriksnya menjadi $T = \left(\begin{smallmatrix}2 & 1\\ 0 & 2\end{smallmatrix}\right)$ . Pelajaran penutupnya: diagonal $T$ sudah terpaksa (kedua unsurnya wajib berupa nilai eigen ganda $2$ ); hanya unsur pojoknya yang bergantung pada pilihan $e_2'$ , dan menskalakan $e_2'$ dapat membuatnya bernilai tak nol apa pun — “ $1$ ” yang membandel itu adalah bayangan bagian nilpoten yang kelak dipisahkan Dunford.

Baca dalam konteks →