什么是 cosh⁡, sinh⁡, tanh⁡？

Contoh 4.20 (Rumus penjumlahan untuk $\tanh$)

Dengan membagi kedua rumus penjumlahan pada Proposisi 4.18 (3) dengan $\cosh x\cosh y$:

yakni saudara hiperbolik dari rumus penjumlahan tangen — dengan $+$ yang di trigonometri berupa $-$. Sebuah dividen: karena $\abs{\tanh} < 1$, ruas kanannya adalah kaidah “penjumlahan kecepatan” yang tak pernah keluar dari $\intoo{-1}1$: jika $u, v \in \intoo{-1}1$ maka $\frac{u + v}{1 + uv} \in \intoo{-1}1$ juga (tulis $u = \tanh a$, $v = \tanh b$, yang mungkin karena kebijektifannya, lalu baca rumusnya terbalik). Memeriksa hal itu secara aljabar, tanpa fungsi hiperbolik, adalah latihan yang agak menyakitkan; memparameterkannya dengan $\tanh$ membuatnya satu baris — strategi yang sama seperti yang diberikan fungsi lingkaran bagi lingkaran satuan.

Contoh 4.22 (Bentuk tertutup dalam praktik)

Penyelesaian $\cosh t = 2$ dengan $t \geq 0$ adalah, menurut bentuk tertutupnya, $t = \operatorname{arcosh} 2 = \ln(2 + \sqrt3) \approx 1.317$; penyelesaian yang lain adalah $-t$, karena kegenapannya — dan memang $\ln(2 - \sqrt3) = \ln\frac1{2 + \sqrt3} = -\ln(2 + \sqrt3)$: kedua akar $u = \eu^t$ persamaan kuadrat $u^2 - 4u + 1 = 0$ saling berkebalikan, sebagaimana dituntut hasil kalinya $1$ (menurut Vieta). Perhitungan kecil ini memperlihatkan pola umumnya: persamaan hiperbolik berubah menjadi persamaan kuadrat dalam $\eu^t$, dan simetri $t \mapsto -t$ muncul sebagai simetri $u \mapsto 1/u$ persamaan kuadrat itu — layak diingat ketika menyelesaikan Latihan 4.7.