Apa itu Ring?

Contoh 7.18

$\Z, \Q, \R, \C$ adalah ring komutatif; $\Z^\times = \{1, -1\}$, $\Q^\times = \Q^*$. Menyusul kemudian: ring polinomial $K[X]$ (Bab 8), ring matriks (yang tak komutatif, Bab 21), dan $\Z/n\Z$ di bawah. Dalam setiap ring, $0 \times a = 0$ (dari sifat distributifnya: $0a = (0+0)a = 0a + 0a$), dan $(-1)a = -a$.

Contoh 7.19 (Idempoten: gejala baru dalam ring baru)

Di $\Z$, persamaan $x^2 = x$, yakni $x(x - 1) = 0$, hanya mempunyai penyelesaian $0$ dan $1$. Di $\Z/6\Z$, dengan menguji semua kelasnya: $\overline0^2 = \overline0$, $\overline1^2 = \overline1$, $\overline3^2 = \overline9 = \overline3$ dan $\overline4^2 = \overline{16} = \overline4$ — jadi ada empat idempoten. Kedua yang eksotis itu datang dari pembagi nol: $\overline3\,(\overline3 - \overline1) = \overline3 \times \overline2 = \overline6 = \overline0$ tanpa satu pun faktornya nol. Perhitungan semacam itu mengalibrasi gerak hati kita: fakta yang sudah dikenal tentang persamaan bertahan di daerah integral dan lapangan, tetapi ring yang umum dapat dan memang berperilaku lain — lihat pula ring Boole pada Latihan 7.10, yang di sana setiap unsurnya idempoten.

Contoh 7.21 (Teorema binomial dalam ring yang tak dikenal)

Dua hasil cepat dari keumumannya. Di $\Z/p\Z$ (dengan $p$ prima), koefisien binomial di tengahnya lenyap (yaitu langkah pertama Teorema 6.23), sehingga teoremanya runtuh menjadi mimpi mahasiswa baru

yang di sana merupakan kesamaan yang sungguhan, betapapun ia tampak jahat di atas $\R$. Dan di dalam sebarang ring komutatif yang memuat unsur $\varepsilon$ dengan $\varepsilon^2 = 0$, teoremanya terpenggal: $(a + \varepsilon)^n = a^n + n\,a^{n-1}\varepsilon$, karena semua suku yang lebih tinggi memikul faktor $\varepsilon^2 = 0$. Koefisien $n\,a^{n-1}$ pada $\varepsilon$ adalah turunan $x^n$ — dan itu bukan kebetulan, melainkan isyarat pertama bahwa turunan sama aljabarnya dengan analisisnya (bandingkan turunan formal pada Bab 8).