Tentang GitHub Pelatih Masuk Mulai membaca

Matematika · Glosarium

Apa itu himpunan cembung?

Dikenal juga sebagai: bungkus cembung

Definisi 17.11 Matematika Universitas — Tahun 2 · Bab 17 — Ruang Afin

Sebuah himpunan bagian CC pada ruang afin disebut cembung apabila ia memuat setiap barisentrum berbobot taknegatif atas titiknya — setara dengan itu, setiap ruas [A, B]={bar⁡(A,1−t;B,t):t∈[0, 1]}\intcc{A}{B} = \{\operatorname{bar}(A, 1-t; B, t) : t \in \intcc{0}{1}\} di antara titiknya. Adapun bungkus cembung conv⁡(S)\operatorname{conv}(S) adalah himpunan semua barisentrum berbobot taknegatif atas titik SS — yakni himpunan cembung terkecil yang memuat SS.

Contoh

Contoh 17.12 (Epigraf itu himpunan cembung)

Daerah C={(x,y):y≥x2}C = \{(x, y) : y \geq x^2\} di atas parabolanya bersifat cembung: sebab untuk (x1,y1),(x2,y2)∈C(x_1, y_1), (x_2, y_2) \in C dan t∈[0, 1]t \in \intcc01, ketaksamaan kecembungan fungsi kuadratnya memberi

((1−t)x1+tx2)2≤(1−t)x12+tx22≤(1−t)y1+ty2,\bigl((1-t)x_1 + tx_2\bigr)^2 \leq (1-t)x_1^2 + tx_2^2 \leq (1-t)y_1 + ty_2 ,

jadi barisentrumnya tetap di atas parabolanya. Adapun perhitungannya bersifat umum: {y≥f(x)}\{y \geq f(x)\} cembung persis ketika ff merupakan fungsi cembung — jadi himpunan cembung dan fungsi cembung (Bab 8) adalah dua wajah satu gagasan, dengan epigrafnya sebagai kamusnya. Inilah alasan geometris mengapa garis penyangga ada bagi fungsi cembung, yakni fakta yang kelak membuktikan ketaksamaan Jensen pada Bab 22.

Contoh 17.13 (Pembangun yang mubazir bagi sebuah bungkus cembung)

Misalkan S={(0,0),(2,0),(2,2),(0,2),(1,1)}S = \{(0,0), (2,0), (2,2), (0,2), (1,1)\}. Titik kelimanya adalah barisentrum

(1,1)=bar⁡((0,0),12; (2,2),12),(1,1) = \operatorname{bar}\bigl((0,0), \tfrac12;\ (2,2), \tfrac12\bigr),

jadi ia sudah terletak di bungkus keempat lainnya: sehingga conv⁡(S)\operatorname{conv}(S) adalah bujur sangkar dengan keempat pojoknya sebagai titik sudutnya. Secara umum, titik SS yang merupakan barisentrum berbobot taknegatif atas titik lain milik SS dapat dihapus tanpa mengubah bungkusnya; sedangkan titik yang tak pernah dapat dihapus (di sini keempat pojoknya) adalah titik ekstrem bungkusnya. Menentukannya adalah perhitungan barisentrum yang murni: misalnya (2,0)(2,0) tak dapat dituliskan sebagai bar⁡\operatorname{bar} titik sisanya dengan bobot yang taknegatif, karena koordinat pertamanya akan memaksa seluruh bobotnya ke titik yang x=2x = 2, lalu koordinat keduanya gagal. Jadi pertanyaan kecembungan menyusut, berulang kali, menjadi menyelesaikan sistem terbobot yang kecil.

Baca dalam konteks →

Istilah terkait