¿Qué es conjunto convexo?

Ejemplo 17.12 (Los epigrafos son conjuntos convexos)

La región $C = \{(x, y) : y \geq x^2\}$ por encima de la parábola es convexa: para $(x_1, y_1), (x_2, y_2) \in C$ y $t \in \intcc01$, la desigualdad de convexidad de la función cuadrado da

de modo que el baricentro se queda por encima de la parábola. El cálculo es general: $\{y \geq f(x)\}$ es convexo exactamente cuando $f$ es una función convexa; los conjuntos convexos y las funciones convexas (Capítulo 8) son dos caras de una misma noción, y los epigrafos son el diccionario. Esta es la razón geométrica de que las funciones convexas tengan rectas de apoyo, el hecho que demostrará la desigualdad de Jensen en el Capítulo 22.

Ejemplo 17.13 (Generadores redundantes de una envoltura convexa)

Consideremos el conjunto

El quinto punto es el baricentro

así que ya está en la envoltura de los otros cuatro: $\operatorname{conv}(S)$ es el cuadrado con las cuatro esquinas como vértices. En general, un punto de $S$ que sea baricentro de pesos no negativos de los demás puntos de $S$ puede suprimirse sin cambiar la envoltura; los puntos que nunca pueden suprimirse (aquí, las cuatro esquinas) son los puntos extremos de la envoltura. Determinarlos es un puro cálculo de baricentros: $(2,0)$, por ejemplo, no puede escribirse como $\operatorname{bar}$ de los puntos restantes con pesos no negativos, porque la primera coordenada forzaría a poner todo el peso en los puntos con $x = 2$, y entonces la segunda coordenada falla. Las cuestiones de convexidad se reducen, una y otra vez, a resolver pequeños sistemas con pesos.