O que é conjunto convexo?

Exemplo 17.12 (Os epígrafos são conjuntos convexos)

A região $C = \{(x, y) : y \geq x^2\}$ acima da parábola é convexa: para $(x_1, y_1), (x_2, y_2) \in C$ e $t \in \intcc01$, a desigualdade de convexidade da função quadrado dá

de modo que o baricentro permanece acima da parábola. O cálculo é geral: $\{y \geq f(x)\}$ é convexo exatamente quando $f$ é uma função convexa — os conjuntos convexos e as funções convexas (Capítulo 8) são duas faces de uma só noção, sendo os epígrafos o dicionário. Essa é a razão geométrica pela qual existem retas de suporte para funções convexas, fato que demonstrará a desigualdade de Jensen no Capítulo 22.

Exemplo 17.13 (Geradores redundantes de uma envoltória convexa)

Seja $S = \{(0,0), (2,0), (2,2), (0,2), (1,1)\}$. O quinto ponto é o baricentro

de modo que ele já está na envoltória dos outros quatro: $\operatorname{conv}(S)$ é o quadrado com os quatro cantos como vértices. Em geral, um ponto de $S$ que é um baricentro de pesos não negativos dos outros pontos de $S$ pode ser apagado sem mudar a envoltória; os pontos que nunca podem ser apagados (aqui os quatro cantos) são os pontos extremos da envoltória. Determiná-los é um puro cálculo de baricentros: $(2,0)$, digamos, não pode ser escrito como $\operatorname{bar}$ dos pontos restantes com pesos não negativos, porque a primeira coordenada forçaria todo o peso sobre pontos com $x = 2$, e a segunda coordenada então falha. As questões de convexidade se reduzem, vez após vez, a resolver pequenos sistemas ponderados.