Wat is convexe verzameling?

Voorbeeld 17.12 (Epigrafen zijn convexe verzamelingen)

Het gebied $C = \{(x, y) : y \geq x^2\}$ boven de parabool is convex: voor $(x_1, y_1), (x_2, y_2) \in C$ en $t \in \intcc01$ geeft de convexiteitsongelijkheid van de kwadraatfunctie

zodat het barycentrum boven de parabool blijft. De berekening is algemeen: $\{y \geq f(x)\}$ is convex precies wanneer $f$ een convexe functie is — convexe verzamelingen en convexe functies (Hoofdstuk 8) zijn twee gezichten van één begrip, met de epigrafen als woordenboek. Dit is de meetkundige reden waarom convexe functies steunrechten hebben, het feit dat in Hoofdstuk 22 de ongelijkheid van Jensen zal bewijzen.

Voorbeeld 17.13 (Overbodige voortbrengers)

Zij $S = \{(0,0), (2,0), (2,2), (0,2), (1,1)\}$. Het vijfde punt is het barycentrum

en ligt dus al in het omhulsel van de vier andere: $\operatorname{conv}(S)$ is het vierkant met de vier hoeken als hoekpunten. In het algemeen mag een punt van $S$ dat een barycentrum met niet-negatieve gewichten van de overige punten van $S$ is, worden geschrapt zonder het omhulsel te veranderen; de punten die nooit geschrapt kunnen worden (hier de vier hoeken) zijn de extreme punten van het omhulsel. Ze bepalen is een zuivere berekening met barycentra: $(2,0)$ bijvoorbeeld laat zich niet als $\operatorname{bar}$ van de overige punten met niet-negatieve gewichten schrijven, omdat de eerste coördinaat al het gewicht op punten met $x = 2$ zou leggen, waarna de tweede coördinaat faalt. Vragen over convexiteit herleiden telkens opnieuw tot het oplossen van kleine gewogen stelsels.